Post on 08-Mar-2019
i
PENERAPAN METODE ARIMA UNTUK PERAMALAN
SUPLAI SUKU CADANG KENDARAAN BERMOTOR
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Antonius Andika Rian Perdana
123114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
THE APPLICATION OF ARIMA METHOD FOR
AUTOMOTIVE SPARE PART SUPPLY FORECASTING
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement
to Obtain the Sarjana Sains Degree
In Mathematics
By:
Antonius Andika Rian Perdana
Student Number: 123114012
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Sebab itu janganlah kamu kuatir akan hari besok, karena
hari besok mempunyai kesusahannya sendiri.
Kesusahan sehari cukuplah untuk sehari.
Mateus 6:34
“ Do not stop fighting because somewhere, someone is wishing
for your happiness “
-Anonymous-
Sebuah karya sederhana untuk Bapak, Mama, dan adik
tercinta, juga untuk segenap keluarga serta teman-teman
terkasih, yang tak pernah letih dalam memberi perhatian
lebih.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Peningkatan jumlah kendaraan bermotor dalam beberapa tahun terakhir
tentunya memberikan angin segar pada berbagai perusahaan yang bergerak di
bidang otomotif. Terlebih lagi perusahaan yang bertindak sebagai produsen dan
distributor suku cadang kendaraan bermotor. Tidak dapat dipungkiri bahwa
meningkatnya jumlah kendaraan bermotor selalu diiringi juga dengan tingginya
permintaan akan berbagai macam suku cadangnya. Oleh karena itu, tiap-tiap
perusahaan harus memutar otak untuk menyusun berbagai perencanaan yang
berkaitan dengan suplai dan persediaan barang.
Proses perencanaan tidak bisa lepas dari peramalan, sebab peramalan dapat
dijadikan acuan dalam pengambilan keputusan. Salah satu metode peramalan
yang sering digunakan adalah metode ARIMA (Autoregressive Integrated Moving
Average). Metode ARIMA sangat sesuai untuk peramalan jangka pendek. Metode
ini memang terlihat sederhana, namun mempunyai tingkat keakuratan yang cukup
tinggi. Pada penelitian ini, metode ARIMA akan digunakan untuk peramalan
suplai suku cadang kendaraan bermotor, agar persediaan barang menjadi optimal.
Data yang digunakan dalam penelitian merupakan data suplai suku cadang
kendaraan bermotor periode Januari 2015 – Januari 2017.
Berdasarkan hasil peramalan dengan metode ARIMA, diperoleh kesimpulan
bahwa suplai suku cadang kendaraan bermotor tidak mengalami kenaikan ataupun
penurunan yang signifikan. Banyaknya suplai masih berada pada batas wajar,
yaitu berfluktuasi pada kisaran 10.000 sampai 11.000, dalam periode dua belas
minggu ke depan.
Kata kunci: peramalan, suplai, ARIMA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
The increase in the number of motor vehicles in recent years certainly provide
big chance on various companies engaged in automotive. Moreover, the company
acting as a manufacturer and distributor of automobile parts. It can not be denied
that the increasing number of motor vehicles is always accompanied by high
demand for various spare parts. Therefore, each company must have to develop
various plans that related to the supply and inventory.
Planning process can not be separated from forecasting, because forecasting
can be used as a reference in decision making. One of the most frequently used
forecasting methods is the ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)
method. The ARIMA method is well suited for short-term forecasting. This
method does look simple, but has a fairly high level of accuracy. In this research,
ARIMA method will be used for forecasting the supply of automobile parts, so
that the inventory becomes optimal. The data used in this research is motor
vehicle spare parts supply data from January 2015 - January 2017.
Based on the result of forecasting with ARIMA method, it can be concluded
that the supply of automobile parts does not increase or decrease significantly.
The amount of supply is still within reasonable limits, ie fluctuating in the range
of 10,000 to 11,000, within the next twelve-week period.
Keyword: forecasting, supply, ARIMA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur saya haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus, oleh
karena berkat dan anugerah-Nya yang melimpah, juga atas kasih setia-Nya yang
besar sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir yang berjudul:
“Penerapan Metode ARIMA untuk Peramalan Suplai Suku Cadang
Kendaraan Bermotor”, dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di
Universitas Sanata Dharma.
Dalam penyusunan tugas akhir ini, tentunya tidak lepas dari dukungan dan
bantuan berbagai pihak, baik perorangan maupun instansi/lembaga. Oleh karena
itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima
kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas
akhir yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta atas
kesabarannya dalam memberikan berbagai ilmu sehingga tugas akhir ini
dapat terselesaikan.
2. Bapak YG. Hartono, S.Si, M.Sc., Ph.D., selaku Kepala Program Studi
Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik yang selalu
memberikan motivasi dan dorongan moral selama kegiatan perkuliahan.
3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan fakultas Sains
dan Teknologi.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,
Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusi Krismiyati
Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah
memberikan berbagai wawasan dan pengetahuan kepada penulis selama
proses perkuliahan.
5. Kedua orangtuaku tercinta, Bapak Yohanes Andum B., Mama Chatarina
Rosarianti, adikku Bernadetta Andina Rosa N., dan segenap keluarga terdekat
yang selalu memberikan perhatian, dukungan, doa, dan semangat sehingga
penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL…………………………………………………………….... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………………. iii
HALAMAN PERNYATAAN…………………………………………………… iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………………….. v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS………………………………………... vi
HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………………… vii
ABSTRAK……………………………………………………………………… viii
ABSTRACT……………………………………………………………………… ix
KATA PENGANTAR……………………………………………………………. x
DAFTAR ISI……………………………………………………………………..xii
BAB I PENDAHULUAN………………………………………………………… 1
A. Latar Belakang Masalah……………………………………………………. 1
B. Rumusan Masalah…………………………………………………………...3
C. Batasan Masalah……………………………………………………………. 4
D. Tujuan Penulisan…………………………………………………………… 4
E. Manfaat Penulisan………………………………………………………….. 4
F. Metode Penulisan……………………………………………………………5
G. Sistematika Penulisan………………………………………………………. 5
BAB II LANDASAN TEORI…………………………………………………….. 6
A. Data Runtun Waktu………………………………………………………… 6
B. Pola Data Runtun Waktu…………………………………………………… 7
C. Proses Stokastik…………………………………………………………… 10
D. Stasioneritas……………………………………………………………….. 12
E. Transformasi Data Runtun Waktu………………………………………… 14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
F. Fungsi Autokovariansi, fungsi Autokorelasi (ACF) dan fungsi
Autokorelasi Parsial (PACF)……………………………………………… 16
G. Model Runtun Waktu……………………………………………………... 19
H. Estimasi…………………………………………………………………….26
BAB III METODE BOX-JENKINS…………………………………………….. 40
A. Peramalan (Forecasting)………………………………………………….. 40
B. Tahapan Peramalan dengan Metode Box-Jenkins………………………… 41
BAB IV APLIKASI METODE BOX-JENKINS UNTUK PERAMALAN SUKU
CADANG KENDARAAN BERMOTOR……………………………... 48
A. Metode Penelitian…………………………………………………………. 48
B. Peramalan Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor dengan Metode
Box-Jenkins……………………………………………………………….. 49
BAB V PENUTUP……………………………………………………………….59
A. Kesimpulan………………………………………………………………... 59
B. Saran………………………………………………………………………. 59
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………… 60
LAMPIRAN……………………………………………………………………... 63
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Peramalan (forecasting) adalah seni dan ilmu yang digunakan untuk
memperkirakan sesuatu yang belum terjadi atau yang akan terjadi pada waktu
mendatang. Peramalan merupakan bagian dari cabang ilmu statistika yaitu
statistika inferensi. Namun, dalam perkembangannya ilmu ini lebih sering
diasosiasikan dengan cabang ilmu ekonometrika. Peramalan merupakan salah satu
unsur yang sangat penting dalam proses pengambilan keputusan. Data masa lalu
dikumpulkan, dipelajari, dianalisis dan dihubungkan dengan perjalanan waktu.
Berdasarkan data hasil analisis tersebut dapat diperoleh estimasi / pendekatan
mengenai apa yang akan terjadi di masa yang akan datang. Pada situasi ini,
ketidakpastian menjadi kendala utama sehingga akan ada faktor akurasi /
ketelitian yang harus diperhitungkan.
Secara umum, peramalan dapat dilakukan melalui dua metode, yaitu metode
kuantitatif dan metode kualitatif. Metode kuantitatif melibatkan pengambilan data
pada masa lampau dan memproyeksikan data tersebut pada masa mendatang
dengan suatu bentuk model matematis. Metode ini biasa digunakan pada kondisi
yang stabil. Sementara, metode kualitatif merupakan prediksi intuisi yang bersifat
subjektif. Metode kualitatif digunakan apabila data yang akan dievaluasi, terbatas
dan cenderung berubah-ubah.
Selanjutnya, pada metode kuantitatif dan metode kualitatif masih dibedakan
lagi ke dalam beberapa model. Menurut Makridakis, metode kuantitatif dibedakan
menjadi dua, yaitu Model Runtun Waktu (time series models) dan Model Kausal
(causal models). Sementara metode kualitatif dibedakan menjadi empat, yaitu
Metode Delphi (Delphi Method), Juri dari Opini Eksekutif (jury of executive
opinion), Komposit dari Tenaga Penjualan (sales force composite), dan Survei
Konsumen Pasar (consumer market survey).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dalam meramalkan suatu nilai dari variabel tertentu di waktu yang akan
datang, harus diperhatikan dan dipelajari terlebih dahulu sifat dan perkembangan
dari variabel itu di waktu lampau. Nilai dari suatu variabel dapat diramalkan jika
sifat dari variabel tersebut diketahui di waktu sekarang dan di waktu yang lalu.
Untuk mempelajari bagaimana perkembangan historis suatu variabel, biasanya
nilai-nilai variabel itu diamati menurut urutan waktu. Model Runtun Waktu
merupakan salah satu model peramalan yang berkaitan erat dengan himpunan data
observasi yang disusun berdasarkan rentang waktu tertentu, atau yang biasa
disebut data runtun waktu. Rentang waktu disini dapat berupa tahun, bulan,
minggu, dan sebagainya. Pada perkembangan selanjutnya, runtun waktu juga
dapat didefinisikan sebagai himpunan variabel acak yang diindeks berdasarkan
urutan waktu. Sebagai contoh, asumsikan runtun waktu sebagai barisan variabel
acak , dengan merupakan nilai yang diambil pada periode waktu
pertama, merupakan nilai yang diambil pada periode waktu kedua,
merupakan nilai yang diambil pada periode waktu ketiga, dan seterusnya. Secara
umum, himpunan variabel acak * + yang diindeks oleh , , disebut proses
stokastik.
Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan
salah satu metode yang menggunakan data runtun waktu. Metode ARIMA
dikembangkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins pada tahun 1970. Metode
ini biasa digunakan pada data runtun waktu yang tidak memiliki pola tertentu.
Kelompok model runtun waktu yang termasuk dalam metode ini antara lain :
Autoregressive (AR), Moving Average (MA), Autoregressive-Moving Average
(ARMA), dan Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).
Dewasa ini, peranan dari peramalan sudah menjelajah ke berbagai bidang,
salah satunya bidang industri. Khususnya, industri kendaraan bermotor. Industri
ini merupakan salah satu dari sekian banyak industri yang berkembang pesat di
Indonesia. Berdasarkan data statistik (https://data.go.id/dataset/jumlah-
kendaraan-bermotor-unit), setiap tahun jumlah kendaraan yang terjual di
Indonesia terus mengalami peningkatan yang signifikan. Kendaraan bermotor
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
merupakan salah satu barang kebutuhan yang dalam penggunaannya memerlukan
barang pendukung lain, yaitu suku cadang. Dalam teori ekonomi, suku cadang
disebut sebagai barang komplementer (pelengkap) untuk kendaraan bermotor,
artinya barang tersebut selalu digunakan bersama-sama dengan barang yang
dilengkapinya (Yessa, 2016). Kenaikan atau penurunan permintaan dari barang
komplementer selalu sejalan dengan barang yang dilengkapinya. Jika angka
penjualan kendaraan bermotor meningkat, kebutuhan tiap suku cadangnya juga
akan cenderung meningkat (Asmoro, 2012).
Maka, perencanaan dan pengendalian suplai (pasokan) suku cadang dari
perusahaan yang bertindak sebagai pemasok, harus benar-benar diperhitungkan.
Perencanaan yang baik dapat dicapai dengan peramalan yang baik. Oleh karena
itu, perlu dilakukan suatu penelitian terkait tentang peramalan suplai suku cadang
kendaraan bermotor agar tercapai persediaan yang optimal dan sesuai dengan
permintaan konsumen. Dalam makalah ini, akan dibahas peramalan suplai suku
cadang kendaraan bermotor dengan metode ARIMA. Pada penelitian ini, objek
data yang diambil berupa rencana suplai bulanan suku cadang kendaraan bermotor
dari salah satu perusahaan yang bertindak sebagai pemasok.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, secara garis besar uraian rumusan
masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana landasan matematis model ARIMA?
2. Bagaimana merumuskan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan
bermotor dengan metode ARIMA?
3. Bagaimana memodelkan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan
bermotor dengan metode ARIMA?
4. Bagaimana menentukan ramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Batasan Masalah
Agar penulisan dan pembahasan isi menjadi lebih terarah dan tidak
menyimpang dari masalah yang dibahas, penulisan tugas akhir ini dibatasi, yaitu:
1. Membahas metode peramalan kuantitatif khususnya metode ARIMA yang
tidak memuat musiman.
2. Landasan teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan pokok
perkara tugas akhir.
3. Pendugaan parameter dan estimasi model dilakukan dengan menggunakan
program R.
4. Data yang digunakan adalah data suplai suku cadang kendaraan bermotor dari
Januari 2015-Januari 2017.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan tugas akhir ini selain
untuk memenuhi syarat tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas
Sanata Dharma, adalah sebagai berikut :
1. Mengetahui landasan matematis dari model ARIMA.
2. Merumuskan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor.
3. Memodelkan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor.
4. Menentukan ramalan untuk suplai suku cadang kendaraan bermotor.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan dari tugas akhir ini adalah:
1. Dapat memodelkan dan mengaplikasikan peramalan dengan metode ARIMA
dalam masalah suplai suku cadang kendaraan bermotor.
2. Dapat membantu berbagai pihak untuk meramalkan suplai suku cadang
kendaraan bermotor.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir yaitu studi
pustaka, yaitu dengan mempelajari buku atau jurnal yang berkaitan dengan
peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor. Penulis juga menggunakan
studi kasus untuk memperoleh data yang akan digunakan dalam penelitian.
G. Sistematika Penulisan
BAB I : PENDAHULUAN
Bab ini secara garis besar menjelaskan tentang latar belakang masalah,
rumusan masalah, dan juga tujuan penelitian.
BAB II : LANDASAN TEORI
Bab ini membahas definisi-definisi dan berbagai landasan teori yang terkait
dengan analisis data runtun waktu.
BAB III : METODE BOX-JENKINS
Bab ini membahas tentang metode Box-Jenkins yang digunakan dalam
peramalan dan beberapa tahapannya.
BAB IV : APLIKASI METODE BOX-JENKINS UNTUK PERAMALAN
SUPLAI SUKU CADANG KENDARAAN BERMOTOR
Bab ini menjelaskan tentang aplikasi metode Box-Jenkins untuk peramalan
dalam masalah suplai suku cadang kendaraan bermotor.
BAB V : PENUTUP
Bab ini berisi tentang kesimpulan yang diperoleh dari penelitian dan juga
saran dari penulis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas definisi-definisi dan berbagai landasan teori terkait
dengan analisis data runtun waktu.
