Post on 17-Sep-2018
Ordnungsrelationen in RN
PräferenzordnungenNutzenfunktionen
Stetigkeit von Relationen
Präferenzen
Klaus Schindler
MLathematik
ehrstab0 Universität des SaarlandesFakultät 1
http://www.mathe.wiwi.uni-sb.de
Advanced Quantitative Methods for EconomistsWS 2014/2015
Klaus Schindler Kapitel 2
Ordnungsrelationen in RN
PräferenzordnungenNutzenfunktionen
Stetigkeit von Relationen
OrdnungLexikographische Ordnung
Ordnung
Definition:Für Vektoren x=(x1, . . . , xN) und y=(y1, . . . , yN) des RN definiere
y > x ⇐⇒ ∀k : yk > xk
y � x ⇐⇒ ∀k : yk > xk
Bemerkung:(y>x) ∧ (y 6=x) ⇐⇒
(∀k : yk>xk
)∧
(∃` : y>x`
)
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PräferenzordnungenNutzenfunktionen
Stetigkeit von Relationen
OrdnungLexikographische Ordnung
Lexikographische Ordnung
Definition:Für Vektoren x und y des RN definiere y < x, falls gilt(x=y) oder die erste von Null verschiedene Komponente von y−xist positiv.
Bemerkung:„<“ ist eine Totalordnung in RN , die als lexikographische Ordnungbezeichnet wird.
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PräferenzordnungenNutzenfunktionen
Stetigkeit von Relationen
Rationale PräferenzenMonotone und streng monotone PräferenzenLokal nicht gesättigte PräferenzenKonvexe PräferenzenHomothetische Präferenzen
Rationale PräferenzenIm Folgenden bezeichne X ⊂ RN
+ die Menge sämtlicherGüterbündel („Alternativen“).
Eine Relation „<“ in X heißt rationale Präferenzrelation, wenn sievollständig und transitiv ist.Man definiert daraus die Relationen der Indifferenz ∼ und derstrikten Präferenz � durch
y ∼ x ⇐⇒ (y<x) ∧ (x<y)y � x ⇐⇒ (y<x) ∧ (x�y)
Für jedes x∈X definiert man die Indifferenzmenge und die oberebzw. untere Konturmenge (Besser- bzw. Schlechtermenge) durch{
y∈X | y∼x} {
y∈X | y<x} {
y∈X | y4x}
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Stetigkeit von Relationen
Rationale PräferenzenMonotone und streng monotone PräferenzenLokal nicht gesättigte PräferenzenKonvexe PräferenzenHomothetische Präferenzen
Manchmal ist es plausibel, dass größere Güterbündel kleinerenGüterbündeln vorgezogen werden.
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Stetigkeit von Relationen
Rationale PräferenzenMonotone und streng monotone PräferenzenLokal nicht gesättigte PräferenzenKonvexe PräferenzenHomothetische Präferenzen
Monotone Präferenzen
Eine Relation „<“ in X heißt
monoton, wenn für alle x∈X gilt
y � x =⇒ y<x
streng monoton, wenn für alle x∈X gilt
(y>x) ∧ (y 6=x) =⇒ y<x
Bemerkung: Strenge Monotonie impliziert Monotonie!In der Literatur sind teilweise leicht unterschiedliche Definitionender Monotonie zu finden!
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Stetigkeit von Relationen
Rationale PräferenzenMonotone und streng monotone PräferenzenLokal nicht gesättigte PräferenzenKonvexe PräferenzenHomothetische Präferenzen
Wenn es „Goods“ gibt, die „Bads“ sind, kann keine monotonePräferenz vorliegen. In diesem Fall bietet sich statt der Monotonieein schwächerer Begriff an.
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Rationale PräferenzenMonotone und streng monotone PräferenzenLokal nicht gesättigte PräferenzenKonvexe PräferenzenHomothetische Präferenzen
Lokal nicht gesättigte Präferenzen
Eine Relation „<“ in X heißt lokal nicht gesättigt, wenn gilt
∀x∈X ∀ε>0 ∃y∈Uε(x) : y � x
Bemerkung:Jede monotone Relation ist lokal nicht gesättigt!„Dicke“ Indifferenzmengen, deren Inneres (!) nicht leer ist,sind nicht verträglich mit lokaler Nichtsättigung!
