1B. Polajžer DINAMIKA EES

Osnove vektorskih prostorov in uporaba v elektrotehniki

(povzeto po G. Štumberger)

Boštjan Polajžerbostjan.polajzer@uni-mb.si

Fakulteta za elektrotehniko,

računalništvo in informatiko

Univerza v Mariboru

2B. Polajžer

Vsebina

Obseg in vektorski prostor

Skalarni produkt in norma

Ogrodje, baza in koordinate vektorja

Primeri vektorskih prostorov

Primeri ortonormiranihbaz

Grafična predstavitev tokov trifaznega sistema

3B. Polajžer

Obseg

V obsegu je definirana notranja operacija imenovana seštevanje (+), za katero velja:

( ) ( ) , ,

,

!0; 0

!( ); ( ) 0

O

O

O

O

Obseg O realnih ali kompleksnih števil je algebrska struktura z naslednjimi lastnostmi:

1 1

( ) ( ) , ,

,

!1; 1

!( ); 1

O

O

O

O

V obsegu je definirana

notranja operacija imenovana

množenje (·), za katero velja:

Veljati mora tudi: ( ) , , O

Za komutativni obseg velja: ··

4B. Polajžer

Vektorski prostor

V množici U je definirana

notranja operacija –seštevanje, za katero velja:

( ) ( ) , ,

,

! ;

!( ); ( )

a b c a b c a b c

a b b a a b

0 a 0 a a

a a a a 0 a

Imejmo množico U ={a,b,c,…} in obseg O={a,b,g,...}. Množico U imenujemo vektorski prostor nad obsegom O, če zanjo velja:

1

( ) ( ) , ,

( ) , ,

( ) , ,

O

O

O

a a a

a a a

a a a a

a b a b a b

V množici U je definirana

zunanja operacija -množenje s

skalarjem, za katero velja:

Elementi vektorskega prostora se imenujejo vektorji.

To delo obravnava izključno realne vektorske prostore.

5B. Polajžer

Skalarni produktVsaka preslikava (.,.), ki poljubno dvojico vektorjev

prostora U preslika v realno število, se imenuje skalarni produkt, če zanjo velja:

( , ) 0

( , ) 0

( , ) ( , ) ( , ) , ,

( , ) ( , ) , ,

( , ) ( , ) ,

O

a a a

a a a 0

a b c a c b c a b c

a b a b a b

a b b a a b

Dva vektorja sta ortogonalna natanko tedaj, ko je njun skalarni produkt enak nič:

( , ) 0 a b a b

Urejena dvojica, ki jo sestavljata realni vektorski prostor in skalarni produkt, se imenuje evklidski prostor.

6B. Polajžer

NormaVsaka preslikava ||.||, ki vektor prostora U preslika

v realno število, se imenuje norma, če zanjo velja:

0

0

,

, ,

O

a a

a a 0

a a a

a b a b a b

V evklidskem prostoru obstaja evklidska norma:

2( , )a a a

7B. Polajžer

Ogrodje, bazaČe je mogoče poiskati tako množico M = {a1,a2,…, an}, ki jo

sestavlja končno mnogo vektorjev prostora U, in je mogoče vsak vektor prostora U zapisati kot linearno kombinacijo vektorjev iz množice M , potem je vektorski prostor U končno razsežen, množica M pa je ogrodje vektorskega prostora U.

Ogrodje prostora se imenuje baza prostora, če ga sestavljajo linearno neodvisni vektorji. Vektorji, ki so v bazi, so bazni vektorji.

Baza je ortogonalna, če za vse bazne vektorje velja, da je skalarni produkt poljubnih dveh baznih vektorjev enak nič.

Baza je ortonormirana, če je ortogonalna, norme baznih vektorjev pa so enake 1.

8B. Polajžer

Koordinate vektorja

Naj bo B = {f1; f2,…, fn} ortonormirana baza n razsežnega vektorskega prostora. Vsak vektor omenjenega prostora lahko na en sam način zapišemo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev:

i= i1 f1+i2 f2+…+ij fj +…+in fn

Pri tem so i1, i2,…, in koordinate vektorja i v bazi B.

(i, fj )= (i1 f1+i2 f2+…+ij fj +…+in fn , fj)

(i, fj )= i1 (f1, fj )+i2 (f2, fj )+…+ij (fj, fj ) +…+in (fn ,fj)

(i, fj )= ij

9B. Polajžer

Primeri vektorskih prostorov

Množica zveznih funkcij, ki so definirane na danem intervalu.

Množica tokov in napetosti enofaznega sistema, ki so predstavljene kot zvezne funkcije.

Množica trojic tokov in napetosti trifaznega sistema, ki so podane s trenutnimi vrednostmi ali zveznimi funkcijami definiranimi na danem intervalu.

10B. Polajžer

Primeri ortonormiranih baz

Trojica geometrijskih vektorjev v trirazsežnem prostoru

1= {fa, fb ,fc}

Nabor harmoničnih funkcij

Kombinacija geometrijskih vektorjev in nabora harmoničnih funkcij

2 1 2

2 1

2= 1, 2cos( ), 2sin( ); , , , 1, 2,...,h t h t t t t h n

t t

3 1 1= , , ; 1 ; 2 cos( ); 2 sin( )k khc khs k k khc k khs kh t h t f f f f f f f f f

1 2

2 1

2, , ; , ; ; 1,2,...,k a b c t t t h n

t t

11B. Polajžer

Grafična predstavitev 3-faznega sistema – trenutne vrednosti

12B. Polajžer

Grafična predstavitev 3f-sistema – zvezne funkcije

13B. Polajžer

Grafična predstavitev 3-sistema – frekvenčno področje