A. Data Runtun Waktu
Definisi 2.1 Runtun waktu (time series)
Runtun waktu (time series) adalah koleksi dari variabel acak , yang diindeks
berdasarkan urutan waktu dengan .
Contoh :
Misalkan, runtun waktu merupakan barisan dari variabel acak ,
dengan merupakan nilai yang diambil pada periode waktu pertama,
merupakan nilai yang diambil pada periode waktu kedua, merupakan nilai
yang diambil pada periode waktu ketiga, dan seterusnya (Shumway dan Stoffer,
2011:11).
Dalam praktiknya, terdapat beberapa jenis data menurut waktu, yaitu:
1. Data cross-section, yakni jenis data yang terdiri atas variabel-variabel yang
dikumpulkan pada sejumlah individu atau kategori pada satu waktu tertentu.
Misalnya data penjualan perusahaan pada bulan Januari 2014, terdiri dari data
penjualan bersih dan data penjualan kotor pada bulan Januari 2014. Contoh
lainnya: data kinerja keuangan perusahaan pada bulan Juli 2011, terdiri dari
data DER (Debt to Equity Ratio), data ROA (Return On Assets), data laba
bersih (earning after interest and tax), dan data keuangan lainnya pada bulan
Juli 2011.
2. Data runtun waktu (time series), yakni jenis data yang terdiri atas variabel-
variabel yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu
tertentu untuk suatu kategori atau individu tertentu. Jika waktu dipandang
bersifat diskrit, frekuensi pengumpulan selalu sama. Pada kasus diskrit,
frekuensi dapat berupa detik, menit, jam, hari, minggu, bulan atau tahun, dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
lain-lain. Contohnya, data harian saham, data bulanan BI rate dari tahun 2008-
2014, dan lain-lain.
3. Data panel atau pooled, dapat dipandang sebagai gabungan dari data cross-
section dan data runtun waktu, yakni tipe data yang terdiri atas variabel-
variabel yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu
tertentu pada sejumlah individu / kategori. Contohnya: faktor eksternal dan
faktor internal perusahaan dari tahun 2009-2013; Jumlah ekspor dan impor
rempah-rempah Indonesia pada periode 2008-2010 per tiga bulanan
(triwulanan).
B. Pola Data Runtun Waktu
Langkah penting dalam memilih suatu model runtun waktu yang tepat
adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode yang paling
tepat dengan pola tersebut dapat diuji. Pola data runtun waktu dapat dibedakan
menjadi empat jenis, yaitu:
1. Pola Horizontal (H)
Pola ini terjadi apabila nilai data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang
konstan, yang membentuk garis horizontal. Data ini disebut juga dengan data
stasioner. Contoh plot data horizontal pada gambar 2.1 yaitu berupa plot data
jumlah curah hujan tahunan (Cryer dan Chan, 2008:2). Dapat dilihat bahwa
jumlah curah hujan bervariasi dalam kurun waktu 100 tahun. Adakalanya
jumlah curah hujan tinggi, terkadang juga rendah, ataupun berfluktuasi pada
suatu nilai tertentu. Pola horizontal tampak jelas dalam plot tersebut.
Jumlah Curah Hujan Tahunan di LA, California
Tahun
Inches
1880 1900 1920 1940 1960 1980
10
20
30
40
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.1
Contoh pola data horizontal
2. Pola Musiman (S)
Pola ini terjadi apabila suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya
kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu). Pola data
musiman dapat mempunyai pola musim yang berulang dari periode ke periode
berikutnya. Misalnya, pola yang berulang setiap bulan tertentu, tahun
tertentu atau pada minggu tertentu. Contoh dari data musiman ada pada gambar
2.2 yaitu plot kadar karbondioksida bulanan (Cryer dan Chan, 2008:227) . Dari
plot tersebut terlihat bahwa terjadi pola yang berulang setiap periode dua belas
bulan, sehingga bisa disimpulkan bahwa data tersebut merupakan pola data
musiman.
Gambar 2.2
Contoh pola data musiman
3. Pola Siklus (C)
Pola siklus terjadi bila data observasi berfluktuasi secara jangka panjang
membentuk pola sinusoid atau gelombang atau siklus. Pola siklus mirip dengan
pola musiman. Pola musiman tidak harus berbentuk gelombang, bentuknya
dapat bervariasi, namun waktunya akan berulang setiap tahun (umumnya).
Sementara pola siklus bentuknya selalu mirip gelombang sinusoid. Untuk
menentukan data berpola siklus tidaklah mudah. Pada pola musiman, rentang
waktu satu tahun dapat dijadikan pedoman, sedangkan rentang waktu
Kadar Karbondioksida Bulanan di Alert, NWT, Canada
Time
CO
2
1994 1996 1998 2000 2002 2004
350
360
370
380
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
perulangan pada pola siklus tidak tertentu. Pola siklus bisa terulang setelah
jangka waktu tertentu.
Pola ini biasanya akan kembali normal setiap 10 atau 20 tahun sekali, bisa juga
tidak terulang dalam jangka waktu yang sama. Ini yang membedakan antara
pola siklis dengan pola musiman. Gerakan siklus tiap barang / komoditas
mempunyai jarak waktu muncul dan sebab yang berbeda-beda, yang sampai
saat ini belum dapat dimengerti. Contoh yang menunjukkan pola siklis seperti,
industri konstruksi bangunan mempunyai gerakan siklus antara 15-20 tahun
sedangkan industri mobil dan pakaian gerakan siklusnya lebih pendek lagi.
Contoh lain dari data yang menunjukkan pola siklus ada pada gambar 2.3 yaitu
plot rata-rata temperatur bulanan (Cryer dan Chan, 2008:6). Dari plot tersebut
terlihat bahwa terjadi pola yang berulang yang membentuk pola sinusoid,
sehingga bisa disimpulkan bahwa data tersebut merupakan data yang memuat
pola siklus.
Gambar 2.3
Contoh pola data siklus
4. Pola Trend (T)
Pola trend terjadi apabila data observasi menunjukkan pola kecenderungan
gerakan penurunan atau kenaikan jangka panjang. Data yang kelihatannya
berfluktuasi, apabila dilihat pada rentang waktu yang panjang akan dapat
ditarik suatu garis maya yang disebut trend. Suatu data observasi yang
mempunyai trend disebut data nonstasioner. Plot data trend dicontohkan pada
gambar 2.4, yaitu berupa data pendapatan Johnson & Johnson tiap kuartal
Rata-rata Temperatur Bulanan, Dubuque, Iowa
Time
Tem
pera
tur
1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976
10
30
50
70
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
tahun (Shumway dan Stoffer, 2011:4). Dari plot tersebut dapat dilihat bahwa
terjadi pola tren naik pada tiap periode kuartal tahun.
Gambar 2.4
Contoh pola data trend naik
C. Proses Stokastik
Definisi 2.2 Proses Stokastik
Proses stokastik adalah keluarga variabel acak * + yang didefinisikan pada
ruang probabilitas ( ). Disini menunjukkan suatu himpunan yang
beranggotakan titik waktu.
Jika (himpunan bilangan real) atau (himpunan bilangan real
positif) model disebut runtun waktu kontinu.
Jika (himpunan bilangan bulat) atau (himpunan bilangan asli) model
disebut runtun waktu diskrit.
Lebih jauh, untuk yang tetap, ada fungsi ( ), yang disebut realisasi
dari proses stokastik. Suatu runtun waktu (time series) adalah proses stokastik
dengan T adalah himpunan waktu.
Definisi 2.3 Fungsi Distribusi Kumulatif (FDK) dari suatu proses stokastik
Misalkan T menyatakan himpunan dari semua vektor * ( )
+ Maka FDK (dimensi berhingga) dari * +
Pendapatan Johnson & Johnson Tiap Kuartal Tahun
Time
Pendapata
n
1960 1965 1970 1975 1980
05
10
15
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
adalah fungsi * ( ) + didefinisikan pada ( )
( ) sebagai
( ) ( ) ( )
( )( )
Definisi 2.4 Fungsi Mean / Nilai Harapan
Fungsi mean / nilai harapan dari suatu proses stokastik didefinisikan sebagai
( ) ( ) ∫ ( )
Fungsi ini menyatakan nilai rata-rata dari proses pada keseluruhan data runtun
waktu.
Definisi 2.5 Fungsi Kovariansi
Fungsi Kovariansi didefinisikan sebagai
( ) ( ) .( ( ))( ( ))/
dengan ( ) = fungsi kovariansi antara data pengamatan dan
= data runtun waktu ke-t
= data runtun waktu ke-s
( ) = rata-rata dari data runtun waktu
( ) = rata-rata dari data runtun waktu
Fungsi kovariansi menyatakan ukuran hubungan antar beberapa data runtun
waktu.
Definisi 2.6 Fungsi Korelasi
Fungsi Korelasi didefinisikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
( ) ( )
√ ( ) ( )
dengan ( ) = fungsi korelasi antara data pengamatan dan
( ) = fungsi kovariansi antara data pengamatan dan
( ) = fungsi variansi data pengamatan
( ) = fungsi variansi data pengamatan
Fungsi korelasi menyatakan derajat asosiasi (hubungan) antara dua data
pengamatan pada data runtun waktu.
D. Stasioneritas
Stasioneritas berarti bahwa tidak terjadinya pertumbuhan dan penurunan data.
Suatu data dapat dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada
kesetimbangan di sekitar nilai rata-rata yang konstan dan variansi di sekitar rata-
rata tersebut konstan selama waktu tertentu (Makridakis, 1999: 61). Data runtun
waktu dikatakan stasioner apabila tidak ada unsur trend dalam data dan tidak ada
unsur musiman atau rata-rata dan variansinya tetap.
Selanjutnya stasioneritas dibagi menjadi 2, yaitu:
1. Wide-Sense Stationary (Stasioner Lemah)
Proses stokastik * + dengan * + disebut
proses Stasioner W-S jika
(i) (| | )
(ii) ( ) konstanta, tidak bergantung pada t,
(iii) ( ) ( )
Jika * + stasioner, maka ( ) ( ), dengan fungsi
kovariansi hanya bergantung pada jarak waktu ( ) (tetapi tidak
bergantung pada dan/atau secara sendiri-sendiri).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Fungsi kovariansi untuk proses stasioner dapat didefinisikan ulang sebagai
( ) ( ) ( )
dibaca sebagai kovariansi pada lag- . Secara ekuivalen, fungsi korelasi
dari proses * + stasioner pada lag- didefinisikan sebagai
( ) ( )
( ) ( )
2. Strictly Stationary (Stasioner Kuat)
Proses stokastik * + disebut bersifat stasioner kuat jika fungsi
distribusi kumulatif (FDK) dari ( ) dan ( )
sama untuk semua nilai dan untuk semua . Dengan
kata lain, seluruh sifat statistik dari proses stokastik yang bersifat stasioner
kuat tidak berubah karena pergeseran waktu.
Selain itu, stasioneritas dapat ditentukan berdasarkan pola data runtun waktu
yang dapat dilihat dari plot grafiknya. Secara visual, stasioneritas dari data
runtun waktu dapat dibagi menjadi 2, yaitu :
1. Stasioner dalam mean (rata-rata)
Stasioner dalam mean adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai
rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari
fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data seringkali dapat diketahui bahwa
data tersebut stasioner atau tidak stasioner.
2. Stasioner dalam Variansi
Suatu data runtun waktu dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur
data dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan
dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat
dibantu dengan menggunakan plot runtun waktu, yaitu dengan melihat
fluktuasi data dari waktu ke waktu.
Di dalam analisis runtun waktu, asumsi stasioneritas data merupakan sifat yang
penting. Pada model stasioner, sifat-sifat statistik di masa yang akan datang dapat
diramalkan berdasarkan data historis yang telah terjadi di masa lalu. Oleh karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
itu, untuk mengetahui kestasioneran data runtun waktu perlu dilakukan pengujian
terhadap data tersebut. Pengujian stasioneritas dari suatu data runtun waktu dapat
dilakukan dengan beberapa cara berikut.
1. Pengujian kestasioneran data dalam mean dapat menggunakan plot dari
data dalam urutan waktu, plot fungsi autokorelasi (ACF), dan plot fungsi
autokorelasi parsial (PACF). Jika data mengandung komponen tren, data
nonstasioner dalam mean dan plot ACF/PACF akan meluruh secara
perlahan. ACF dan PACF akan didefinisikan kemudian.
2. Pengujian kestasioneran dalam variansi dapat menggunakan plot ACF dan
PACF dari residual kuadrat.
3. Stasioneritas dari data juga dapat diperiksa dengan mengamati apakah data
runtun waktu mengandung akar unit (unit root), yakni apakah terdapat
komponen tren dalam data. Konsep tentang akar unit akan dibahas pada
halaman 22. Beberapa metode yang sering digunakan dalam uji akar unit,
di antaranya adalah Dickey-Fuller dan Augmented Dickey - Fuller.
Setelah dilakukan pengujian kestasioneran data, kita dapat mengetahui apakah
data tersebut stasioner atau tidak. Apabila data tidak stasioner, maka data tersebut
harus dibuat mendekati stasioner dengan menggunakan transformasi data.
E. Transformasi Data Runtun Waktu
Pada data runtun waktu yang tidak stasioner dalam mean maupun tidak
stasioner dalam variansi, perlu dilakukan suatu transformasi data agar nantinya
dapat diperoleh data yang stasioner. Beberapa jenis transformasi yang sering
digunakan sebagai berikut.
1. Differencing (Pembedaan)
Salah satu jenis transformasi yang sering digunakan dalam analisis
runtun waktu adalah transformasi diferens. Differencing dilakukan untuk
menstasionerkan data nonstasioner. Operator langkah mundur (backward
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
shift) sangat tepat untuk menggambarkan proses differencing (Makridakis,
1999:383). Penggunaan backward shift adalah sebagai berikut :
(2.1)
dengan = nilai variabel X pada waktu
= nilai variabel X pada waktu
B = backward shift
Notasi B yang dipasang pada X mempunyai pengaruh untuk menggeser data
satu satuan waktu ke belakang. Sebagai contoh, jika suatu data time series
nonstasioner maka data tersebut dapat dibuat mendekati stasioner dengan
melakukan differencing orde pertama dari data. Rumus untuk differencing
orde pertama, yaitu :
(2.2)
dengan = nilai variabel X pada waktu t setelah differencing.
Dengan menggunakan notasi backward shift persamaan (2.2) dapat ditulis
menjadi :
atau
( )
2. Transformasi Logaritma
Untuk menstabilkan variansi dari data runtun waktu, dapat digunakan
transformasi Box-Cox. Salah satu jenis transformasi Box-Cox yang sering
digunakan adalah transformasi logaritma, yang biasanya digabungkan dengan
melakukan pembedaan terhadap data hasil transformasi logaritma.
Transformasi logaritma dilakukan dengan cara memberikan operasi logaritma
pada data runtun waktu.
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F. Fungsi Autokovariansi, fungsi Autokorelasi (ACF) dan fungsi
Autokorelasi Parsial (PACF)
Pada subbab ini, akan dibahas beberapa fungsi yang berkaitan langsung
dengan analisis data runtun waktu model ARIMA. Fungsi-fungsi tersebut adalah
fungsi autokovariansi, fungsi autokorelasi, dan fungsi autokorelasi parsial.
Definisi 2.7 Fungsi Autokovariansi
Fungsi Autokovariansi didefinisikan sebagai
( ), untuk (2.3)
dengan
( ) ,( )( - ( )
dengan = autokovariansi pada lag-k
= nilai variabel X pada waktu t+k
= rata-rata
Definisi 2.8 Fungsi Autokorelasi (ACF)
Autokorelasi merupakan korelasi atau hubungan keeratan antar pengamatan dalam
suatu data runtun waktu. Koefisien autokorelasi untuk lag---k dari data runtun
waktu dinyatakan sebagai berikut:
( )
√ ( ) ( )
,( )( -
√ ( ) √ ( )
(2.4)
Definisi 2.9 Fungsi Autokorelasi Parsial
Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) pada lag-k adalah korelasi di antara dan
setelah dependensi linear antara dan , variabel antara
diabaikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lebih lanjut, fungsi PACF akan dijabarkan dalam proses berikut. Misalkan
* + adalah suatu proses stasioner dengan mean nol. Misalkan dapat ditulis
sebagai model linear :
dengan adalah parameter ke-i dari persamaan regresi, dan adalah
komponen error yang tidak berkorelasi dengan untuk
Kalikan dengan pada kedua sisi dan ambil nilai harapannya, maka
diperoleh :
( ) ( ) (
)
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Untuk j=1,2,…,k diperoleh sistem persamaan berikut (subsitusikan ( )
( ))
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
. . . . .
. . . . .
. . . . .
( ) ( )
( ) ( )
atau dapat ditulis dalam bentuk matriks :
[
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ]
[
]
[ ( )
( )
( )
( )]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
atau
dengan
[
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ]
[
]
, dan
[ ( )
( )
( )
( )]
Menggunakan metode Cramer diperoleh nilai-nilai fungsi autokorelasi parsial
untuk lag
|
|
|
|
|
|
|
|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
|
|
|
|
Selanjutnya, akan dibahas Algoritma Durbin-Levinson yang akan digunakan
dalam estimasi PACF.
Teorema 2.1 Algoritma Durbin-Levinson untuk PACF (Rosadi, 2011:69)
Jika * + adalah proses yang stasioner dengan mean 0 dan memiliki kovariansi
( ) dan ACF ( ) sedemikian hingga ( ) dan ( ) jika maka
PACF dapat dihitung secara rekursif sebagai
( ) ∑ ( )
∑ ( )
dengan nilai awal ( ).
G. Model Runtun Waktu
Salah satu langkah yang paling penting dalam proses peramalan adalah
menentukan model yang tepat dan sesuai. Model merupakan representasi simbolik
dari realita (Makridakis, 1999:524). Dengan adanya model, proses peramalan
menjadi lebih teratur dan terarah. Peramalan dengan metode kuantitatif dilakukan
dengan melibatkan pengambilan data masa lalu dan menempatkannya ke masa
yang akan datang dengan suatu bentuk model yang matematis. Dalam metode
tersebut, model spesifik digunakan untuk merepresentasikan pola dasar yang
dimuat dalam data runtun waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1. Proses White Noise
Definisi 2.11
Proses White Noise * + adalah barisan variabel random yang tidak berkorelasi
dengan mean (sering diasumsikan bernilai 0) dan variansi , yakni
( ) {
Dari definisi 2.11 diperoleh bahwa
( ) {
( ) {
Dengan demikian proses White Noise bersifat stasioner. Proses ini menjadi dasar
bagi proses stasioner lainnya dan sering ditulis dengan ( ).
Contoh 2.1:
Diberikan contoh koleksi dari 500 variabel acak dengan , dapat diperoleh
plot grafik pada gambar 2.5, grafik dibuat dengan menggunakan program R yang
prosesnya dapat dilihat pada lampiran 1 (Shunway dan Stoffer, 2011:12).
Gambar 2.5
Plot Grafik White Noise
White Noise
Time
w
0 100 200 300 400 500
-2-1
01
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2. Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive didasarkan pada ide bahwa nilai saat ini pada deret
, dapat dinyatakan sebagai fungsi dari nilai di masa lampau,
dengan adalah banyaknya langkah menuju ke masa lampau
yang diperlukan untuk meramalkan nilai saat ini.
Definisi 2.12
Suatu model autoregressive dengan orde , yang dinotasikan ( ),
mempunyai bentuk sebagai berikut
, (2.5)
dengan stasioner, dan adalah konstanta. Diasumsikan white
noise dengan rata-rata 0 dan variansi . Lebih lanjut, jika rata-rata adalah ,
subsitusi dengan akan diperoleh
( ) ( ) ( ) ,
atau dapat ditulis
,
dengan ( ).
Lebih jauh, dapat juga ditulis dalam bentuk
( )
Contoh 2.2:
Berdasarkan contoh pada proses white noise, dapat dihitung output menggunakan
persamaan orde kedua
untuk .
Dari persamaan tersebut diperoleh plot grafik pada gambar 2.6, grafik dibuat
dengan menggunakan program R yang dapat dilihat pada lampiran 1 (Shunway
dan Stoffer, 2011:14).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.6
Plot Grafik Autoregressive
3. Akar Unit (Unit Root)
Masalah akar unit pada runtun waktu berkaitan dengan akar-akar polinomial
autoregresifnya (Rusdi, 2011: 68). Untuk memahami konsep akar unit, pandang
model runtun waktu ( ) :
( )
Model runtun waktu ( ) dikatakan mempunyai akar unit jika
Lebih jauh, model runtun waktu ( ) :
( )
dikatakan mempunyai akar unit jika
∑
Model runtun waktu yang mempunyai akar unit merupakan model runtun waktu
yang tidak stasioner, namun tidak berlaku sebaliknya (Jing, 2014). Untuk
Autoregressive
Time
x
0 100 200 300 400 500
-50
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
memeriksa akar unit pada suatu model runtun waktu, dapat dilakukan dengan
menggunakan uji Dickey – Fuller atau Augmented Dickey – Fuller. Pada model
( ) uji akar unit dikatakan tidak relevan sehingga dapat diabaikan (Magee,
2013).
Contoh 2.3:
Diketahi model runtun waktu ( ) :
( )
Dapat ditulis dengan operator backshift sebagai berikut :
( )
dengan
( ) merupakan polinomial dalam operator dan dinamakan
polinomial autoregresif , ( ) polinomial berderajat 1 dalam . Akar
polinomial autoregresif adalah penyelesaian dari ( )
Jadi, polinomial ( ) mempunyai akar
, sebab ( ) apabila
. Jika
diperoleh sehinga dinamakan akar unit dan mempunyai akar
unit.
4. Model Moving Average (MA)
Sebagai suatu alternatif dari representasi autoregressive, dengan pada
ruas kiri dari persamaan (2.5) diasumsikan sebagai kombinasi linear, model
moving average dengan orde , ditulis dengan ( ), mengasumsikan white
noise pada ruas kanan dari persamaan yang didefinisikan merupakan suatu
kombinasi linear untuk membentuk data yang diobservasi.
Definisi 2.13
Model Moving Average dengan orde , atau model ( ), didefinisikan sebagai
(2.6)
dengan terdapat lag dalam moving average dan …, ( ) adalah
konstanta. Diasumsikan white noise dengan mean 0 dan variansi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Model moving average juga dapat ditulis dengan menggunakan operator
Backshift, yaitu
( )
Contoh 2.4:
Diketahui model Moving Average(MA),
( )
Dari persamaan tersebut dapat dibentuk plot sebagai berikut (gambar 2.7), grafik
dibuat dengan menggunakan program R yang dapat dilihat dalam lampiran 1
(Shunway dan Stoffer, 2011:13).
Gambar 2.7
Plot Grafik Moving Average
5. Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Model ini merupakan gabungan antara model Autoregressive (AR) dan
model Moving Average (MA). Suatu runtun waktu * + merupakan ARMA( )
jika * + stasioner dan
Moving Average
Time
v
0 100 200 300 400 500
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan dan Secara berturut-turut, parameter dan
disebut orde dari autoregressive dan moving average.
Jika mempunyai rata-rata tak nol dan didefinisikan
( ) maka model ARMA ( ) dapat ditulis sebagai
berikut
(2.7)
dengan asumsi white noise dengan mean 0 dan variansi .
Model ARMA ( ) juga dapat ditulis dengan menggunakan operator backshift
( ) ( )
Beberapa kejadian khusus pada model ARMA, yaitu :
a. Saat model ini disebut model autoregressive dengan orde p, ( )
b. Saat model ini disebut model moving average dengan orde q, ( )
6. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan
gabungan dari model AR(p), proses differencing, dan model MA(q). Dengan kata
lain, apabila unsur nonstasioner ditambahkan pada model campuran ARMA maka
model umum ( ) terpenuhi. Bentuk umum ( ) dapat
ditulis menggunakan bentuk operator backshift yaitu :
( )( ) ( )
(2.8)
dengan
( ) (
) adalah operator backshift untuk AR
(Autoregressive)
( ) (
) adalah operator backshift untuk MA
(Moving Average)
( ) adalah proses differencing orde ke-d
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
H. Estimasi
Salah satu langkah yang paling penting dalam peramalan yaitu estimasi atau
pendugaan. Estimasi adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk
menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.
Dalam kasus ini, populasi yang digunakan berupa data runtun waktu. Pada subbab
ini, akan dibahas beberapa estimasi fungsi dan model yang digunakan dalam
proses peramalan.
1. Estimasi Mean
Misalkan ( ) adalah fungsi mean dari suatu proses (W-S) stasioner.
Diberikan data maka penduga untuk fungsi mean diberikan oleh
∑
(2.9)
Diperoleh ( )
yang merupakan penduga tak bias untuk . Tak bias
artinya nilai harapan dari penduga sama dengan parameter yang diduga.
2. Sampel Autokovariansi
Estimator untuk koefisien autokovariansi dapat didefinisikan sebagai
∑( )( )
atau
∑( )( )
(2.10)
dengan = koefisien autovarian lag-k
= ukuran sampel
= rata-rata pengamatan
= pengamatan pada waktu ke-t
= pengamatan pada waktu ke- , dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3. Sampel Autokorelasi (ACF)
Koefisien fungsi autokorelasi pada persamaan (2.4) dapat diduga dengan
koefisien autokorelasi sampel, yaitu
∑ ( )( )
∑ ( )
(2.11)
dengan koefisien autokorelasi lag-k
Contoh 2.5 :
Diberikan contoh cara menghitung secara numerik fungsi autokorelasi, dengan
diketahui data runtun waktu pada tabel 2.1
Tabel 2.1
Data runtun waktu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 8 15 7 6 5 10 12 11 14
Autokorelasi sampel untuk data runtun waktu pada tabel 2.1 dapat dihitung
dengan persamaan (2.11)
∑ ( )( )
∑ ( )
dengan dan . Misalkan , sehingga
diperoleh
∑ ( )( )
∑ ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
adalah koefisien autokorelasi pada lag 0, adalah koefisien autokorelasi
pada lag 1. Dengan cara yang sama, dapat dihitung koefisien autokorelasi
, dan seterusnya.
Setelah dihitung semua nilai koefisiennya, diperoleh plot grafik ACF sebagai
berikut:
Gambar 2.8
Plot Grafik Sampel ACF
4. Sampel PACF
Koefisien fungsi autokorelasi parsial pada persamaan (2.5), dapat diduga
dengan koefisien autokorelasi parsial sampel secara rekursif. Metode rekursif
dimulai dengan . Untuk perhitungan diberikan sebagai berikut
0 2 4 6 8
-0.5
0.0
0.5
1.0
Lag
AC
F
Series data_contoh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑
∑
(2.12)
dan
(2.13)
dengan
koefisien autokorelasi parsial
Contoh 2.6
Berdasarkan pada contoh 2.5, selanjutnya dapat dihitung koefisien auokorelasi
parsial dengan menggunakan persamaan (2.12) dan (2.13). Pada proses
perhitungan koefisien sampel ACF diperoleh dan
, selanjutnya dapat dicari koefisien autokorelasi parsial yaitu
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
Untuk lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama seperti contoh di atas.
Kemudian, dapat diperoleh plot grafik PACF sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.9
Plot Grafik Sampel PACF
5. Estimasi Model Autoregressive (AR)
Asumsikan bahwa data runtun waktu adalah realisasi dari proses ( ) yang
dapat digambarkan dengan persamaan
dengan adalah proses ( ). Akan diestimasi parameter
dan berdasarkan observasi .
Salah satu metode estimasi paramater adalah metode maksimum likelihood yang
prinsipnya menentukan penduga parameter , yang dapat
memberikan nilai likelihood (kemungkinan) paling besar.
Definisi 2.14
Fungsi likelihood adalah suatu fungsi dari parameter dari model statistik
( | ) ( | )
2 4 6 8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Lag
Part
ial A
CF
Series data_contoh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan adalah data sampel, ( | ) adalah fungsi densitas peluang
dengan data pengamatan dari parameter .
Definisi 2.15
Misalkan adalah fungsi densitas peluang bersama dari ( ) yang
bergantung pada parameter , yaitu ( ) ( | ). Nilai dari yang
menghasilkan nilai maksimum untuk ( ) disebut Maximum Likelihood
Estimator (MLE) dan dinyatakan dalam simbol . Jadi,
( | )
( | )
Diketahui, nilai harapan dari untuk dengan adalah
, | - ( ) ( )
dan variansi bersyarat yaitu
( | ) ( )
dimana semua distribusi bersyarat untuk normal dengan rata-rata
sama dengan prediksi pada langkah pertama dan variansi .
Fungsi likelihood bersyarat diperoleh dari fungsi densitas gabungan dari data
observasi ( ) bersyarat pada orde p yang pertama :
( | )
∑ ( ∑ ( )
)
(2.14)
Memperhatikan persamaan (2.14), diperoleh bahwa maksimisasi fungsi L
terhadap parameter dan adalah ekuivalen dengan minimisasi dari jumlahan
kuadrat dari prediksi galat pada langkah pertama dan dapat ditulis sebagai berikut
∑
∑ ( ∑ ( )
)
(2.15)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan ( ∑ ( ))
Selanjutnya, diperoleh penduga untuk yaitu
( ) ∑
Untuk penduga bagi dapat diperoleh sebagai derivatif parsial dari L relatif
terhadap , yaitu
∑ ( ∑
)
Diperoleh penyelesaian untuk sebagai berikut
∑ ( ∑
)
Kemudian, untuk mendapatkan penduga , subsitusikan dengan pada
persamaan (2.15) dan misalkan ( ) dapat diperoleh:
( ∑
)
( ∑ ( )
)
(2.16)
Contoh 2.6 :
Diketahui persamaan untuk model ARIMA(1,0,0) atau AR(1) :
Akan diduga parameter dengan diketahui data seperti pada contoh 2.5 pada
tabel 2.1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 8 15 7 6 5 10 12 11 14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Karena dan , maka berdasarkan persamaan (2.16) diperoleh :
∑ ( )( )
∑ ( )
(( )( )) (( )( )) (( )( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Jadi, diperoleh nilai koefisien untuk persamaan model AR(1) adalah
.
6. Estimasi Model Moving Average (MA)
Diketahui proses dibangkitkan oleh proses MA(q)
dengan adalah proses White Noise dengan mean 0 dan variansi , dan
adalah suatu konstanta yang tidak berhubungan dengan . Pada bagian ini akan
ditentukan penduga untuk parameter-parameter dan
berdasarkan observasi .
Untuk mendapatkan penduga maksimum likelihood, perlu dibentuk fungsi
densitas gabungan Diasumsikan bahwa proses White Noise
berdistribusi normal, sehingga juga akan berdistribusi normal.
Berdasarkan fungsi densitas peluang dari ,
Pendekatan sederhana pada asumsi bahwa nilai q yang pertama dari adalah nol:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Misalkan, menyatakan ( ) vektor ( ) . Maka
( | ) ( )
atau dapat ditulis
| ( | )
√ [
( )
]
√ 0
1
Selanjutnya, berdasarkan distribusi dari pengamatan kedua bersyarat dengan
, diperoleh
Lebih jauh, pengamatan yang diberikan pada , nilai dari maka dapat
diketahui secara jelas:
dan
dengan
( | ) (( ) ),
yang artinya
| ( | )
√ [
( )
]
√ 0
1
Karena sudah diketahui, maka dapat dicari
Berdasarkan langkah-langkah perhitungan di atas, dapat diketahui bahwa ,
untuk memperoleh deret yang lengkap * + dapat dihitung dari
* + melalui iterasi pada
untuk , dimulai dari . Fungsi likelihood (bersyarat pada
) dari keseluruhan sampel dapat dihitung sebagai hasil dari masing-masing
densitas:
| ( | )
| ( | ) ∏ | ( | )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Logaritma dari fungsi likelihood bersyarat adalah
( ) | ( | )
( )
( ) ∑
( )
Fungsi tersebut merupakan persamaan non-linear dari dan sehingga sulit
untuk diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, perhitungan dilakukan dengan
bantuan program R.
Contoh 2.7 :
Diketahui persamaan untuk model ARIMA(0,0,1) atau MA(1) :
Akan diduga parameter dengan diketahui data seperti pada contoh 2.4 pada
tabel 2.1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 8 15 7 6 5 10 12 11 14
Proses perhitungan penduga untuk parameter dari model MA(1) tidak dapat
dilakukan secara analitik, oleh karena itu penulis menggunakan program R.
Dengan bantuan program R, diperoleh nilai pendugaan yaitu .
Dengan perintah dalam program R sebagai berikut:
> data=read.csv(file.choose())
> xt=data[,2]
> arima(xt,c(0,0,1))
Call:
arima(x = xt, order = c(0, 0, 1))
Coefficients:
ma1 intercept
0.0777 10.0469
s.e. 0.2897 1.1015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
sigma^2 estimated as 10.32: log likelihood = -25.86, aic = 57.73
7. Estimasi Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Diketahui persamaan untuk model MA(1) :
dengan nilai harapan 0.
Nilai harapan dari bergantung pada nilai sebelumnya, seperti pada AR dan
untuk memperolehnya kita harus menyatakan sebagai fungsi dari nilai
sebelumnya. Dimulai dengan , karena , dan ,
dapat diperoleh :
dan ambil nilai harapan dari persamaan di atas, dengan mengasumsikan
( | ) , sehingga diperoleh nilai harapan dari distribusi bersyarat :
( | )
dan variansi
( | ) ( )
Kemudian, dengan cara yang sama untuk diperoleh :
dengan
( | )
dan
( | ) ( )
Persamaan-persamaan di atas merupakan persamaan non-linear dalam parameter
dan sulit untuk memperoleh solusinya dalam proses MA(q). Oleh karena itu,
digunakan alternatif lain untuk memperoleh nilai dari parameter . Akan diamati
setiap nilai dari parameter dengan persamaan :
(2.17)
Dan selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.17) dilakukan perhitungan
secara rekursif untuk , yang bergantung pada suatu nilai awal .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Ambil , dapat dihitung semua kemungkinan nilai yang dimulai dari .
Sehingga diperoleh :
( | )
dan
( | ) ,( ) -
, -
dengan fungsi likelihood bersyarat :
( | ) ( )
∑
Maksimisasi dari fungsi tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan
penyelesaian dari algoritma non-linear. Penduga dari fungsi likelihood pada model
ARMA(p,q) dapat diperoleh dengan menggunakan prinsip yang sama.
Misalkan, ( ) dan ( ) merupakan vektor parameter,
fungsi likelihood bersyarat yaitu :
( | ) ( )
∑
(2.18)
Sehingga dapat diperoleh
( | ), yang dapat dihitung dari vektor
dan dari nilai awal. Penduga tersebut dihitung secara rekursif dengan rata-
rata dari :
(2.19)
dengan dan ( ) dengan asumsi nilai r
(residual) awal 0.
Maksimisasi dari persamaan (2.18) memerlukan nilai awal dari parameter yang
dapat diperoleh dengan menggunakan algoritma Hannan-Rissanen.
Dalam algoritma Hannan-Rissanen, akan dicari penduga awal dari proses
ARMA(p,q) melalui dua langkah, yaitu :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1.) Penduga dari residual model dapat diperoleh dengan menggunakan AR
dari orde . Misalkan, adalah koefisien yang diduga dari
persamaan (2.16). Residualnya dapat dihitung dengan rata-rata dari :
∑
2.) Dengan menggunakan residual yang diduga pada langkah (1), dapat
diduga regresi :
(2.20)
Penduga dari regresi tersebut memberikan penduga awal.
Algoritma Hannan-Rissanen dapat digunakan untuk memperoleh penduga dari
model ARMA dengan melakukan iterasi seperti langkah di atas yang memerlukan
persamaan regresi. Selain itu, dengan menggunakan parameter yang diduga pada
langkah (2) dapat dihitung nilai residual-residual baru dengan mengulang penduga
dari persamaan (2.20) sampai konvergensi dipenuhi.
Contoh 2.8 :
Diketahui persamaan untuk model ARIMA(1,0,1) atau ARMA(1,1) :
Akan diduga parameter dan dengan diketahui data seperti pada contoh 2.4
pada tabel 2.1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 8 15 7 6 5 10 12 11 14
Kesulitan yang sama dalam pendugaan parameter model MA juga terjadi pada
pendugaan parameter model ARMA. Proses perhitungan penduga untuk
parameter dan juga tidak dapat dilakukan secara analitik, oleh karena itu
penulis menggunakan program R. Dengan bantuan program R, diperoleh nilai
pendugaan yaitu dan . Dengan perintah dalam
program R sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> data=read.csv(file.choose())
> xt=data[,2]
> arima(xt,c(1,0,1))
Call:
arima(x = xt, order = c(1, 0, 1))
Coefficients:
ar1 ma1 intercept
0.1957 -0.0935 10.0738
s.e. 1.0651 1.0271 1.1605
sigma^2 estimated as 10.29: log likelihood = -25.85, aic = 59.7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
BAB III
METODE BOX-JENKINS
A. Peramalan (Forecasting)
1. Definisi dan Tujuan Peramalan
Peramalan merupakan prediksi nilai-nilai sebuah variabel berdasarkan pada
nilai yang diketahui dari variabel tersebut atau variabel yang berhubungan
(Makridakis, 1999:519). Peramalan menjadi dasar untuk berbagai perencanaan
dan proses pengambilan keputusan sehingga tak jarang peramalan disebut sebagai
bagian integral dari kegiatan pengambilan keputusan (Makridakis, 1999:4). Pada
berbagai peristiwa yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari, seringkali terdapat
senjang waktu antara kesadaran akan kebutuhan mendatang dengan peristiwa itu
sendiri. Oleh karena itu, peramalan diperlukan untuk menetapkan kapan suatu
peristiwa akan terjadi atau timbul sehingga tindakan yang tepat dapat dilakukan
(Makridakis, 1999:3).
Selanjutnya, peramalan memegang peranan penting dalam berbagai aspek
bidang, terutama bidang yang sangat berkaitan erat dengan proses perencanaan,
yaitu ekonomi dan manajemen. Dalam perkembangannya, setiap perusahaan
ataupun organisasi yang bergerak di bidang tersebut akan semakin meningkatkan
usahanya untuk mengurangi ketergantungan pada hal-hal yang belum pasti. Hal
itu berakibat pada meningkatnya kebutuhan akan peramalan.
2. Klasifikasi Peramalan
Peramalan dapat diklasifikasikan berdasarkan periode waktunya, yaitu :
a. Peramalan Jangka Pendek
Meliputi jangka waktu kurang dari tiga bulan sampai dengan satu tahun.
Biasanya, ditujukan untuk merencanakan pembelian bahan baku, jadwal
kerja, tenaga kerja, dan tingkat produksi.
b. Peramalan Jangka Menengah
Meliputi jangka waktu bulanan sampai dengan tiga tahun. Ditujukan untuk
merencanakan penjualan, anggaran produksi, dan kas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
c. Peramalan Jangka Panjang
Meliputi jangka waktu tiga tahun atau lebih. Ditujukan untuk merencanakan
produk baru, pembelanjaan modal, pengembangan lokasi dan fasilitas, serta
penelitian dan pengembangan.
Metode ARIMA sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenkins.
Metode Box-Jenkins merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam
peramalan. Metode ini sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek,
sedangkan untuk peramalan jangka panjang ketepatan peramalannya kurang baik.
Dalam proses peramalan, metode ini menggunakan nilai di masa lalu dan
sekarang dari variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek
yang akurat.
B. Tahapan Peramalan dengan Metode Box-Jenkins
Tahapan dalam proses peramalan dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Preprocessing Data dan Identifikasi Model Stasioner
Pada tahap awal, dilakukan identifikasi model runtun waktu yang mungkin
digunakan untuk memodelkan sifat-sifat atau karakteristik data. Identifikasi secara
sederhana dapat dilakukan secara visual dengan melihat plot dari data, untuk
melihat adanya tren, komponen musiman, nonstasioneritas dalam variansi, dan
lain-lain. Tahapan ini juga dapat digunakan untuk melihat teknik preprocessing
data manakah yang perlu digunakan untuk membentuk data yang stasioner.
Beberapa teknik preprocessing data yang umum dilakukan adalah seperti
membuang outlier dari dalam data, filtering data menggunakan model atau teknik
statistika tertentu, transformasi data, melakukan operasi difference, detrend
(membuang komponen tren), deseasonal-isasi (membuang komponen musiman),
dan lain-lain. Stasioneritas dari data dapat dilihat dari bentuk fungsi sampel ACF
dan fungsi sampel PACF, ataupun dengan menggunakan uji unit root terhadap
data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Selanjutnya, jika telah dilakukan preprocessing terhadap data sehingga
menghasilkan data yang stasioner, dapat ditentukan bentuk model ARMA
(Autoregressive Moving Average) yang tepat dalam menggambarkan sifat atau
karakteristik data. Hal tersebut dapat dilakukan dengan cara membandingkan plot
sampel ACF dan PACF dengan sifat-sifat fungsi sampel ACF dan PACF teoretis
dari model ARMA. Rangkuman plot sampel dan gambar ilustrasi ACF/PACF dari
model ARMA diberikan pada tabel 3.1 dan tabel 3.2 :
Tabel 3.1
Rangkuman Plot Sampel ACF dan Sampel PACF
Proses Sampel ACF Sampel PACF
White
Noise
Tidak ada yang melewati batas
interval pada lag > 0
Tidak ada yang melewati batas
interval pada lag > 0
AR(p) Meluruh menuju nol secara
eksponensial
Di atas batas interval maksimum
sampai lag ke p dan di bawah
batas pada lag > p
MA(q) Di atas batas interval maksimum
sampai lag ke q dan di bawah
batas pada lag > q
Meluruh menuju nol secara
eksponensial
ARMA(p,q) Meluruh menuju nol secara
eksponensial
Meluruh menuju nol secara
eksponensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Tabel 3.2
Gambar Ilustrasi Sampel ACF dan Sampel PACF
Proses Sampel ACF Sampel PACF
White
Noise
AR(p)
MA(q)
ARMA(p,q)
2 4 6 8 10 12
-0.0
50.0
00.0
5
White Noise
Lag ke-
AC
F
2 4 6 8 10 12
-0.0
50.0
00.0
5
Lag ke-
Part
ial A
CF
White Noise
2 4 6 8 10
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
AR(p) untuk p=1
Lag ke-
AC
F
2 4 6 8 10
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Lag ke-
Part
ial A
CF
AR(p) untuk p=1
2 4 6 8 10 12
-0.1
00.0
00.1
00.2
0
MA(q) untuk q=1
Lag ke-
AC
F
2 4 6 8 10 12
-0.1
5-0
.05
0.0
50.1
5
Lag ke-
Part
ial A
CF
MA(q) untuk q=1
2 4 6 8 10 12 14
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
ARMA(p,q) untuk p=1 dan q=1
Lag ke-
AC
F
2 4 6 8 10 12 14
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Lag ke-
Part
ial A
CF
ARMA(p,q) untuk p=1 dan q=1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2. Estimasi Model
Setelah digunakan bentuk model yang kira-kira sesuai untuk data, selanjutnya
dilakukan estimasi terhadap parameter dalam model, seperti koefisien dari model
ARMA dan nilai variansi dari residual. Estimasi dari model ARMA dapat
dilakukan dengan beberapa metode, seperti Maximum Likelihood Estimator
(MLE), Least Square (Kuadrat Terkecil), Hannan Rissanen, metode Whittle, dan
lain-lain. Dalam tugas akhir ini, metode estimasi yang digunakan adalah
Maximum Likelihood Estimator (MLE).
3. Diagnostic Check dan Pemilihan Model Terbaik
Langkah selanjutnya adalah melakukan diagnostic check dari model yang
telah diestimasi pada tahap sebelumnya, yakni dengan cara melakukan verifikasi
kesesuaian model dengan sifat-sifat data. Jika model tersebut merupakan model
yang tepat, maka data yang dihitung dengan model (fitted value) akan memiliki
sifat-sifat yang mirip dengan data asli. Dengan demikian, residual yang dihitung
berdasarkan model yang telah diestimasi harus memenuhi asumsi-asumsi dari
model teoretis, seperti sifat White Noise, tidak adanya korelasi serial pada
residual, normalitas dari residual, dan homogenitas dari residual. Oleh karena itu,
perlu dilakukan pengujian terhadap masing-masing asumsi. Beberapa uji yang
digunakan adalah sebagai berikut.
a. Uji White Noise
Pengujian white noise pada residual dapat dilakukan dengan menggunakan
uji statistik Q Box-Pierce dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. : Residual memenuhi proses white noise
:
2. : Residual tidak memenuhi proses white noise
:
3.
4. Statistik Uji (Box-Pierce)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
( ) ∑
banyaknya observasi dalam runtun waktu
banyaknya lag yang diuji
nilai koefisien autokorelasi pada lag k
5. Wilayah Kritis
ditolak jika ( )
( ) atau p-value .
6. Kesimpulan
b. Uji Normalitas Residual
1. Residual berdistribusi normal
( ) ( )
2. Residual tidak berdistribusi normal
( ) ( )
3.
4. Statistik Uji
maksimum | ( ) ( )|
Dengan ( ) fungsi distribusi kumulatif berdasarkan data
sampel
( ) fungsi distribusi kumulatif di bawah
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
( ) ( ) nilai diperoleh dari
,
dengan adalah rata-rata dari sampel dan adalah standar
deviasi dari sampel.
5. Wilayah Kritis
ditolak (residual tidak berdistribusi normal) jika ( )
atau , dengan adalah ukuran sampel.
6. Kesimpulan
Apabila model yang diidentifikasikan tidak memenuhi asumsi-asumsi di atas,
maka model tersebut tidak dapat digunakan, dan selanjutnya dapat
diidentifikasikan kembali model lain yang mungkin sesuai untuk data.
Selanjutnya, dalam praktik akan banyak model yang memenuhi pengujian
diagnostik di atas. Untuk memilih model terbaik, dapat dipilih model yang
meminimumkan ukuran kriteria informasi seperti Akaike Information Criteria
(AIC). AIC adalah suatu kriteria pemilihan model terbaik yang diperkenalkan oleh
Akaike pada tahun 1973. Kriteria ini mempertimbangkan banyaknya parameter
dalam model. Kriteria AIC dapat dituliskan sebagai berikut:
dengan penduga maximum likelihood
banyaknya data runtun waktu
banyaknya parameter dalam model
Akan tetapi, diketahui model Autoregressive, kriteria AIC tidak memberikan
orde p yang konsisten, sehingga untuk pembanding, dapat digunakan kriteria
informasi lain, seperti Schwarzt Information Criteria (SIC). Kriteria ini
mempunyai prinsip yang sama dengan AIC. Kriteria SIC dapat dituliskan sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan penduga maximum likelihood
banyaknya data runtun waktu
banyaknya parameter dalam model
Dalam pengujian diagnostik, dipilih model yang mempunyai nilai AIC dan
SIC paling kecil, karena semakin kecil nilai kedua kriteria tersebut maka model
semakin baik dan layak digunakan dalam peramalan. Menurut beberapa
penelitian, kriteria AIC lebih cocok digunakan pada sampel berukuran kecil,
sementara SIC lebih sesuai untuk sampel berukuran besar (Shunway dan Stoffer,
2011: 53).
