Post on 17-Jun-2020
CAPITOLO 8• CAMPI ELETTRICI E MAGNETICI
VARIABILI NEL TEMPO
Campo elettromagnetico
• Campo ELETTRICO e campo MAGNETICO sono generati entrambi da cariche
elettriche
• Cariche elettriche FISSE campo elettrostatico conservativo
• Cariche elettriche IN MOTO STAZIONARIO campo magnetico non
conservativo
Apparentemente, non esistono altre connessioni tra
fenomeni elettrici e magnetici statici
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 2
Campo elettromagnetico
• Esperimenti di Faraday e Henry misero in evidenza una connessione tra
elettricità e magnetismo:
Un campo magnetico VARIABILE NEL TEMPO GENERA un campo
elettrico (non conservativo!)
• Ulteriori esperimenti da parte di Maxwell evidenziarono inoltre che:
Un campo elettrico VARIABILE NEL TEMPO GENERA un campo
magnetico
CONCETTO GENERALE DI CAMPO ELETTROMAGNETICO
campo elettrico e campo magnetico variabili
non possono esistere separatamente
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 3
Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica
1. Un magnete viene avvicinato ed allontanato ad una spira 𝑨 collegata ad un
galvanometro (o viceversa)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 4
𝒊
𝒊
𝑵 𝑺
𝒗
𝒊
𝑨
𝑵 𝑺
𝒗
𝒊
𝑨
Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica
2. Una spira 𝑨′, collegata ad un generatore di f.e.m., viene avvicinata od
allontanata ad una spira 𝑨 collegata ad un galvanometro (o viceversa)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 5
𝒊
𝒗𝑨
𝒊
𝒊′
𝒊′
𝑨′
Ɛ
Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica
• Sperimentalmente si osserva sempre una corrente INDOTTA nella spira 𝑨
• Compare in presenza di un MOTO RELATIVO
tra la spira ed un campo magnetico 𝑩
• 𝑩 generato da un magnete permanente
o da un’altra spira percorsa da corrente
• Dal moto relativo ha origine una forza elettromotrice INDOTTA Ɛ𝒊
La presenza di Ɛ𝒊 dà luogo alla corrente indotta misurata
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 6
In base alla legge di Ohm
3. Una spira 𝑨, collegata con galvanometro,
è posta nelle vicinanze di un solenoide
con nucleo di ferro, collegato con un
generatore e con un interruttore 𝑻
Spira e solenoide sono entrambi fermi
• 𝑻 aperto (𝑩 costante)
• 𝑻 viene chiuso 𝑩 variabile f.e.m.!
• 𝑻 chiuso (𝑩 costante)
• 𝑻 viene aperto 𝑩 costante f.e.m.!
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 7
Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica
1
2
3
4
1
2
3
4
𝑻
𝑻
𝑻
𝑻
𝟎
𝟎
𝑨
3. Una spira 𝑨, collegata con galvanometro,
è posta nelle vicinanze di un solenoide
con nucleo di ferro, collegato con un
generatore e con un interruttore 𝑻
Spira e solenoide sono entrambi fermi
• 𝑻 aperto (𝑩 costante)
• 𝑻 viene chiuso 𝑩 variabile f.e.m.!
• 𝑻 chiuso (𝑩 costante)
• 𝑻 viene aperto 𝑩 variabile f.e.m.!
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 8
Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica
1
2
3
4
1
2
3
4
𝑻
𝑻
𝑻
𝑻
𝟎
𝟎
𝑨
• Fenomeno dell’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA:
Ɛ𝒊 = −𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕
LEGGE DI FARADAY
• Quando il flusso del campo magnetico 𝜱 𝑩 concatenato con un circuito
VARIA NEL TEMPO, si ha nel circuito una forza elettromotrice indotta Ɛ𝒊
• Ɛ𝒊 data dall’opposto della derivata del flusso rispetto al tempo
• Unità di misura di 𝚽 𝑩 : 1 Weber (Wb)
• 1 Wb = 1 V s = 1 T m2
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 9
Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica
UNITÀ
DI MISURA
Wb
• Detta 𝑹 la resistenza nel circuito, in esso circola la corrente indotta 𝒊
𝒊 =Ɛ𝒊𝑹= −
𝟏
𝑹
𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕
Corrente indotta
• Effetto secondario dipendente dalla variazione del flusso e dalla resistenza
del circuito
• Ricordando la definizione di f.e.m., si può definire il CAMPO ELETTRICO
INDOTTO 𝑬𝒊
Ɛ𝒊 = −𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕= ර𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔
Si tratta dunque di campo NON CONSERVATIVO con circuitazione NON
nulla
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 10
Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica
Riassumendo
• Le osservazioni stabiliscono che:
1. C’è corrente solo se c’è un moto relativo tra spira e magnete
2. Un movimento più veloce fornisce una corrente più intensa
3. Il verso della corrente dipende anche dal segno del polo magnetico
che si muove (tra i due poli la situazione si inverte)
• Per ottenere una f.e.m. indotta occorre far variare nel tempo una delle
seguenti quantità:
1. Il campo magnetico
2. L’area della spira o la parte di area immersa nel campo magnetico
3. L’orientazione della spira rispetto al campo magnetico
4. Il flusso di 𝑩 (ad esempio per un moto relativo)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 11
Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica
Legge di Lenz
• L’effetto della f.e.m. indotta è sempre tale da OPPORSI alla causa che ha
generato il fenomeno.
In un circuito chiuso circola una corrente indotta 𝒊. Essa ha verso tale per cui il
flusso del proprio campo magnetico 𝜱(𝑩𝒊) concatenato col circuito SI OPPONE
alla variazione temporale del flusso primario 𝜱 𝑩 .
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 12
𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕> 𝟎 Ɛ𝒊 < 𝟎
𝑩
𝑩𝒊
𝒊
𝑩 𝑩𝒊
𝒊
𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕< 𝟎 Ɛ𝒊 > 𝟎
Esercizio 8.1
• Una spira rettangolare di larghezza 𝒍 = 𝟑𝒎 e altezza 𝒉 = 𝟐𝒎 è immersa in
un campo magnetico variabile e non uniforme con espressione
𝑩 = 𝟒 𝒕𝟐 𝒙𝟐 ed entrante nel foglio.
1. Calcolare il valore della f.e.m. e la direzione della corrente indotta al
tempo 𝒕 = 𝟎. 𝟏 𝒔.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 13
x x x
x x x
x x x
x
x
x
𝒍
𝒉
𝑩
Origine del campo elettrico indotto e della f.e.m. indotta
• Legge di Faraday
Ɛ𝒊 = ර𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔 = −𝝏
𝝏𝒕න𝚺
𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺
• 𝚺: superficie qualunque che si appoggia sulla linea chiusa 𝐬
• 𝐬: linea chiusa che può coincidere con un circuito conduttore chiuso,
o con una linea geometrica chiusa qualsiasi
• La formazione di una f.e.m. indotta ha DUE CAUSE DISTINTE
1. Moto di un conduttore in un sistema di riferimento in cui le sorgenti del
campo magnetico siano in quiete
2. La variazione nel tempo del campo magnetico in un sistema di
