MATRIKS DAN OPERASINYAMATRIKS DAN OPERASINYA

MatrixMatrix

• Definitions• Some properties• Basic matrix operations

Matrix Matrix Definition:Definition: A matrix is a rectangular array of A matrix is a rectangular array of numbers. A matrix of numbers. A matrix of mm rows and rows and nn columns is columns is called an called an mm××n n matrixmatrix, denoted A, denoted Amm××nn. The . The element or entry at the element or entry at the iithth row and row and jjthth column column is denoted is denoted aaii,j,j. .

The matrix can also be denoted A = [The matrix can also be denoted A = [aaii,j,j].].

ExampleExample

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

312011

2,3A row

column

a3,2 = 3

MatrixMatrixTwo matrices ATwo matrices Amm××nn and Band Bpp××qq are are equalequal if they if they have the same number of rows and columns have the same number of rows and columns ((m = pm = p and and n = qn = q), and their corresponding ), and their corresponding entries are equal (entries are equal (aaii,,jj =b=bi,i,jj for all for all i, ji, j).).AAmm××nn is a is a squaresquare matrix if matrix if m = n, m = n, denoted Adenoted Amm

A square matrix A is said to be A square matrix A is said to be symmetricsymmetric if if aaii,,j j = = aajj,,ii for all for all ii and and jj..

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

143

432

321

3,3A

DEFENISIDEFENISI

Jika A dan B adalah sebarang dua Jika A dan B adalah sebarang dua matrik yang ukurannya sama, maka matrik yang ukurannya sama, maka jumlah jumlah A + B adalah matrik yang A + B adalah matrik yang diperoleh dengan menambahkan diperoleh dengan menambahkan bersamabersama--sama entri yang sama entri yang bersesuaian dalam kedua matrik bersesuaian dalam kedua matrik tersebut.tersebut.Matrik yang ukurannya berbeda tidak Matrik yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan.dapat dijumlahkan.

Matrix arithmetic (operations)Matrix arithmetic (operations)Matrix addition.Matrix addition. AAmm××nn and and BBmm××nn

must have the same numbers of rows must have the same numbers of rows and columnsand columns

add corresponding entries add corresponding entries

AAmm××nn + + BBmm××nn = C= Cmm××n n = [= [aaii,,jj + b+ bi,i,jj]]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

312011

2,3A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

326154

2,3B⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=+

038165

2,32,3 BA

Matrix subtractionMatrix subtraction is done similarly is done similarly

DEFENISIDEFENISIJika A adalah suatu matrik dan Jika A adalah suatu matrik dan cc adalah adalah skalar, maka skalar, maka hasil kali (product) cAhasil kali (product) cAadalah adalah matrik yang diperoleh dengan mengalikan matrik yang diperoleh dengan mengalikan masingmasing--masing entri A dengan masing entri A dengan c.c.Jika A adalah matrik Jika A adalah matrik mxr mxr dan B adalah dan B adalah matrik matrik rxnrxn, maka hasil kali AB adalah , maka hasil kali AB adalah matrik matrik mxnmxn yang entriyang entri--entrinya ditentukan entrinya ditentukan sebagai berikut:sebagai berikut:•• Untuk mencari entri bari Untuk mencari entri bari II dan kolom dan kolom jj dari AB, dari AB,

pilihlah baris pilihlah baris II dari A dan kolom dari A dan kolom jj dari B.dari B.•• Kalikan entriKalikan entri--entri yang bersesuaian dari baris entri yang bersesuaian dari baris

dan kolom tersebut bersamadan kolom tersebut bersama--sama kemudian sama kemudian tambahkanlah hasil kalinya.tambahkanlah hasil kalinya.

Matrix arithmetic (operations)Matrix arithmetic (operations)Multiply a matrix by a number.Multiply a matrix by a number.

bb⋅⋅A = [bA = [b⋅⋅aaii,,jj] (i.e., multiply the number to each ] (i.e., multiply the number to each entry.)entry.)

Multiplication of two matrices.Multiplication of two matrices. AAmm××kk and and BBkk××nn

number of columns of the first must equal number number of columns of the first must equal number of rows of the secondof rows of the second

the the productproduct is a matrix, denoted AB = Cis a matrix, denoted AB = Cmm××nn

Entry Entry ccii,,j j is the is the sum of pairsum of pair--wise productswise products of the of the iithth

row of A and row of A and jjthth column of Bcolumn of B

jkkijijiji bababac ,,,22,,11,, +++= L

Matrix arithmetic (operations)Matrix arithmetic (operations)ExampleExample

143410211,33,11,22,11,11,11,1 =⋅+⋅+⋅=++= bababac

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

220013112401

3,4A⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

031142

2,3B⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

2813798414

2,4CAB

40410412,33,12,22,12,11,12,1 =⋅+⋅+⋅=++= bababac83111221,33,21,22,21,11,21,2 =⋅+⋅+⋅=++= bababac

Matrix Multiplication:

Product of a 1×n matrix a n×1 matrix is a scalar. Product of a n×1 matrix and a 1×n matrix is an n×n matrix

a b x ax bycx dyc d y

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a b u x au bv ax bycu dv cx dyc d v y

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]x

a b c y ax by czz

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦[ ]

x xa xb xcy a b c ya yb ycz za zb zc

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦Generally, A B ≠ B A

• You cannot multiply any two matrices. They have to be compatible:to get AB, the number of columns of A must equal to the numberof rows of B, e.g., A: k×n, B: n×m.

Powers and TransposesPowers and TransposesIdentity matrix: Identity matrix: IInn•• A square matrix of A square matrix of nn rows and rows and nn columnscolumns•• Diagonal entries are 1, all other entries are 0 Diagonal entries are 1, all other entries are 0

(i(ii,ii,i = 1 for all = 1 for all ii, , iii,ji,j = 0 for all = 0 for all ii != != jj.).)•• For matrix AFor matrix Amm××nn, , we havewe have IImm A = A A = A IIn n = A= A

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

312011

2,3A⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

100010001

3I 2,32,33312011

AAI =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⋅

Powers of (square) matrixPowers of (square) matrix AAnnAA00 = = IIn n =, =, AArr = AA= AA······AA

r timesr times

Powers and TransposesPowers and TransposesMatrix transpose: Matrix transpose: AAmm××nn•• the transpose of A, denoted Athe transpose of A, denoted Att, is a , is a n n ××mm matrixmatrix•• AAt t = [b= [bi,ji,j = = aajj,i,i]]•• iithth row of A becomes row of A becomes iithth column of Acolumn of Att

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

312011

2,3A ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 321

101tA

Theorem: Theorem: A square matrixA square matrix AAnn is symmetric is symmetric iffiffA = A = AAtt

Systems of Linear Algebraic EquationsA system of linear equations:

a11x1 + a12x2 + .. + a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + .. + a2nxn = y2: :

am1x1 + am2x2 + .. + amnxn = ym

where aij, yi∈ R or C are given, xi’s are to be solved. In matrix form: Ax = y

1m 1n n m

y

yy

y,

x

xx

x,

aaa

aaaaaa

A

m

2

1

n

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

×××

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=MM

LMOLL

LL

INVERS MATRIKINVERS MATRIK

DEFENISIDEFENISI

Jika A adalah matrik kuadrat, dan jika kita Jika A adalah matrik kuadrat, dan jika kita dapat mencari matrik B sehingga dapat mencari matrik B sehingga AB=BA=IAB=BA=I, maka A dikatakan dapat dibalik , maka A dikatakan dapat dibalik ((invertibleinvertible) dan B dinamakan invers ) dan B dinamakan invers ((inverseinverse) dari A.) dari A.Inverss dari matrik A ditulis AInverss dari matrik A ditulis A--11

Invers Matrik

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

2153

;3152

:Invers saling Bdan A bahwaBuktikan

BA

Invers Matrik

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=

≠−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−−

−−

−

−

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

acbd

bcadA

makabcaddcba

A

1

,0dan , Jika

1

DEFENISIDEFENISI

Jika A adalah sebarang matrik Jika A adalah sebarang matrik mxnmxn, maka , maka transpos Atranspos A dinyatakan oleh dinyatakan oleh AAtt dan dan didefenisikan denganmatrik didefenisikan denganmatrik nxmnxm yang yang kolom pertamanya adalah baris pertama kolom pertamanya adalah baris pertama dari A dan kolom keduanya dalah baris dari A dan kolom keduanya dalah baris kedua dari A dan seterusnyakedua dari A dan seterusnya

TEOREMATEOREMA

Jika A dan b adalah matrik yang dapat Jika A dan b adalah matrik yang dapat dibalik, maka:dibalik, maka:

(A(A--11))--11 = A= A(A(Att))tt = A= A(A+B)(A+B)tt = A= Att + B+ Btt

(kA)(kA)tt = kA= kAtt

(AB)(AB)tt = B= BttAAtt

DETERMINAN MATRIKDETERMINAN MATRIK

Determinant: A scalar defined for a square matrix

det ;

det

a b ad bcc d

a b cgec ahf dbaei dhc gd ibfe f

g h i

⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤=⎢ ⎥ + −+

⎥⎦−

⎢−

⎣a b c

a b c d e fd e f g h ig h i a b c

d e f

⎡ ⎤⇒⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Exercise: 1 2 3

det 3 2 14 5 6

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

DEFENISIDEFENISI

EKSPANSI KOFAKTOR DAN ATURAN EKSPANSI KOFAKTOR DAN ATURAN CRAMER;CRAMER;Jika A adalah matrik kuadrat, maka minor Jika A adalah matrik kuadrat, maka minor entri entri aaijij dinyatakan oleh dinyatakan oleh MMijij dan dan didefenisikan menjadi determinan didefenisikan menjadi determinan submatrik yang tetap setelah baris kesubmatrik yang tetap setelah baris ke--i i dan kolom kedan kolom ke--jj dicoret dari A.dicoret dari A.Bilangan (Bilangan (--1)1)i+ji+jMMijij dinyatakan oleh dinyatakan oleh CCijij dan dan dinamakan kofaktor entri dinamakan kofaktor entri aaijij

Contoh

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

841652413

:dari entrikofaktor dan minor Hitunglah

11

A

a

TEOREMATEOREMA

Determinan matrik ADeterminan matrik Anxnnxn dapat dihitung dengan dapat dihitung dengan mengalikan entrimengalikan entri--entri dalam satu baris (atau kolom) entri dalam satu baris (atau kolom) dengan kofaktordengan kofaktor--kofaktornya danmenambahkan hasil kofaktornya danmenambahkan hasil kalikali--hasil kali yang diperoleh, maka:hasil kali yang diperoleh, maka:

) (...det

) (

...det

2211

2211

ikebarissepanjangkofaktorekspansiCaCaCa(A)

jkekolomsepanjangkofaktorekspansi

CaCaCa(A)

ininiiii

njnjjjjj

−+++=

−

+++=

Contoh

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

841652413

2-ke kolomdan baris sepanjangkofaktor ekspansidengan A determinanHitunglah

A

DEFENISIDEFENISI

Jika A adalah sebarang matrik Jika A adalah sebarang matrik nxnnxn dan dan CCijij adalah adalah kofaktor kofaktor aaijij,, maka matrik:maka matrik:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

...............

...

...

21

22221

11211

Dinamakan matrik kofaktor A. Transpos dari matrik ini dinyatakan dengan Adj(A).

Contoh

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

841652413

:adj(A)Hitunglah

A

DEFENISIDEFENISI

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka:maka:

)()det(

11 AadjA

A =−

Contoh

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

841652413

:AdariinversHitunglah

A

DEFENISIDEFENISI

ATURAN CRAMER;ATURAN CRAMER;Jika Jika AX=BAX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n variabel sehingga linier dalam n variabel sehingga det(A)det(A)≠≠00, maka sistem , maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik, yaitu:tersebut mempunyai pemecahan yang unik, yaitu:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

===

2

1

22

11

...matrik dari entri-entridengan A dari j-ke

kolom dalam entri-entrian menggantikdengan

dapatkan kita yangmatrik adalah dimana)det()det( ...

)det()det( ;

)det()det(

b

bB

AAAx

AAx

AAx

j

nn

Contoh

Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan persamaan berikut:

442 2 21 2

321

321

321

−=−−=+−−=−+

xxxxxxxxx

APLIKASI MATRIK: APLIKASI MATRIK: MODEL INPUTMODEL INPUT--OUTPUTOUTPUT

Model input-output Leontiefmemperlihatkan perekonomian sebagai sejumlah sektor industri yang saling berelasi.Disebut berelasi karena output industri yang satu akan menjadi input industri yang lainnya.Pembentukan model diawali dengan membuat seluruh output dan permintaan dalams atuan mata uang.Harga diasumsikan tetap, sehingga diperoleh kuantitas fisik dengan membagi kuantitas degan harga per unit.

Nilai nominal output industri disimbolkan dengan Xi, dengan:

0 ;...

2

1

≥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= x

x

xx

x

n

i

Permintaan akhir konsumen akan output industri ke-I disimbolkan dengan di, dengan:

0 ;...

2

1

≥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= d

d

dd

d

n

i

Andaikan aij adalah nilai output yang dibutuhkan untuk memproduksi satu unit output industri j. Dengan asumsi teknologi adalah tetap, maka kebutuhan akan input ditunjukkan oleh baris dan kolom matrik berikut:(disebut matrik koefisien produksi)

0 ;

...............

...

...

21

22221

11211

≥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ij

nnnn

n

n

a

aaa

aaaaaa

A

Total output industri i yang dibutuhkan semua industri adalah:

jx

ixa

xaxaxaxa

j

jij

nini

n

iijij

-industrioutput unit imemproduksuntuk

dibutuhkan yang -industrioutput adalah

...221

11 +++=∑=

Total permintaan akan output seluruh industri ditunjukkan oleh matrik:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

...............

...

...

2211

2222121

1212111

Dalam bentuk sederhana:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnnn

n

n

x

xx

aaa

aaaaaa

Ax...

...............

...

...

2

1

21

22221

11211

Permintaan perekonomian akan output industri-i secara keseluruhan menjadi:

dAxx

dxax

i

dxa

n

iijiji

n

iijij

+=

+=

+

∑

∑

=

=

menjadi ditulisdapat atas dipersamaan maka industri,seluruh

untuk ditawarkanan perekonomi dalam

permintaanseluruh jika ,

:diperoleh ,-industri padapermintaandengan samapenawaran untuk

1

1

dAIx

AIdxAIataudAxx

xdA

1

1

)( :diperoleh

,)(dengan dikali ruas kedua jika)( , maka

,output vektor ,adalah permintaan dan vektoradalah produksikoefisien matrik Andaikan

−

−

−=

−

=−=−

Contoh

Andaikan perekonomian terdiri dari 3 sektor, yaitu pertanian, pertambangan dan industri. Untuk memproduksi 1 unit output pertanian dibutuhkan Rp 0,3 outputnya sendiri, Rp 0,2 output pertambangan dan Rp 0,4 output industri. Untuk memproduksi 1 unit output pertambangan masing-masing dibutuhkan Rp 0,2, Rp 0,5 dan Rp 0,2 output sendiri, pertanian dan industi. Untuk memproduksi 1 unit output industri masing-masing dibutuhkan Rp 0,3 output sendiri, pertanian dan pertambangan. Jika permintaan akhir konsumen untuk pertanian, pertambangan dan industri adalah Rp 20.000; Rp 10.000 dan Rp 40.000 tentukanlah kuantitas keseimbangan untuk ketiga industri.

Penyelesaian

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

−

1071,40357,32143,34107,23036,33214,24821,36607,34643,4

)(

7,02,04,03,08,02,03,05,07,0

)(

400001000020000

;3,02,04,03,02,02,03,05,03,0

1AI

AI

dA

Penyelesaian

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

−= −

927.258892.175117.265

400001000020000

1071,40357,32143,34107,23036,33214,24821,36607,34643,4

)( 1dAIx

Dalam keadaan seimbang, pertanian sebaiknya berproduksi sebesar Rp 265.117; Pertambangan Rp 175.892 dan Industri Rp 258.927

Kerjakan soal berikut dan kirimkan Kerjakan soal berikut dan kirimkan jabawan anda ke email: jabawan anda ke email: ……. Paling lambat . Paling lambat tanggaltanggal……..

SOALSOAL

1.1. Himpunan latihan 2.4.halaman 85 nomor Himpunan latihan 2.4.halaman 85 nomor 3a dan b; 4a dan b; 8 dan 20 pada buku 3a dan b; 4a dan b; 8 dan 20 pada buku Aljabar Linear Elementer edisi ke lima, Aljabar Linear Elementer edisi ke lima, karangan Howard Anton, penerbit karangan Howard Anton, penerbit Erlangga.Erlangga.

SOALSOAL2. Suatu pertanian terdiri dari 4 sektor: 2. Suatu pertanian terdiri dari 4 sektor:

manufaktur, pertanian, pertambangan dan jasa. manufaktur, pertanian, pertambangan dan jasa. Keempat sektor memiliki keterkaitan sebagai Keempat sektor memiliki keterkaitan sebagai berikut:berikut:

Manufakt Pertanian Tambang JasaManufaktur 0,2 0,3 0,4 0,1Pertanian 0,4 0,2 0,3 0,1Tambang 0,3 0,2 0,4 0,1Jasa 0,4 0,1 0,2 0,3

InputOunput

Permintaan akhir rumah tangga untuk masing-masing sektor manufaktur, pertanian, pertambangan dan jasa adalah Rp350.000; Rp 200.000; Rp300.000 dan Rp 500.000. Hitunglah tingkat output keempat sektor dalam keadaan seimbang.

Selamat Bekerja

Indra Maipita