Post on 25-Oct-2014
Содржина
Проблеми поврзани со карактеристични вредности на матрица________________________2
I. Одреди ги главните насоки и соодветни фактори на екстензија или контракција на
еластичната деформација y=Ax дадени со матрица A на еластична мембрана во x1 x2
рамнината во форма на круг x12+x 22=1.____________________________________________3
Системи од диференцијални равенки______________________________________________4
II. Реши ги дадените диференцијални равенки (1-6)____________________________________4
a) како што се дадени;____________________________________________________________4
b) со конвертирање во систем;______________________________________________________4
Нумерички методи во линеарна алгебра____________________________________________4
III.________________________________________________________________________________4
1. Изврши LLT факторизација на следниве матрици.__________________________________4
2. Напиши програма за решавање на систем линеарни равенки со Метод на Cholesky и
примени го во решавање на дадените системи.__________________________________________4
Кондициски број на матрица______________________________________________________4
IV. Експериментирање со матрица на Хилберт.________________________________________4
1
Проблеми поврзани со карактеристични
вредности наматрица
Проблемите за карактеристични вредности се едни од најважните проблеми
поврзани со матрица и се од големо значење за инженерите.
За дадена квадратна матрица А=[aij ] од n-ти ред ја разгледуваме векторската
равенка Ax=λx, каде x е непознат вектор, а λ непознат скалар.
Равенката Ax=λx ја трансформираме во облик ( A−λ I ) x=0.
За одредување на карактеристичните вредности ја решаваме
карактеристичната равенка D ( λ )=det ( A−λ I )=0.
За секоја карактеристична вредност λ i одредуваме карактеристичен вектор x (i )
со решавање на равенката ( A−λi I )x (i )=0.
Карактеристичните вредности на квадратна матрица се корени на
карактеристичната равенка. Секоја квадратна матрица од n-ти ред има
најмалку една и најмногу n различни карактеристични вредности.
Кратноста на М λ на карактеристичната вредност λ како корен на
карактеристичната вредност е наречена алгебарска кратност на λ. Бројот m λ на
линеарно независни вектори кои се соодветни на λ се нарекува геометриска
кратност на λ, односно m λ е димензија на карактеристичниот простор соодветен
на λ. Разликата △ λ=М λ−mλ се нарекува дефект на λ.
Една примена на проблемот за карактеристични вредности на матрица се
однесува на раздолжување на еластична мембрана.
Еластична мембрана во x1 x2 рамнината во форма на круг x12+ x2
2=1 e
раздолжена така што точката P (x1 , x2 ) се трансформира во точка Q ( y1 , y2 )
дадено со y=Ax, каде А е дадена матрица. Да се одреди насоката на
раздолжување и во што се деформира кругот како резултат на
раздолжувањето.
2
Карактеристичните вектори ги даваат главните насоки на раздолжување, а
карактеристичните вредности ги даваат факторите на раздолжување долж
главните насоки.
I. Одреди ги главните насоки и соодветни фактори на
екстензија или контракција на еластичната
деформација y=Ax дадени со матрица A на еластична
мембрана во x1 x2 рамнината воформана круг x12+ x2
2=1.
1. А=[ 4 √8√8 6 ]
Ги одредуваме карактеристичните вектори и вредности на дадената матрица.
In[45]:= A 4, Sqrt8, Sqrt8, 6Out[45]= 4, 2 2 , 2 2 , 6In[46]:= Eigenvalues A
Out[46]= 8, 2In[47]:= Eigenvectors A
Out[47]= 1
2, 1, 2 , 1
Факторите на раздолжување се 8 и 2, а главни насоки на раздолжување се
[ 1√21 ] соодветна на фактор 8, и [−√21 ] соодветна на фактор 2.
Ако овие насоки на раздолжување ги избереме како оски на нов Декартов
координатен систем u1u2 со позитивна полуоска u1 во прв квадрант и позитивна
полуоска u2 во втор квадрант од x1 x2 системот и поставиме u1=rcosϕ ,u2=rsinϕ,
тогаш граничните точки на нераздолжената мембрана се z1=8cosϕ , z2=2 sinϕ.
Деформираната фигура е елипса z12
82+z22
22=1 со главни полуоски 8 и 2 по
главните насоки на раздолжување.
Еве како изгледа оваа линеарна трансформација.
3
Out[18]=
a 4. b 2.8
c 2.8 d 6.
6 4 2 2 4 6
6
4
2
2
4
6
6 4 2 2 4 6
6
4
2
2
4
6
2. А=[ 2 0.40.4 2 ]
Ги одредуваме карактеристичните вектори и вредности на дадената матрица.
In[48]:= A 2, 0.4, 0.4, 2Out[48]= 2, 0.4, 0.4, 2In[49]:= Eigenvalues A
Out[49]= 2.4, 1.6In[50]:= Eigenvectors A
Out[50]= 0.707107, 0.707107, 0.707107, 0.707107 Факторите на раздолжување се λ1=2.4 и λ2=1.6 а главни насоки на
раздолжување се [ 1√21√2 ] соодветна на фактор λ1 и [ 1√2−1√2 ]соодветна на фактор λ2.
Ако овие насоки на раздолжување ги избереме како оски на нов Декартов
координатен систем u1u2 со позитивна полуоска u1 во прв квадрант и позитивна
полуоска u2 во втор квадрант од x1 x2 системот и поставиме u1=rcosϕ ,u2=rsinϕ,
4
тогаш граничните точки на нераздолжената мембрана се z1=2.4 cosϕ, z2=1.6 sinϕ
.
Деформираната фигура е елипса z12
2.42+
z22
1.62=1 со главни полуоски 2.4 и 1.6 по
главните насоки на раздолжување.
Еве како изгледа оваа линеарна трансформација.
Out[34]=
a 2. b 0.4
c 0.4 d 2.
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
3. А=[ 3 1.51.5 3 ]
Ги одредуваме карактеристичните вектори и вредности на дадената матрица.
In[42]:= A 3, 1.5, 1.5, 3Out[42]= 3, 1.5, 1.5, 3In[43]:= Eigenvalues A
Out[43]= 4.5, 1.5In[44]:= Eigenvectors A
Out[44]= 0.707107, 0.707107, 0.707107, 0.7071075
Факторите на раздолжување се λ1=4.5 и λ2=1.5 а главни насоки на
раздолжување се [ 1√21√2 ] соодветна на фактор λ1 и [ 1√2−1√2 ]соодветна на фактор λ2.
Ако овие насоки на раздолжување ги избереме како оски на нов Декартов
координатен систем u1u2 со позитивна полуоска u1 во прв квадрант и позитивна
полуоска u2 во втор квадрант од x1 x2 системот и поставиме u1=rcosϕ ,u2=rsinϕ,
тогаш граничните точки на нераздолжената мембрана се z1=4.5 cosϕ, z2=1.5 sinϕ
.
Деформираната фигура е елипса z12
4.52+
z22
1.52=1 со главни полуоски 4.5 и 1.5 по
главните насоки на раздолжување.
Еве како изгледа оваа линеарна трансформација.
Out[51]=
a 3. b 1.5
c 1.5 d 3.
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
4 2 2 4
4
2
2
4
4. А=[ 1 0.50.5 1 ]
6
Ги одредуваме карактеристичните вектори и вредности на дадената матрица.
In[58]:= A 1, 0.5, 0.5, 1Out[58]= 1, 0.5, 0.5, 1In[59]:= Eigenvalues A
Out[59]= 1.5, 0.5In[60]:= Eigenvectors A
Out[60]= 0.707107, 0.707107, 0.707107, 0.707107 Факторите на раздолжување се λ1=1.5 и λ2=0.5 а главни насоки на
раздолжување се [ 1√21√2 ] соодветна на фактор λ1 и [ 1√2−1√2 ]соодветна на фактор λ2.
Ако овие насоки на раздолжување ги избереме како оски на нов Декартов
координатен систем u1u2 со позитивна полуоска u1 во прв квадрант и позитивна
полуоска u2 во втор квадрант од x1 x2 системот и поставиме u1=rcosϕ ,u2=rsinϕ,
тогаш граничните точки на нераздолжената мембрана се z1=1.5cosϕ , z2=0.5 sinϕ
.
Деформираната фигура е елипса z12
1.52+
z22
0.52=1 со главни полуоски 1.5 и 0.5 по
главните насоки на раздолжување.
Еве како изгледа оваа линеарна трансформација.
7
Out[61]=
a 1. b 0.5
c 0.5 d 1
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
5. А=[1.5 1
√21√2
1 ]Ги одредуваме карактеристичните вектори и вредности на дадената матрица.
In[62]:= A 1.5, 1 Sqrt2, 1 Sqrt2, 1Out[62]= 1.5, 1
2, 1
2, 1
In[63]:= Eigenvalues AOut[63]= 2., 0.5In[64]:= Eigenvectors A
Out[64]= 0.816497, 0.57735, 0.57735, 0.816497 Факторите на раздолжување се λ1=2 и λ2=0.5 а главни насоки на
раздолжување се соодветните карактеристични вектори.
Ако овие насоки на раздолжување ги избереме како оски на нов Декартов
координатен систем u1u2 со позитивна полуоска u1 во прв квадрант и позитивна
полуоска u2 во втор квадрант од x1 x2 системот и поставиме u1=rcosϕ ,u2=rsinϕ,
тогаш граничните точки на нераздолжената мембрана се z1=2cosϕ , z2=0.5 sinϕ.
