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FUNÇÕES
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
3818026/02/2009
3818327/02/2009
3823125/02/2009
3871420/02/2009
3973019/02/2009
3967418/02/2009
3984617/02/2009
4184116/02/2009
4167313/02/2009
4050012/02/2009
4084511/02/2009
4120710/02/2009
4210009/02/2009
4275506/02/2009
4110805/02/2009
4012904/02/2009
3974603/02/2009
3866602/02/2009
IBOVESPA (fechamento)DATA
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
DEFINIÇÃO
Uma grandeza y é uma função de uma outra grandeza x se a cada valor
de x estiver associado um único valor de y.
Neste caso:
• y é o valor da função ou a variável dependente;
• x é o argumento ou a variável independente;
• f é o nome da função.
O domínio de uma função é o conjunto de valores da variável
independente e a imagem é o conjunto correspondente de valores da
variável dependente.
Escrevemos: )(xfy =
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
347
316
285
254
223
192
161
BA
Tabelas
Fórmulas
133 += BA
Gráficos
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
A
B
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES LINEARES
Resistor ideal
IIfVB .212)( +==
225
204
183
162
141
120
VBI
0 1 2 3 4 5 610
12
14
16
18
20
22
24
I
Vb
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES LINEARES
Uma função linear tem a forma:
Seu gráfico é uma reta onde
•m é a inclinação, ou a taxa de variação de y em relação a x;
•b é a interseção vertical, ou o valor de y quando x é zero.
mxbxfy +== )(
Pode-se calcular m da seguinte forma:
21
21 )()(
xx
xfxfm
−−
=
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Escala musical
830,61G#
587,33D
622,25D#
659,26E
698,46F
739,99F#
880,00A (8va)
783,99G
554,37C#
523,25C
493,88B
466,16A#
440,00A (ref)
F0 (Hz)Nota
0595,1440
16,466#==
A
A
0595,116,466
88,493
#==
A
B
0595,188,493
25,523==
B
C
...
1)0595,1(0595,1.# AAA ==
2)0595,1(0595,1#. AAB ==
3)0595,1(0595,1. ABC ==
...
120 2.4400595,1.440)(
n
nnfF ===
Onde n é o número de semi-tons de distância que a
nota está do A de referência
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Escala musical
120 2.4400595,1.440)(
n
nnfF ===
-30 -20 -10 0 10 20 30 400
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Número de semi-tons acima do A de referência
Hz
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Decaimento do Pu-238
6,25%325
12,5%264
25%176
50%88
100%0
Quantidade relativa de Pu-238
Anos
88
02
1)(
t
QtfQ
==
-100 0 100 200 300 400 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (tempo em anos)
Quantidade relativa de Pu-238
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
y é uma função exponencial de x com base a (a>0 e a≠1) se:
onde y0 é a quantidade inicial (quando x = 0) e a é o fator pelo qual y varia
quando x cresce em 1 unidade.
• a>1 significa crescimento exponencial;
• 0<a<1 significa decaimento exponencial.
xayxfy 0)( ==
Forma alternativa:xx ryayy )1(00 +==
• r > 0 representa crescimento
• -1 < r < 0 representa decaimento
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
x
x
aa
aa
a
1
1
1
1
0
=
=
=
−
−
xx aa
aa
aa
=
=
=
1
33
1
2
1
( ) txtx
tx
t
x
txtx
aa
aa
a
aaa
.
.
=
=
=
−
+
Definições e regras
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
0 1 2 3 4 5 6 70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
a = 1,5
a = 2
a = 3
a = 5
a = 10
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a = 0,95
a = 0,9
a = 0,8
a = 0,5
a = 0,1
Graficos para diferentes valores de a
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
POTÊNCIAS
Em geral uma (função) potência tem a forma:
onde k e p são constantes quaisquer.
pkxxfy == )(
Exemplos
•área (A) de um quadrado de lado l:
•Volume (V) de uma esfera de raio r:
( ) 2llfA ==
( ) 3.3
4rrfV π==
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
POTÊNCIAS
Potências inteiras e positivas: y = x, y = x2, y = x3, ...