4. Aplikasi Model untuk Peramalan
Setelah model terbaik diperoleh dari langkah-langkah pemodelan di atas,
model tersebut dapat digunakan untuk meramalkan sifat-sifat data di masa yang
akan datang. Dalam analisis runtun waktu, seringkali data dibagi menjadi dua
bagian yang disebut data in sample, yakni data-data yang digunakan untuk
memilih model terbaik dengan langkah-langkah pemodelan di atas, dan data out
sample, yakni bagian data yang digunakan untuk memvalidasi keakuratan
peramalan dari model terbaik yang diperoleh berdasarkan data in sample. Model
yang baik tentunya diharapkan merupakan model terbaik untuk data in sample dan
sekaligus merupakan model yang baik untuk peramalan, yang dapat diukur
dengan data out sample. Beberapa ukuran kebaikan peramalan dapat dikenalkan,
seperti ukuran Mean Square Error (MSE), Root of MSE (RMSE), Median atau
Mean Absolut Deviation (MAD), dan lain-lain.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
BAB IV
APLIKASI METODE BOX-JENKINS UNTUK PERAMALAN SUKU
CADANG KENDARAAN BERMOTOR
A. Metode Penelitian
1. Studi Pustaka
Pada tahap ini dilakukan penelaahan sumber pustaka yang relevan dengan
permasalahan yang dikaji yaitu tentang penggunaan metode ARIMA untuk
peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor untuk mendapatkan informasi
yang diperlukan sehingga memunculkan ide atau gagasan yang akhirnya dapat
dijadikan landasan dalam melakukan penelitian di PT Astra Otoparts, Tbk.
2. Observasi
Setelah permasalahan dirumuskan, dilakukan observasi untuk mengumpulkan
data. Data yang dibutuhkan merupakan data jenis kuantitatif, yaitu laporan harian
suplai barang pada perusahaan suku cadang kendaraan bermotor PT Astra
Otoparts, Tbk.
3. Metode Pengumpulan Data
Pengumpulan data dapat dilakukan dengan beberapa cara. Data yang
dikumpulkan merupakan data sekunder yaitu memanfaatkan data yang sudah ada
dalam bentuk data kuantitatif pada PT Astra Otoparts, Tbk mengenai data suplai
barang dari bulan Januari 2015 sampai dengan Januari 2017.
Beberapa cara pengumpulan data yang digunakan, yaitu :
a. Dokumentasi
Metode ini digunakan untuk mengumpulkan informasi melalui buku-
buku panduan perusahaan dan dokumen lain yang menunjang untuk
melengkapi data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
b. Metode Wawancara
Metode ini digunakan dengan cara mewawancarai langsung kepada
pimpinan, staf serta pegawai lain yang bekerja di PT Astra Otoparts,
Tbk.
c. Metode Observasi
Melakukan observasi untuk mengetahui proses suplai barang ke
perusahaan dan mencari berbagai kendala yang sering muncul dalam
proses tersebut. Observasi dilakukan dengan kunjungan langsung ke
perusahaan yang bersangkutan dan magang kerja selama satu bulan.
d. Metode Studi Pustaka
Mengumpulkan berbagai data yang terkait dengan masalah, hal-hal dan
materi yang menjadi pokok studi penelitian.
4. Pengolahan dan Analisa Data
Proses pengolahan dan analisa data dilakukan sesuai dengan tahapan-tahapan
metode peramalan Box-Jenkins yang telah dibahas di bab tiga. Data suplai barang
yang telah terkumpul kemudian disortir dan diseleksi agar sesuai dengan yang
dibutuhkan. Data hasil seleksi inilah yang selanjutnya akan digunakan sebagai
acuan pada metode Box-Jenkins untuk meramalkan nilai yang menunjukkan
banyaknya suplai barang yang dibutuhkan untuk periode mendatang. Dalam tahap
pengolahan data, peneliti menggunakan bantuan program R untuk mempermudah
proses perhitungan.
B. Peramalan Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor dengan Metode
Box-Jenkins
1. Preprocessing Data dan Identifikasi Model
Data yang akan digunakan untuk proses peramalan merupakan data suplai
suku cadang kendaraan periode Januari 2015-Januari 2017 (dalam minggu), data
tersebut diolah dengan bantuan program R. Data tersebut dapat dilihat pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
lampiran 2. Tahap pertama dilakukan dengan memanggil data suplai suku cadang
kendaraan (data asli), untuk selanjutnya membuat plot grafik dari data tersebut.
Plot grafik data asli dapat dilihat pada gambar 4.1.
Gambar 4.1
Plot Grafik Data Asli
Secara visual, berdasarkan plot grafiknya, data terlihat tidak stasioner dalam rata-
rata maupun variansi. Lebih lanjut, untuk identifikasi kestasioneran pada data,
dilakukan uji akar unit (Uji Augmented Dickey Fuller). Pada uji akar unit,
didefinisikan hipotesis sebagai berikut:
: Data tidak stasioner
: Data stasioner
Uji akar unit dilakukan dengan program R menggunakan perintah adf.test( ).
Berdasarkan uji akar unit pada lampiran 3 (Uji akar unit terhadap data asli),
diperoleh nilai p-value = 0.1493. Karena p-value > 0.05 maka diterima, artinya
data tersebut tidak stasioner.
Plot Suplai Suku Cadang Mingguan
Minggu ke-
Banyaknya S
upla
i
0 20 40 60 80 100
05000
15000
25000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Karena data tidak stasioner, dilakukan transformasi pada data. Transformasi yang
dilakukan yaitu transformasi akar dengan perintah sqrt( ), kemudian dilanjutkan
dengan proses differencing pada data. Differencing dapat dilakukan dengan
perintah diff( ). Setelah diperoleh data hasil proses differencing, kemudian dibuat
plot grafik berdasarkan data tersebut. Plot data setelah mengalami proses
differencing dapat dilihat pada gambar 4.2.
Gambar 4.2
Plot Grafik Data Setelah Differencing
Berdasarkan plot grafik, data terlihat stasioner, baik stasioner dalam rata-rata
maupun stasioner dalam variansi. Kesimpulan yang sama juga diperoleh dari uji
akar unit (Uji Augmented Dickey Fuller). Berdasarkan uji akar unit pada lampiran
3 (Uji akar unit terhadap data hasil differencing), diperoleh nilai p-value = 0.01.
Karena p-value < 0.05 maka ditolak, artinya data tersebut stasioner.
Selanjutnya, akan dilakukan identifikasi model ARIMA yang tepat untuk
menggambarkan data hasil differencing menggunakan plot ACF dan PACF.
Plot Setelah Differencing
Minggu ke-
Banyaknya S
upla
i
0 20 40 60 80 100
-100
-50
050
100
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2. Estimasi Model
Pada tahap ini, akan dilakukan identifikasi model ARIMA yang mungkin
terhadap data hasil differencing. Proses identifikasi model ini menggunakan plot
ACF dan plot PACF sebagai acuannya. Plot ACF dapat dibuat dengan perintah
acf( ) dan plot PACF dibuat dengan perintah pacf( ). Berdasarkan pada data hasil
proses differencing, dibuat plot grafik ACF dan PACF sehingga diperoleh plot
grafik seperti pada gambar 4.3 dan gambar 4.4.
Gambar 4.3
Plot ACF dari Data Setelah Differencing
Gambar 4.4
Plot PACF dari Data Setelah Differencing
0 5 10 15 20 25 30 35
-0.4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lag
AC
F
Series datamingguan_diff
0 5 10 15 20 25 30 35
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
Lag
Part
ial A
CF
Series datamingguan_diff
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Berdasarkan plot di atas, terlihat bahwa fungsi ACF signifikan pada lag-3 (MA =
3), dan fungsi PACF signifikan pada lag-1 (AR = 1). Pemilihan model dilakukan
menurut prinsip parsimony. Prinsip parsimony menyatakan bahwa semakin
sederhana sebuah model statistik dengan jumlah variabel dependen yang cukup
informatif, semakin baik pula model statistik tersebut. Sehingga dapat
disimpulkan beberapa model yang mungkin, dengan Xt = sqrt(datamingguan),
yaitu :
1. Model 1 : model ARIMA (0,1,1)
2. Model 2 : model ARIMA (0,1,2)
3. Model 3 : model ARIMA (0,1,3)
4. Model 4 : model ARIMA (1,1,0)
5. Model 5 : model ARIMA (1,1,1)
6. Model 6 : model ARIMA (1,1,2)
7. Model 7 : model ARIMA (1,1,3)
Untuk mengestimasi parameter-parameter dari model-model di atas, dapat
digunakan perintah arima pada package forecast. Berikut diberikan contoh estimasi
model 1 (ARIMA(0,1,1)) menggunakan fungsi arima.
> library(forecast)
> ArimaModel_1=arima(datamingguan_trans,order=c(0,1,1))
> summary(ArimaModel_1)
Dalam estimasi di atas, orde dari model ARIMA yang akan diestimasi dapat
diisikan melalui pilihan order. Hasil estimasi akan disimpan ke dalam objek
bernama ArimaModel_1. Selanjutnya, output dari data dapat ditampilkan dengan
perintah summary dan diperoleh hasil sebagai berikut.
Call:
arima(x = datamingguan_trans, order = c(0, 1, 1))
Coefficients:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ma1
-0.8688
s.e. 0.1384
sigma^2 estimated as 875.9: log likelihood = -524.62, aic = 1053.23
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 2.020433 29.46041 22.28516 -Inf Inf 0.7812383 0.1189481
Untuk mengestimasi parameter-parameter dari model lainnya dapat dilakukan
dengan perintah yang sama, sehingga diperoleh hasil seperti pada tabel 4.1.
Tabel 4.1
Hasil Estimasi Model
ARIMA
(0,1,1)
ARIMA
(0,1,2)
ARIMA
(0,1,3)
ARIMA
(1,1,0)
ARIMA
(1,1,1)
ARIMA
(1,1,2)
ARIMA
(1,1,3)
-0.4408
(0.0918)
0.1745
(0.1044)
0.781
(0.215)
-0.6599
(0.1998)
-0.8688
(0.1384)
-0.8532
(0.1017)
-0.8073
(0.1199)
-1.0000
(0.0392)
-1.6507
(0.2497)
-0.1185
(0.2130)
-0.1467
(0.0926)
-0.0907
(0.1118)
0.6507
(0.2485)
-0.5838
(0.1749)
-0.1020
(0.1009)
-0.2977
(0.1167)
RMSE 29.46041 28.69615 28.5849 32.85074 28.65567 28.63663 28.24225
AIC 1053.23 1052.55 1053.49 1075.79 1052.14 1053.51 1052.96
3. Diagnostic Checking dan Pemilihan Model Terbaik
Untuk melakukan diagnostic checking, diperlukan data residual dari masing-
masing model. Kemudian, berdasarkan data residual tersebut dilakukan beberapa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
uji dan analisis. Uji white noise dan uji normalitas harus dipenuhi, sementara itu
analisis yang digunakan adalah dengan melakukan uji Q-Ljung-Box dan plot
ACF/PACF untuk residual, guna melihat apakah terdapat korelasi serial dalam
residual dari model yang diamati. Pada tahap ini, digunakan perintah tsdiag.
Misalnya, untuk hasil estimasi model 1 di atas, dapat digunakan perintah berikut :
> tsdiag(ArimaModel_1)
Untuk menampilkan nilai stastistik ACF beserta nilai dari statistik Ljung-Box dari
residual model 1 dapat digunakan fungsi sebagai berikut :
> hasil_1=acfStat(ArimaModel_1$residual)
Selanjutnya, dengan perintah yang sama dapat dilakukan uji diagnostik untuk
model-model lain. Hasil uji diagnostik dapat dilihat pada tabel 4.2.
Tabel 4.2
Hasil Uji Diagnostik
Alternatif
Model
Uji White Noise Uji Normalitas Kesimpulan
1 Memenuhi Memenuhi Tidak memenuhi uji
diagnostik karena
mengandung korelasi
serial di Q(32)
2 Tidak memenuhi Memenuhi Tidak memenuhi uji
diagnostik karena
mengandung korelasi
serial di Q(20)
3 Memenuhi Memenuhi Tidak memenuhi uji
diagnostik karena
mengandung korelasi
serial di Q(32)
4 Tidak memenuhi Memenuhi Tidak memenuhi uji
diagnostik karena
mengandung korelasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
serial di lag
5 Tidak memenuhi Memenuhi Tidak memenuhi uji
diagnostik karena
mengandung korelasi
serial di Q(23)
6 Memenuhi Memenuhi Memenuhi uji
diagnostik
7 Memenuhi Memenuhi Memenuhi uji
diagnostik
Model ARIMA(1,1,2) dan ARIMA(1,1,3) keduanya memiliki koefisien yang
signifikan dan memenuhi uji diagnostik tidak adanya korelasi serial pada residual.
Namun, pada model ARIMA(1,1,3) memiliki nilai RMSE dan AIC yang lebih
kecil daripada model ARIMA(1,1,2). Jadi, dapat disimpulkan bahwa model
ARIMA(1,1,3) merupakan model terbaik.
Karena merupakan data yang sudah mengalami transformasi akar, maka
√ . Jadi, diperoleh model terbaik:
atau
( )
4. Peramalan
Langkah terakhir dalam metode Box-Jenkins yaitu melakukan peramalan
dengan menggunakan model terbaik yang sudah diperoleh dalam tahap
sebelumnya. Untuk mendapatkan hasil dari peramalan, dapat digunakan perintah
forecast. Dalam menggunakan perintah forecast, perlu dimasukkan juga model
ARIMA yang akan digunakan serta jangka waktu peramalan. Setelah diperoleh
hasil peramalan, kemudian dibuat plot grafiknya (lampiran 3 langkah 4). Data
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
yang digunakan dalam peramalan adalah data asli , bukan menggunakan data
yang sudah mengalami transformasi akar . Oleh karena itu, hasil peramalan
perlu dikuadratkan agar sesuai dengan data asli. Jadi, hasil peramalan suplai suku
cadang kendaraan bermotor untuk 12 waktu ke depan dengan menggunakan
model ARIMA(1,1,3) adalah
Tabel 4.3
Data Hasil Peramalan
t 1 2 3 4 5 6 7
8231.93 8028.16 13185.93 9639.31 11918.09 10387.69 11384.89
t 8 9 10 11 12
10722.60 11157.70 10868.06 11058.63 10932.79
Keterangan :
t = minggu ke-
= data hasil peramalan
Berdasarkan data hasil peramalan pada tabel 4.3 diperoleh nilai rata-rata sebagai
berikut :
∑
Kemudian, diketahui nilai rata-rata dari data aktual untuk dua belas minggu ke
depan yaitu :
Sehingga dapat dihitung perbedaan atau selisih antara nilai rata-rata data hasil
peramalan dan nilai rata-rata data aktual, yaitu :
Keterangan :
rata-rata dari data hasil peramalan
rata-rata dari data aktual
Plot grafik data dan hasil peramalan dapat dilihat pada gambar 4.5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.5
Plot Grafik Data
Plot grafik data asli ( ) dan hasil peramalan dapat dilihat pada gambar 4.6.
Gambar 4.6
Plot Grafik Data
Forecasts from ARIMA(1,1,3)
Minggu ke-
Xt*
0 20 40 60 80 100 120
050
100
150
0 20 40 60 80 100 120
05000
10000
20000
Plot Grafik Data Asli dan Hasil Peramalan
t
Xt
0 20 40 60 80 100 120
05000
10000
20000
Plot Grafik Data Asli dan Hasil Peramalan
t
Xt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan pada bab sebelumnya,
diperoleh kesimpulan bahwa model terbaik dari metode ARIMA yang digunakan
untuk melakukan peramalan jangka pendek suplai suku cadang kendaraan
bermotor adalah ARIMA(1,1,3). Dari plot grafik hasil peramalan, dapat dilihat
bahwa banyaknya suplai suku cadang kendaraan bermotor tidak mengalami
kenaikan ataupun penurunan yang signifikan. Banyaknya suplai suku cadang
kendaraan bermotor sering mengalami fluktuasi pada kisaran 10000 sampai
dengan 11000. Itu berarti, permintaan konsumen akan suku cadang kendaraan
bermotor masih tergolong normal dan berada dalam batas wajar.
B. Saran
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dikemukakan, penulis
memberikan saran sebagai berikut :
1. Untuk perusahaan yaitu PT Astra Otoparts, Tbk. diharapkan agar ke depannya
mampu menerapkan metode peramalan baik peramalan jangka pendek maupun
jangka panjang yang mungkin dapat berguna dalam perencanaan suplai suku
cadang sehingga persediaan barang bisa optimal dan flow process dapat
berjalan sebagaimana mestinya.
2. Untuk peneliti atau pembaca diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat
mencoba untuk menemukan metode lain ataupun mengembangkan metode
ARIMA untuk dipadukan dengan variabel pendukung lainnya, agar diperoleh
hasil peramalan yang lebih akurat.
3. Selain itu, peneliti atau pembaca juga diharapkan untuk membahas lebih lanjut
tentang aplikasi metode ARIMA dengan menggunakan program-program
lainnya, selain program R.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
DAFTAR PUSTAKA
Abraham, B. dan Ledolter, J. (2005). Statistical Methods for Forecasting.
Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.
Alonso, M.A. dan Garci-Martos, C., 2012, Time Series Analysis: Estimation and
Selection of ARIMA Models, [online], (http://www.etsii.upm.es/ingor/
estadistica/Carol/TSAtema9petten.pdf, diakses tanggal 8 Juni 2017).
Asmoro, R.W., 2012, Karakterisasi Mekanis Bahan Kampas Kompling Sepeda
Motor Dengan Bahan Serat Kelapa, Arang Tempurung Kelapa, Serbuk
Aluminium, dan Resin Phenolic, [online], (http://eprints.ums.ac.id/20094/2/
BAB_1.pdf, diakses tanggal 11 Desember 2017).
Baillie, R., 2004, Maximum Likelihood Estimation Of Time Series Models,
[online], (https://msu.edu/~baillie/822/MLE.pdf, diakses tanggal 2 Agustus
2017).
Berg, A., 2008, AR and MA Models in R, [online],
(http://www.personal.psu.edu/asb17/old/sta4853/files/sta4853-11print.pdf,
diakses tanggal 3 Agustus 2017).
Box, G.E.P. dan Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and
Control. Oakland: Holden-Day.
Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reinsel, G.C. (1994). Time Series Analysis:
Forecasting and Control. 3rd
edition. Upper Sadle River, NJ: Prentice Hall,
Inc.
Brockwell, P.J. dan Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and
Forecasting. New York: Springer.
Chatfield, C. (2000). Time Series Forecasting. Boca Raton, Florida: Chapman &
Hall.
Coghlan, A., 2015, A Little Book of R For Time Series, [online],
(https://media.readthedocs.org/pdf/a-little-book-of-r-for-timeseries/latest/a-
littlebook-of-r-for-time-series.pdf, diakses tanggal 22 Agustus 2016).
Cryer, J.D. dan Chan, K-S. (2008). Time Series Analysis With Applications in R.
second edition. New York: Springer.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Grunig, R., Kuhn, R., dan Clark, A. (2002). Principles of Forecasting: A
Handbook for Reserachers and Practitioners. New York: Kluwer Academic
Publishers.
Jing, L., 2014, Lecture 6a: Unit Root and ARIMA Models, [online],
(http://www.fsb.miamioh.edu/lij14/672_2014_S6.pdf, diakses tanggal 11
Desember 2017).
Julliard, C., 2008, Maximum Likelihood: An Introduction, [online], (http://stat.uni
cas.it/downloadStatUnicas/seminari/2008/Julliard0708_1.pdf, diakses tanggal
2 Agustus 2017).
Magee, L., 2013, Unit Roots and Characteristics Roots, [online],
(http://socialsciences.mcmaster.ca/magee/761_762/other_material/un, diakses
tanggal 11 Desember 2017).
Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1999). Metode dan Aplikasi
Peramalan. Jakarta: Erlangga.
Montgomery, D.C., Jennings, C.L., dan Kulahci, M. (2008). Introduction to Time
Series Analysis and Forecasting. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.
Moshonov, H., 2008, ACF and PACF of an AR(p), [online],
(http://www.utstat.utoronto.ca/hadas/STA457/Lecture%20notes/week6_1.pdf,
diakses tanggal 30 Agustus 2017).
Moshonov, H., 2008, Simulating AR, MA, and ARMA Time Series, [online],
(http://www.utstat.utoronto.ca/hadas/STA457/Lecture%20notes/R_armasimul
ation.pdf, diakses tanggal 30 Agustus 2017).
Render, B., Stair, R.M, dan Hanna, M.E. (2006). Quantitative Analysis for
Management. 9th
edition. Upper Sadle River, NJ: Prentice Hall.
Rosadi, D. (2011). Analisis Ekonometrika & Runtun Waktu Terapan dengan R.
Yogyakarta : Andi Offset.
Rosadi, D. (2014). Analisis Runtun Waktu dan Aplikasinya dengan R. Yogyakarta:
Gadjah Mada University Press.
Rusdi, R. (2011). Uji Akar-Akar Unit dalam Model Runtun Waktu Autoregresif.
Jurnal Statistika, Vol.11, No.2, hlm. 67-68.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Shunway, R. H. dan Stoffer, D.S. (2011). Time Series Analysis and Its Application
with R Examples Third Edition. New York: Springer.
Stine, R.A., 2011, Estimating an ARMA Process, [online],
(http://www.stat.wharton.upenn.edu/~stine/stat910/lectures/12_est_arma.pdf,
diakses tanggal 30 Agustus 2017).
Wei, Z., 2017, Estimation of Stationary Time Series, [online], (https://ams.sunysb.
edu/~zhu/ams586/Estimation%20of%20Stationary%20Time20%series.pdf,
diakses tanggal 8 Juni 2017).
Yessa, Y., 2016, Pengaruh Promosi Penjualan terhadap Proses Keputusan
Pembelian Suku Cadang Mobil Merk Sparepart Factory di Kota Bandung,
Kota Cimahi, dan Kabupaten Bandung, [online],
(http://repository.widyatama.ac.id/xmllui/bitstream/handle/123456789/Bab%
25201.pdf, diakses tanggal 11 Desember 2017).
Zivot, E., 2005, Estimation of ARMA Models, [online], (https://faculty.washing
ton.edu/ezivot/econ584/notes/armaestimation.pdf, diakses tanggal 2 Agustus
2017).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN
Berikut adalah lampiran program untuk contoh-contoh dan analisis data yang
disebut dalam Tugas Akhir ini.
Lampiran 1 : Program R untuk membuat plot grafik proses white noise, moving
average, dan autoregressive
Contoh 2.1: plot grafik untuk proses white noise
> w = rnorm(500,0,1)
> plot.ts(w, main="white noise")
Contoh 2.2: plot grafik untuk proses autoregressive
> w = rnorm(550,0,1)
> x = filter(w, filter=c(1,-.9), method="recursive")[-(1:50)]
> plot.ts(x, main="autoregression")
Contoh 2.4: plot grafik untuk proses moving average
> v = filter(w, sides=2, rep(1/3,3))
> plot.ts(v, main="moving average")
Lampiran 2 : Data Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor Periode Januari
2015– Januari 2017 (dalam minggu)
Minggu
ke- Suplai
1 159
2 9439
3 11839
4 11591
5 16260
6 7851
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7 333
8 17701
9 21600
10 16639
11 17401
12 10888
13 14009
14 1635
15 11109
16 9681
17 13618
18 4427
19 9643
20 8737
21 15215
22 16724
23 5627
24 15028
25 13999
26 13002
27 7165
28 17149
29 1927
30 5617
31 16904
32 15189
33 20661
34 9930
35 12698
36 5685
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37 11191
38 11674
39 9950
40 7579
41 13247
42 8469
43 16066
44 13286
45 10258
46 11299
47 11675
48 14934
49 7864
50 6835
51 10263
52 8169
53 17280
54 6012
55 14819
56 19094
57 20170
58 14869
59 12017
60 10871
Minggu
ke- Suplai
61 21699
62 19869
63 11460
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64 9734
65 15040
66 13612
67 15856
68 16210
69 22895
70 19580
71 6980
72 18763
73 9633
74 18411
75 6542
76 10967
77 10778
78 10638
79 4807
80 0
81 4219
82 7943
83 14153
84 6994
85 11702
86 3791
87 12792
88 6902
89 13310
90 7385
91 14576
92 13724
93 9886
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94 11197
95 19885
96 21417
97 12298
98 13874
99 16460
100 27091
101 13137
102 7467
103 13702
104 18287
105 8622
106 4619
107 13421
108 10336
109 13871
110 419
Lampiran 3: Analisis data dengan program R untuk bab IV
1. Preprocessing Data dan Identifikasi Model
- Memanggil data asli dan membuat plot grafiknya
> data=read.table(file.choose(),header=T)
> datamingguan=data[,2]
> plot.ts(datamingguan,xlab="Minggu ke-",ylab="Banyaknya Suplai",main="Plot Suplai
Suku Cadang Mingguan",col="blue")
- Uji akar unit (Uji Augmented Dickey Fuller) terhadap data asli
> adf.test(datamingguan)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Augmented Dickey-Fuller Test
data: datamingguan
Dickey-Fuller = -3.0299, Lag order = 4, p-value = 0.1493
alternative hypothesis: stationary
- Transformasi akar terhadap data asli
> datamingguan_trans=sqrt(datamingguan)
- Differencing terhadap data hasil transformasi akar
> datamingguan_diff=diff(datamingguan_trans)
- Membuat plot grafik data hasil differencing
> plot.ts(datamingguan_diff,xlab="Minggu ke-",ylab="Banyaknya Suplai",main="Plot
Setelah Differencing",col="blue")
- Uji akar unit (Uji Augmented Dickey Fuller) terhadap data hasil differencing
> adf.test(datamingguan_diff)
Augmented Dickey-Fuller Test
data: datamingguan_diff
Dickey-Fuller = -7.3517, Lag order = 4, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2. Estimasi Model
- Membuat plot grafik ACF berdasarkan data hasil differencing
> acf(datamingguan_diff,lag.max=36)
- Membuat plot grafik PACF berdasarkan data hasil differencing
> pacf(datamingguan_diff,lag.max=36)
- Hasil estimasi model
Model 1 : model ARIMA (0,1,1)
> library(forecast)
> ArimaModel_1=arima(datamingguan_trans,order=c(0,1,1))
> summary(ArimaModel_1)
Call:
arima(x = datamingguan_trans, order = c(0, 1, 1))
Coefficients:
ma1
-0.8688
s.e. 0.1384
sigma^2 estimated as 875.9: log likelihood = -524.62, aic = 1053.23
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 2.020433 29.46041 22.28516 -Inf Inf 0.7812383 0.1189481
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Model 2 : ARIMA(0,1,2)
> ArimaModel_2=arima(datamingguan_trans,order=c(0,1,2))
> summary(ArimaModel_2)
Call:
arima(x = datamingguan_trans, order = c(0, 1, 2))
Coefficients:
ma1 ma2
-0.8532 -0.1467
s.e. 0.1017 0.0926
sigma^2 estimated as 831: log likelihood = -523.27, aic = 1052.55
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 4.532907 28.69615 22.26079 -Inf Inf 0.7803839 0.03667706
Model 3 : ARIMA(0,1,3)
> ArimaModel_3=arima(datamingguan_trans,order=c(0,1,3))
> summary(ArimaModel_3)
Call:
arima(x = datamingguan_trans, order = c(0, 1, 3))
Coefficients:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ma1 ma2 ma3
-0.8073 -0.0907 -0.1020
s.e. 0.1199 0.1118 0.1009
sigma^2 estimated as 824.6: log likelihood = -522.75, aic = 1053.49
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 4.310368 28.5849 22.10049 -Inf Inf 0.7747645 0.00997065
Model 4 : ARIMA(1,1,0)
> ArimaModel_4=arima(datamingguan_trans,order=c(1,1,0))
> summary(ArimaModel_4)
Call:
arima(x = datamingguan_trans, order = c(1, 1, 0))
Coefficients:
ar1
-0.4408
s.e. 0.0918
sigma^2 estimated as 1089: log likelihood = -535.9, aic = 1075.79
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Training set 0.4143045 32.85074 25.74348 -Inf Inf 0.9024744 -0.0590526
Model 5 : ARIMA(1,1,1)
> ArimaModel_5=arima(datamingguan_trans,order=c(1,1,1))
> summary(ArimaModel_5)
Call:
arima(x = datamingguan_trans, order = c(1, 1, 1))
Coefficients:
ar1 ma1
0.1745 -1.0000
s.e. 0.1044 0.0392
sigma^2 estimated as 828.7: log likelihood = -523.07, aic = 1052.14
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 4.428048 28.65567 22.23456 -Inf Inf 0.7794645 0.01391495
Model 6 : ARIMA(1,1,2)
> ArimaModel_6=arima(datamingguan_trans,order=c(1,1,2))
> summary(ArimaModel_6)
Call:
arima(x = datamingguan_trans, order = c(1, 1, 2))
Coefficients:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ar1 ma1 ma2
0.781 -1.6507 0.6507
s.e. 0.215 0.2497 0.2485
sigma^2 estimated as 827.6: log likelihood = -522.75, aic = 1053.51
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 3.952214 28.63663 22.00736 -Inf Inf 0.7714995 0.05754095
Model 7 : ARIMA(1,1,3)
> ArimaModel_7=arima(datamingguan_trans,order=c(1,1,3))
> summary(ArimaModel_7)
Call:
arima(x = datamingguan_trans, order = c(1, 1, 3))
Coefficients:
ar1 ma1 ma2 ma3
-0.6599 -0.1185 -0.5838 -0.2977
s.e. 0.1998 0.2130 0.1749 0.1167
sigma^2 estimated as 804.9: log likelihood = -521.48, aic = 1052.96
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 4.322898 28.24225 21.72207 -Inf Inf 0.7614984 -0.00107188
3. Diagnostic Checking dan Pemilihan Model
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
- Nilai residual untuk masing-masing model
Model 1 : model ARIMA (0,1,1)
> residual_1=resid(ArimaModel_1)
> residual_1
Time Series:
Start = 1
End = 110
Frequency = 1
[1] 0.01260951 63.82163528 46.49235575 31.18720016 42.31984412
[6] -3.97745713 -71.71512835 53.10733280 58.33702799 31.65707713
[11] 29.90473336 -1.77622990 12.42586344 -66.95791892 6.96085460
[16] -0.97233790 17.43686898 -34.99551063 1.28868535 -3.60597082
[21] 26.73421200 29.17940251 -28.95744750 22.41863383 15.20052656
[26] 8.91262475 -21.63557722 27.51024872 -63.15361458 -23.81679081
[31] 34.37600777 23.09364039 40.55892466 -8.85192282 5.34531709
[36] -32.64216419 2.02853989 4.02117927 -4.80291160 -16.86506064
[41] 13.38544008 -11.43888728 24.78619254 10.04794046 -5.25326228
[46] 0.45082351 2.14584394 16.01818384 -19.60860414 -23.04151215
[51] -1.38655480 -12.12861313 30.53329090 -27.38834231 20.40064301
[56] 34.17224438 33.52966868 9.04868504 -4.45473769 -9.22836270
[61] 35.02391522 24.08117125 -12.98380817 -19.67096709 6.88607997
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[66] 0.01557369 9.26366453 9.44636056 32.19964233 16.59336114
[71] -41.96548763 16.97118230 -24.08532231 16.61344322 -40.37039012
[76] -11.23385429 -10.66651410 -9.94376461 -42.44750647 -106.21184428
[81] -27.32531913 0.42885143 30.21546741 -9.08439171 16.65292865
[86] -32.13626096 23.60994802 -9.51061399 24.02766970 -8.55719116
[91] 27.36041060 20.18968783 -0.17987327 6.23123386 40.61213669
[96] 40.61600123 -0.16107280 6.75165352 16.37456916 50.52348704
[101] -6.08078686 -33.48806718 1.54858013 19.51933222 -25.41589116
[106] -46.97337617 7.07432857 -8.03658973 9.12672632 -89.37622278
Model 2 : ARIMA(0,1,2)
> residual_2=resid(ArimaModel_2)
> residual_2
Time Series:
Start = 1
End = 110
Frequency = 1
[1] 0.01260951 63.91789986 38.93907639 27.54882270 39.66336239
[6] -5.63658354 -64.42604964 60.37277863 49.38849326 27.83376069
[11] 30.45762962 0.67443351 18.09954831 -60.93212895 17.43344793
[16] -1.37891176 19.07233595 -33.76419462 6.47447417 -4.11023408
[21] 26.76087140 26.86059808 -27.64348115 27.93732703 14.63025364
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[26] 11.64190792 -17.27404335 33.01189396 -60.98490016 -14.77015549
[31] 33.40656332 18.68562241 40.30704789 -7.58710109 12.33693992
[36] -27.66978765 8.88354512 5.62187245 -2.26922940 -13.60872456
[41] 16.09448353 -11.39596384 27.17014357 9.57104663 -1.97857607
[46] 4.68901163 5.35190720 19.13425975 -16.48118033 -16.92518589
[51] 1.97190725 -11.60976515 31.28171258 -28.98044773 24.10268262
[56] 32.25805677 34.23566706 13.35962342 3.89701898 -0.12615369
[61] 43.14588019 29.79952896 -2.45621577 -6.07827997 18.34511677
[66] 8.57345885 19.01930790 18.57431678 42.14692735 26.74241442
[71] -27.44877804 33.89216432 -14.08426644 30.36502959 -30.97575351
[76] 2.05978836 -3.65564718 -3.44592407 -37.02033257 -100.52191517
[81] -25.33667076 -11.85552287 16.01799119 -23.36883578 7.06036270
[86] -43.78100547 15.40739725 -23.23320452 14.78284656 -20.19196007
[91] 19.74304379 10.13776085 -6.21940612 2.58490641 36.28847218
[96] 36.26296130 0.56977031 12.60344439 21.16454642 55.79283154
[101] 0.39674820 -19.62574174 13.99808968 27.04344309 -17.32199764
[106] -35.45958722 15.22051903 -6.42662866 12.82371129 -86.97318266
Model 3 : ARIMA(0,1,3)
> residual_3=resid(ArimaModel_3)
> residual_3
Time Series:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Start = 1
End = 110
Frequency = 1
[1] 0.01260951 65.41678662 41.51476926 22.32337103 37.84588049
[6] -7.14859283 -66.25512077 65.59417497 53.78900784 19.46247845
[11] 26.58486761 -0.80009129 16.70797580 -60.47499350 19.27274275
[16] 4.44374495 16.83383029 -33.93695369 7.01032789 -0.40857699
[21] 26.14582811 26.40489722 -30.87522848 27.68658509 17.08576644
[26] 8.19902160 -18.38821968 33.66807481 -60.29024582 -15.10506336
[31] 40.72453273 17.70582353 35.90046342 -9.99049412 9.87840128
[36] -26.36580293 9.26202845 8.18943294 -3.61684240 -13.74114491
[41] 17.44579494 -10.66984626 26.09219773 9.93211709 -4.84376904
[46] 4.61769698 5.93762795 18.59316627 -17.57966906 -17.57874533
[51] 4.93776651 -10.21513394 31.30263300 -29.12543026 22.51871489
[56] 34.67520819 30.23620406 9.26206296 1.22652181 -0.50095975
[61] 43.33155208 28.06309057 -7.68465936 -7.59777036 19.92189845
[66] 8.41955886 16.83767353 17.47455794 39.99878869 23.64613990
[71] -31.95625403 33.81371429 -12.16527365 27.39170158 -30.36141851
[76] 0.76338401 -0.21220265 -3.83144020 -36.58150105 -98.33453010
[81] -17.22913942 -2.04649185 16.60218460 -23.83991911 6.69841266
[86] -41.43916078 16.44758708 -19.75358416 13.66057834 -18.48332107
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[91] 19.10310022 11.39297431 -8.72473266 2.34136004 37.25611599
[96] 34.31783175 -4.37681951 10.17473828 21.64459108 53.83345773
[101] -3.85608734 -24.17594217 16.31099632 28.56035118 -20.38413373
[106] -36.85129052 19.33380165 -4.02534038 10.81607140 -86.63496341
Model 4 : ARIMA(1,1,0)
> residual_4=resid(ArimaModel_4)
> residual_4
Time Series:
Start = 1
End = 110
Frequency = 1
[1] 0.01260951 75.88752167 48.92117454 3.99097694 19.34817577
[6] -30.15729089 -87.50909679 83.78229064 64.52819334 -11.83913524
[11] -5.00395094 -26.27983132 1.86203442 -71.74691835 30.61399091
[16] 21.62984625 15.21526404 -42.09179318 9.55168755 9.23063294
[21] 27.79351777 19.14245123 -51.67534738 23.63575805 16.70047972
[26] -6.17393347 -31.27154289 33.35679003 -66.64347866 -7.32662182
[31] 68.75555206 17.50328462 17.51062390 -35.05519989 -6.39940502
[36] -31.54001962 13.95223102 15.65444219 -7.30090766 -16.34948228
[41] 22.44325993 -10.70886086 24.55568971 3.82021739 -19.04666232
[46] -1.14897303 3.96482248 14.92708838 -27.28635776 -20.78363162
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[51] 15.98526471 -2.71054064 36.25547775 -35.81174777 20.42921715
[56] 35.92999107 11.09045354 -18.38985744 -21.16910654 -10.78723152
[61] 40.67984554 12.62497838 -36.70449136 -23.33657704 20.27806604
[66] 4.60201056 6.61971455 5.47546632 24.60864704 -0.80620881
[71] -61.39966060 28.57772520 -15.27686937 20.42241755 -38.25670610
[76] -0.31771832 9.60303926 -1.07597430 -34.10634364 -84.23559885
[81] 34.39115774 52.80216377 40.49717788 -22.18112182 8.96897398
[86] -35.78464979 30.98668201 -7.30808451 19.05597495 -15.19879598
[91] 21.82066023 11.75649138 -19.29993914 -1.42418204 38.01400316
[96] 20.84716398 -33.09902893 -8.73483708 13.54649110 40.92922708
[101] -33.97654229 -50.23531395 18.21063374 31.68204604 -34.36342391
[106] -43.57081691 36.91332100 6.92576348 9.85707604 -90.20462629
Model 5 : ARIMA(1,1,1)
> residual_5=resid(ArimaModel_5)
> residual_5
Time Series:
Start = 1
End = 110
Frequency = 1
[1] 0.01260951 64.78962333 39.16209759 26.18838365 38.91611284
[6] -6.64206481 -64.80749460 62.70199390 49.87368529 25.43033269
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[11] 28.88390214 -0.46640967 17.68026395 -61.12551465 18.94992170
[16] -0.01936598 18.94020623 -34.00428561 7.15734530 -3.20094493
[21] 26.92919127 26.44088403 -28.86909904 28.21172639 14.75444608
[26] 10.70721498 -17.79487320 33.36528067 -61.29670802 -13.77104614
[31] 35.52787808 18.28649728 39.08175561 -9.04021265 11.65497916
[36] -27.68434237 9.46546791 6.21080527 -2.52868654 -13.56964584
[41] 16.64794964 -11.37962673 27.18744014 9.21974831 -2.83129906
[46] 4.60505663 5.37649581 18.96826455 -17.04932238 -16.86022560
[51] 2.95910640 -11.13788026 31.64595529 -29.46162093 24.19526313
[56] 32.41908129 32.81052621 11.66955377 2.73448468 -0.49292277
[61] 43.13262434 28.68711367 -4.30736684 -6.69350856 18.65544991
[66] 8.29733446 18.38833312 17.90266166 41.21974401 25.17138324
[71] -29.19710597 34.04260754 -14.25085730 29.95953016 -31.38852833
[76] 2.21143798 -2.85168195 -3.33006172 -36.76524264 -99.34177786
[81] -21.53431894 -8.51610875 17.05717269 -23.44997120 7.35873778
[86] -43.32031166 16.50041507 -22.48306366 15.09003913 -19.95196806
[91] 19.98051315 10.16114903 -6.95250426 2.55154659 36.42916451
[96] 35.24179970 -1.31428055 11.71102260 20.85154068 54.93376029
[101] -1.64388345 -21.01505279 14.58312508 27.20695322 -18.38246444
[106] -35.62246888 16.69719369 -5.89371676 12.65971742 -87.11846232
Model 6 : ARIMA(1,1,2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> residual_6=resid(ArimaModel_6)
> residual_6
Time Series:
Start = 1
End = 110
Frequency = 1
[1] 0.01260951 63.75447129 44.85589610 28.76761488 39.40843404
[6] -6.51904972 -70.35482087 55.89614419 56.56797130 27.99430048
[11] 26.59421229 -3.63866860 12.48847048 -64.16015735 12.30298380
[16] 2.90846694 20.25202558 -32.25488928 4.88218493 -0.91814180
[21] 28.35582377 29.24257310 -28.41393527 24.16296374 16.15622833
[26] 10.00832100 -19.56383262 30.17528511 -60.10657284 -18.89894012
[31] 37.66900740 23.98378764 40.53716812 -8.63945483 7.13699138
[36] -29.78695451 5.81072721 7.14284515 -2.00961320 -13.95091059
[41] 16.08503069 -9.39701068 26.62420198 11.17343769 -3.70823053
[46] 2.60631057 4.47412848 18.29543651 -17.15683598 -19.69119995
[51] 1.92112989 -9.52936193 32.37307844 -26.27495452 21.93990272
[56] 34.73852432 33.80095263 10.11943042 -1.75614978 -5.12420977
[61] 39.60543350 28.39892628 -7.65925181 -12.77822800 14.31006722
[66] 7.09609751 16.24616603 16.25306820 38.92354521 23.37701082
[71] -33.88475391 26.32407935 -15.16296598 25.68529518 -31.77317045
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[76] -2.32966520 -2.80356927 -3.06519927 -36.29915414 -100.18864062
[81] -22.46430579 1.20694955 27.33076233 -14.28053401 10.85278238
[86] -38.42498055 17.45320998 -16.53393987 17.08867867 -15.68931452
[91] 20.74112119 13.52886506 -6.01083124 1.54979414 36.47136246
[96] 36.79429553 -2.54024326 6.53129090 17.45636438 52.39368175
[101] -3.21242421 -28.26923354 8.09497059 25.78093417 -19.20681767
[106] -39.98944193 13.75603652 -2.97624545 13.30668380 -85.63617068
Model 7 : ARIMA(1,1,3)
> residual_7=resid(ArimaModel_7)
> residual_7
Time Series:
Start = 1
End = 110
Frequency = 1
[1] 0.01260951 64.41291981 42.66716553 14.34603447 45.35480698
[6] -10.60914126 -65.66934325 71.84476583 51.08621681 10.02405923
[11] 36.26902156 -4.57644723 17.07083739 -57.91585917 17.84492820
[16] 10.03384350 7.15560246 -26.25995189 3.55048197 3.90407039
[21] 20.89541539 29.74404672 -34.60063148 31.04474005 18.55122673
[26] 1.64862089 -12.39710624 31.65144290 -59.26658335 -17.02603386
[31] 49.12854923 6.84573682 38.81375537 -8.67846074 7.02785293
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[36] -21.27856289 5.18559489 12.61481426 -8.81124841 -10.17853946
[41] 17.17964873 -11.17273928 24.92763011 12.38179836 -9.33019378
[46] 9.17475921 4.23723766 18.03259057 -17.10370552 -18.09099656
[51] 8.31608303 -13.05914103 31.67789287 -28.38256819 19.85839954
[56] 40.34586371 21.61794144 13.52885072 0.11585455 0.66117233
[61] 43.27748934 26.71433219 -10.20927133 -3.67285073 19.92855259
[66] 6.75148837 16.26395384 18.83090140 37.95739703 23.89656760
[71] -33.74303552 37.38108894 -11.90397994 22.05212324 -23.34604076
[76] -5.58228523 7.26033076 -10.55434417 -32.63881257 -98.44005959
[81] -13.15978544 -0.77066473 8.94676392 -18.90915768 4.10569794
[86] -38.00406005 13.38386802 -15.20257019 7.27351643 -12.08440581
[91] 13.68945669 15.95064941 -13.95610706 6.40935370 36.57919191
[96] 31.93418951 -5.40496979 12.12838230 22.59731369 50.84721121
[101] -3.80769144 -25.39667649 22.00911257 24.87501414 -22.35224045
[106] -34.23982670 22.04823932 -6.55541933 8.59635318 -82.61318078
- Hasil uji white noise terhadap nilai residual
Model 1 : ARIMA(0,1,1)
> Box.test(residual_1,lag=36,type="Ljung")
Box-Ljung test
data: residual_1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
X-squared = 50.153, df = 36, p-value = 0.05876
Karena p-value > 0.05 maka residualnya white noise.
Model 2 : ARIMA(0,1,2)
> Box.test(residual_2,lag=36,type="Ljung")
Box-Ljung test
data: residual_2
X-squared = 53.393, df = 36, p-value = 0.03104
Karena p-value < 0.05 maka residualnya tidak white noise.
Model 3 : ARIMA(0,1,3)
> Box.test(residual_3,lag=36,type="Ljung")
Box-Ljung test
data: residual_3
X-squared = 49.106, df = 36, p-value = 0.07139
Karena p-value > 0.05 maka residualnya white noise.
Model 4 : ARIMA(1,1,0)
> Box.test(residual_4,lag=36,type="Ljung")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Box-Ljung test
data: residual_4
X-squared = 63.339, df = 36, p-value = 0.003261
Karena p-value < 0.05 maka residualnya tidak white noise.
Model 5 : ARIMA(0,1,1)
> Box.test(residual_5,lag=36,type="Ljung")
Box-Ljung test
data: residual_5
X-squared = 52.077, df = 36, p-value = 0.04048
Karena p-value < 0.05 maka residualnya tidak white noise.
Model 6 : ARIMA(0,1,2)
> Box.test(residual_6,lag=36,type="Ljung")
Box-Ljung test
data: residual_6
X-squared = 47.656, df = 36, p-value = 0.09257
Karena p-value > 0.05 maka residualnya white noise.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Model 7 : ARIMA(0,1,3)
> Box.test(residual_7,lag=36,type="Ljung")
Box-Ljung test
data: residual_7
X-squared = 41.352, df = 36, p-value = 0.2484
Karena p-value > 0.05 maka residualnya white noise.
- Hasil uji normalitas terhadap nilai residual
Model 1 : ARIMA(0,1,1)
> ks.test(residual_1,"pnorm",mean(residual_1),sd(residual_1))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: residual_1
D = 0.088621, p-value = 0.3534
alternative hypothesis: two-sided
Karena p-value > 0.05 maka residualnya berdistribusi normal
Model 2 : ARIMA(0,1,2)
> ks.test(residual_2,"pnorm",mean(residual_2),sd(residual_2))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: residual_2
D = 0.077388, p-value = 0.5253
alternative hypothesis: two-sided
Karena p-value > 0.05 maka residualnya berdistribusi normal
Model 3 : ARIMA(0,1,3)
> ks.test(residual_3,"pnorm",mean(residual_3),sd(residual_3))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: residual_3
D = 0.073548, p-value = 0.5913
alternative hypothesis: two-sided
Karena p-value > 0.05 maka residualnya berdistribusi normal
Model 4 : ARIMA(1,1,0)
> ks.test(residual_4,"pnorm",mean(residual_4),sd(residual_4))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: residual_4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
D = 0.068694, p-value = 0.6769
alternative hypothesis: two-sided
Karena p-value > 0.05 maka residualnya berdistribusi normal
Model 5 : ARIMA(1,1,1)
> ks.test(residual_5,"pnorm",mean(residual_5),sd(residual_5))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: residual_5
D = 0.07433, p-value = 0.5777
alternative hypothesis: two-sided
Karena p-value > 0.05 maka residualnya berdistribusi normal
Model 6 : ARIMA(1,1,2)
> ks.test(residual_6,"pnorm",mean(residual_6),sd(residual_6))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: residual_6
D = 0.084928, p-value = 0.4057
alternative hypothesis: two-sided
Karena p-value > 0.05 maka residualnya berdistribusi normal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Model 7 : ARIMA(1,1,3)
> ks.test(residual_7,"pnorm",mean(residual_7),sd(residual_7))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: residual_7
D = 0.070829, p-value = 0.6392
alternative hypothesis: two-sided
Karena p-value > 0.05 maka residualnya berdistribusi normal
- Hasil diagnostic checking terhadap nilai residual
Model 1 : ARIMA(0,1,1)
> tsdiag(ArimaModel_1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> hasil_1=acfStat(ArimaModel_1$residual)
Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang tidak signifikan (< 0.05)
pada Q(32) yaitu 0.03839275.
Model 2 : ARIMA(0,1,2)
Standardized Residuals
Time
0 20 40 60 80 100-3
0
0 5 10 15 20
-0.2
0.8
Lag
AC
F
ACF of Residuals
2 4 6 8 10
0.0
0.8
p values for Ljung-Box statistic
lag
p v
alu
e
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> hasil_2=acfStat(ArimaModel_2$residual)
Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang tidak signifikan (< 0.05)
pada Q(20) yaitu 0.03944205
Model 3 : ARIMA(0,1,3)
Standardized Residuals
Time
0 20 40 60 80 100-3
0
0 5 10 15 20
-0.2
0.8
Lag
AC
F
ACF of Residuals
2 4 6 8 10
0.0
0.8
p values for Ljung-Box statistic
lag
p v
alu
e
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> hasil_3=acfStat(ArimaModel_3$residual)
Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang tidak signifikan (< 0.05)
pada Q(32) yaitu 0.04943449
Model 4 : ARIMA(1,1,0)
Standardized Residuals
Time
0 20 40 60 80 100-3
0
0 5 10 15 20
-0.2
0.8
Lag
AC
F
ACF of Residuals
2 4 6 8 10
0.0
0.8
p values for Ljung-Box statistic
lag
p v
alu
e
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> hasil_4=acfStat(ArimaModel_4$residual)
Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang tidak signifikan (< 0.05)
pada lag .
> hasil_4
ACF PACF Q-stats P-Value
[1,] 1.000000000 1.000000000 NA NA
[2,] -0.059052601 -0.059052601 0.3941507 0.530125663
[3,] -0.285524726 -0.290023308 9.6939676 0.007852025
[4,] -0.206179599 -0.268499257 14.5885800 0.002204229
[5,] 0.137950457 0.001988306 16.8004069 0.002113369
[6,] 0.042654716 -0.090345396 17.0138861 0.004473537
Standardized Residuals
Time
0 20 40 60 80 100-2
1
0 5 10 15 20
-0.2
0.8
Lag
AC
F
ACF of Residuals
2 4 6 8 10
0.0
0.8
p values for Ljung-Box statistic
lag
p v
alu
e
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[7,] -0.026605545 -0.052111347 17.0977397 0.008930670
[8,] 0.047788061 0.075987586 17.3708966 0.015154919
[9,] 0.017695139 0.010001449 17.4087164 0.026123632
[10,] 0.095009628 0.156292344 18.5098108 0.029698927
[11,] -0.171773767 -0.110063573 22.1449780 0.014382826
[12,] -0.023214560 0.007965602 22.2120431 0.022781026
[13,] -0.020120779 -0.068703046 22.2629380 0.034676420
[14,] 0.188453417 0.104776375 26.7736698 0.013359360
[15,] -0.140156401 -0.152491260 29.2946262 0.009531631
[16,] -0.052709964 -0.023702410 29.6549331 0.013228436
[17,] 0.067863767 0.038370630 30.2585464 0.016706872
[18,] 0.080431591 0.019585871 31.1155469 0.019335495
[19,] -0.069811331 -0.033417034 31.7681884 0.023417619
[20,] -0.112070848 -0.037052716 33.4686023 0.021212929
[21,] -0.024270000 -0.121056926 33.5492343 0.029340629
[22,] -0.067160678 -0.164463095 34.1736170 0.034718141
[23,] 0.246995482 0.152842397 42.7145646 0.005115774
[24,] -0.007987037 0.002240168 42.7235982 0.007467235
[25,] -0.122812034 -0.100482384 44.8842964 0.006011259
[26,] -0.050529154 0.058080629 45.2543595 0.007821451
[27,] 0.139792973 0.067108127 48.1205305 0.005231522
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[28,] -0.104620845 -0.102353433 49.7452151 0.004869069
[29,] -0.058623344 -0.007125023 50.2615578 0.006046244
[30,] 0.001952498 -0.105232995 50.2621377 0.008461752
[31,] 0.153027689 0.080376248 53.8684286 0.004755093
[32,] 0.095537961 0.099276743 55.2918567 0.004647285
[33,] -0.122391601 -0.002931553 57.6578818 0.003574751
[34,] -0.097933154 -0.032673260 59.1924262 0.003398327
[35,] 0.033083686 0.072973596 59.3698553 0.004525979
[36,] 0.150566644 0.015809497 63.0938323 0.002488999
[37,] -0.038393314 0.058311307 63.3392411 0.003261095
Model 5 : ARIMA(1,1,1)
Standardized Residuals
Time
0 20 40 60 80 100
-30
0 5 10 15 20
-0.2
0.8
Lag
AC
F
ACF of Residuals
2 4 6 8 10
0.0
0.8
p values for Ljung-Box statistic
lag
p v
alu
e
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> hasil_5=acfStat(ArimaModel_5$residual)
Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang tidak signifikan (< 0.05)
pada Q(23) yaitu 0.02702787
Model 6 : ARIMA(1,1,2)
> hasil_6=acfStat(ArimaModel_6$residual)
Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang semuanya signifikan (>0.05).
> hasil_6
ACF PACF Q-stats P-Value
[1,] 1.0000000000 1.0000000000 NA NA
Standardized Residuals
Time
0 20 40 60 80 100
-30
0 5 10 15 20
-0.2
0.8
Lag
AC
F
ACF of Residuals
2 4 6 8 10
0.0
0.8
p values for Ljung-Box statistic
lag
p v
alu
e
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[2,] 0.0575409469 0.0575409469 0.3742297 0.54070771
[3,] -0.0015379701 -0.0048650386 0.3744995 0.82923661
[4,] -0.1325960684 -0.1326695962 2.3988617 0.49384655
[5,] 0.1458397588 0.1644933893 4.8709087 0.30080136
[6,] 0.0400134807 0.0200703179 5.0587686 0.40875021
[7,] 0.0001051761 -0.0246056145 5.0587699 0.53629787
[8,] 0.0785324075 0.1286796924 5.7964555 0.56370724
[9,] 0.0121703142 -0.0198867984 5.8143456 0.66801895
[10,] 0.0844834905 0.0747103363 6.6849744 0.66988019
[11,] -0.1943859028 -0.1855604695 11.3401948 0.33163507
[12,] -0.0063970817 -0.0076947311 11.3452874 0.41480592
[13,] -0.0916367957 -0.0792861265 12.4009482 0.41403959
[14,] 0.1178548563 0.0597719662 14.1650918 0.36232102
[15,] -0.1735173957 -0.1615686014 18.0289886 0.20546374
[16,] -0.0570100228 -0.0388723632 18.4504808 0.23972322
[17,] -0.0146775042 0.0297138723 18.4787158 0.29661871
[18,] -0.0026259560 -0.0423551233 18.4796293 0.35920462
[19,] -0.1261794123 -0.1099008140 20.6116915 0.29945423
[20,] -0.1713189434 -0.0946981835 24.5852544 0.17465163
[21,] -0.0366153226 -0.0784837622 24.7687789 0.21042060
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[22,] -0.0955689097 -0.0909552841 26.0330900 0.20519013
[23,] 0.1981337872 0.2028247402 31.5290697 0.08578686
[24,] -0.0160523500 0.0331076222 31.5655592 0.10952106
[25,] -0.0333646249 -0.0966482376 31.7250313 0.13395908
[26,] -0.0622800964 0.0555603111 32.2872307 0.14986819
[27,] 0.1071994759 0.0712616651 33.9726841 0.13571337
[28,] -0.0911680312 -0.1242591734 35.2064074 0.13371405
[29,] 0.0075429969 0.0253443510 35.2149558 0.16369631
[30,] 0.0593300772 0.0005060749 35.7503523 0.18095106
[31,] 0.1894754848 0.1363186550 41.2791000 0.08237224
[32,] 0.1185654192 0.0912589095 43.4713986 0.06773474
[33,] -0.0717286541 -0.0450106029 44.2840447 0.07283746
[34,] -0.0377716116 -0.0717168549 44.5123158 0.08700997
[35,] 0.0231492650 0.0473035824 44.5991862 0.10549542
[36,] 0.1338686836 -0.0035972536 47.5429803 0.07667142
[37,] -0.0260773095 -0.0038363467 47.6561954 0.09256652
Model 7 : ARIMA(1,1,3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> hasil_7=acfStat(ArimaModel_7$residual)
Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang semuanya signifikan (>0.05).
> hasil_7
ACF PACF Q-stats P-Value
[1,] 1.000000000 1.000000000 NA NA
[2,] -0.001071880 -0.001071880 1.298602e-04 0.9909078
[3,] -0.024521150 -0.024522327 6.872109e-02 0.9662231
[4,] 0.014229904 0.014185237 9.203585e-02 0.9927757
[5,] 0.130175515 0.129704693 2.061570e+00 0.7244355
Standardized Residuals
Time
0 20 40 60 80 100
-30
0 5 10 15 20
-0.2
0.8
Lag
AC
F
ACF of Residuals
2 4 6 8 10
0.0
0.8
p values for Ljung-Box statistic
lag
p v
alu
e
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[6,] 0.068297915 0.070672629 2.608883e+00 0.7600151
[7,] 0.003939110 0.010932121 2.610722e+00 0.8558762
[8,] 0.066640854 0.067708596 3.141917e+00 0.8715706
[9,] 0.014690495 -0.002311556 3.167984e+00 0.9233774
[10,] 0.079945275 0.067056511 3.947589e+00 0.9148280
[11,] -0.156821651 -0.168274658 6.977451e+00 0.7275720
[12,] -0.032260168 -0.051774962 7.106962e+00 0.7903565
[13,] -0.089105509 -0.119576386 8.105108e+00 0.7768636
[14,] 0.109460600 0.094640166 9.626897e+00 0.7241224
[15,] -0.173546759 -0.165891897 1.349210e+01 0.4881929
[16,] -0.092373649 -0.053563911 1.459868e+01 0.4806920
[17,] -0.012859807 -0.009088372 1.462036e+01 0.5525997
[18,] -0.012004078 0.007620074 1.463945e+01 0.6214341
[19,] -0.140078036 -0.121823902 1.726707e+01 0.5048209
[20,] -0.132535776 -0.061892818 1.964520e+01 0.4162049
[21,] -0.029731771 -0.064651127 1.976621e+01 0.4726375
[22,] -0.134900800 -0.120144084 2.228533e+01 0.3832304
[23,] 0.177049866 0.190669629 2.667386e+01 0.2238760
[24,] -0.004684062 0.086679028 2.667697e+01 0.2699610
[25,] -0.083958423 -0.087865905 2.768678e+01 0.2734723
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[26,] -0.019407843 0.024811973 2.774138e+01 0.3198957
[27,] 0.118049402 0.082539700 2.978527e+01 0.2766023
[28,] -0.098231828 -0.105614675 3.121758e+01 0.2622989
[29,] 0.020051229 0.017787444 3.127799e+01 0.3048757
[30,] 0.041927498 -0.036878370 3.154537e+01 0.3401785
[31,] 0.163675902 0.130367817 3.567100e+01 0.2190460
[32,] 0.122999028 0.103897346 3.803032e+01 0.1797314
[33,] -0.056657435 -0.020795204 3.853734e+01 0.1978117
[34,] -0.037284561 -0.111407876 3.875976e+01 0.2258661
[35,] 0.033777558 0.026859047 3.894471e+01 0.2569325
[36,] 0.118857144 -0.022413286 4.126531e+01 0.2156448
[37,] -0.022765153 -0.002167762 4.135159e+01 0.2483656
4. Peramalan
- Peramalan dengan model ARIMA(1,1,3) untuk 12 waktu ke depan:
> fcast=forecast(ArimaModel_7,h=12)
> fcast
Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95
111 90.73549 54.21190 127.2591 34.87747 146.5935
112 89.60800 52.12763 127.0884 32.28673 146.9293
113 114.83339 76.88866 152.7781 56.80194 172.8648
114 98.18731 60.11048 136.2641 39.95382 156.4208
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115 109.17195 70.99269 147.3512 50.78181 167.5621
116 101.92326 63.72916 140.1174 43.51043 160.3361
117 106.70663 68.48649 144.9268 48.25397 165.1593
118 103.55011 65.33156 141.7687 45.09988 162.0003
119 105.63308 67.40669 143.8595 47.17086 164.0953
120 104.25854 66.03436 142.4827 45.79971 162.7174
121 105.16559 66.93866 143.3925 46.70255 163.6286
122 104.56703 66.34136 142.7927 46.10591 163.0282
-Membuat plot grafik pada gambar 4.5
> plot.forecast(fcast,xlab="Minggu ke-",ylab="Xt*")
-Membuat plot grafik pada gambar 4.6
>plot(x1,y1,col="black",type="l",xlim=c(0,122),ylim=c(0,25000),xlab="t",ylab="Xt",main=
"Plot Grafik Data Asli dan Hasil Peramalan")
> par(new=T)
>plot(x2,y2,col="blue",type="l",xlim=c(0,122),ylim=c(0,25000),xlab="t",ylab="Xt",main="
Plot Grafik Data Asli dan Hasil Peramalan")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI