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ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DEL LITORAL
ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DEL LITORAL
INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMTICAS
CURSO DE INVIERNO 2008-2009
ANLISIS NUMRICO
PRIMERA EVALUACIN - MARZO 26 DE 2009
NOMBRE_______SOLUCIN___________________FIRMA_____________________________
TEMA 1.- Se necesita calcular con cuatro decimales exactos la interseccin de la ecuacin
(y 1)2 + x3 = 6, con la recta que incluye a los puntos (-1, -1), (1, 1) en el plano. Use el mtodo de Newton y escriba el valor inicial y los valores calculados en cada iteracin.
Recta: y=x, Sustituyendo en la primera ecuacin: (x 1)2 + x3 = 6
( f(x) = (x 1)2 + x3 - 6 = 0
f(0) < 0
f(2) > 0,
f(x) >0, f'(x)>0, f''(x) > 0, para x > r, ( la frmula de Newton converge
TEMA 2.- La temperatura en los puntos indicados: x1, x2, x3, x4, es un promedio de las temperaturas en los puntos ubicados en sus cuatro lados. Por ejemplo: x1 debe ser el promedio de los cuatro valores 75, x2, x3, 84
7554
84x1x242
54x3x425
3845
a) Encuentre el modelo matemtico para resolver este problema
b) Determine si el mtodo de Jacobi ser convergente
c) Realice 4 iteraciones comenzando con valores iniciales iguales al promedio delos ocho nmeros dados
Solucin
a)
(
b) Matriz diagonal dominante ( el mtodo de Jacobi converge
c) Valor inicial:
Frmula iterativa de Jacobi:
x1(k+1) = 1/4 (159 + x2(k) + x3(k))
x2(k+1) = 1/4 (96 + x1(k) + x4(k))
x3(k+1) = 1/4 (92 + x3(k) + x4(k))
x4(k+1) = 1/4 (70 + x2(k) + 3x3(k))
k = 0, 1, 2, ...
Iteraciones:
x(1) = [91.8750 76.1250 75.1250 69.6250]
x(2) = [77.5625 64.3750 63.3750 55.3125]
x(3) = [71.6875 57.2188 56.2188 49.4375]
x(4) = [68.1094 54.2813 53.2813 45.8594]TEMA 3.- Se registraron los siguientes datos de la cantidad de producto obtenido experimentalmente en parcelas de cultivo en las que se suministraron tres cantidades diferentes de fertilizante tipo 1 y cuatro cantidades diferentes de fertilizante tipo 2:
Fertilizante 2
Fert. 11.21.41.61.8
1.07.27.87.57.3
1.58.28.69.29.0
2.09.59.69.38.6
Use todos los datos dados para determinar mediante una interpolacin polinomial, la cantidad de producto que se obtendra si se usaran 1.2 de fertilizante 1 y 1.5 de fertilizante 2.
Interpolaciones para el Fertilizante 1 con el polinomio de diferencias finitas
x=1.2, y=1.2
1.0000 7.2000 1.0000 0.3000
1.5000 8.2000 1.3000
2.0000 9.5000
p2(1.2) = 7.5640
x=1.2, y=1.4
1.0000 7.8000 0.8000 0.2000
1.5000 8.6000 1.0000
2.0000 9.6000
p2(1.2) = 8.0960
x=1.2, y=1.6
1.0000 7.5000 1.7000 -1.6000
1.5000 9.2000 0.1000
2.0000 9.3000
p2(1.2) = 8.3720
x=1.2, y=1.8
1.0000 7.3000 1.7000 -2.1000
1.5000 9.0000 -0.4000
2.0000 8.6000
p2(1.2) = 8.2320
Interpolacin final para el Fertilizante 2 con el polinomio de diferencias finitas
x=1.5, y=1.2
1.2000 7.5640 0.5320 -0.2560 -0.1600
1.4000 8.0960 0.2760 -0.4160
1.6000 8.3720 -0.1400
1.8000 8.2320
p3(1.5) = 8.2760
TEMA 4.- Se quiere sustituir la funcin f(x) = xex, 0x1 , mediante un polinomio de interpolacin construido con los puntos (x, f(x)), x = 0, 0.5, 1.
a) Encuentre el polinomio de interpolacin (Use aritmtica de cuatro decimales)
b) Encuentre el mayor error que se obtendra al usar el polinomio sustituyendo a la funcin
(Sugerencia: defina una funcin para el error y encuentre el mximo de esta funcin)
Solucin
a) Polinomio de diferencias finitas:
x f(x) (f(x) (2f(x)
0 0 0.8244 1.0696
0.5000 0.8244 1.8939
1.0000 2.7183
b)
Resolver la ecuacin:
Se obtiene:
x = 0.2199
El mayor error: e(0.2199) = 0.0432
_1299922414.unknown
_1299922816.unknown
_1299923934.unknown
_1299924001.unknown
_1299924249.unknown
_1299923751.unknown
_1299922703.unknown
_1299920749.unknown
_1299922131.unknown
_1299922138.unknown
_1299920805.unknown
_1299920568.unknown