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Rationale PräferenzenMonotone und streng monotone PräferenzenLokal nicht gesättigte PräferenzenKonvexe PräferenzenHomothetische Präferenzen
Bei der Konvexität von Präferenzen beschäftigt man sich mit derFrage nach trade-offs zwischen verschiedenen Gütern(Alternativen).
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Rationale PräferenzenMonotone und streng monotone PräferenzenLokal nicht gesättigte PräferenzenKonvexe PräferenzenHomothetische Präferenzen
Konvexe Präferenzen
Eine Relation „<“ in X heißt konvex, wenn für jedes x∈X dieobere Konturmenge von x konvex ist, d.h.
(y<x) ∧ (z<x) =⇒ ∀α∈[0, 1] : α·y + (1−α)·z < x
Eine Relation „<“ in X heißt streng konvex, wenn für jedesx∈X gilt
(y<x)∧ (z<x)∧ (y 6=z) =⇒ ∀α∈]0, 1[: α·y + (1−α)·z � x
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Rationale PräferenzenMonotone und streng monotone PräferenzenLokal nicht gesättigte PräferenzenKonvexe PräferenzenHomothetische Präferenzen
In Anwendungen (vor allem in der Ökonometrie) konzentriert mansich häufig auf Präferenzen, bei denen es möglich ist, die gesamtePräferenzrelation aus einer einzigen Indifferenzmenge abzuleiten.
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Homothetische Präferenzen
Eine Relation „<“ in X heißt homothetisch, wenn sich alleIndifferenzmengen durch proportionale Entwicklung in Richtungvon Ursprungsgeraden ergeben, d.h.
(y ∼ x) =⇒ ∀α∈R+ : α·y ∼ α·x
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PräferenzordnungenNutzenfunktionen
Stetigkeit von Relationen
Aus Gründen der Optimierung ist es optimal, Präferenzordnungenmittels einer Nutzenfunktion u darzustellen. Ist diese sogardifferenzierbar stehen dann sogar alle Optimierungsmethoden derDifferentialrechnung zur Verfügung.
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Stetigkeit von Relationen
Repräsentierende Nutzenfunktion
Eine Funktion U : X → R heißt repräsentierende Nutzenfunktionder Präferenzordnung „<“, falls
∀x,y∈X : x<y ⇐⇒ U(x)>U(y)
Bemerkung:Insbesondere folgt:
(x∼y) ⇐⇒ U(x)=U(y)(x�y) ⇐⇒ U(x)>U(y)
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Stetigkeit von Relationen
Lexikographische Ordnung und NutzenfunktionDie lexikographische Ordnung im RN besitzt keinerepräsentierende Nutzenfunktion U!Beweis: Indirekt, wobei o.E. N=2 und X=RNgelte.Nach Definition der lexikographischen Ordnung müsste für Ugelten
∀x∈R : U(x , 2) > U(x , 1)
Wähle für jedes x∈R eine rationale Zahl r(x)∈Q mit
U(x , 2) > r(x) > U(x , 1)
r : R→ Q ist streng mowa, denn für y > x gilt
U(y , 2) > r(y) > U(y , 1) > U(x , 2) > r(x) > U(x , 1)
Also ist r injektiv im Widerspruch zur Überabzählbarkeit von R.Klaus Schindler Kapitel 2
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PräferenzordnungenNutzenfunktionen
Stetigkeit von Relationen
Konturmengen und NutzenfunktionenHomothetische und monotone NutzenfunktionenQuasikonkave Nutzenfunktionen
Stetigkeit von RelationenEine Relation „<“ in X heißt stetig, wenn sie „verträglich“ bzgl.Grenzwertbildung ist, d.h. ist (xn,yn) eine Folge in X mit
1) ∀n∈N : xn < yn 2) limn→∞
(xn,yn) = (x,y)
so gilt auch x < y
Bemerkung:1 Beachte Analogie zu Grenzwerten in RN , d.h.
xn > yn =⇒ limn→∞
xn > limn→∞
yn
2 Die lexikographische Ordnung ist unstetig, denn es gilt
( 1n , 0) � (1, 0), aber lim
n→∞( 1
n , 0) = (0, 0) ≺ (1, 0)
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Konturmengen und NutzenfunktionenHomothetische und monotone NutzenfunktionenQuasikonkave Nutzenfunktionen
Stetigkeit und Konturmengen
Satz:„<“ ist genau dann stetig, wenn alle oberen und unterenKonturmengen topologisch abgeschlossen sind.
Beweis:„ =⇒ “: Gilt yn < x bzw. yn 4 x, so folgt aus der Stetigkeit
limn→∞
yn < x bzw. limn→∞
yn 4 x
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Stetigkeit von Relationen
Konturmengen und NutzenfunktionenHomothetische und monotone NutzenfunktionenQuasikonkave Nutzenfunktionen
Anforderungen an die Präferenzordnung wirken sich auf dierepräsentierende Nutzenfunktion aus!
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PräferenzordnungenNutzenfunktionen
Stetigkeit von Relationen
Konturmengen und NutzenfunktionenHomothetische und monotone NutzenfunktionenQuasikonkave Nutzenfunktionen
Eigenschaften von Nutzenfunktionen
Zu jeder stetigen Präferenzordnung „<“ existiert eine stetigerepräsentierende Nutzenfunktion.Eine stetige Präferenzordnung „<“ ist genau dannhomothetisch, wenn eine repräsentierende Nutzenfunktionexistiert, die homogen vom Grad 1 ist.Ist die Präferenzordnung „<“ monoton, so ist jederepräsentierende Nutzenfunktion U monoton, d.h.
x > y =⇒ U(x) > U(y)
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Konturmengen und NutzenfunktionenHomothetische und monotone NutzenfunktionenQuasikonkave Nutzenfunktionen
Quasikonkave/konvexe Funktionen
Sei f : X → R eine Funktion auf einer konvexen Menge X .
f heißt quasikonkav, wenn alle oberen Konturmengen konvexsind, d.h. wenn gilt
∀t∈R :{x∈X | f(x)>t
}ist konvex
f heißt quasikonvex, wenn alle unteren Konturmengen konvexsind, d.h. wenn gilt
∀t∈R :{x∈X | f(x)6t
}ist konvex
Satz: „<“ ist genau dann konvex, wenn jede repräsentierendeNutzenfunktion quasikonkav ist.
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PräferenzordnungenNutzenfunktionen
Stetigkeit von Relationen
Konturmengen und NutzenfunktionenHomothetische und monotone NutzenfunktionenQuasikonkave Nutzenfunktionen
Quasikonkave/Quasikonvexe Funktionen
Satz:Sei f : X → R eine Funktion auf einer konvexen Menge X .
f ist genau dann quasikonkav, wenn gilt
∀x,y∈X ∀α∈[0, 1] : f(αx + (1−α)y
)> min
{f(x),f(y)
}f ist genau dann quasikonvex, wenn gilt
∀x,y∈X ∀α∈[0, 1] : f(αx + (1−α)y
)6 max
{f(x),f(y)
}
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PräferenzordnungenNutzenfunktionen
Stetigkeit von Relationen
Konturmengen und NutzenfunktionenHomothetische und monotone NutzenfunktionenQuasikonkave Nutzenfunktionen
Eigenschaften
Satz:f : X → R quasikonkav ⇐⇒ −f quasikonvex
Jede konkave Funktion ist quasikonkav und jede konvexeFunktion ist quasikonvex.
Jede monotone Funktion in einer Variablen ist quasikonkavund quasikonvex.
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Stetigkeit von Relationen
Konturmengen und NutzenfunktionenHomothetische und monotone NutzenfunktionenQuasikonkave Nutzenfunktionen
Aufgaben
1 Erläutere die Unterschiede zwischen quasikonvex und konvexbzw. quasikonkav und konkav.
2 Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen fi : R→ R konvex,quasikonvex, konkav oder quasikonkav sind.
i) f1(x)=x4 ii) f2(x)=x5 iii) f3(x)=−x6 iv) f4(x)= e(−x2)
3 Untersuchen Sie, ob f : R2 → R mit f(x1, x2) := e−(x21 +x2
2 )
konvex, quasikonvex, konkav oder quasikonkav ist.
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