Пирамида

Обрада

Циљ данашњег часа је:

- дефинисати пирамиду;

- дефинисати њене основне елементе;

- упознати врсте пирамиде;

- дефинисати правилну пирамиду;

- дефинисати мрежу пирамиде.

ПирамидаПирамида је полиедар чију површ чине један многоугао A1A2...An и n троуглова VA1A2, VA2A3, VA3A4, ..., VAnA1.

A1

A2 A3

A4

A5

V

A1

A2 A3

A4

A6

V

A5A1

A2 A3

A4

V

Елементи пирамиде

A1

A2 A3

A4

A5

V

Многоугао A1A2...An назива се основа или база пирамиде (B), а троуглови A1A2V, A2A3V, A3A4V, ..., AnA1V су бочне стране пирамиде. Бочне стране пирамиде чине омотач пирамиде (М).

база (B)

бочне стране

Елементи пирамиде

A1

A2 A3

A4

A5

V

Странице основе пирамиде називају се основне ивице пирамиде (а), а странице бочних страна које нису основне ивице називају се бочне ивице или изводнице пирамиде (s). Заједничка тачка бочних ивица назива врх пирамиде (V).

основне ивице (а)

бочне ивице (s)

врх (V)

Висина пирамиде

A1

A2 A3

A4

A5

V

Растојање врха пирамиде од равни основе пирамиде назива се висина пирамиде (H). Растојање врха пирамиде од основних ивица пирамиде назива се висина бочне стране пирамиде или апотема пирамиде (h).

висина бочне стране пирамиде (h)

висина пирамиде (H)

Врсте пирамидеПрема броју страница базе пирамиде могу бити: тростране, четворостране, петостране, шестостране, ...

A1

A2 A3

A4A5

V

A1

A2 A3

A4

A6

V

A5

A1A2

A3A4

V

A1 A2

A3

V

петострана пирамида

тространа пирамида

четворострана пирамида

шестострана пирамида

Пирамида је правилна ако је:

- њена основа правилни многоугао и

- ако се подножје висине пирамиде поклапа са центром описане кружнице основе пирамиде.

Правилна пирамида

A1

A2 A3

A4

A5

V

правилна пирамидa

Правилна пирамида

Све бочне стране правилне пирамиде су подударни једнакокраки троуглови!

Пирамида чије су све ивице једнаке назива се једнакоивична пирамида.

Правилна тространа једнакоивична пирамида назива се тетраедар.

Мрежа пирамидеАко основу и бочне стране призме представимо у једној равни, добићемо мрежу пирамиде.

пирамида

мрежа пирамид

е

Пример 1: Израчунај апотему правилне:

а) четворостране,

б) тростране,

в) шестостране пирамиде

ако је обим основе 24cm и једнак је обиму једне бочне стране пирамиде.

Пример 2: Нека је VABCD правилна четворострана пирамида основне ивице 10cm и бочне ивице 13cm. Израчунај обим и површину пресека пирамиде и равни VMN, где су М и N средишта ивица:

а) AB и BC, б) AB и CD.

Поновимо:

- шта је пирамида,

- који су њени елементи,

- шта су висина и апотема пирамиде,

- које врсте пирамиде постоје,

- шта је правилна пирамида,

- шта је мрежа пирамиде.

Површина пирамиде

Ако са B означимо површину основе, а са M површину омотача пирамиде, онда се површина пирамиде израчунава по формули P=B+M

Посматрајући мрежу пирамиде можемо доћи до следећег закључка…

Површина четворостране пирамиде

Разликоваћемо површину:

- правилне четворостране пирамиде,

- пирамиде чија је основа правоугаоник.

Површина правилне четворостране пирамиде

База ове пирамиде је квадрат странице а, а омотач чине четири подударна једнакокрака троугла чије су основице а и висине h.

A B

CD

V

ahaP

ahaP

МBP

2

24

2

2

H h

а

Пример 1: Израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако је основна ивица а=10cm, a апотема h=12cm.

A B

CD

V

12cm

10cm

Поставља се питање: како израчунати површину пирамиде ако нису дати основна ивица и апотема, већ неки други елементи?

Како наћи везу између елемената пирамиде?

Подсетимо се на тренутак квадрата ...

r

R

a

2

a2

ar

2

2

2

aR

dR

aO 4

2aP

Примена Питагорине теореме на правилну четворострану

пирамиду

Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде

2

2

22

1

HаP

HaP

dp

dp

Површина дијагоналног пресека израчунава се по формули:

Висина дијагоналног пресека пирамиде једнака је висини пирамиде.

Површина пирамиде чија је основа правоугаоник

База је правоугаоник страница а и b, а омотач чине два подударна једнакокрака троугла основице а и висине hа и два подударна једнакокрака троугла основице b и висине hb.

ba

ba

bhahabP

bhahabP

МBP

22

22

Пример 2: Израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако су основне ивице дужине 10cm и 8cm, а њима одговарајуће апотеме 12cm и 15cm.

Подсетимо се сада правоугаоника...

R

a 2

222 bа

R

dR

baO 22

baP

b

Примена Питагорине теореме на пирамиду чија је основа

правоугаоник

Примена Питагорине теореме на пирамиду чија је основа

правоугаоник

Дијагонални пресек пирамиде чија је основа правоугаоник

2

2

1

22

22

HbaP

HbaP

dp

dp

Површина дијагоналног пресека израчунава се по формули:

Висина дијагоналног пресека пирамиде једнака је висини пирамиде.

Пример 3: Израчунај површину пирамиде чија је основа правоугаоник са страницама 18cm и 10cm, а изводнице су дужине 15cm.Пример 4: Збир свих ивица правилне четворостране једнакоивичне пирамиде је 96cm. Одреди њену површину.

Површина правилне тростране пирамиде

База ове пирамиде је једнакостранични троугао странице а, а омотач чине три подударна једнакокрака троугла чије су основице а и висине h.

A B

C

V

MBP

аhM

aB

2

34

32

H

аО

A1

Подсетимо се сада једнакостраничног троугла...

R

a

aO 3

4

32aP

r

A B

C

О

A1

6

3

2

3

3

1

3

1

3

3

2

3

3

2

3

2

aahr

ааhR

2

3ah

Примена Питагорине теореме на правилну тространу пирамиду

Тетраедар

Правилна тространа једнакоивична пирамида назива се тетраедар.

Све стране тетраедра су подударни једнакостранични троуглови!

H h

а

Површина правилне шестостране пирамиде

База ове пирамиде је правилни шестоугао странице а, а омотач чини шест подударних једнакокраких троуглова чије су основице а и висине h.

MBP

аhаh

M

аaB

32

6

2

33

4

36

22

а а

s s

А

F E

D

B C

V

Подсетимо се сада правилног шестоугла...

R

a

aO 6

2

33

4

36

22 аaP

r

2

3ar

aR

Примена Питагорине теореме на правилну шестострану пирамиду

Већи дијагонални пресек правилне шестостране

пирамиде

HaP

HaP

vdp

vdp

22

1

Површина већег дијагоналног пресека израчунава се по формули:

Висина већег дијагоналног пресека пирамиде једнака је висини пирамиде.

Мањи дијагонални пресек правилне шестостране

пирамиде

2

3

32

1

аHP

HaP

mdp

mdp

Површина мањег дијагоналног пресека израчунава се по формули:

Висина мањег дијагоналног пресека пирамиде једнака је висини пирамиде.

Презентацију је израдила Мирјана Митић,

професор математике и рачунарства

Хвала на пажњи!