riferimento in cui il conduttore sia in quiete
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 14
1. Moto di un conduttore in un sistema di riferimento in cui le sorgenti del campo
magnetico 𝑩 sono in quiete
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 15
Origine del campo elettrico indotto e della f.e.m. indotta
𝒙
𝑴
𝑵
𝑸
𝑷
𝑩
𝑬𝒊
𝒃𝒗
1. Moto di un conduttore in un sistema di riferimento in cui le sorgenti del campo
magnetico 𝑩 sono in quiete
• Campo elettromotore 𝑬𝒊 =𝑭
−𝒆= 𝒗 × 𝑩
• 𝑭 = −𝒆 𝒗 × 𝑩: Forza di Lorentz che agisce sugli elettroni di conduzione
• 𝒗: Velocità della sbarretta, quindi degli elettroni
a) Circuitazione di 𝑬𝒊 lungo la linea 𝑴𝑵𝑷𝑸
Ɛ𝒊 = ර𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔 = න𝐌𝐍𝐏𝐐
𝒗 × 𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = − 𝒗 𝑩 𝒃
b) Flusso del campo magnetico attraverso il circuito
𝚽 𝑩 = 𝚺 𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 = 𝑩 𝒃 𝒙 Ɛ𝒊 = −𝒅𝜱
𝒅𝒕= −𝑩 𝒃 𝒗
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 16
Origine del campo elettrico indotto e della f.e.m. indotta
COINCIDONO
1. Moto di un conduttore
Il fenomeno di induzione elettromagnetica è ricondotto alla FORZA DI
LORENTZ. Essa genera un campo elettromotore che causa la separazione
delle cariche all’interno del materiale conduttore
2. La variazione nel tempo del campo magnetico in un sistema di riferimento in
cui il conduttore sia in quiete
• Velocità degli elementi del circuito è nulla
• 𝑭 = −𝒆 𝒗 × 𝑩: contributo nullo
• Presenza di un campo elettrico INDOTTO, prodotto dalla variazione di 𝑩
• 𝑭 = −𝒆 𝑬𝒊: contributo NON NULLO
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 17
Origine del campo elettrico indotto e della f.e.m. indotta
Esercizio 8.2
• Una bobina costituita da 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎 spire di area 𝚺 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 e resistenza
complessiva 𝑹 = 𝟓 𝛀 è posta tra le espansioni polari di un elettromagnete e
giace in un piano ortogonale alle linee di 𝑩. Il campo magnetico, uniforme nei
punti di 𝚺, varia nel tempo aumentando linearmente dal valore zero al valore
𝑩𝟎 = 𝟎. 𝟖 𝑻 in un tempo 𝒕𝟎 = 𝟏𝟎 𝒔.
1. Calcolare la f.e.m. indotta nella bobina e il lavoro totale speso
nel tempo 𝒕𝟎.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 18
𝑩
𝑵
𝑹
Applicazioni della legge di Faraday
1. ATTRITO ELETTROMAGNETICO
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 19
𝒙
𝑴
𝑵
𝑸
𝑷
𝑩
𝑭𝒃
𝑭𝒆𝒙𝒕
𝑹
𝒊
Applicazioni della legge di Faraday
1. Si consideri il circuito in presenza di una resistenza esterna 𝑹, e la sbarretta mobile
con velocità 𝒗 e con resistenza interna 𝒓.
• La corrente indotta nel circuito vale
𝒊 =Ɛ𝒊
𝒓 + 𝑹= −
𝒗 𝑩 𝒃
𝒓 + 𝑹 Sulla sbarretta agisce dunque una forza magnetica
𝑭 = 𝒊 𝑵𝑴× 𝑩 = −𝑩𝟐𝒃𝟐
𝒓 + 𝑹𝒗
• Verso opposto al moto, modulo proporzionale alla velocità
La presenza del campo magnetico induce una corrente e da origine
ad una FORZA RESISTENTE DI TIPO VISCOSO: la «RESISTENZA DI
ATTRITO ELETTROMAGNETICO»
• Per vincere la resistenza di attrito bisogna applicare una forza esterna uguale
e contraria, 𝑭𝒆𝒙𝒕 = −𝑭, spendendo la potenza:
𝑷 = 𝑭𝒆𝒙𝒕 ∙ 𝒗 =𝑩𝟐𝒃𝟐𝒗𝟐
𝒓 + 𝑹= 𝒓 + 𝑹 𝒊𝟐 = Ɛ𝒊 𝒊
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 20
Applicazioni della legge di Faraday
2. GENERATORE DI CORRENTE ALTERNATA
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 21
𝝎
𝒗 × 𝑩
𝒗
𝑩
𝑩
𝒗
𝒗 × 𝑩
ෝ𝒖𝒏
𝜽
Applicazioni della legge di Faraday
2. Si consideri una spira rettangolare che ruota con velocità angolare 𝝎 attorno
ad un asse passante per il suo centro di massa, parallelo al lato 𝑴𝑵, in un
campo magnetico orizzontale 𝑩, uniforme e costante.
• Il flusso del campo magnetico attraverso la spira rotante vale
𝜱 𝑩 = න𝚺
𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮 = 𝑩 𝜮 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕
• La f.e.m. indotta risulta
Ɛ𝒊 = −𝒅𝜱 𝑩
𝒅𝒕= 𝝎 𝑩 𝜮 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕
Ɛ𝒊 varia SINUSOIDALMENTE nel tempo (valore massimo Ɛ𝒎𝒂𝒙 = 𝝎𝑩 𝚺)
• Collegando la spira in serie ad un circuito avente resistenza complessiva 𝑹,
si derivano la corrente indotta e la potenza totale spesa
𝒊 =𝝎𝑩 𝜮
𝑹𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝑷 = Ɛ𝒊𝒊 = 𝑹𝒊𝟐 =
Ɛ𝒊𝟐
𝑹=Ɛ𝒎𝒂𝒙𝟐
𝑹𝒔𝒆𝒏𝟐𝝎𝒕
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 22
Applicazioni della legge di Faraday
3. CORRENTI PARASSITE o DI FOUCAULT
a) Campo magnetico 𝑩 variabile all’interno di un conduttore metallico
• Il campo elettrico indotto da origine a correnti concatenate alle linee di 𝑩
• Correnti molto intense riscaldamento del conduttore
• Sfruttato nei forni ad induzione
b) Conduttore metallico che si muove in un campo magnetico 𝑩 costante
• Correnti dovute alla forza di Lorentz sugli elettroni
• Rallentamento del moto:
effetto frenante
• Tagliando la piastrina:
l’effetto è ridotto
• Freno elettromagnetico
sfruttato nelle metropolitane
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 23
Legge di Felici
• Si consideri una spira di resistenza 𝑹 che si muove in un campo magnetico 𝑩.
In essa è indotta una corrente 𝒊 ricavabile dalla legge di Faraday.
• È possibile ricavare la carica 𝒒 che fluisce in un intervallo di tempo (𝒕𝟏 - 𝒕𝟐)
𝒒 = න𝒕𝟏
𝒕𝟐
𝒊 𝒕 𝒅𝒕 = −𝟏
𝑹න𝚽𝟏
𝚽𝟐
𝒅𝚽 =𝚽𝟏 −𝚽𝟐
𝐑
LEGGE DI FELICI
Il valore della carica non dipende dalla legge temporale con cui
varia il flusso del campo, ma solo dai valori iniziale e finale
• Fornisce un metodo semplice di misura dell’intensità del campo magnetico
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 24
Esercizio 8.3
• Una bobina piatta è formata da 𝑵 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 spire di area 𝚺 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟎−𝟐𝒎𝟐 e
resistenza complessiva 𝑹 = 𝟏𝟎𝟑 𝛀. Essa è posta in un piano orizzontale e viene
ribaltata. La carica messa in moto durante il processo è 𝒒 = 𝟗. 𝟔 ∙ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪.
1. Calcolare il valore della componente normale del campo magnetico
terrestre.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 25
Autoinduzione
• Si consideri un circuito percorso da corrente 𝒊, che produce un
campo magnetico 𝑩 (secondo la legge di Ampère-Laplace)
Definizione di AUTOFLUSSO
𝜱 𝑩 = න ර𝝁𝟎𝒊
𝟒𝝅
𝒅𝒔 × ෝ𝒖𝒓𝒓𝟐
∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮
• Flusso del campo concatenato col circuito stesso
• 𝜮: superficie che abbia il circuito come contorno
• Sia 𝑩 che il 𝜱 𝑩 sono proporzionali alla corrente, da cui
𝜱 𝑩 = 𝑳 𝒊
• Definizione di INDUTTANZA 𝑳 (o coefficiente di autoinduzione)
• Dipende dalla forma del circuito e dalle
proprietà magnetiche del mezzo
𝑳 costante se il circuito è INDEFORMABILE
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 26
𝒊
𝑩
UNITÀ
DI MISURA
H (Henry)
Esercizio 8.4
• Calcolare l’induttanza dei seguenti circuiti:
1. Un solenoide toroidale a sezione rettangolare di lati 𝒂 e 𝒃, raggio
interno 𝑹, avente 𝑵 spire avvolte in maniera compatta (vedi figura);
2. Un solenoide rettilineo indefinito con 𝒏 = 𝟏𝟎𝟑 spire per metro e
sezione e sezione 𝜮 = 𝟏𝟎−𝟐𝒎𝟐.
• Come cambia tale valore se all’interno del solenoide viene inserito un
materiale avente permeabilità magnetica κ𝒎 = 𝟏𝟎𝟑?
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 27
𝒂
𝒃
𝒓
𝑹
Autoinduzione
• Quando la corrente nel circuito non è costante nel tempo, il flusso concatenato
col circuito varia. Compare dunque una
F.e.m. di autoinduzione o indotta
Ɛ𝑳 = −𝒅𝚽
𝒅𝒕= −𝑳
𝒅𝒊
𝒅𝒕
• Avendo ipotizzato 𝑳 costante
• Fornisce un’altra definizione dell’induttanza di un circuito
• Circuito «induttivo»: Circuito con induttanza NON NULLA
• Se l’induttanza è concentrata in un tratto particolare del circuito,
questo si definisce INDUTTORE
• Simbolo circuitale
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 28
Extracorrenti nei circuiti induttivi
• La presenza di un induttore in un circuito IMPEDISCE che la corrente aumenti o
diminuisca istantaneamente
• Si consideri un circuito RL in serie, costituito da un generatore di f.e.m. Ɛ con
resistenza interna trascurabile, un induttore con induttanza 𝑳 e un resistore di
resistenza 𝑹
Legge di Ohm per il circuito RL
Ɛ + Ɛ𝑳 = 𝑹 𝒊 → Ɛ = 𝑳𝒅𝒊
𝒅𝒕+ 𝑹 𝒊
• Separando le variabili ed
integrando, si ottiene:
Ɛ − 𝑹 𝒊 = 𝑨 𝒆−𝑹𝒕/𝑳
• Costante di integrazione 𝑨
determinata in base alle
condizioni iniziali
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 29
𝑳
𝑹
𝑻
Ɛ
Extracorrenti nei circuiti induttivi
1. Chiusura del circuito al tempo 𝒕 = 𝟎
• Sarà 𝒊 = 𝟎 e Ɛ = 𝑨 (no variazioni brusche!)
• Andamento della corrente:
𝒊 𝒕 =Ɛ
𝑹𝟏 − 𝒆−𝑹𝒕/𝑳 =
Ɛ
𝑹𝟏 − 𝒆−𝒕/𝝉
𝝉 =𝑳
𝑹: costante di tempo del circuito RL
• F.e.m. di autoinduzione:
Ɛ𝑳 = −𝑳𝒅𝒊
𝒅𝒕= −Ɛ𝒆−𝒕/𝝉
Extracorrente di chiusura
𝒊𝑳 = 𝒊∞ − 𝒊 𝒕 =Ɛ
𝑹𝒆−𝒕/𝝉 = −
Ɛ𝑳𝑹
Appare durante la fase
transitoria della chiusura
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 30
𝑳
𝑹
𝑻
Ɛ
𝒊 𝒕
𝒊𝑳 𝒕
𝒊∞ =Ɛ
𝑹
CHIUSURA
𝝉 𝟐𝝉 𝟑𝝉 𝟒𝝉 𝟓𝝉 𝒕
Extracorrenti nei circuiti induttivi
2. Apertura del circuito al tempo 𝒕 = 𝟎
• Sarà 𝒊 = 𝒊∞ (valore di regime)
Aprendo l’interruttore si passa da 𝑹 a 𝑹′ (𝑹′ ≫ 𝑹)
• 𝑹′ può essere pensata come resistenza della scintilla
che mantiene chiuso il cirucuito per breve tempo
• Andamento della corrente:
𝒊 𝒕 =Ɛ
𝑹𝒆−𝒕/𝝉′
• Ora 𝝉′ = 𝑳/𝑹′ ≪ 𝝉
• F.e.m. di autoinduzione
Ɛ𝑳 = −𝑳𝒅𝒊
𝒅𝒕=𝑹′
𝑹Ɛ 𝒆−
𝒕𝝉 ≫ Ɛ
Extracorrente di apertura
𝒊𝑳 =Ɛ𝑳𝑹′
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 31
𝑳
𝑹
𝑻
Ɛ
𝝉′ ≪ 𝝉
APERTURA
𝝉′ 𝟐𝝉′ 𝟑𝝉′ 𝟒𝝉′ 𝒕
Energia magnetica
• Si consideri nuovamente il circuito RL in serie. La potenza erogata dal
generatore quando la corrente ha il valore 𝒊 vale:
𝑷 = Ɛ 𝒊 = 𝑳 𝒊𝒅𝒊
𝒅𝒕+ 𝑹 𝒊𝟐
• Il lavoro complessivo speso nel tempo 𝒅𝒕 vale:
𝒅𝑾 = 𝑷 𝒅𝒕 = Ɛ 𝒊 𝒅𝒕 = 𝑳 𝒊 𝒅𝒊 + 𝑹 𝒊𝟐 𝒅𝒕
Esprime il BILANCIO ENERGETICO DEL CIRCUITO
• Ɛ 𝒊 𝒅𝒕 = Ɛ 𝒅𝒒 Lavoro compiuto dal generatore
• 𝑹 𝒊𝟐 𝒅𝒕 Lavoro speso per far circolare la corrente nel circuito e
trasformato in calore (effetto Joule)
• 𝑳 𝒊 𝒅𝒊 Lavoro speso contro la f.e.m. di autoinduzione,
Ɛ𝑳 = −𝑳 𝒅𝒊/𝒅𝒕, per far aumentare la corrente da 𝒊 a 𝒊 + 𝒅𝒊
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 32
Energia magnetica
• Dopo la chiusura del circuito, la corrente passa da 𝟎 a 𝒊.
• Il generatore, oltre al lavoro corrispondente all’effetto Joule, deve spendere
contro Ɛ𝑳 il lavoro:
𝑾𝑳 = න𝟎
𝒊
𝑳′𝒊 ′𝒅𝒊′ =𝟏
𝟐𝑳 𝒊𝟐
• Non dipende dal modo in cui varia la corrente, ma solo dai valori iniziale
e finale
Energia INTRINSECA della corrente
𝑼𝑳 =𝟏
𝟐𝑳 𝒊𝟐
• La variazione di tale energia fornisce il lavoro fatto dal generatore
CONTRO la f.e.m. di autoinduzione durante la corrispondente
variazione di corrente
Energia MAGNETICA legata alla PRESENZA DEL CAMPO 𝑩
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 33
Energia magnetica
• Esempio: Nel caso di un tratto di solenoide rettilineo indefinito lungo 𝒅,
l’energia intrinseca della corrente vale
𝑼𝑳 =𝟏
𝟐𝑳 𝒊𝟐 =
𝟏
𝟐𝝁𝟎𝒏
𝟐𝜮𝒅 𝒊𝟐 =𝑩𝟐
𝟐𝝁𝟎𝜮𝒅 =
𝑩𝟐
𝟐𝝁𝟎𝝉
• Definizione di DENSITÀ DI ENERGIA MAGNETICA
𝒖𝒎 =𝑼𝑳𝝉=
𝑩𝟐
𝟐𝝁𝟎=𝟏
𝟐𝝁𝟎𝑯
𝟐 =𝟏
𝟐𝑯𝑩
• ENERGIA MAGNETICA TOTALE
(formula generale)
𝑼𝒎 = න𝝉
𝒖𝒎𝒅𝝉 = න𝝉
𝑩𝟐
𝟐𝝁𝟎𝒅𝝉
Ottenuta integrando tutto lo
spazio in cui è presente un campo 𝑩
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 34
𝑩𝟐
𝟐𝝁𝟎𝒅𝝉
Esercizio 8.5
1. Calcolare l’energia magnetica di un solenoide toroidale a sezione
rettangolare di lati 𝒂 e 𝒃, raggio interno 𝑹, avente 𝑵 spire avvolte in
maniera compatta.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 35
Induzione mutua
• Si definisca il flusso del campo magnetico prodotto da un circuito (1) attraverso
un secondo circuito (2)
𝚽𝟏,𝟐 = න𝚺𝟐
𝑩𝟏 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺𝟐 = 𝐌𝟏,𝟐 𝒊𝟏
• Coefficiente di mutua induzione o INDUTTANZA MUTUA
𝐌𝟏,𝟐 =𝚽𝟏,𝟐
𝐢𝟏=𝚽𝟐,𝟏
𝐢𝟐= 𝐌𝟐,𝟏 = 𝐌
• Dipende da
• forma dei circuiti
• posizione dei circuiti
• proprietà magnetiche del mezzo
• Circuiti si definiscono «ACCOPPIATI» quando 𝐌 ≠ 𝟎
• Risultano caratterizzati completamente da 𝐑, 𝐋 e 𝐌
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 36
Esercizio 8.6
• In corrispondenza del centro di un solenoide indefinito, avente 𝒏𝟏 spire per unità
di lunghezza, e avente area 𝚺𝟏, è posta una bobina costituita da 𝑵𝟐 spire e
avente area 𝚺𝟐 > 𝚺𝟏.
1. Calcolare il coefficiente di mutua induzione.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 37
𝚺𝟏
𝚺𝟐
𝒏𝟏
𝑵𝟐
Induzione mutua
• F.e.m. di mutua induzione
• Indotta in un circuito dalla variazione di corrente nell’altro circuito
Ɛ𝟏′ = −
𝒅𝜱𝟐,𝟏
𝒅𝒕= −𝑴𝟐,𝟏
𝒅𝒊𝟐𝒅𝒕
Ɛ𝟐′ = −
𝒅𝜱𝟏,𝟐
𝒅𝒕= −𝑴𝟏,𝟐
𝒅𝒊𝟏𝒅𝒕
• Energia magnetica del sistema di due circuiti accoppiati
• Data dalla somma dei lavori dei rispettivi generatori per far scorrere le
correnti 𝒊𝟏 e 𝒊𝟐, e del termine che tiene conto del lavoro speso contro la
f.e.m. di induzione mutua
𝑼𝒎 =𝟏
𝟐𝑳𝟏 𝒊𝟏
𝟐 +𝟏
𝟐𝑳𝟐 𝒊𝟐
𝟐 + 𝐌 𝒊𝟏 𝒊𝟐
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 38
Esercizio 8.7
• Una bobina compatta 𝑺𝟏, composta da 𝑵𝟏 spire di raggio 𝒓𝟏, è alimentata da
un generatore Ɛ𝟏 che fa circolare una corrente 𝒊𝟏.
Una seconda bobina compatta 𝑺𝟐, costituita da 𝑵𝟐 spire di raggio 𝒓𝟐 ≪ 𝒓𝟏 è
posta nell’intorno del centro della prima bobina. L’angolo tra i versori normali
ෝ𝒖𝟏 e ෝ𝒖𝟐 delle due bobine è 𝜽. Un generatore inserito nel circuito 𝑺𝟐 fa
circolare una corrente 𝒊𝟐 = 𝒊𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 .
1. Calcolare la f.e.m. indotta
nella bobina 𝑺𝟏.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 39
ෝ𝒖𝟏
𝜽ෝ𝒖𝟐
Ɛ𝟏
𝒊𝟐 𝒕
Riassunto
• SOLENOIDE INDEFINITO
• Di sezione 𝚺, con 𝒏 spire per unità di lunghezza, percorso da corrente 𝒊
• Campo magnetico
𝑩 = 𝝁𝟎 𝒏 𝒊
• Induttanza per unità di lunghezza
𝑳𝒅 = 𝝁𝟎 𝒏𝟐 𝚺
• TOROIDE
• Di raggio interno 𝑹, a sezione rettangolare di lati 𝒂 e 𝒃, con 𝑵 spire, percorso da corrente 𝒊
• Campo magnetico
𝑩 𝒓 =𝝁𝟎𝑵 𝒊
𝟐𝝅𝒓
• Induttanza
𝑳 =𝝁𝟎𝑵
𝟐𝒂
𝟐𝝅𝒍𝒏
𝑹 + 𝒃
𝑹
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 40
Legge di Ampère – Maxwell
• Applicando la legge di Ampère 𝑩ׯ ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎𝒊 e ricordando che
𝒊 = 𝒊𝒄 + 𝒊𝒔 dove 𝒊𝒔 = 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬
𝒅𝒕è la corrente di spostamento, si ottiene:
LEGGE DI AMPÈRE-MAXWELL
ර𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎 𝒊𝒄 + 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬
𝒅𝒕
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 41
𝚺𝟐
𝒔
𝚺𝟏𝑹
Legge di Ampère – Maxwell
• In assenza di correnti di conduzione (𝒊𝒄), ma in presenza di VARIAZIONI DI
CAMPO ELETTRICO nel tempo, esiste un campo magnetico 𝑩 determinato da
ර𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬
𝒅𝒕=𝟏
𝒄𝟐
𝒅𝚽 𝑬
𝒅𝒕
• 𝒄𝟐 =𝟏
𝝁𝟎𝜺𝟎 velocità della luce nel vuoto
• Relazione dovuta a Maxwell
• Razionalizzazione delle formule dell’elettromagnetismo
Simmetria di comportamento con la legge di Faraday che prevede l’esistenza di
un campo elettrico nei punti ove esistono variazioni di campo magnetico
ර𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 42
Esercizio 8.8
• Un condensatore piano con armature circolari
di raggio 𝑹 è collegato ad un generatore che
stabilisce tra le armature il campo elettrico
𝑬(𝒕) = 𝑬𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕, con
𝑬𝟎 = 𝟏𝟎𝟑 𝑽/𝒎 e 𝝎 = 𝟏𝟎𝟕𝒓𝒂𝒅/𝒔.
Per un generico istante 𝒕, calcolare:
1. Il campo magnetico 𝑩 all’interno del
condensatore in funzione della distanza
𝒓 dall’asse.
2. La f.e.m. indotta in un solenoide
toroidale di raggio medio 𝒓′ = 𝟏𝟎 𝒄𝒎
e area 𝚺′ = 𝟑 𝒄𝒎𝟐 con 𝑵 = 𝟔𝟎𝟎
spire, coassiale alle armature.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 43
𝑬𝒓
𝑩𝑩
Le equazioni di Maxwell
• Nello spazio vuoto, in presenza di cariche 𝒒 e di correnti di conduzione 𝒊,
le equazioni di Maxwell in forma integrale sono date da
ර𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝒒
𝜺𝟎
ර𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕
ර𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 = 𝟎
ර𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎 𝒊 + 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬
𝒅𝒕
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 44
1
2
3
4
Le equazioni di Maxwell
• Nello spazio vuoto, in presenza di cariche 𝒒 e di correnti di conduzione 𝒊,
le equazioni di Maxwell in forma integrale sono date da
ර𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝒒
𝜺𝟎
• Stabilisce il LEGAME tra CARICA ELETTRICA e CAMPO ELETTRICO
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 45
1
Le equazioni di Maxwell
• Nello spazio vuoto, in presenza di cariche 𝒒 e di correnti di conduzione 𝒊,
le equazioni di Maxwell in forma integrale sono date da
ර𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺 =𝒒
𝜺𝟎
ර𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕
• Mostra che un CAMPO MAGNETICO VARIABILE è SORGENTE di un CAMPO
ELETTRICO.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 46
1
2
Le equazioni di Maxwell
• Nello spazio vuoto, in presenza di cariche 𝒒 e di correnti di conduzione 𝒊,
le equazioni di Maxwell in forma integrale sono date da
ර𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺 =𝒒
𝜺𝟎
ර𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕
ර𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 = 𝟎
• Afferma che il CAMPO MAGNETICO è sempre SOLENOIDALE e che quindi
non esistono cariche magnetiche isolate
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 47
1
2
3
Le equazioni di Maxwell
• Nello spazio vuoto, in presenza di cariche 𝒒 e di correnti di conduzione 𝒊,
le equazioni di Maxwell in forma integrale sono date da
ර𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺 =𝒒
𝜺𝟎
ර𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩
𝒅𝒕
ර𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺 = 𝟎
ර𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎 𝒊 + 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬
𝒅𝒕
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 48
1
2
3
4
• Indica le correnti di conduzione e le variazioni del campo elettrico come
sorgenti del CAMPO MAGNETICO
Le equazioni di Maxwell
• Tutte le proprietà generali studiate, comprese quelle dei campi statici, sono
racchiuse nelle leggi di Maxwell.
• La loro soluzione, note le cariche 𝒒 e le correnti 𝒊, fornisce il campo
elettrico e il campo magnetico che agiscono sulla carica di prova 𝒒𝟎. Tale
azione si manifesta con la FORZA DI LORENTZ
𝑭 = 𝒒𝟎 𝑬 + 𝒗 × 𝑩
• Ai campi è associata la DENSITÀ DI ENERGIA ELETTROMAGNETICA
𝒖 =𝟏
𝟐𝜺𝟎 𝑬
𝟐 +𝑩𝟐
𝟐𝝁𝟎
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 49