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Simbologa
Distinto de Pertenece a Conjunto de no.Reales
Casi igual No pertenece a Conjunto de no.naturales Idntico a No existe Conjunto de no.Enteros
Menor o igual que Existe Conjunto de no.Racionales
Mayor o igual que Por tanto Conjunto de no.irracionales
Menor que Porque Interseccin Mayor que Para todo Unin Proporcional a Diferencia de
conjuntos Conjunto vaco
Si y solo si Tal que Complemento de A Entonces Subconjunto propiode
Elementos de
Sumatoria de Subconjunto de A, B, C, Conjuntos Integral de Disyuncin lgica Conjuncin lgica
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3. PROBABILIDAD
3.1 TEORA DE CONJUNTOS3.1.1 Elementos BsicosConjunto
Definicin Un conjunto es una coleccin o familia de objetos.
Las llaves { } tendrn un uso muy especial y nico: servirn para definir un conjunto.
Para ninguna otra cosa ms.
Usualmente, los Conjuntos se denotan por las letras maysculas: A, B, C, X, Y,
Y los elementos de los conjuntos se representan por letras minsculas: a, b, c, x, y,
Formas de Construir o Definir ConjuntosManejaremos dos formas de construir conjuntos:
Definicin de un conjunto porextensin.
Definicin de un conjunto porintencin.
Definicin por ExtensinDefinicin
Construir o definir un conjunto por extensin consiste en declarar todos los elementos que lo
forman.
Ejemplo{Juana, Silvia, Mara, Itzel, Pedro}
Definicin por IntencinDefinicin
Construir o definir un conjunto por intencin consiste en declarar cules elementos de un
cierto conjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabo por una propiedad o predicado P(x).
Ejemplo
Todos aquellos nmeros reales que son mayores que -2.
Pertenencia (x A)Definicin
Un objeto x se dice pertenecer o ser elemento o estar en un conjunto A si:
cuando el conjunto A est definido por extensin (cuando el elemento x aparece en la
lista de elementos del conjunto A) cuando el conjunto A est definido por intencin (cuando el elemento x es tomado del
universo del discurso y cumple la propiedad establecida para A)
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EjemploA = {Juana, Silvia, Mara, Itzel, Pedro}
Jons A Pedro A
EjemploIndique cules opciones contienen elementos del conjunto:
a) 3b) 6c) -3d) 1.5
Sol. a) 3 A pues 3 es entero y cumple 2 < 3 < 5Sol. b) 6A pues 2 < 6 5Sol. c) 3A pues 2 3 < 5Sol. d) 1.5A pues 1.5 no es entero.Definicin de SubconjuntoDefinicinDiremos que un conjunto A es un subconjunto del conjunto B y lo simbolizaremos
Si todo elemento de A es tambin elemento de B.
Observe que de la definicin se tiene la siguiente equivalencia:
Y negando lo anterior:
EjemploEn referencia a los conjuntos:
NEl conjunto de los nmeros naturalesZEl conjunto de los enterosREl conjunto de los nmeros realesQEl conjunto de los nmeros racionales o fraccionarios
Se tiene:1. 2. 3. 4. 5.
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6. Conjuntos comparables
Definicin
Dos conjuntos A y Bson comparables si o , esto es, si uno de los conjuntos essubconjunto del otro.
Conjunto de conjuntos
Definicin
Cuando los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Por ejemplo, el conjunto de
subconjuntos de A. En estos casos se les suele llamar Familia de Conjuntos o Clase de
Conjuntos.
Conjunto potencia
Definicin
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto A se llama conjunto potenciade A. Se nota
por o tambin )(AP .
Ejemplo
Sea baA , entonces babaAP ,,,,)(
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3.1.2 Diagrama de Venn
Un universo U puede representarse geomtricamente por el conjunto de puntos de un
rectngulo. En tal caso los subconjuntos de U (como A y B indicados y sombreados en la figura)
se representan por conjuntos de puntos dentro de los crculos. Tales diagramas denominados
diagramas de Venn, sirven para darnos una intuicin geomtrica respecto a las posibles
relaciones entre conjuntos.
Definicin de Subconjunto PropioDefinicinDiremos que un conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B y lo simbolizaremos
Si todo elemento de A es tambin elemento de B y adems existe un elemento de b que no es
elemento de A.