8
Деформираната фигура е елипса z12
22+
z22
0.52=1 со главни полуоски 2 и 0.5 по
главните насоки на раздолжување.
Еве како изгледа оваа линеарна трансформација.
Out[61]=
a 1.5 b 0.7
c 0.7 d 1
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
6. А=[1.25 0.750.75 1.25]
Ги одредуваме карактеристичните вектори и вредности на дадената матрица.
In[65]:= A 1.25, 0.75, 0.75, 1.25Out[65]= 1.25, 0.75, 0.75, 1.25In[67]:= Eigenvalues A
Out[67]= 2., 0.5In[68]:= Eigenvectors A
Out[68]= 0.707107, 0.707107, 0.707107, 0.707107
9
Факторите на раздолжување се λ1=2 и λ2=0.5 а главни насоки на
раздолжување се [ 1√21√2 ] соодветна на фактор λ1 и [ 1√2−1√2 ]соодветна на фактор λ2.
Ако овие насоки на раздолжување ги избереме како оски на нов Декартов
координатен систем u1u2 со позитивна полуоска u1 во прв квадрант и позитивна
полуоска u2 во втор квадрант од x1 x2 системот и поставиме u1=rcosϕ ,u2=rsinϕ,
тогаш граничните точки на нераздолжената мембрана се z1=2cosϕ , z2=0.5 sinϕ.
Деформираната фигура е елипса z12
22+
z22
0.52=1 со главни полуоски 2 и 0.5 по
главните насоки на раздолжување.
Еве како изгледа оваа линеарна трансформација.
a 1.25 b 0.77
c 0.77 d 1.25
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
10
Системи од диференцијални равенки
Диференцијална равенка од n−¿ти ред може да се конвертира во систем од n
диференцијални равенки од прв ред. Практично ова ни дозволува да решаваме
равенка со методите за решавање системи. Исто така ни овозможува теоријата
за диференцијални равенки од повисок ред да ја вклучиме во теоријата за
системи од диференцијални равенки од прв ред.
Диференцијалната равенка од n−¿ти ред y (n)=F (x , y , y , ,…, y (n−1) )
се трансформира во систем од nдиференцијални равенки од прв ред
{y1= y
y1,= y2y2,= y3…
yn−1, = yn
yn,=F (x , y1 , y2 ,…, y n)
.
Оваа редукција е причина за генерално да се концентрираме на системи од
диференцијални равенки од прв ред.
Во задачата што следува, дадените хомогени линеарни равенки со константни
коефициенти се решени на два начини:
a) за секоја од диференцијалните равенки со константни коефициенти
y (n)+a1 y(n−1 )+a2 y
(n−2)+…+an y=0
се формира соодветна карактеристична rn+a1rn−1+a2r
n−2+…+an r=0 и се бараат
нејзините решенија ri , i=1 ,…n.
Општото решение на диференцијална равенка е y=c1 y1+c2 y2+…+cn yn, каде
y i ,i=1,…n се партикуларни решенија кои се линеарно независни и се во врска
со корените на карактеристичната равенка на следниот начин:
Облик на коренот на карактеристичната равенка
Облик на партикуларно решение
11
r - еднократен реален корен erx
r – к-кратен реален корен erx , x erx , x2erx ,…, xk−1erx
r=a±bi – к-кратен пар конјугирано комплексни корени
eaxcos bx , x eax cosbx ,… ,xk−1 eax cosbxeax sinbx , xeax sinbx ,…,xk−1 eax sinbx
b) диференцијалната равенка од n−¿ти ред y (n)=F (x , y , y , ,…, y (n−1) )
се трансформира во систем од nдиференцијални равенки од прв ред
{y1= y
y1,= y2y2,= y3…
yn−1, = yn
yn,=F (x , y1 , y2 ,…, y n)
или во матричен облик Y,=AY=А [ y1¿yn], каде А е матрица на системот.
Ги одредуваме карактеристичните вредности λ1 , λ2 ,…, λnи соодветните
карактеристични вектори x (1 ) , x (2) ,…,x (n) со што го добиваме решението на
системот Y=c1 x(1 )eλ1x+c2 x
(2 )e λ2 x+…+cn x(n ) eλn x а со тоа и општото решение на
равенката y= y1.
II. (1-6)Реши ги дадените диференцијални равенки
a) ;какошто се дадени
b) ;со конвертирање во систем
1. y , ,− y=0
a) Карактеристичната равенка на оваа хомогена линеарна равенка со
константни коефициенти е r2−1=0 и нејзини решенија се r1=1 , r2=−1.
12
Соодветни партикуларни решенија се y1=ex , y2=e− x од каде општото решени е
y=c1 ex+c2 e
−x.
b) Дадената хомогена линеарна равенка се трансформира во следниов систем
{y1,= y2y2,= y1
односно Y,=AY=[0 1
1 0][ y1y2]. Карактеристичната детерминанта е det (A−λI )=|−λ 1
1 −λ|=λ2−1, од каде
карактеристичните вредности се λ1=1 , λ2=−1.
