Post on 28-Feb-2018
7/25/2019 Pr-Clculo Aula 6
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Conversa inicial
Ol! Chegamos ltima aula de Pr-Clculo!
Voc percebeu o quanto j evolumos nessa disciplina? Para completar
o contedo terico dessa disciplina, na aula de hoje vamos tratar de
funes compostas e de funes inversas. Falaremos tambm sobre
ponto de equilbrio.
Assista ao vdeo do professor Ricardo sobre os contedos da aula
acessando o material on-line!
Contextualizando
Em muitos momentos de nossas vidas, precisamos tomar decises, no
campo profissional e tambm no pessoal. Mas voc j parou para
pensar em comotomamos decises?
O processo de tomada de decises segue critrios previamente
estabelecidos. Para comprarmos uma roupa, por exemplo, podemos
estabelecer alguns critrios tais como o modelo, o tamanho e o preo.
Se as trs condies so satisfeitas, concretizamos a compra. Se pelo
menos um desses critrios no estiver de acordo com o esperado, a
compra no realizada.
NVEL Graduao
CURSO Engenharia de Produo
DISCIPLINA Pr-Clculo
M DULO A1 2016
AULA 6
PROFESSOR Prof. Me. Ricardo Zanardini
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claro que os critrios so muitas vezes subjetivos e podem variar de
acordo com quem est tomando a deciso ou de acordo com o contextoem que esses critrios se encontram.
A matemtica pode ser muito til no processo de tomada de decises.
Estudos comprovam que a falta de conhecimento matemtico pode
provocar muitos prejuzos em situaes que envolvem quantidades.
Ao escolhermos uma operadora de telefonia celular, por exemplo,
temos diversos planos disponveis e com preos variados. Vamos supor
que temos dois planos de telefonia celular que mais chamaram a
ateno e que esto de acordo com as expectativas.
O primeiro plano tem uma mensalidade de R$ 39,90 com 50 minutos de
ligaes. Ultrapassando esses 50 minutos, cada minuto adicional tem
um custo de R$ 0,79. O outro plano tem uma mensalidade de R$ 49,90tambm com 50 minutos para ligaes e cada minuto adicional tem um
custo de R$ 0,69.
Se formos utilizar no mximo 50 minutos por ms, o primeiro plano o
mais adequado, pois tem uma mensalidade menor. No entanto, se
ultrapassarmos esses 50 minutos, iremos pagar pelo tempo adicional
de conversa. Mesmo tendo uma mensalidade mais barata, os minutosadicionais do primeiro plano so mais caros do que os do segundo
plano.
Nesse caso, o primeiro plano ser vantajoso at um certo ponto. Depois
disso, o segundo plano ser mais vivel financeiramente.
Mas que ponto esse?
At quantos minutos adicionais o primeiro plano melhor?
A partir de quantos minutos o segundo plano melhor?
Isso e muito mais o que veremos nessa aula!
As funes compostas esto relacionadas a problemas onde temos
grandezas associadas entre si por duas ou mais leis de composio.
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Por exemplo, a receita de uma empresa est associada produo e
essa produo est associada demanda. Nesse caso, podemos dizerque a receita est associada demanda. Conhecendo a relao entre a
receita e a produo e entre a produo e a demanda, possvel
estabelecer a relao que h entre a receita e a demanda. E isso que
veremos a seguir.
Para iniciarmos nossos estudos, vamos assistir ao seguinte vdeo sobre
funes compostas.
https://www.youtube.com/watch?v=P1Y5Sh8sw7A
Podemos dizer, ento, que uma funo composta: f(g(x)) constituda
pelas funes f(u) e g(x) onde substitumos u por g(x) na expresso de
f(u).
A seguir um texto bastante interessante sobre funes compostas.
http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoComposta.aspx
Para entendermos melhor, vamos ver agora um exemplo relacionado
aplicao de funes compostas.
O nvel de monxido de carbono em uma pequena cidade de:
m(p)=0,7p+1
Partes por milho quando a populao corresponde a p mil habitantes.
Estima-se que daqui a t anos, a partir da data atual, a populao ser
de
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p(t)=45+0,2t2mil habitantes.
a) Qual a funo que relaciona o nvel de monxido de carbono com o
tempo?
Nesse caso, temos a relao entre o nvel de monxido de carbono e a
populao, dada por m(p)=0,7p+1 e temos tambm a relao entre a
populao e o tempo, dada por p(t)=45+0,2t2. Precisamos relacionar o
nvel de monxido de carbono com o tempo. Para isso, na funo
m(p)=0,7p+1, vamos substituir a varivel p pela expresso 45+0,2t2,
pois p(t)=45+0,2t2.
m(p(t))=0,7(45+0,2t2)+1
Vamos agora aplicar a lei distributiva, multiplicando 0,7 por 45 e
tambm 0,7 por 0,2t2
m(p(t))=31,5+0,14t2+1
Somando 31,5 com 1, temos
m(p(t))=32,5+0,14t2
Que a relao entre o nvel de monxido de carbono e o tempo.
b) Qual o nvel atual de monxido de carbono?
Sabemos que a relao entre o nvel de monxido de carbono e o
tempo dada por:
m(p(t))=32,5+0,14t2
Para sabermos o nvel atual de monxido de carbono, vamos substituir
a varivel t por 0.
m(p(0))=32,5+0,14(0)2
m(p(0))=32,5+0,14(0)
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m(p(0))=32,5+0
m(p(10))=32,5 ppm
Portanto, o nvel atual de monxido de carbono de 32,5 partes por
milho.
c) Qual ser o nvel de monxido de carbono daqui a 10 anos?
Para determinarmos o nvel de monxido de carbono daqui a 10 anos,
basta substituirmos t por 10 na expresso
m(p(t))=32,5+0,14t2,
O que resulta em
m(p(10))=32,5+0,14(10)2
m(p(10))=32,5+0,14(100)
m(p(10))=32,5+14
m(p(10))=46,5 ppm
Sendo assim, o nvel de monxido de carbono daqui a 10 anos ser de46,5 partes por milho.
Seja as funes f(t)=2t2-5t e t(x)=4x+1. Escreva a funo f(t(x)).
Resoluo:
Sabemos que f(t)=2t2-5t e que t(x)=4x+1. Para encontrarmos f(t(x)),
basta substituirmos 4x+1 no lugar de t na funo f(t)=2t2-5t:
f(t(x))=2(4x+1)2-5(4x+1).
Em primeiro lugar precisamos resolver a potncia (4x+1)2.
f(t(x))=2(16x2+8x+1)-5(4x+1)
Vamos agora efetuar as multiplicaes:
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f(t(x))=32x2+16x+2-20x-5
Somando os termos semelhantes, temos:
f(t(x))=32x2-4x-3
que a funo procurada.
Vamos assistir o professor Ricardo e suas explicaes sobre as
funes compostas? Para isso, acesse o material on-line!
Exemplos com funes compostas
Agora que j sabemos o que so funes compostas, vamos resolver
alguns exemplos relacionados a esse assunto.
O primeiro deles consiste em, dadas duas funes f e g, determinarmos
a funo composta fog.
1. Determine f(g(x)) onde f(u)=3u+5 e g(x)=x2+1.
Substituindo x2+1 no lugar da varivel u, na funo f(u)=3u+5, temos:
f(g(x))=3(x2+1)+5
f(g(x))=3x2+3+5
f(g(x))=3x2+8
O segundo exemplo mostra que possvel utilizarmos o que
aprendemos at aqui para realizarmos a decomposio de funes.
2. Seja 222
121
3
xx
xf , faa, convenientemente, a
decomposio da funo f.
Sabendo que 222
121
3
xx
xf , podemos escrever f(x) como:
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223
uu
uf
Onde 12 xu .
A seguir, dois vdeos apresentando exerccios resolvidos relacionados
s funes compostas.
https://www.youtube.com/watch?v=NKIuiSk4zSs
https://www.youtube.com/watch?v=Dfy6Eov80SY
1. Considere as funes dadas a seguir denotadas por f(x) e g(x).
Determine o domnio destas funes. Determine as expresses
(equaes) das funes compostas (f+g)(x), (f-g)(x), (g-f)(x), (f.g)(x),
(f/g)(x), (g/f)(x), (fog)(x) e (gof)(x) e os domnios destas funes.
a) e
b) e
c) e
Resoluo:
a) Para a funo tem-se: pois no
ocorrem restries nesta funo. Em relao a funo e
ocorre uma raiz de ndice par, fazendo com que no
radicando somente sejam aceitos valores no negativos, ou
ou ainda resultando . As
expresses resultantes e os correspondentes domnios, para as
funes compostas sero:
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(Para a situao de diviso deve-se excluir valores que zerem o
denominador, neste caso x=1 deve ser excludo)
(Para a situao de diviso deve-se excluir valores que zerem o
denominador, neste caso x=0 e x=-3 devem ser excludos, porm estesvalores no pertencem ao domnio de sobreposio das funes
originais, restando ento o domnio informado)
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(O domnio de fog(x) so todos os valores do domnio de g(x) cujo
conjunto imagem contenha os valores do domnio de f(x))
(O domnio de gof(x) so todos os valores do domnio de f(x) cujo
conjunto imagem contenha os valores do domnio de g(x), ou onde
Resolvendo esta inequao tem-se as razes
(frmula quadrtica) calculados como:
Resultando e . Considerando-se que
desejado valores maiores ou iguais a zero, deve-se tomar os intervalos
fora das razes, de forma a obter
b) Considerando as funes e . Para a
funo tem-se: pois no ocorrem restries
nesta funo. Em relao a funo e ocorre uma raiz de
ndice par, fazendo com que no radicando somente sejam aceitos
valores no negativos, ou resultando . As
expresses resultantes e os correspondentes domnios, para as
funes compostas sero:
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(Para a situao de diviso deve-se excluir valores que zerem o
denominador, neste caso x=0 deve ser excludo)
(Para a situao de diviso deve-se excluir valores que zerem o
denominador, neste caso no denominador ocorre a funo exponencial
que NUNCA se anula, restando apenas a observao do numerador
que envolve a radiciao, onde o radicando deve ser no negativo).
(O domnio de fog(x) so todos os valores do domnio de g(x) cujo
conjunto imagem contenha os valores do domnio de f(x). A varivel x
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pode assumir qualquer valor real, ocasionando em valores sempre
positivos, ou seja, o radicando ser sempre positivo que a condio
de existncia de razes de ndice par).
(O domnio de gof(x) so todos os valores do domnio de f(x) cujo
conjunto imagem contenha os valores do domnio de g(x), ou onde:
c) Para a funo tem-se: pois no
ocorrem restries nesta funo. Em relao a funo e
ocorre uma situao de logaritmo, fazendo com que
no logaritmando somente sejam aceitos valores positivos, ou
resultando . As expresses resultantes e os
correspondentes domnios, para as funes compostas sero:
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(Para a situao de diviso deve-se excluir valores que zerem o
denominador, neste caso x=1 deve ser excludo pois o ln(1)=0):
(Para a situao de diviso deve-se excluir valores que zerem o
denominador, neste caso no denominador sempre ocorrero valores
positivos, restando apenas a observao do numerador que envolve o
logaritmo, onde o logaritmando deve ser positivo).
(O domnio de fog(x) so todos os valores do domnio de g(x) cujo
conjunto imagem contenha os valores do domnio de f(x). A varivel x
pode assumir qualquer valor real positivo devido estar no
logaritimando).
(O domnio de gof(x) so todos os valores do domnio de f(x) cujo
conjunto imagem contenha os valores do domnio de g(x), ou seja, so
todos os valores reais):
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Para fixarmos melhor o que aprendemos at aqui, vamos assistir ao
vdeo do professor Ricardo sobre a resoluo de problemas sobre
funes compostas! Para isso, acesse o material on-line!
Funes inversas
Alm das funes compostas, um estudo til e importante sobre
funes inversas. Para podermos determinar a funo inversa de uma
dada funo, precisaremos, primeiro, saber o que so funes injetoras,
sobrejetoras e bijetoras. Para isso, vamos assistir ao vdeo a seguir.
https://www.youtube.com/watch?v=tQ7o3EezYo8
Para sabermos como encontrar a inversa de uma funo, temos um
vdeo bem interessante.
https://www.youtube.com/watch?v=mRIW3fFw3eE
Sabemos que uma funo f relaciona valores de y a partir de certos
valores de x. Mas ser que temos como fazer o processo inverso, ou
seja, conhecendo y, saber qual o valor de x?
?xy
yx
Caso exista essa possibilidade, temos uma situao onde feita ainverso de uma funo. Para podermos determinar a inversa de uma
funo f, essa funo f deve ser bijetora. Mas o que uma funo
bijetora? Uma funo bijetora uma funo que atende a seguinte
condio:
para )()( 2121 xfxfxx e ffCD Im ,
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Ou seja, cada valor de y deve estar associado a um nico valor de x e
todos os valores do contradomnio devem estar associados aoselementos do domnio de f.
Bom, agora que sabemos o que uma funo bijetora, podemos definir
o que uma funo inversa.
Se f uma funo bijetora com domnio A e imagem B, ento f-1(funo
inversa de f) a funo com domnio em B e imagem em A definida por
f-1(b)=a se e somente se f(a)=b.
Podemos visualizar o que uma funo inversa observando a imagem
a seguir.
Se f relaciona s elementos do conjunto A com os elementos do conjunto
B, a inversa f-1 relaciona esses elementos de B com os elementos do
conjunto A. bom ressaltar que nem todas as funes possuem
inversa.
1. Para as funes dadas a seguir, faa a representao grfica eutilize o teste da linha horizontal para verificar se a funo ter
inversa.
a)
b)
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c)
d)
e)
f)
g)
Resoluo: O teste da linha horizontal consiste em imaginar linhas
horizontais para verificar se cortam o grfico em uma nica posio
(funo bijetora que admitir inversa), ou em mais de uma posio
(funo no admitir inversa).
a) Admite inversa
b) Admite inversa
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c) Admite inversa
d) No admite inversa
e) Admite inversa
f) Admite inversa
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g) Admite inversa
Vamos assistir ao professor Ricardo falando um pouco mais sobre as
funes inversas? Acesse o material on-line!
Exemplos relacionados s funes inversas
Em diversas situaes prticas podemos fazer uso das funes
inversas. Por exemplo, se temos o lucro em funo das vendas dado
por
L=1,5x-2000
possvel estimarmos as vendas em funo do lucro:
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5,1
2000
20005,1
20005,1
20005,1
Lx
Lx
Lx
xL
Por exemplo, se o lucro mensal foi de R$ 8.500,00, o nmero de
unidades vendidas foi igual a 7.000, pois
7000
5,1
10500
5,1
20008500
5,12000
x
x
x
Lx
Esse um exemplo da utilizao de funes inversas em situaesreais.
O exemplo nos mostra como podemos determinar a inversa de uma
determinada funo.
Seja1
)(
x
xxf . Determine )(
1xf .
Considerando a funo1
)(
x
xxf , com o intuito de simplificarmos a
notao utilizada, podemos fazer )(xfy . Logo
1
x
xy
Vamos agora escrever y no lugar de x e x no lugar de y
1
y
yx
O nosso objetivo isolar y para que tenhamos a funo inversa. Para
isso vamos multiplicar os dois membros por y+1
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yyx )1(
Multiplicando x por y e x por 1, temos:
yxxy
Subtraindo x e subtraindo y dos dois membros, temos:
xyxy
Vamos agora colocar y em evidncia:
xxy )1(
O prximo passo dividir ambos os membros por x-1:
1
x
xy
Como a varivel x est no numerador com o sinal negativo, podemos
ainda simplificar essa expresso. Para isso, vamos colocar, no
denominador, o sinal negativo em evidncia:
)1(
x
xy
Finalmente, comparando os sinais do numerador e do denominador,
temos a funo inversa dada por:
x
xy
1
Vamos ver agora diversos exemplos de funes e, caso existam, suas
respectivas inversas.
)(xf )(1 xf
15 x 5
1x
1
1
x
x 1
1
x
x
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2x A funo f(x)=x2no possui
nversa, pois f no bijetora.Contra-exemplo: f(2)=4 e f(-
2)=4.
3x 3
x
x
e xln
23 x
3
2,
3
22
x
x
1. Calcule as funes inversas das funes dadas.
a)
b)
c)
d)
e)
Resoluo:
a) Para a funo: faz-se e isolando y
vem ou . A seguir o grfico das duas funes, a
original e a inversa.
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b) Para a funo faz-se e isolando y vem
que a mesma funo original.
c) Para a funo: faz-se e isolando y
vem ou . A seguir os grficos das duas
funes, a original e a inversa:
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d) Para a funo: faz-se e elevando
ao quadrado tem-se e isolando . A seguir os
grficos das duas funes, a original e a inversa:
e) Para a funo: faz-se a troca de variveis
obtendo-se e invertendo as fraes tem-se
que pode ser reescrito ou
. Aplicando mmc no lado esquerdo vem e finalmente
invertendo as fraes tem-se .
Acesse o material on-linee confira a apresentao do professor Ricardo
sobre diversos problemas envolvendo funes inversas!
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Ponto de equilbrio
Estamos chegando ao final dos temas relacionados nossa disciplina
de Introduo ao Clculo. Para finalizarmos, vamos falar sobre ponto de
equilbrio. Matematicamente, quando pensamos em ponto de equilbrio,
estamos pensando em igualdade entre funes. Essas igualdades
podem estar relacionadas a equilbrio entre oferta e demanda, entrereceitas e despesas...
O vdeo a seguir est relacionado ao ponto de equilbrio.
https://www.youtube.com/watch?v=Z-ydL91brmI
Vamos ver agora um exemplo prtico que nos mostra a importncia do
ponto de equilbrio.
Uma empresa comercializa um determinado produto a um preo de R$
50,00. Logo, a receita total dessa empresa consiste em ganhos
relacionados diretamente venda desses produtos. A funo receita
R(x)=50x
Onde R indica a receita total e x indica a quantidade de produtos
comercializados.
Temos ainda que cada produto tem um custo de R$ 30,00 e tambm
que, mensalmente, essa empresa possui custos fixos que totalizam R$
5.000,00. Logo, a funo que associa o custo C com a quantidade de
produtos vendidos x
C(x)=30x+5000.
Para determinarmos o ponto de equilbrio dessa empresa ou, nesse
caso, o nmero de unidades que devem ser vendidas para que essa
empresa consiga pagar os seus custos e tambm qual a receita
referente a esse volume de vendas precisamos escrever uma
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expresso onde a receita R deve ser igual ao custo C e, em seguida,
isolarmos o valor e x.
250
20
5000
500020
50003050
50003050
x
x
x
xx
xx
Com isso, sabemos que a empresa precisa vender 250 unidades do
seu produto para que possa pagar os seus custos.
Vamos agora determinar qual essa receita, em reais.
Como R(x)=50x, R(250)=50(250). Logo, R(250)=12.500. Do mesmo
modo, C(250)=12.500.
Graficamente, o ponto de equilbrio consiste na interseco dos grficos
das funes R(x)=50x e C(x)=30x+5000.
Uma grande empresa pretende terceirizar o servio de manuteno de
computadores e tem dois possveis contratos que esto em anlise. No
primeiro contrato a empresa prestadora de servio cobra uma taxa
mensal de R$ 1.200,00 mais R$ 50,00 para cada computador que
precisou de manuteno. No segundo contrato no h taxa mensal,
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mas o custo por computador que precisou de manuteno de R$
100,00.
Sob o ponto de vista financeiro, qual dos dois contratos mais
vantajoso em relao ao nmero de computadores que precisam
mensalmente de manuteno?
Resoluo:
fA=50x+1200
fB=100x
fA=fB
50x+1200=100x
50x-100x=-1200
-50x=-1200 x(-1)
50x=1200
x=1200/50
x=24
Para at 24 computadores mensais, o contrato B mais vantajoso.
Para 24 computadores ou mais por ms, o contrato A mais vantajoso.
No material on-line, o professor Ricardo aborda os principais contedos
relacionados ao ponto de equilbrio. No deixe de acessar!
Aplicaes
Vamos agora ver que podemos utilizar os conhecimentos adquiridos
para que possamos tomar decises em problemas reais.
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Como exemplo, vamos considerar uma empresa de planos de sade
que oferece duas opes para os seus clientes:
Plano A: mensalidade de R$ 100,00 mais R$ 50,00 por consulta.
Plano B: mensalidade de R$ 150,00 mais R$ 25,00 por consulta.
Supondo que as demais coberturas tais como exames, cirurgias,
internamentos e atendimentos de emergncia so iguais para os dos
planos, qual o plano que mais se adapta s caractersticas de umdeterminado cliente, em funo do nmero de consultas mensais?
Para que possamos determinar qual a melhor escolha, vamos,
primeiro, escrever as funes que relacionam o valor mensal a ser pago
pelo cliente com o nmero de consultas realizadas. Para isso, basta,
para cada plano, multiplicarmos o valor de cada consulta por x, que
corresponde ao nmero de consultas por ms e, em seguida,
somarmos esse valor ao preo da mensalidade, que constante.
A: f(x)=50x+100
B: g(x)=25x+150
Para determinarmos o ponto de equilbrio, vamos igualar as funes f e
g e em seguida determinar o valor de x.
2
25
50
5025
1001502550
1502510050
x
x
x
xx
xx
Chegamos concluso que o ponto de equilbrio ocorre quando x
igual a 2, ou seja, quando temos duas consultas por ms os dois panos
tm o mesmo custo para o cliente. Precisamos agora determinar qual
plano financeiramente mais vantajoso para quem tem, em mdia, at
duas consultas por ms e para quem tem mais do que duas consultas
mensais.
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O plano que tem uma mensalidade menor mais vantajoso para quem
tem poucas consultas por ms, ou seja, o plano A mais vantajosopara at duas consultas mensais. Por outro lado, o plano B mais
vantajoso para mais do que duas consultas mensais, pois esse
apresenta um valor menor por consulta, mesmo tendo uma
mensalidade maior do que a mensalidade cobrada pelo plano A.
Graficamente, temos a seguinte situao:
O valor a ser pago, tanto no plano A quanto no plano B, para duas
consultas corresponde a R$ 200,00. Para chegarmos a esse valor,
basta substituirmos x por 2 na funo f(x)=50x+100 ou na funo
g(x)=25x+150.
Podemos entender melhor essa aplicao assistindo ao vdeo do
professor Ricardo no material on-line!
Na prtica
Lembra-se do problema colocado no incio da aula?
Precisamos decidir sob o ponto de vista financeiro qual dos dois
planos de telefonia celular mais vivel. Sabemos que o primeiro plano
tem uma mensalidade de R$ 39,90 e que cada minuto adicional tem um
custo de R$ 0,79.
O segundo plano tem uma mensalidade de R$ 49,90 e cada
minuto adicional custa R$ 0,69.
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Como o primeiro plano tem uma mensalidade menor, mais
vivel para poucos minutos adicionais. O segundo plano tem um customenor por minuto adicional.
Logo, at quantos minutos adicionais o primeiro plano melhor?
A partir de quantos minutos o segundo plano melhor?
Resoluo
Para podermos resolver esse problema, precisamos encontrar o ponto
de equilbrio, que o ponto onde os custos mensais dos dois planos
so iguais para um certo nmero de minutos adicionais.
Primeiro, vamos escrever a funo que relaciona o custo total do
primeiro plano com o nmero de minutos adicionais:
y=0,79x+39
Onde y o custo total por ms e x o nmero de minutos adicionais.
Em relao ao segundo plano, a funo que relaciona o custo mensal y
com os minutos adicionais x dada por:
y=0,69x+49
Podemos encontrar o ponto de
equilbrio igualando as duas funes:
0,79x+39=0,69x+49
Agora precisamos colocar no
primeiro membro os termos que
contm a varivel x e no
segundo membro os termos
independentes:
0,79x-0,69x=49-39
Efetuando as subtraes, temos: 0,1x=10
Dividindo ambos os membros por 0,1,
temos:
0,1x/0,1=10/0,1
Logo: x=100
7/25/2019 Pr-Clculo Aula 6
29/29
Portanto, o valor de x que iguala o custo dos dois planos 100, ou seja,
at 100 minutos adicionais o primeiro plano mais vantajoso e a partirde 100 minutos adicionais o segundo plano mais vantajoso. Observe
que nesse caso no estamos considerando outros planos, mas
poderamos comparar esse resultado com planos de 100 ou mais
minutos para verificar o que mais vantajoso.
Sntese
Chegamos ao final da ltima aula de Pr-Clculo!
Nessa aula tratamos de funes compostas e de funes inversas.
Vimos que elas podem ser muito teis na resoluo de problemas
prticos. Tratamos tambm de ponto de equilbrio e da importncia
desse tema no processo de tomada de decises.
Para saber mais, a sugesto a leitura dos captulos 13 e 14 da obra
Pr-Clculo dos autores Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D.
Foley e Daniel Kennedy, 2a edio, editora Pearson, disponvel na
Biblioteca Virtual.
At uma prxima vez!
Referncias
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pr-
Clculo. 2aEd,So Paulo, Pearson, 2013.