Subconjunto propio ( )Todos los elementos de A estn en B y al menos un elemento de B no est en A.
El conjunto VacoDefinicinEl conjunto que no tiene ningn elemento se llamar el conjunto vaco.
Y se simbolizar por:
U
B
A
U
A
B
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3.1.3 Operacin con conjuntos
Unin de conjuntosDefinicin
La unin de los conjuntos ay bes el conjunto de todos los elementos que pertenecen a a o a b
o a ambos. Se denota la unin de ay bpor
Se lee A unin B
Ejemplo
Sean y . Entonces
Interseccin de conjuntos
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Definicin
La interseccin de los conjuntosAy Bes el conjunto de los elementos que son comunes aAy B.
esto es, de aquellos elementos que pertenecen a Ay que tambin pertenecen a B. se denota la
interseccin deAy Bpor
Que se lee Ainterseccin B
Ejemplo
Sean y . Entonces
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Diferencia de conjuntos
Tambin se conoce como complemento de B con respecto a A. La diferencia de los conjuntosA
y Bes el conjunto de elementos que pertenecen a A, pero no a B. se denota la diferencia de Ay
Bpor
Que se lee A diferencia B o simplemente A menos B.
Ejemplo
Sean y . Entonces
Complemento
El complemento de un conjuntoA es el conjunto de elementos que no pertenecen a A, es decir,
la diferencia del conjunto universal Uy delA. se denota el complemento deApor:
Tambin se nota con A o con A.
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Ejemplo
Suponiendo que el conjunto universal sea el alfabeto, dado Entonces
Eventos complementarios
Dos eventos son complementarios cuando su unin es igual al espacio muestral, es decir, sean
A y B Dos eventos de un experimento entonces A y B son eventos complementarios.
Ejemplo:
Lanzar un dado.
Sale par: Sale impar: Sale menor que 3: Sale 3 o ms:
E1 y E2 son eventos complementarios y E3 y E4 son tambin eventos complementarios.
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Teorema
Las operaciones con conjuntos sobre subconjuntos de un universo U cumplen las siguientes
leyes algebraicas:
1 Leyes asociativas2 3 Leyes conmutativas4 5 Leyes distributivas6 7 Leyes de absorcin8 9 Leyes de identidad10 11 Leyes de inversas12 13 Leyes De Morgan14
Cardinal de un conjunto finito
Sea A un conjunto que posee nelementos distintos, siendo nun nmero natural. Entonces se
dice que A es un conjunto finitoy tiene como cardinal n. El cardinal de un conjunto A se nota
A o tambin #A.
Principio de inclusinexclusin
Si A y B son dos conjuntos finitos cualesquiera, se tiene BABABA
Ejemplo
Supongamos que en una clase hay 25 estudiantes que han obtenido la mejor nota en
estadstica; 13 con la mejor nota en clculo y 8 con la mejor nota tanto en estadstica como en
clculo. Cuntos estudiantes hay en la clase, si cada alumno obtiene la mejor nota o en
estadstica o en clculo o en ambas?
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Solucin
El diagrama correspondiente sera:
Conjunto A: total de alumnos con la mejor nota en estadstica
Conjunto B: total de alumnos con la mejor nota en clculo.
Conjunto : total alumnos con mejor nota en estadstica y clculoPor consiguiente ser:
Es decir 30 alumnos hay en clase.
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3.1.4 Ejercicios
A) Determine cules de las proposiciones siguientes son falsas y cuales son verdaderas
1.
2.
3.
4. { }
5.
6.
7.
8.
B) En los ejercicios 9-15 escribe cada conjunto listado sus elementos
9.
10.
11. 12.
13.
14.
15.
C) En los ejercicios 16-20 se describe cada conjunto dado con ayuda de una proposicin
16.
17.
18.
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20.
D) Sea , y determine.a) Dibuje un diagrama de Vennb) c) d) e) f)
E) Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos vacios A, B y C de modo que A, B y C
tengan las siguientes caractersticas:
1) 2) 3) 4)
F) Probar las propiedades algebraicas para conjuntos
G) La formula puede definir la diferencia de dos conjuntosmediante las solas operaciones de interseccin y complemento. Encontrar una
formula que defina la unin de dos conjuntos, , mediante estas dosoperaciones de intersecciones y complemento.
H) Se ha investigado una poblacin con los siguientes resultados:
A 816 Personas les gusta el azcar
A 723 personas les gusta el helado
A 645 los pasteles
A 562 el azcar y los helados
A 463 el azcar y los pasteles
A 470 los pasteles y el helado
Existen 310 personas que les gustan las tres cosas
Se trata de conocer por cuantas personas est formada sea poblacin
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3.2 TCNICAS DE CONTEO3.2.1 Elementos Bsicos
Anlisis combinatorio
Los diagramas de rbol muestran objetivamente el nmero de resultados posibles en que se
puede disponer de la ordenacin de un conjunto de elementos, pero esta enumeracin es
limitada, pues a medida que aumenta el nmero de objetos dicha ordenacin se complica, por
lo que hay que utilizar otro procedimiento ms sencillo para determinar el nmero total de
resultados. Con este fin, nos apoyaremos en los conceptos permutaciones y combinaciones, loscuales tienen como base el principio fundamental del conteo.
Principio de conteo
Si un evento puede hacerse de a1 maneras diferentes, y cuando se ha hecho, puede hacerse un
segundo evento (independiente del primero) de a2 modos diferentes y luego un tercer evento
de a3 maneras tambin diferentes, y as sucesivamente, entonces el nmero de maneras
diferentes en que los eventos se pueden realizar, en el orden indicado es de:
EJEMPLO
De cuntos modos podr vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y dos
pares de calzado?
Solucin:
Primer evento (camisas) =3Segundo evento (pantalones) =4Tercer evento (zapatos) =2 =3*4*2=2424 modos diferentes.
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3.2.2 Diagrama de rbol
Un diagrama de rbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio. En el clculo de la probabilidad se requiere conocer el
nmero de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la
construccin de un diagrama de rbol.
El diagrama de rbol es una representacin grfica de los posibles resultados del experimento,
el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de
maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Para la construccin de un diagrama en rbol se partir poniendo una rama para cada una de
las posibilidades, acompaada de su probabilidad. Cada una de esta rama se conoce como
rama de primera generacin.
En el final de cada rama de primera generacin se constituye a su vez, un nudo del cual parten
nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generacin, segn las posibilidades del
siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construccin de un rbol no depende de tener el mismo
nmero de ramas de segunda generacin que salen de cada rama de primera generacin y quela suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de rbol que hace que stos sean mucho ms tiles
para los clculos rpidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas
adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se
trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un
alumno.
Ejemplo
El CBTIS 178 est formada por cuatro especialidades:
a) La 1 con el 30% de estudiantes
b) La 2 con el 25% de estudiantes
c) La 3 con el 25% de estudiantes
d) La 4 con el 20% de estudiantes
Las mujeres estn repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada especialidad
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Diagrama de rbol
3.2.3 Principio de la suma y la multiplicacin
Si un evento A puede ocurrir de maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento Bpuede ocurrir de maneras diferentes, entonces el nmero total de formas diferentes en queambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a .
De cuntas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo
que cada persona no puede obtener ms de un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el
primer premio. Una vez que ste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo,
y posteriormente quedarn 8 personas para el tercer premio. De ah que el nmero de manerasdistintas de repartir los tres premios.
especialidades
tcnicos en
alimentos
mujer
hombre
tcnicos enconstruccin
mujer
hombre
tcnicos en
contabilidad
mujer
hombre
tcnicos en
informatica
mujer
hombre
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Ejemplo
Cuntas placas de automvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras?
No se admiten repeticiones.
El smbolo !se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n;
es decir, sea nun nmero entero positivo, el producto sellama factorial de n.
Por definicin
3.2.4 Permutacin y Combinacin
Permutaciones
Una permutacin de un conjunto de elementos, es un ordenamiento especfico de todos o
algunos elementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden
hacerse con los elementos del conjunto.
Nota: En una permutacin el orden en que se disponen los elementos del conjunto es
importante.
Permutaciones de nelementos
Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el nmero de permutaciones de
n objetos distintos tomados de n en n, es:
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Ejemplo
Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas
en hilera para tomar una fotografa.
Ejemplo
Cinco personas desean nombrar un Comit Directivo compuesto de un presidente, un
vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. Cuntas maneras hay de constituir el
comit?
Ejemplo
Hay seis banderas de distintos colores. Cuntas seales diferentes se pueden enviar usando
las seis banderas al mismo tiempo?
Permutaciones de nelementos en diferentes grupos de relementos.
Podemos calcular el nmero de permutaciones , de elementos, tomados en grupos osubconjuntos de elementos.
Ejemplo
Si de un estante tomamos 2 de 3 libros Cuntas permutaciones pueden realizarse?
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Ejemplo
Cuntas ternas pueden formarse con las 26 letras del alfabeto, si cada letra slo puede
utilizarse una sola vez?
Ejemplo
Cinco personas entran a una sala en la que hay 8 sillas. De cuntas maneras diferentes
pueden ocupar las sillas?
Permutaciones donde no todos los elementos son diferentes.
Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre s, es decir, algunos de los
elementos son idnticos, la frmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto.
El nmero de permutaciones que se pueden formar en el caso de elementos, cuando hay elementos idnticos, elementos de otro tipo idnticos, etctera, es:
EJERMPLO
Cuntas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LALO?
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Ejemplo
Cuntos mensajes pueden enviarse con diez banderas utilizndolas todas, si son cuatro
negras, tres verdes y tres rojas?
Permutaciones circulares
Cuando los elementos se encuentran dispuestos en forma circular tenemos:
Ejemplo
De cuntas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero?
COMBINACIONES
Ya sabemos que en una permutacin el orden de los elementos es importante, pero cuando el
orden de colocacin carece de importancia, a la disposicin de dichos elementos se le
denomina combinacin.
Por lo tanto, una combinacin es un subconjunto o una disposicin de todos los elementos de
un conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos.
El nmero de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por elementos, que pueden obtenerse de un conjunto de elemento es:
Ejemplo
Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, Cuntas combinaciones pueden realizarse?
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Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinacin el orden de
los elementos no es importante.
Ejemplo
Se tienen cinco obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. De cuntasmaneras diferentes se puede seleccionar un equipo de tres?
Ejemplo
De un club de 20 socios, se van a seleccionar 3 para formar la mesa directiva. De cuntas
formas puede constituirse?
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3.3 PROBABILIDAD PARA EVENTOS
Definiciones
Probabilidad: es la posibilidad numrica de ocurra un evento. Se mide con valores
comprendidos entre 0 y 1, entre mayor sea la probabilidad, ms se acercar a uno.
Experimento: es toda accin bien definida que conlleva a un resultado nico bien definido
como el lanzamiento de un dado. Es el proceso que produce un evento.
Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles.
Para un dado es:
Definicin Clsica de Probabilidad. Modelo de frecuencia relativa
La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relacin de el nmero
de respuestas en favor de E, y el nmero total de resultados posibles en un experimento.
Ejemplo
La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:16.
6
1
Ejemplo
La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:5.
2
1
Ejemplo
La probabilidad de sacar 1, 2, 3, 4, 5 o 6 al lanzar un dado es:
16
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
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La probabilidad de un evento est comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de lasprobabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S= 1
Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los n elementosrelacionados = Nmero Total de resultados posibles.
Definicin axiomtica
Definicin
Para cualquier espacio muestral finito , la probabilidad del evento Ees un nmero tal que cumplen los siguientes axiomas de probabilidad.
1) la probabilidad no puede ser negativa2) , la probabilidad del espacio muestral es uno3) Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces:
Dos sucesos son disjuntos si y slo si la probabilidad de su unin es la suma de sus
probabilidades.
De los tres axiomas, se deducen casi inmediatamente cinco consecuencias:
1) La probabilidad tampoco puede ser mayor que uno
2) () Las probabilidades de dos sucesos complementarios suman uno
3) La probabilidad de un suceso imposible es cero
4)
Si un suceso est incluido en otro, su probabilidad es a lo sumo la de ste
5) La probabilidad de la unin de dos sucesos es la suma de sus probabilidades menos la
probabilidad de la interseccin.
6) La probabilidad de la unin de tres sucesos es:
Las probabilidades individuales
Menos las probabilidades de las intersecciones tomadas de a 2
Ms la probabilidad de la interseccin tomada de a 3"
Probabilidad compuesta
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Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre s.
En la composicin existen dos posibilidades: Unin o Interseccin .
Unin de A y B
Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unin de A y B contiene todos loselementos de el evento A o B o ambos.
Interseccin de A y B
Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la interseccin de A y B estcompuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.
Relaciones entre eventos
Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios,
condicionales y mutuamente excluyentes.
Eventos complementarios
El complemento de un evento A son todos los elementos en un espacio muestral (S) que no se
encuentran en A. El complemento de A es:
Ejemplo
En el evento A (da nublado), P(A) = 0.3, la probabilidad de tener un da despejado ser:
3.3.1 Probabilidad condicional
Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. La probabilidad
condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:
Si EJEMPLO
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P(A/B)=.67
A
B
A B
Si el evento A (lluvia) = 0.2 y el evento B (nublado) = 0.3, Cul es la probabilidad de que
llueva en un da nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes
3.3.2 Eventos independientes
Se dice que dos eventos A y B son independientessi:
.
La probabilidad de la ocurrencia de uno no est afectada por la ocurrencia del otro. De otra
manera los eventos son dependientes.
Ejemplo
De evento independiente es: Cul es la probabilidad de que llueva en lunes?
El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo anterior.
Eventos mutuamente excluyentes.
Cuando un evento A no contiene elementos en comn con un evento B, se dice que estos son
mutuamente excluyentes.
El evento A y B son mutuamente excluyentes
Ejemplo
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Al lanzar un dado:
a) Cul es la probabilidad de que salga 2 o 3?
b) Calcule Solucin
a)
b) , ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la interseccin no existe, esimposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.
Ley aditiva:
Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:
Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:
Ley multiplicativa:
Si los eventos A y B son dependientes:
Si los eventos A y B son independientes:
Ejemplo
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Se selecciona una muestra aleatoria n= 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los
100 artculos estn en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer
artculo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artculo (con reemplazo), a)
calcule la probabilidad de que ambos artculos estn en buen estado, b) si la muestra se toma
sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artculos estn en buen estado.
A: El primer artculo est en buen estado.B: El segundo artculo est en buen estado.
a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:
b) Si la muestra se toma sin reemplazo de modo que el primer artculo no se regresa antes de
seleccionar el segundo entonces:
Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se
tiene que haber cumplido antes el evento A.
3.3.3 Teorema de Bayes
P(B) =.98P(A) =.98
A B
P(B/A)=.97B
A
P(A) =.98
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Mediante el teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de que ocurra un determinado
evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la informacin que tenemos
de otros eventos.
Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe
mediante el teorema de probabilidad totalel cual es: [ ] [ ]
Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:
[ ] [ ]
Ejemplo
En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden ms de 1.80m de altura.
Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar y se
observa que mide ms de 1.80m Cul es la probabilidad de que sea mujer?
Z > 1.80 m
A = Hombre
B = Mujer
P (A) = .60
P (B) = .40
P (Z/A) = .20
P (Z/B) = .01
Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide ms de 1.80,
Utilizando el teorema de Bayes:
[ ] [ ]
HOMBRE MUJER
< 1.80
> 1.80
.80
.20
.99
.01
= Z
HOMBRE MUJER
< 1.80
> 1.80
.80
.20
.99
.01
= Z
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Podemos visualizar en el siguiente diagrama:
Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado que mide ms de 1.80 es 0.032 3.2 %
3.3.4 Selecciones al azar, con o sin reemplazo
Eleccin con reemplazo
Es aquel en que un elemento puede ser seleccionado ms de una vez en la muestra para ello
se extrae un elemento de la poblacin se observa y se devuelve a la poblacin, por lo que de
esta forma se pueden hacer infinitas extracciones de la poblacin aun siendo esta finita.
Eleccin sin reemplazo
No se devuelve los elementos extrados a la poblacin hasta que no se hallan extrados todos
los elementos de la poblacin que conforman la muestra.
Z > .80
Hombre Mujer
P(B/Z) = .032P(A/Z)Z > .80
Hombre Mujer
P(B/Z) = .032P(A/Z)