Соодветните карактеристични вектори ги добиваме на следниот начин:
за λ1=1 решаваме ( A−λ1 I )x=0 т.е. [−1 11 −1] [x1x2]=0 од каде добиваме
решение x1=x2, па соодветен карактеристичен вектор е x(1 )=[11].
за λ2=1 решаваме ( A−λ2 I )x=0 т.е. [1 11 1][ x1x2]=0 од каде добиваме
решение x1=−x2, па соодветен карактеристичен вектор е x(2 )=[ 1−1].
Општото решение на системот Y=c1 x(1 )eλ1x+c2 x
(2 )e λ2 x
oдносно Y=c1[11] . ex
+c2[ 1−1]e−x
.
Значи, y= y1=c1ex+c2 e
−x , a y2¿ y1,=c1 e
x−c2 e−x .
2. y , ,+3 y ,+2 y=0
a) Карактеристичната равенка на оваа хомогена линеарна равенка со
константни коефициенти е r2+3 r+2=0 и нејзини решенија се r1=−2, r2=−1.
Соодветни партикуларни решенија се y1=e−2 x , y2=e− x од каде општото решени
е y=c1 e−2x+c2 e
−x.
b) Дадената хомогена линеарна равенка се трансформира во следниов систем
{ y1,= y2
y2,=−3 y2−2 y1
односно Y,=AY=[ 0 1
−2 −3 ][ y1y2]. 13
Карактеристичната детерминанта е det (A−λI )=|−λ 1−2 −3− λ|=λ2+3 λ+1, од каде
карактеристичните вредности се λ1=−2 , λ2=−1.
Соодветните карактеристични вектори ги добиваме на следниот начин:
за λ1=−2 решаваме ( A−λ1 I )x=0 т.е. [ 2 1−2 −1] [x1x2]=0 од каде добиваме
решение −2 x1=x2, па соодветен карактеристичен вектор е x(1 )=[ 1−2].
за λ2=−1 решаваме ( A−λ2 I )x=0 т.е. [ 1 1−2 −2] [x1x2]=0 од каде добиваме
решение x1=−x2, па соодветен карактеристичен вектор е x(2 )=[ 1−1].
Општото решение на системот Y=c1 x(1 )eλ1x+c2 x
(2 )e λ2 x
oдносно Y=c1[ 1−2] . ex
+c2[ 1−1]e−x
.
Значи, y= y1=c1e−2 x+c2 e
−x , a y2¿ y1,=−2c1 e
−2x−c2 e−x .
3. y , ,−9 y=0
a) Карактеристичната равенка на оваа хомогена линеарна равенка со
константни коефициенти е r2−9=0 и нејзини решенија се r1=−3 ,r2=3.
Соодветни партикуларни решенија се y1=e−3 x , y2=e3x од каде општото решени
е y=c1 e−3x+c2 e
3 x.
b) Дадената хомогена линеарна равенка се трансформира во следниов систем
{ y1,= y2
y2,=9 y1
односно Y,=AY=[0 1
9 0][ y1y2]. Карактеристичната детерминанта е det (A−λI )=|−λ 1
9 −λ|=λ2−9 , од каде
карактеристичните вредности се λ1=−3 , λ2=3.
Соодветните карактеристични вектори ги добиваме на следниот начин:
14
за λ1=−3 решаваме ( A−λ1 I )x=0 т.е. [3 19 3 ][ x1x2]=0 од каде добиваме
решение −3 x1=x2, па соодветен карактеристичен вектор е x(1 )=[ 1−3].
за λ2=3решаваме ( A−λ2 I )x=0 т.е. [−3 19 −3 ][ x1x2]=0 од каде добиваме
решение 3 x1=x2, па соодветен карактеристичен вектор е x(2 )=[13].
Општото решение на системот Y=c1 x(1 )eλ1x+c2 x
(2 )e λ2 x
oдносно Y=c1[ 1−3 ] .e−3 x
+c2[13]e3x
.
Значи, y= y1=c1e−3 x+c2 e
3x , a y2 ¿ y1,=−3c1 e
−3x+3c2e3x .
4. 4 y ,,−15 y ,−4 y=0
a) Карактеристичната равенка на оваа хомогена линеарна равенка со
константни коефициенти е 4 r2−15 r−4=0 и нејзини решенија се r1=4 , r2=−14
.
Соодветни партикуларни решенија се y1=e4 x , y2=e−14
x од каде општото решени
е y=c1 e4 x+c2 e
−14
x.
b) Дадената хомогена линеарна равенка се трансформира во следниов систем
{ y1,= y2
y2,=154y2+ y
1
односно Y,=AY=[0 1
1154 ][ y1y2].
Карактеристичната детерминанта е det (A−λI )=|−λ 1
1154
− λ|=4 λ2−15 λ−4, од
каде карактеристичните вредности се λ1=4 , λ2=−14
.
Соодветните карактеристични вектори ги добиваме на следниот начин:
15
за λ1=4 решаваме ( A−λ1 I )x=0 т.е. [−4 1
1−14 ] [ x1x2]=0 од каде добиваме
решение −4 x1=x2, па соодветен карактеристичен вектор е x(1 )=[ 1−4 ].
за λ2=−14
решаваме ( A−λ2 I )x=0 т.е. [ 14 1
1 4] [x1x2]=0 од каде добиваме
решение x1=−4 x2, па соодветен карактеристичен вектор е x(2 )=[ 1−14 ].
Општото решение на системот Y=c1 x(1 )eλ1x+c2 x
(2 )e λ2 x
oдносно Y=c1[ 1−4] . e4 x
+c2[ 1−14 ]e14−x
.
Значи, y= y1=c1e4 x+c2e
−14
x, a y2¿ y1
,=−4c1 e4x−1
4c2
e−14
x
.
5. y , ,−4 y ,=0
a) Карактеристичната равенка на оваа хомогена линеарна равенка со
константни коефициенти е r2−4 r=0 и нејзини решенија се r1=4 , r2=0.
Соодветни партикуларни решенија се y1=e4 x , y2=e0 x од каде општото решени е
y=c1 e4 x+c2.
b) Дадената хомогена линеарна равенка се трансформира во следниов систем
{ y1,= y2
y2,=4 y2❑
односно Y,=AY=[0 1
0 4 ][ y1y2]. Карактеристичната детерминанта е det (A−λI )=|−λ 1
0 4−λ|= λ2−4 λ, од каде
карактеристичните вредности се λ1=4 , λ2=0.
Соодветните карактеристични вектори ги добиваме на следниот начин:
16
за λ1=4 решаваме ( A−λ1 I )x=0 т.е. [−4 10 0 ][ x1x2]=0 од каде добиваме
решение −4 x1=x2, па соодветен карактеристичен вектор е x(1 )=[ 1−4 ].
за λ2=0 решаваме ( A−λ2 I )x=0 т.е. [0 10 4] [ x1x2]=0 од каде добиваме
решение x2=0, па соодветен карактеристичен вектор е x(2 )=[10].
Општото решение на системот Y=c1 x(1 )eλ1x+c2 x
(2 )e λ2 x
oдносно Y=c1[ 1−4] . e4 x
+c2[10] e0 x
.
Значи, y= y1=c1e4 x+c2 , a y2 ¿ y1
,=4 c1 e4 x .
6. y , ,,+2 y , ,− y ,−2 y=0
Карактеристичната равенка на оваа хомогена линеарна равенка со константни
коефициенти е r3+2 r2−r−2=0 и нејзини решенија се r1=−1 , r2=1 , r3=−2.
Соодветни партикуларни решенија се y1=e−x , y2=ex , y3=e2x од каде општото
решени е y=c1 e− x+c2 e
x+c3 e2 x.
Дадената хомогена линеарна равенка се трансформира во следниов систем
{ y1,= y2
y2,= y3
y3,=−2 y3+ y2+2 y1
односно Y,=AY=[0 1 0
0 0 12 1 −2] [ y1y2y3].
Карактеристичната детерминанта е det (A−λI )=|−λ 1 00 −λ 12 1 −2− λ|= λ3+2 λ2− λ−2,
од каде карактеристичните вредности се λ1=−1 , λ2=1 , λ3=−2.
Соодветните карактеристични вектори ги добиваме на следниот начин:
17
за λ1=−2 решаваме ( A−λ1 I )x=0 т.е. [2 1 00 2 12 1 0] [x1x2x3]=0 од каде добиваме
соодветен карактеристичен вектор е x(1 )=[ 1−24 ].
за λ2=−1 решаваме ( A−λ2 I )x=0 т.е. [1 1 00 1 12 1 −1][ x1x2x3]=0 од каде добиваме
карактеристичен вектор е x(2 )=[ 1−11 ].
за λ3=1 решаваме ( A−λ2 I )x=0 т.е. [−1 1 00 −1 12 1 −3][ x1x2x3]=0 од каде
добиваме карактеристичен вектор е x(3 )=[111].
Општото решение на системот Y=c1 x(1 )eλ1x+c2 x
(2 )e λ2 x+c3 x(3) eλ3x
oдносно Y=c1[ 1−24 ] . e−2x
+c2[ 1−11 ]e−x
+c3[111]ex
.
Значи,
y= y1=c1e−2 x+c2 e
−x+c3 ex ,a y2 ¿ y1
,=−2c1 e−2 x−c2e
− x+c3ex❑и y3¿ y2
,=4c1 e−2x+c2e
− x+c3 ex❑
18
Нумеричкиметоди во линеарна алгебра
Постојат голем број на нумерички методи за решавање на систем од линеарни
равенки: Гаусов метод на елиминации, Гаус-Џорданов метод, метод на
Doolittle, Метод на Crout, Метод на Cholesky, и итеративни методи како Метод
на Gauss-Seidel, Итерации на Jacobi и сл.
Гаусовиот метод на елиминации за решавање на систем од линеарни равенки
е систематски процес кој даден систем го редуцира во триаголен систем, кој
пак лесно може да се реши со заменувања наназад. Редуцирањето до
триаголен систем се врши со елиминирање на x1 од равенките Е2 ,…, Еn со
помош на равенката Е1, потоа се врши со елиминирање на x2 од равенките
Е3 ,…, Еn со помош на равенката Е2, итн. се до елиминирање на xn−1 од Еn.
При елиминирањето огромна улога имаат дијагоналните коефициенти a ij кои
мора да бидат различни од 0 и би требало да бидат големи по апсолутна
вредност. Заради тоа често вршиме и делумно пивотирање – замена на редови
во системот. Мора да пивотираме ако akk=0 и, би требало да пивотираме
доколку |akk| е мала, заради големи грешки при заокружување кои сериозно
може да влијаат на точноста или да ни дадат бесмислени резултати.
Методите на Doolittle, Crout, Cholesky ја користат идејата за LU-факторизација
на матрицата на системот. Идејата овде е дека L и U можат да се одредат
директно без употреба на елиминации. Системот Ax=LUx=b се решава во два
чекори 1¿ Ly=b каде2¿Ux= y.
При Методот на Doolittle, L е долно триаголна матрица со дијагонални
елементи 1, а U е горно триаголна матрица.
При Методот на Crout, U има дијагонални елементи 1.
Проблем кој се јавува овде е што некои матрици немаат LU-факторизација, и
пак е потребна размена на редови.
Методот на Cholesky се однесува на факторизација A=LLT, но практичен е
доколку А е симетрична и позитивно дефинитна матрица. За матрица која е
симетрична но не е позитивно дефинитна, може да се примени но тогаш води
кон комплексна матрица L, па станува непрактичен.
19
Факторизацијата L LT е нумерички стабилна.
III.
1. Изврши L LT факторизација на следниве матрици.
a)
A 2, 1, 0, 1, 4, 1, 0, 1, 2 MatrixForm
Out[29]/ /MatrixF orm =
2 1 01 4 10 1 2
In[40]:= L CholeskyDecomposition 2 1 01 4 10 1 2
MatrixForm
Out[40]/ /MatrixF orm =
2 1
20
0 72
27
0 0 2 37
b)
In[42]:= A 2, 1, 0, 0, 1, 4, 1, 0, 0, 1, 4, 1, 0, 0, 1, 2 MatrixForm
Out[42]/ /MatrixF orm =
2 1 0 01 4 1 00 1 4 10 0 1 2
In[43]:= L CholeskyDecomposition 2 1 0 01 4 1 00 1 4 10 0 1 2
MatrixForm
Out[43]/ /MatrixF orm =
2 1
20 0
0 72
27
0
0 0 267
726
0 0 0 3 526
20
2. Напиши програма за решавање на систем линеарни равенки со
Метод на Cholesky и примени го во решавање на дадените
системи.
Алгоритмот за решавање на систем линеарни равенки со метод на Cholesky е
следен:
Овој алгоритам одредува единствено решение x=[ x j ] на систем Ax=b доколку матрицата на системот е симетрична и позитивно дефинитна.Влез: матрица А=[aij ] симетрична и позитивно дефинитна и вектор b=[b j ].
L LT факторизација на А:Oдредуваме L
Пресметај l11=√a11 ;
За j=2 до n пресметај l j1a j1
l11, l jj=√a jj−∑
s=1
j−1
l js2 ;
За j=2 до n-1
За р=ј+1 до n пресметај l pj=1l jj (apj−∑
s=1
j−1
l js l ps) ;За j=2 до n
За i=1 до j-1 пресметај lij=0 ;
Oдредуваме U=LT
За i=2 до nЗа j=1 до i-1 пресметај upj=0 ;
За i=1 до nЗа j=i до n пресметај uij=l ji ;
Решавање на L y=b
Пресметај y1=b1l11
;
За i=2 до n пресметај y i=1lii (b i−∑
j=1
i−1
lij y j) ;Решавање на LT x=U x= y
Пресметај xn=bn
unn ;
За i=n-1 до 1 пресметај x i=1uii ( y i− ∑
j=i+1
n
lij x j) ;Излез: решението е x=[ x j ].
Крај.
21
Програмата Matematica има вградено готови математички функции за L LT
факторизација CholeskyDecompozition[A], одредување на транспонирана
матрица Transpose[A] и решавање на линеарен систем во матрична форма
LinearSolve[Ax=b], затоа алгоритамот овде го има следниов облик.
Влез: матрица А=[aij ] симетрична и позитивно дефинитна и вектор b=[b j ].L LT факторизација на А:
Oдредуваме L=CholeskyDecomposition [A ];Oдредуваме U=LT=Transpose [L];
Решавање на L y=bLinearSolve [L y=b];
Решавање на LT x=U x= yLinearSolve [U x= y];
Излез: решението е x=[ x j ];Крај.
22
a) { 4 x1+2 x2+14 x3=142x1+17 x2−5 x3=−10114 x1−5 x2+83 x3=155
In[4] := A 4, 2, 14, 2, 17, 5, 14, 5, 83 MatrixForm
Out[4]/ /MatrixF orm =
4 2 142 17 514 5 83
In[8] := b 14, 101, 155 MatrixForm
Out[8]/ /MatrixF orm =
14 101155
In[5] := L CholeskyDecomposition 4 2 142 17 514 5 83
MatrixForm
Out[5]/ /MatrixF orm =
2 1 70 4 30 0 5
In[7] := Transpose 2 1 70 4 30 0 5
MatrixForm
Out[7]/ /MatrixF orm =
2 0 01 4 07 3 5
In[9] := y LinearSolve 2 0 01 4 07 3 5
,14 101155
MatrixForm
Out[9]/ /MatrixF orm =
7 275
In[10]:= x LinearSolve 2 1 70 4 30 0 5
,7 275
MatrixForm
Out[10]/ /MatrixF orm =
3 61
23
b) { 9 x1+6 x2+12 x3=17.46x1+13 x2+11 x3=23.612x1+11 x2+26 x3=30.8
In[35]:= A 9, 6, 12, 6, 13, 11, 12, 11, 26 MatrixForm
Out[35]/ /MatrixF orm =
9 6 126 13 1112 11 26
In[36]:= b 17.4, 23.6, 30.8 MatrixForm
Out[36]/ /MatrixF orm =
17.423.630.8
In[37]:= L CholeskyDecomposition 9 6 126 13 1112 11 26
MatrixForm
Out[37]/ /MatrixF orm =
3 2 40 3 10 0 3
In[38]:= Transpose 3 2 40 3 10 0 3
MatrixForm
Out[38]/ /MatrixF orm =
3 0 02 3 04 1 3
In[39]:= y LinearSolve 3 0 02 3 04 1 3
,17.4`23.6`30.8`
MatrixForm
Out[39]/ /MatrixF orm =
5.84.1.2
In[41]:= x LinearSolve 3 2 40 3 10 0 3
,5.8`4.01.2
MatrixForm
Out[41]/ /MatrixF orm =
0.61.20.4
24
c) { x1−x2+3 x3+2 x4=15−x1+5 x2−5 x3−2 x4=−353x1−5 x2+19 x3+3 x4=942 x1−2 x2+3 x3+21x4=1
25
In[42]:= A 1, 1, 3, 2, 1, 5, 5, 2, 3, 5, 19, 3, 2, 2, 3, 21 MatrixForm
Out[42]/ /MatrixF orm =
1 1 3 2 1 5 5 23 5 19 32 2 3 21
In[43]:= b 15, 35, 94, 1 MatrixForm
Out[43]/ /MatrixF orm =
15 35941
In[44]:= L CholeskyDecomposition 1 1 3 2 1 5 5 23 5 19 32 2 3 21
MatrixForm
Out[44]/ /MatrixF orm =
1 1 3 20 2 1 00 0 3 10 0 0 4
In[45]:= Transpose 1 1 3 20 2 1 00 0 3 10 0 0 4
MatrixForm
Out[45]/ /MatrixF orm =
1 0 0 0 1 2 0 03 1 3 02 0 1 4
In[46]:= y LinearSolve 1 0 0 0 1 2 0 03 1 3 02 0 1 4
,
15 35941
MatrixForm
Out[46]/ /MatrixF orm =
15 1013 4
In[47]:= x LinearSolve 1 1 3 20 2 1 00 0 3 10 0 0 4
,
15 1013 4
MatrixForm
Out[47]/ /MatrixF orm =
2 34 1
26
Кондициски број на матрица
Некои системи се добри, односно даваат добри решенија и при заокружување
на коефициенти, додека пак кај некои и заокружувањата многу влијаат на
точноста на решенијата.
Едно пресметување е стабилно ако мали промени на податоците кои се
внесуваат предизвикуваат мали промени во резултатот, и е нестабилно
доколку мали промени на податоците кои се внесуваат предизвикуваат големи
промени во резултатот.
Нестабилноста на линеарен систем и на матрицата од неговите коефициенти
може да се мери со кондициски број k ( A ). Дефиницијата на овој број го
вклучува поимот норма.
Норма на вектор x=[ x j ] со n компоненти се означува ‖x‖ и е дефинирана со
следниве својства:
1. ‖x‖ е ненегативен реален број;
2. ‖x‖=0 акко x=0;
3. ‖кx‖=к‖x‖ за секое к;
4. ‖x+ y‖≤‖x‖+‖y‖.
Најважна во пресметувањата е векторска р-норма која се дефинира со
‖x‖p=(|x1|p+|x2|p+…+|xn|
p )1p.
За p=1 ,‖x‖1=(|x1|❑+|x2|❑+…+|xn|
❑)❑−l1норма;
За p=2,‖x‖2=√(|x1|2+|x2|2+…+|xn|2)
❑
−l2норма;
За p=∞ , и‖x‖∞=max j|x j|−l∞норма;
Норма на матрица, соодветно на норма на вектор се дефинира како
‖A‖=max‖Ax‖‖x‖
‖A‖ зависи од векторската норма што сме ја избрале.
27
За l1 е норма – сума на колони, а за l∞ е норма – сума на редови.
Кондицискиот број се одредува со k ( A )=‖A‖‖A−1‖.
Линеарниот систем чиј кондициски број е мал, е стабилен систем. Голем
кондициски број укажува на нестабилен систем.
k ( A ) може да се користи за одредување на ефектот на ∂ А на точноста на ∂ x
‖∂x‖‖x‖
≤k (A )‖∂ А‖‖А‖
и слично ефектот на ∂b на точноста на ∂ x
‖∂x‖‖x‖
≤k (A )‖∂b‖‖b‖
Квадратна матрица H n= [H jk ] , H jk=1
j+k−1 е матрица на Хилберт.
Таа е симетрична и позитивно дефинитна, и секоја нејзина подматрица е
позитивно дефинитна.
Детерминантата на матрица на Хилберт од n-ти ред е
каде .
Инверзната матрица на Хилбертовата матрица може да биде изразена во
форма со биномни коефициенти
.
28
Кондицискиот број на Матрицата на Хилберт од n-ти ред расте како
.
IV. Експериментирање со матрица на Хилберт.
1. Матрица на Хилберт од втори ред.
За l1 норма ‖A‖=1.5 ,‖A−1‖=18 од каде k ( A )=‖A‖‖A−1‖=27 (исто и за за l∞
норма).
2. Матрица на Хилберт од трети ред.
За l1 норма ‖A‖=1 56,‖A−1‖=408 од каде
k ( A )=‖A‖‖A−1‖=748 (исто и за за l∞ норма).
29
3. Матрица на Хилберт од четврти ред.
За l1 норма ‖A‖=2 112
,‖A−1‖=13620 од каде
k ( A )=‖A‖‖A−1‖=28375 (исто и за за l∞ норма).
5. Матрица на Хилберт од петти ред.
30
За l1 норма ‖A‖=2 1760
,‖A−1‖=413280 од каде
k ( A )=‖A‖‖A−1‖=943656 (исто и за за l∞ норма).
6. Матрица на Хилберт од шести ред.
За l1 норма ‖A‖=2 2760
,‖A−1‖=11865420 од каде
k ( A )=‖A‖‖A−1‖=29070270 (исто и за за l∞ норма).
31
Решенија на системи кои за своја матрица ја имаат матрицата на
Хилберт:
a) од трети ред
In[25]:= LinearSolve 1 12
13
12
13
14
13
14
15
, 1, 2, 3Out[25]= 27, 192, 210
In[26]:= LinearSolve 1 12
13
12
13
14
13
14
15
, 0.1, 0.2, 0.3Out[26]= 2.7, 19.2, 21.
In[27]:= LinearSolve 1 12
13
12
13
14
13
14
15
, 100, 200, 300Out[27]= 2700, 19 200, 21 000
32
b) од шести ред
In[17]:= LinearSolve1 1
213
14
15
16
12
13
14
15
16
17
13
14
15
16
17
18
14
15
16
17
18
19
15
16
17
18
19
110
16
17
18
19
110
111
, 1, 2, 3, 4, 5, 6Out[17]= 216, 7350, 57 120, 166 320, 201 600, 85 932
In[23]:= LinearSolve1 1
213
14
15
16
12
13
14
15
16
17
13
14
15
16
17
18
14
15
16
17
18
19
15
16
17
18
19
110
16
17
18
19
110
111
, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6
Out[23]= 21.6, 735., 5712., 16 632., 20 160., 8593.2
In[24]:= LinearSolve1 1
213
14
15
16
12
13
14
15
16
17
13
14
15
16
17
18
14
15
16
17
18
19
15
16
17
18
19
110
16
17
18
19
110
111
, 100, 200, 300, 400, 500, 600
Out[24]= 21 600, 735 000, 5 712 000, 16 632 000, 20 160 000, 8 593 200
33