-2 -1 0 1 2-10
-5
0
5
10
x1
x3
x5
Potências ímpares
-2 -1 0 1 2-5
0
5
10
15
x1
x3
x5
Potências pares
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
POTÊNCIAS
Potências zero, inteiras negativas e fracionárias positivas
-5 0 5-5
0
5
x0
1/x
1/x2
Potências zero e inteiras
negativas
xxy
11 == −2
2 1
xxy == −
e
Potências fracionárias positivas
xxy == 2
1
e33
1
xxy ==
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
x(1/10)
x(1/3)
x(1/2)
x
x(3/2)
x2
x3
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
-50 0 50 100-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
5
x3
50x2
POTÊNCIAS
O efeito dos coeficientesComparação entre uma função
exponencial e uma potência
0 2 4 6 8 10 120
500
1000
1500
2000
2500
3000
x3
2x
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES INVERSAS
550
440
330
220
110
00
f(VR) = IRVR
Resistor ideal
( )RR VfI =
505
404
303
202
101
00
f -1(IR) = VRIR
( )RR IfV 1−=
que é
equivalente a
Para funções que apresentam inversa:
significaxyf =−)(
1 yxf =)(
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES INVERSAS
Condição necessária para uma função ter inversa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
Uma função admite inversa se, e somente se, seu gráfico corta qualquer
reta horizontal no máximo uma vez.
( ) 210100 axxfy −==
Esta função não
apresenta inversa
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
LOGARITMOS
População de Curitiba
85,10 =P• População atual é de 1,85 milhões;
• Taxa de crescimento de 2% ao ano;
• Quando Curitiba terá 2,5 milhões de habitantes?
( )tPtfP 02,1)( 0==
5,2=P
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 54,202,1.85,102,1
49,202,1.85,102,1
75,202,1.85,102,1
26,202,1.85,102,1
1616
0
1515
0
2020
0
1010
0
≅==
≅==
≅==
≅==
PP
PP
PP
PP
Daqui pouco mais de
15 anos.
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
LOGARITMOS
A função logaritmo, logax, é definida como sendo a inversa da função
exponencial ax. Dizemos que:
Chamamos o a de base do logaritmo.
cxa =log significa xac =
• Bases comuns: 10 (log10x ou log(x)), e (logex ou ln(x)), 2 (log2x)
• O logaritmo não está definido para x ≤ 0;
• log10x em outras palavras: O logaritmo de x na base 10 é a potência
de 10 que se precisa para obter x.
( )
BAB
A
BAAB
logloglog
logloglog
−=
+= ( )( ) x
ApA
x
p
=
=
10log
loglog
01log
10log
=
= xx
Regras:
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
LOGARITMOS
Logaritmos e exponenciais
-2 0 2 4 6 8 10-2
0
2
4
6
8
10
10x
2x
log2x
log10x
Logaritmos e potências
0 2 4 6 8 10-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x1/3
log(x)
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
O NÚMERO e E O LOGARITMO NATURAL
Juros compostos
• 12% de juros ao ano com capitalização anual:
M = C.(1 + 0,12)1 = C.(1,12)1 após um ano;
M = C.(1 + 0,12)2 = C.(1,12)2 após dois anos;
M = C.(1 + 0,12)t = C.(1,12)t após t anos.
• 12% de juros ao ano com capitalização trimestral:
M = C.(1 + 0,12/4)4 = C.(1,03)4 após um ano;
M = C.(1 + 0,12/4)8 = C.(1,12)8 após dois anos;
M = C.(1 + 0,12/4)4t = C.(1,12)t após t anos.
(1,03)4 ≈ 1,1255 > 1,12
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
O NÚMERO e E O LOGARITMO NATURAL
Juros compostos
E se a freqüência de capitalização for ainda maior?
• 100 vezes por ano: (1 + 0,12/100)100 ≈ 1,12741574
• 1000 vezes por ano: (1 + 0,12/1000)1000 ≈ 1,127488734
• 10000 vezes por ano: (1 + 0,12/10000)10000 ≈ 1,12749604
E o número e?
• Para um número n muito grande: 12,012,01 e
n
n
→
+
Obs.: e ≈ 2.7182818284590455
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
O NÚMERO e E O LOGARITMO NATURAL
ln(x) é a potência de e necessária para se obter x
cxx e == logln significa xec =
Assumindo que: e portanto:
Podemos escrever:
Logo, qualquer função exponencial pode ser escrita como:
onde y0 é a quantidade inicial, k é uma constante positiva (k>0) para
crescimento exponencial e negativa (k<0) para decaimento exponencial.
Dizemos que y está crescendo (ou decaindo) a uma taxa contínua k.
kea = ( )ak ln=
( ) kxxkx eyeyayy 000 ===
kxeyy 0=
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
EXPANSÃO, TRANSLAÇÂO E SOMA DE FUNÇÕES
Expansão
-5 0 5-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
y = f(x)
y = -2f(x)
y = 3f(x)
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
EXPANSÃO, TRANSLAÇÂO E SOMA DE FUNÇÕES
Translação
-10 -5 0 5 100
50
100
150
x
y
y = x2
(y - 50) = x2
-10 -5 0 5 10 150
20
40
60
80
100
x
y
y = x2
y = (x - 5)2
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
Soma
EXPANSÃO, TRANSLAÇÂO E SOMA DE FUNÇÕES
0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
x
y
y = 1/x
y = x2
y = 1/x + x2
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES COMPOSTAS
Derramamento de petróleo
• A área (circular) é função do raio:
• O raio é função do tempo:
• A área em função do tempo é dada por substituição:
Dizemos que A é uma função composta ou uma “função de uma
função” que é denotada por:
( ) 2.rrfA π==
( ) )1( +== ttgr
22)1(. +== trA ππ
( )( ) ( )( ) ( )221+=== ttgtgfA ππ
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
-10 -5 0 5 100
20
40
60
80
100
x
y
y = x2
Função par
-10 -5 0 5 10-1000
-500
0
500
1000
x
y
y = x3
Função ímpar
Em geral, para qualquer função f:
• f é uma função par se f(-x) = f(x) para todo x;
• f é uma função ímpar se f(-x) = -f(x) para todo x.
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES PERIÓDICAS
Eletrocardiograma de uma pessoa saudável
1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05
x 104
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Nota “lá” de um contrabaixo elétrico
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES PERIÓDICAS
Uma função é dita periódica se ela se repetir em intervalos constantes, ou
seja:
p é o período da função periódica, ou seja, o intervalo necessário para que
a função se repita. Em outras palavras, f(x) se repete de “p em p”.
( ) ( ) ( ) ( ) ...32 ++=+=+== xpfxpfxpfxfy
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Corrente alternada
Tensão em uma tomada de 127V
e 60Hz
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-180
0
180
tempo(s)
tensão (V)
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Círculo unitário e radianos
Um radiano é definido como o ângulo central, no círculo unitário,
correspondente a um arco de comprimento 1, medido no sentido anti-
horário.
Obs.: 180º = π radianos ; π ≈ 3.1415926535897931
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Seno e co-seno
1cossin 22 =+ θθ
-15 -10 -5 0 5 10 15-1
0
1
x
y
y = sen(x)
y = cos(x)
• P é definido pelo ângulo θ;
• Seno é a projeção de P no eixo y;
• Coseno é a projeção de P no eixo x;
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TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Seno e co-seno
A amplitude de uma oscilação é a
metade da distância entre os valores
máximo e mínimo
-3pi -5pi/2 -2pi -3pi/2 -pi -pi/2 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 5pi/2 3pi-1
0
1
x
y
y = sen(x)
y = cos(x)
Observe que ambas são
funções periódicas.
Além disso:
( ) ( )2cos π+= xsenx
( ) ( )2cos π−= xxsen
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
Para descrever quaisquer períodos e amplitudes, usamos funções da
forma:
A é a amplitude e 2π/B é o período.
Para representar defasamentos (deslocamentos no eixo x) basta substituir
x por (x – d), onde d é o ângulo de defasagem.
d > 0 desloca a função para a direita, enqaunto d < 0 a desloca para a
esquerda.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
( ) ( )BxAsenxfy == e ( ) ( )BxAxfy cos==
19
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Tangente
A função tangente é definida como sendo:
( ) ( )( )xxsen
xtgcos
=
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Funções trigonométricas inversas
Para -1 ≤ y ≤ 1 e -π/2 ≤ x ≤ π/2
( ) xyarcsen = ( ) yxsen =significa
Para -1 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ π
Para -π/2 ≤ x ≤ π/2
( ) xy =arccos ( ) yx =cossignifica
( ) xyarctg = ( ) yxtg =significa
20
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
Funções trigonométricas inversas
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
( )xarcseny =
( )xarctgy =
( )xy arccos=
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Funções polinomiais apresentam a seguinte forma:
• an ≠ 0;
• n é um inteiro positivo chamado de grau do polinômio
( ) 01
1
1 ... axaxaxaxpy n
n
n
n ++++== −−
Graus 1, 2 e 3 Grau 4 Grau 5
21
TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I
Funções
FUNÇÕES RACIONAIS
Funções racionais apresentam a seguinte forma:
onde p e q são polinômios.
( ) ( )( )xqxp
xfy ==
( ) ( )( ) ∑
∑
=
−
=
−
==Q
j
j
j
P
i
i
i
za
zb
zA
zBzH
0
0
Por exemplo em projetos de filtros digitais: