Post on 04-Apr-2015
Physique 3Vibrations linéaires et ondes mécaniques
Leçon n°4
Les oscillations harmoniques
Introduction Je vous souhaite la bienvenue à cette quatrième leçon du cours de vibration et ondes mécaniques. Cette leçon s’intitule « les Oscillations harmoniques » et est divisée en deux parties : le mouvement harmonique et l’analyse harmonique.
Cette leçon commence donc par donner des définitions sur le mouvement harmonique qui est le mouvement périodique le plus simple avec des solutions en sinus et cosinus, où la trajectoire x(t) est égale à (-²) fois l’accélération. Nous donnerons bien sur cette partie toutes les définitions concernant ce genre de mouvement telles que la période, la fréquence; la phase. Nous décrirons ce mouvement sous sa forme vectorielle et sa forme complexe. Nous utiliserons ces deux représentations (vectorielles et complexes) pour additionner deux fonctions harmoniques. Cette première partie de la leçon d’aujourd’hui sur les mouvements harmoniques est plutôt une révision de concepts que vous avez déjà vu. Ce qui peut être différent pour la seconde partie que nous avons intitulé « Analyse harmonique » et qui concerne les développements en série de Fourier de fonctions périodiques.
Introduction
Ces fonctions concernent soit le mouvement oscillatoire d’un système, soit la force extérieure appliquée au mouvement. Les développements en série de Fourier concerneront le cas général de fonctions périodiques et les cas particuliers de ces fonctions tels que les fonctions paires et impaires ou les extensions de demi-fonctions. Nous apprendrons à calculer numériquement les coefficients des séries de Fourier, et des exemples utilisant Mathlab, auquel vous serez initié, vous seront donnés. Nous traiterons bien sûr des exemples qui vous aideront à la compréhension de ce cours.
Le mouvement harmonique
• Type le plus simple de mouvement harmonique
•
•
•
Fig.1 : Exemple d’un Oscillateur Harmonique
tsinAsinAx
tcosAdt
dx
xtsinAdt
xd 222
2
Représentation vectorielle du mouvement harmonique
Fig.2 : Montrant le mouvement harmonique résultant de la projection de l’extrémité d’un vecteur en rotation
Représentation complexe d’un mouvement harmonique
Un vecteur dans le plan xoy peut être représentée par un nombre complexe
Si A est le module de et son angle avec l’axe ox :
X
1i,ibaX
X
iAesiniAcosAX
abtgetbaAAvec 12
122
Fig. 3 : Représentation vectorielle
par un nombre complexe
Représentation complexe d’un mouvement harmonique (suite)
1i,ibaX
Fig.4. : La rotation des vecteurs déplacement, vitesse et accélération.
Représentation complexe d’un mouvement harmonique (suite)
On peut écrire :
Si le déplacement harmonique est données par x(t)=A sin t ; nous aurons :
180tcosAtcosAAeReonaccélérati
90tcosAtsinAAeiRevitesse
tcosAeARetdéplacemen
22ti2
ti
ti
180tsinAAeImonaccélérati
90tsinAAeiImvitesse
tsinAAeImtdéplacemen
2ti2
ti
ti
Addition de Fonctions Harmoniques Soient
Le vecteur résultant a pour magnitude
et pour phase :
La projection réelle du vecteur somme s’écrit :
tcosAXReettcosAXRe 2211
X
222
21 sinAcosAAA
cosAA
sinAtg
21
21
tcosAXRe
Addition de Fonctions Harmoniques (Suite)
En utilisant des nombres complexes
titiiti221
tii21
ti2
ti121
AeeAeesiniAcosAA
eeAAeAeAXXX
Fig.5 : Addition Vectorielle de deux Fonctions Harmoniques
Exemple 1: Mouvement Harmonique
Un mouvement harmonique a une amplitude de 0,05 m et une fréquence de 10Hz. Trouver la période, la vitesse maximale et l’accélération maximale.
Solution :
222 /393,197393,6205,0maximaleonaccélérati
sec/1416,3832,6205,0maximalevitesse
sec1,0sec/832,62
22période
sec/832,622;05,0
smA
mA
rad
radfmA
Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques
Énoncé :Trouver la somme des deux mouvements harmoniques suivants :
2tcos15txettcos10tx 21
Fig.6 : Addition de deux vecteurs
Exemple 2 : addition de deux mouvements harmoniques (suite)
txtxtcosAtx 21
2sin15tsin2cos1510tcossinAtsincosAtcos
2sintsin2costcos15tcos10
2tcos15tcos10sintsincostcosA
2sin15sinA2cos1510xcosA
5963,742cos1510
2sin15tget
1477,142sin152cos1510A
1
22
Deuxième méthode : en utilisant des vecteurs et une représentation graphique pour une valeur arbitraire de t, la somme graphique des deux vecteurs peut être trouvée comme étant :
5963.74tcos1477.14tx
Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)
Troisième méthode : en utilisant les nombres complexes :
La somme peut s’écrire :
où A et sont données par
Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)
2titi
22
titi
11
e15ReeARetx
e10ReeARetx
tieARetx
5963,74cosAA
sinAtg
1477,14sinAcosAAA
21
21
2
2
2
21
Les Oscillations Harmoniques, définitions (Suite)
Cycle de vibration : Il décrit le mouvement suivant : Position d’équilibre position extrême dans une direction position
d’équilibre position extrême dans l’autre direction position d’équilibre Exemples : pendule simple, un déplacement de 2 radians de l(extrémité d’un
vecteur sur un cercle.
Amplitude : Déplacement maximum d’un corps vibrant à partir de sa position d’équilibre. L’amplitude de vibration est égale à A dans les figures (1) et (2).
Période des Oscillations : Temps mis pour compléter un cycle du mouvement, dénoté par ou par T. C’est le temps mis par le vecteur sur un cercle pour effectuer une rotation de 2 .
est la vitesse angulaire.
Fréquence des Oscillations : C’est le nombre de cycles par unité de temps
2
21f
Les Oscillations Harmoniques, définitions (Suite)
Angle de phase : Les deux mouvements vibratoires
Sont dit synchrones car ils ont la même vitesse angulaire . Le second mouvement est en avance sur le premier d’un angle qu’on appelle l’angle de phase.
tsinAxettsinAx 2211
Fig.7 : Différence de phase entre deux vecteurs
Les Oscillations Harmoniques, définitions (Suite)
Fréquence naturelle : Si après une perturbation initiale, on laisse vibrer un système librement. La fréquence avec laquelle il oscille est appelée la fréquence naturelle du système. Un système ayant n degrés de liberté a n fréquences naturelles distinctes.
t2
cos2
tcosX2
tcostcosXtxtxtx
tcosXtx,tcosXtx
21
21
Figure 8 : Phénomène des battements
Développement en série de Fourrier
Si x(t) est une fonction de période , sa représentation en série de Fourrier est donnée par :
où les coefficients a0, an et bn sont donnés par :
On peut aussi écrire :
1jj
1jj
0
21210
tjsinbtjcosa2
a
...t2sinbtsinb....tcosatcosa2
atx
0
2
00 dttx2
dttxa
0
2
0n
0
2
0n
dttnsintx2
dttnsintxb
dttncostx2
dttncostxa
n
n1n
21
2n
2nn
00
22110
a
btanetbad,
2
adoù
....t2cosdtcosddtx
Développement en série de Fourrier
Fig. 9 : Une fonction périodique
Fig. 9 : Le phénomène de Gibbs
Série de Fourriers Complexes
•
•
•
•
2
eetsin;
2
eetcos
tsinitcose;tsinitcosetitititi
titi
0boù2
ib
2
ae
2
ib
2
ae
2
ib
2
ae
i2
eeb
2
eea
2
atx
01n
nntinnntin00t0i
1n
tintin
n
tintin
n0
2
ibaC,
2
ibaC nn
nnn
n
0
tin
0
nnn
n
tinn
dtetx1
dttnsinitncostx1
2
ibaC;eCtx
Spectre de fréquence
Fig.11 Spectre de fréquence d’une fonction périodique typique
Fig.12 Représentation d’une fonction dans les domaines temporels et de fréquence
Fonctions paires et fonctions impaires
• Fonction paire
• Fonction impaire
1n
n0 tncosa
2
atxtxtx
1n
n tnsinbtxtxtx
Fig.13 : Fonction paire et fonction impaire
Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)
1. Trouver les développements en série de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii).
2. Trouver aussi leur développement en série de Fourier quand l’axe temporel est déplacé vers le bas d’une distance A.
3. Montrer qu’il existe une relation directe entre les développements en séries de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii)
t
2,A
2t0,A
tx
t4
3,A
4
3t
4,A
4t0,A
tx
t
2,A2
2t0,0
tx
t4
3,A2
4
3t
4,0
4t0,A2
tx
Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)
,txtxa
n2cos0cosncos2n
A2
n
tncosA2
n
tncosA2
dt.tnsinAdt.tnsinA2
dt.tsintx2
b
2
0
2
2
00n
Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)
Fonction impaire donc
1n
t1n2sin1n2
1A4tx
,txtxb
,...11,7,3npournA4
,....9,5,1npournA4
n2sin2
n3sin
2
nsin2
n
A
tinnstinnstnsinn
A2
dt.tncosdttx2
a
0tAtAtA2
dttx2
a
43
43
4
40
0n
43
43
4
4000
Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)
Fonction paire donc bn=0
1n
1n 1n2cos
1n2
1A4tx
ncosn2cosn
A4
tnncosn
A4dt.tnsintx
2b
0tnsinn
A4dt.tncostx
2a
A2tA202
dttx2
ac
20n
20n
200
Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)
1n
2avect1n2sin
1n2
1A4tx
,txtxd
2
n3sinn2sin
2
nsin
n
A4
tnsintnsinn
A4dt.tncosdttx
2a
A24
3A20
4A2
2dttx
2a
4
34
00n
00
Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)
Fonction paire donc bn=0
1n
1n 2avec
t1n2cos
1n2
1A4tx
1n1
t1n22sin
1n2
1A4tx
Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)
3) Relation en la fonction paire et la fonction impaire
1n
1n
2
t1n22cos
1n2
1A4tx
tx4
tx 21
1n
1n1
4
1n22t1n22sin
1n2
1A4
4t
1n22sin
1n2
1A4
4tx
1n
1 4
1n22sin
1n22cos
4
1n22cos
1n22sin
1n2
1A4
4tx
1n
1n
1
t1n22cos
1n2
1A4
4tx
Extension de demi-fonction
Calcul numérique des coefficients
Fig.17 : Valeurs de la fonction périodique x(t) aux points t1,t2,…..tN
iN
1iin
iN
1iin
N
1ii0
tn2sinx
N
2b
tn2cosx
N
2a
xN
2a
Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction
Enoncé : trouver le développement en série de Fourier de la valve du système arbre à came de la figure. On notera que
t0;t
Ytyoù
tytxtxty
tg1
2
21
Fig 18 : Système d’arbre à came
Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction (suite)
A2
tAdt
tAdttxa
2
0
22
0
2
00
,......2,1n,0
n
tnsint
n
tncos
2
Adt.tncost
n
A
dt.tncost
Adt.tncostxa
2
02
2
0 2
2
0
2
0n
Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction (suite)
,......2,1n,n
A
n
tncost
n
tnsin
2
Adt.tnsint
n
A
dt.tnsint
Adt.tnsintxb
2
02
2
0 2
2
0
2
0n
......t3sin3
1t2sin
2
1tsin
2
A
.....t2sin2
Atsin
A
2
Atx
Les fluctuations de la pression de l’eau dans une pipe mesurées à 0,01secondes d’intervalles sont données par le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature répétitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et déterminer les trois premières harmoniques du développement en séries de Fourier.
Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier
i Temps (s), ti Pression (kN/m²), Pi
0 0 0
1 0,01 20
2 0,02 34
3 0,03 42
4 0,04 49
5 0,05 53
6 0,06 70
7 0,07 60
8 0,08 36
9 0,09 22
10 0,10 16
11 0,11 7
12 0,12 0
Tableau 1 : Mesure des fluctuations de pression
dans un pipe
7,68166p6
1p
N
2a
sec/rad36,522
;sec12,0
N
1ii
N
1ii0
Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier (suite)
12,0
tn2sinp
6
1tn2sinp
N
2b
12,0
tn2cosp
6
1tn2cosp
N
2a
iN
1ii
iN
1iin
iN
1ii
iN
1iin
2m/N....t08,157sin3,2333
t08,157cos3,583372,104sin3,3608t72,104cos7,1416
t36,52sin7,8307t36,52cos0,269963,34083tp
Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier (suite)n=1 n=2 n=3
ti pi
0,01 20000 17320 10000 10000 17320 0 20000
0,02 34000 17000 29444 -17000 29444 -34000 0
0,03 42000 0 42000 -42000 0 0 -42000
0,04 49000 -24500 42434 -24500 -42434 49000 0
0,05 53000 -45898 26500 26500 -45898 0 53000
0,06 70000 -70000 0 70000 0 -70000 0
0,07 60000 -51960 -30000 30000 51960 0 -60000
0,08 36000 -18000 -31176 -18000 31176 36000 0
0,09 22000 0 -22000 -22000 0 0 22000
0,10 16000 8000 -13856 -8000 -13856 -16000 0
0,11 7000 6062 -3500 3500 -6062 0 -7000
0,12 0 0 0 0 0 0 0
409000 -161976 49846 8500 21650 -35000 -14000
68166,7 -26996,0 8307,7 1416,7 3608,3 -5833,3 -2333,3
12,0
t2cosp i
i
12,0
t2sinp i
i
12,0
t4cosp i
i
12,0
t4sinp i
i
12,0
t6cosp i
i
12,0
t6sinp i
i
Introduction à MathLab
Introduction à MathLab (2)
Introduction à MathLab (3)
Introduction à MathLab (4)
Exemple 4 : Représentation d’une fonction en séries de Fourier
• Donnez le graphe de la fonction
et ses représentations en séries de Fourier avec quatre termes :
t0,t
Atx
22
et,,1Aavect0pour
t3sin3
1t2sin
2
1tsin
2
Atx
Exemple 4 : Représentation d’une fonction en séries de Fourier (suite)
Exemple 4 : Représentation d’une fonction en séries de Fourier (suite)
Exemple 5 : Représentation des battements
Une masse est soumise à deux mouvements harmoniques donnés par x1(t) = X cos t et x1(t)=Xcos(+)t avec X=1cm, =20rad et =1rad/sec. Faire un graphe du mouvement résultant en utilisant Mathlab identifier la fréquence des battements.
Exemple 5 : Représentation des battements (suite)
Solution : Le mouvement résultant de la masse x(t) est donnée par :
Le mouvement résulte en des battements avec la fréquence : b=(+)-==1rad/s
t2
cos2
tcosX2
tcosXtcosX
txtxtx 21
Exemple 5 : Représentation des battements (suite)
Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab
Les fluctuations de la pression de l’eau dans un pipe (tuyau), mesurées à 0,01 secondes d’intervalle sont données dans le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature répétitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et déterminer les cinq premières harmoniques de l’expansion en séries de Fourier.
Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite)
i Temps (s), ti Pression (kN/m²), Pi
0 0 0
1 0,01 20
2 0,02 34
3 0,03 42
4 0,04 49
5 0,05 53
6 0,06 70
7 0,07 60
8 0,08 36
9 0,09 22
10 0,10 16
11 0,11 7
12 0,12 0
Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite)
Pour trouver les cinq premières harmoniques des fluctuations de pression données dans le tableau (a0, a1,…,a5, b1, b2,…., b5), un programme MathLab a été développé en utilisant les équations vu en cours :
N
1ii0 x
N
2a
iN
1iin
iN
1iin
tn2sinx
N
2b
tn2cosx
N
2a
Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite)
Le programme a utilisé en général pour les analyses en séries de Fourier a besoin des données suivants :N=nombre des points équidistants où les valeurs de x(t) sont connusM= nombre de coefficients de Fourier à calculerTime = période de la fonction x(t)X= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues de x(i)=x(ti)T= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues
Le programme génère les résultats suivants :a zéro =a0,
i, a(i), b(i); i=1, 2, …,m où a0, a(i) et bi sont les valeurs calculées de a0, ai et bi données par les équations du cours.
Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite)
ConclusionDans cette quatrième leçon intitulée « les oscillations harmoniques », cours de vibrations et ondes mécaniques, nous avons défini ce qu’est un mouvement harmoniques, et l’avons représentée sous sa forme vectorielle, et sa forme complexe. Nous avons aussi appris à développer en séries de Fourier toute sorte de fonctions périodiques. Un mouvement périodiques que l’on peut certainement décomposer en série de Fourier. La force extérieure appliquée au mouvement peut aussi être développée en séries de Fourier, ce qui nous permet dans certains cas de résoudre l’équation différentielle du mouvement.
Nous avons aussi dans cette leçon à calculer numériquement les coefficients de Fourier et avons été introduit à l’utilisation de Mathlab pour résoudre des problèmes pratiques sur les séries de Fourier.
Cette leçon sur les oscillations harmoniques clos le premier chapitre de ce cours qui donne des généralités sur les vibrations. Ce premier chapitre nous a fourni toutes les bases nécessaires pour aborder les mouvements à un degré de liberté qui font l’objet du deuxième chapitre de ce cours.