Post on 02-May-2015
Potenziale Coulombiano
Atomo monoelettronico >>>> Idrogeno
Bohr >>>> Livelli energetici
Conferma dall’equazione di Schroedinger Mancano le funzioni d’onda
Le orbite di Bohr non compatibili con il principio di indeterminazione
Il momento angolare orbitale non è inserito nel giusto contesto
Non è previsto lo spin
Rate di transizione tra i livelli
Problema a due corpi si riduce ad un solo corpo con massa ridotta (+ moto del centro di massa/atomo)
Eq di Schroedinger per l’atomo monoelettronico
x
yarctg
r
yx
zyxr
rz
ry
rx
22
222
arcsin
cos
sinsin
cossin
V(r) Potenziale centrale
Coordinate sferiche
r
f
r
xrf
rx
rrf
x
)()(
x
yarctg
r
yx
zyxr
rz
ry
rx
22
222
arcsin
cos
sinsin
cossin
r
f
r
x
xrf
xxrf
x)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
11
11
r
f
r
x
r
x
r
f
rr
x
r
f
x
r
r
x
r
f
rr
xr
f
r
x
r
f
r
x
rx
r
f
rr
f
r
x
x
Analogamente per y e z
2
2
2
222
2
2222 1
3)(r
f
r
zyx
r
f
rr
zyxrf
r
fr
rrr
f
rr
r
f
r
r
rr
f
r
r
r
f
r
r 22
22
22
2
2
2
2
1)(12
Separazione delle variabili
L’espressione del gradiente quadro si complica con il cambio di variabile ma abbiamo la possibilità di una separazione di variabili
Cominciamo dalla . Moltiplichiamo tutto per e così possiamo isolare R
r2
22 sin2
11
Rimane
Il problema è di risolvere queste equazioni
33
22
11
Soluzioni delle equazioni a variabili separate
Abbiamo però introdotto due parametri ml e l
Cominciamo ad esaminare la prima equazione. E’ facile verificare che la soluzione é:
Bisogna tenere conto del requisito che la funzione d’onda deve essere a singolo valore. Questo impone una condizione sui valori che ml può assumere
,...2,1,0)2()0( lm
limeconst )(
l
l
imm e )(
Soluzioni delle equazioni a variabili separate
Passiamo ora alla equazione nell’altra variabile angolare
Il requisito che la funzione d’onda deve essere limitata impone una condizione sui valori che l può assumere ovvero i valori positivi
Funzioni associate di Legendre
Flm Polinomi di Legendre
lm ,...,1,0
Soluzioni delle equazioni a variabili separate
Passiamo infine alla equazione nella variabile radiale che scriviamo, per comodità, in unità atomiche HEEEarrr '' 0
00
2
220
4
2
20
0 44
4
a
emeH
mea
E’ facile verificare che vale la sostituzione:
'
1
0 rar
20
2
22
2)1(
)4(
21
r
RllR
r
ZeE
m
dr
dRr
dr
d
r
22
2)1(2
1
r
RllR
r
ZE
dr
dRr
dr
d
r
22
2
)1(2r
PllP
r
ZE
dr
Pd
)()( rrRrP
Soluzione dell’equazione d’onda radiale
Eq unidimensionale con un termine di potenziale apparente in più. Come possiamo interpretare questo termine?
2
22
22
2
2222
2
1
2
)(
22
)(
222 r
Lp
mI
I
m
p
mr
rp
m
p
m
p
m
pE r
rrrlrcin
02
)1(2
22
2
Pr
ll
r
ZE
dr
Pd
riprL ˆˆˆ )1(ˆ 22 llL
Operatore momento angolare orbitale L
mLz ˆ
Soluzione dell’equazione d’onda radiale
Problema radiale identico ad un problema unidimensionale con energia
potenziale
02
)1(2
22
2
r
ll
r
ZE
dr
Pd
22
)1(
r
ll
r
Z
L’intervallo in cui l’energia cinetica
è positiva aumenta con
l’aumentare di n
22
42
2
2
2 nmeZ
Hn
ZEn
kkln 1
kknl 1
Soluzione dell’equazione d’onda radiale
02
)1(2
22
2
r
ll
r
ZE
dr
Pd
22
42
nmeZ
En
002
)1(22
2
rPr
ll
dr
Pd ll rrrP ,)( 1 x
rPEdr
Pd02
2
2rEerP 2)(
n
ZrLe
n
Zr
lnn
ZlnrP l
lnnZr
l
nl
22
!
)!1()( 12
1
32
polinomi di Laguerre di grado (a-b)
baL
Nel mezzo la funzione si comporta in modo genericamente oscillante
2210
21)( rArAAerrP rEl
Il polinomio deve arrestarsi ad una potenza finita in modo da non interferire con l’esponenziale. Sostituendo si ottiene la condizione di quantizzazione dell’energia
22
42
nmeZ
En
n
ZrLe
n
Zr
lnn
ZlnrP l
lnnZr
l
nl
22
!
)!1()( 12
1
32
La densità di carica radiale è data da R2 per il volume racchiuso tra r e r+dr, ovvero
drrdreP
dreRrdVeRrdQ r
)(4
4)(2
222
Per grandi r il limite del moto classico dipende dall’energia totale e quindi dal numero quantico principale n
Tanto maggiore n tanto più estesa è l’orbita classica (energia cinetica positiva).
Per r→∞ la P(r) va come .
Si trova quindi che il raggio misurato in unità atomiche è dato da n2/Z
n
zrner
Componente angolare della funzione d’onda Armoniche sferiche
immllm eP
ml
mllY
mm
cos!
!12
4
)1(),( 21
2)(
l = 0, s
1, p
2, d
3, f
4, g