opca_ kinematika

kinematika (grč. kinema = pokret, gibanje)

- proučava geometriju gibanja ne tražeći uzroke koji su doveli do gibanja

gibanje – vremenska promjena položaja tijela u prostoru

temeljni zadatak kinematike je određivanje osnovnih kinematičkih veličina:

• puta s(t)

• brzine v(t)

• ubrzanja a(t)

kao funkcija vremena za svaku točku tijela.

kinematika materijalne točke kinematika krutog tijela

- sve točke tijela opisuju isto gibanje

- dimenzije tijela nisu bitne pri analizi gibanja

Kinematika

položaj tijela: određen koordinatama u odabranom

koordinatnom sustavu (tijelo ne može imati istodobno dva

položaja),

putanja, trajektorija, trag kretanja tijela: skup svih točaka

kroz koje prolazi tijelo, svakoj točki putanje odgovara drugo

vrijeme,

pomak tijela: razlika konačnog i početnog položaja tijela u

određenom vremenskom intervalu, vektorska veličina,

prijeđeni put: duljina puta (putanje) koje tijelo pređe u

određenom vremenskom razdoblju, skalarna, pozitivna

veličina, monotono rastuća funkcija.

Jednadžba gibanja, zakon gibanja, zakon puta –

funkcija ovisnosti koordinata točaka tijela o vremenu.

Načini zadavanja jednadžbe gibanja:

vektorski: vektorom položaja,

parametarski: sustavom skalarnih jednadžbi,

prirodni: prirodnim koordinatnim sustavom.

mktzjtyitxtr

mrrrtr zyx

)()()()(

Kinematika materijalne točke

Zadavanje gibanja vektorom položaja

sin)( )(

sincos)( )(

coscos)( )(

sin)( )(

cos)( )(

rt , zrad t

rt , yrad t

rt x , m tr

k.s.u polarni prelazimo tzza

t y,m t

t, xrad t

Parametarsko zadavanje gibanja

- sustav skalarnih jednadžbi u odabranom koordinatnom sustavu:

- Kartezijev koordinatni sustav:

- cilindrični koordinatni sustav:

- sferni koordinatni sustav:

6 Izvor: [3]

- svakoj točki putanje pripadaju

tri međusobno okomita pravca:

• tangenta,

• glavna normala i

• binormala

koji tvore prirodni koordinatni

sustav,

- pravac tangente i glavne

normale tvore oskulatornu

ravninu koja sadrži:

• vektor brzine,

• vektor ubrzanja i

• središte zakrivljenosti.

Prirodno zadavanje gibanja

srednja(e) brzina:

- vektorska srednja brzina

- skalarna srednja brzina

u općem slučaju:

smvvvv

trenutna brzina:

kinematika materijalne točke

srednje ubrzanje: trenutno ubrzanje:

2 /lim/ smdt

Kinematički dijagrami

– grafički prikaz vremenske promjene:

• puta s(t),

• brzine v(t) i

• ubrzanja a(t).

Za zadani dijagram puta s-t

dijagrami brzine v-t i ubrzanja a-t

vezani su prvom i drugom derivacijom.

Zadavanje gibanja

v-t ili a-t

dijagramima

mCvdts

smv(t)zadano

- za određivanje konstante C

moramo poznavati put

u određenom trenutku,

najčešće je to t=0 (početni uvjet).

putanja: (općenito) bilo kakva prostorna krivulja

prema obliku putanje razlikujemo četiri osnovna gibanja:

pravocrtno krivocrtno

prostorno ravninsko

Za parametarski zadana gibanja:

odredite jednadžbe putanja.

Određivanje putanje (trajektorije) gibanja

mtymty

mtxmtx

mtymty

mtxmtx

sin10 cos21

cos10 sin23

Pravocrtno gibanje

putanja: pravac

os koordinatnog sustava postavljamo duž putanje gibanja, ishodište na

početak trajektorije

vektori brzine i ubrzanja poklapaju se s pravcem gibanja – nije

potreban vektorski zapis (pristup)

Izvor: [3]

1.Materijalna točka giba se pravocrtno prema zakonu gibanja

s(t)= t3-3t2+2 [m].

Odredite srednje brzine za prve četiri sekunde gibanja i vrijednost ubrzanja

u četvrtoj sekundi.

2. Materijalna točka giba se pravocrtno brzinom

v(t)= 0,9t2-0,63t [m/s].

Odredite zakone gibanja i ubrzanja te položaj točke u trenutku t=3 s, ako

je početni položaj točke s0=0.

Zadatci:

Posebni slučajevi gibanja po pravcu:

jednoliko gibanje po pravcu,

jednoliko ubrzano gibanje po pravcu,

jednoliko usporeno gibanje po pravcu,

harmonijsko gibanje.

Jednoliko gibanje po pravcu

CtvCdtvs

Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu

msattvs

sCCavs

Cattvs

CdtvatCvdts

smvatv

CatCadtv

smkonsta

Jednoliko usporeno gibanje po pravcu

msattvs

sCCavs

Cattvs

CdtvatCvdts

smvatv

CatCadtv

smkonsta

3. Izračunajte brzinu kojom treba vertikalno baciti tijelo s visine od 40 [m]

da bi palo:

a) jednu sekundu ranije,

b) jednu sekundu kasnije

u odnosu na slobodni pad.

4. Automobil koji se kreće konstantnom brzinom 40 [km/h] počinje kočiti.

Nakon 4,6 [s] pređe put jednak dvostrukom putu prevaljenom u prvih

1,5 [s] kočenja. Koliko iznosi usporenje?

Primjer: jednostavno harmonijsko gibanje

Elementi modela:

elastična opruga krutosti k

tijelo mase m

Idealizacija modela:

zanemarujemo otpore gibanju

Zakon gibanja: harmonijska funkcija:

Putanja gibanja - pravac

Harmonijsko gibanje

k [N/m]

m [kg]

x(t) [m] - konstante

1sin5)( smttasmttvmttx , ,

Jednostavno harmonijsko gibanje: fizikalno pojašnjenje

smjer motanja papira

ω=konst

Izvor: [8]

Analiza gibanja u prirodnom

koordinatnom sustavu:

- vektor brzine:

dsv m s

v v i m s

Krivocrtno gibanje materijalne točke u ravnini

vektori položaja, brzine i ubrzanja nisu kolinearni

/T N T N T T N N

dv ds dv va i v i i i a i a i m s

dt dt dt

T T N N

d v idv dv dia i v

dt dt dt dt

di d i i d i

Analiza gibanja u prirodnom koordinatnom sustavu: vektor ubrzanja

↙ ↘ mijenja iznos brzine mijenja smjer brzine

.r konst

Gibanje po kružnici

↓ ↓

obodna brzina kutna brzina

(m/s) (rad/s)

kutno ubrzanje

(rad/s2)

TN aaa

Vektorski smisao kutne brzine i kutnog ubrzanja:

Posebni slučajevi gibanja po kružnici:

jednoliko gibanje po kružnici,

jednoliko ubrzano gibanje po kružnici,

jednoliko usporeno gibanje po kružnici.

Jednoliko gibanje po kružnici:

v r konst

a ava konst

Jednoliko ubrzano gibanje po kružnici:

v r konst

a r konst

va konst

tangencijalno ubrzanje je u smjeru brzine,

vrijednost brzine se povećava

v r konst

a r konst

va konst

Jednoliko usporeno gibanje po kružnici:

tangencijalno ubrzanje je u suprotnom smjeru od

brzine, vrijednost brzine se smanjuje

0 0 0 0

1 1s=s + = +

v v a t

v t a t t t

v v a t

v t a t t t

Formalna analogija pravocrtnog i kružnog gibanja:

-jednoliko ubrzano:

-jednoliko usporeno:

5. Materijalna točka giba se po putanji prikazanoj na slici ubrzanjem

a=0,2t m/s2. Odredite iznos ubrzanja u točki B.

6. Materijalna točka giba se po kružnici radijusa 90 m. Intenzitet brzine m.t.

raste od nule konstantnim ubrzanjem od 2,1 m/s2. Odredite vrijeme potrebno

da točka postigne ukupnu akceleraciju od 2,4 m/s2 i brzinu u tom trenutku.

Izvor: [3]

Kosi hitac: sastavljeno gibanje

- zadano: , otpor zraka zanemarujemo

1sin)(

tgtvty

tgvtvy

konstvvv xx

- jednoliko gibanje po pravcu (os x):

- jednoliko usporeno gibanje po pravcu

(os y):

,00 vv

- jednadžba putanje:

vgxtgxy

tgtvty

xttvtx

cossin

1sin)(

coscos)(

- parabola (ravninsko krivocrtno

gibanje)

- domet hica:

2sincossin2

vgDtgD

vgxtgxy

- trajanje hica:

cos2sin

- maksimalna visina hica:

2sincos

vgxtgxy

Što ako zadržimo isti intenzitet početne brzine

ali promijenimo kut prema horizontali na β=90-α?

7. Lovac nišani majmuna na visini h i udaljenosti d.

Da li će zrno pogoditi majmuna ako u trenutku okidanja majmun

ispusti granu?

Odgovor: na žalost da.

zrno - kosi hitac majmun – slobodni pad

1sin)(

tgtvty

- odredimo jednadžbe gibanja zrna i majmuna,

- ishodište koordinatnog sustava stavljamo na položaj topa:

- mjesto i vrijeme susreta:

)(cos2

cossin

1sin)(

coscos

dvTgTvTy

dghTghTy

8. Igrač baca loptu početnom brzinom od 15 m/s pod kutem α prema

zidu koji se nalazi na udaljenosti od 18 metara.

Odredite vrijednost kuta α ako je strop dvorane na visini od 6 m.

Na kojoj će visini lopta udariti zid?

Izvor: [3]

Horizontalni hitac:

konstvvvx

- jednoliko gibanje po pravcu (os x):

- jednoliko usporeno gibanje po pravcu (os y):

- putanja:

Vertikalni hitac:

tgtvty

tgvtvy

- jednoliko usporeno gibanje po pravcu (os y):

- visina:

vttgvtvy

- trajanje do pada:

vTTgTv 02

Složeno gibanje materijalne točke

cpr aaaa

Gibanje materijalne točke u sustavu koji se i sam giba.

Razlikujemo:

apsolutno gibanje - gibanja m.t. u odnosu na nepomični sustav,

prijenosno gibanje - gibanje pomičnog sustava u odnosu na

nepomični,

relativno gibanje - gibanja m.t. u odnosu na pomični sustav.

• Brzina materijalne točke u odnosu na nepomični sustav:

apsolutna brzina:

• Ubrzanje materijalne točke u odnosu na nepomični sustav:

apsolutno ubrzanje:

komponenta ubrzanja koja se javlja kada prijenosno gibanje sadrži rotaciju

(Coriolisovo ubrzanje)

pra vvv

Kinematika krutog tijela

Dva osnovna gibanja krutog tijela:

translacija

rotacija oko nepomične osi

Ravninsko (komplanarno, planarno) gibanje

translacija + rotacija oko trenutne osi

Gibanje oko nepomične točke (sferno gibanje)

Opće gibanje slobodnog krutog tijela u prostoru

kinematika krutog tijela

Translacija krutog tijela

- gibanje pri kojem spojnica bilo koje dvije točke tijela uvijek ostaje

paralelna svom prvobitnom (početnom) položaju,

- prema obliku putanje spojnice kroz prostor razlikujemo:

pravocrtnu translaciju i krivocrtnu translaciju

Translacija krutog tijela

sve točke tijela opisuju sukladne putanje i gibaju se

međusobno jednakim brzinama i ubrzanjima

potrebno je poznavati kinematiku jedne (bilo koje)

točke tijela da opišemo njegovo gibanje

Rotacija krutog tijela oko nepomične osi

Izvor: [3]

- sve točke tijela opisuju kružne putanje

sa središtem na istom pravcu

osi rotacije,

- putanje su koncentrične kružnice ili se

nalaze u međusobno paralelnim ravninama,

- nije nužno da os rotacije prolazi kroz tijelo.

Izvor: [3]

sraddt

- za konstantnu vrijednost kutnog ubrzanja:

vrijednosti se mijenjaju linearno

s udaljenošću od osi vrtnje

Izvor: [3]

1. primjer: Disk rotira konstantnim kutnim ubrzanjem e=6 [rad/s2].

Početna brzina diska iznosi w0=8 [rad/s]. Odredite iznos brzine i

ubrzanja točke B nakon što se disk okrene za dva puna kruga.

Izvor: [3]

2. primjer: Odredite brzinu i ubrzanje tereta B dvije sekunde nakon

početka gibanja ako se kutno ubrzanje mijenja prema izrazu:

e=0,6t2+0,75

Izvor: [3]

Ravninsko (komplanarno) gibanje

- sve točke krutog tijela maju putanje jednako udaljene u odnosu na neku

nepomičnu (referentnu) ravninu,

- vektori brzina i ubrzanja svih točaka tijela paralelni su s referentnom

ravninom,

- gibanje se sastoji od translacije i rotacije oko pomične osi,

- za opis gibanja potrebno je poznavati gibanje samo jednog presjeka

tijela koji je paralelan s referentnom ravninom.

↙ ↘ translacija rotacija

ABAB rdrdrd /

ABABAB

NABTABAB

Vektori brzine i ubrzanja

kod ravninskog gibanja

coscos coscos

Odnos projekcija brzina kod ravninskog gibanja

- trenutni pol brzina

coscos

PBBPAA

ABBABA

coscos

Znamo da vrijedi:

Određivanje trenutnog pola brzina

3. primjer: Štap AB klizi po horizontalnoj i vertikalnoj glatkoj podlozi

prema slici. U trenutku kada se štap nalazi se pod kutom od 60° u

odnosu na horizontalu podlogu brzina točke A iznosi vA=5 cm/s .

Odredite brzinu točke B.

Izvor: [3]

160cos

/66,860cos

30cos60cos

Određivanje brzina

Kotrljanje bez klizanja

translacija + rotacija

0 / m sv r brzina translacije i rotacije:

r- radijus diska/kugle

0B T Na a a a

translacija + rotacija

komponente ubrzanja:

A Na a

Što ako se podloga giba?

4. primjer: Odredite brzinu točke B na obodu cilindra koji se kotrlja bez

klizanja po pokretnoj traci prema slici.

5. primjer: Cilindar radijusa r=0,125 m kotrlja se bez klizanja između dvije

paralelne trake kako je prikazano na slici. Odredite brzinu središta

cilindra.

Izvor: [3]

Literatura:

[1] A.C. Chopra: Dynamics of Structures-Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, 3th

edition , 2007.

[2] N.Cindro: Fizika 1 mehanika-valovi-toplina, Školska knjiga, Zagreb, 1980.

[3] R.C.Hibbeler: Engineering Mechanics, Dynamics, Eleventh edition, Pearson Education, 2007.

[4] Inženjerski priručnik IP1 – temelji inženjerskih znanja, Školska knjiga, Zagreb 1996.

[5] S. Jecić: Kinematika krutih tijela, Udžbenici Sveučilišta u Zgb-u, Fakultet strojarstva i brodogradnje, 2002.

[6] A. Kiričenko: Tehnička mehanika, II dio, Kinematika, PBI d.o.o., Zagreb , 1997.

[7] A. Kiričenko: Tehnička mehanika, III dio, Dinamika, PBI d.o.o., Zagreb , 1998.

[8] C.Kittel, W.D.Knight, M.A.Ruderman: Mehanika – udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeleyu, prvi svezak, drugo

izdanje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1982.

opca_ kinematika

Documents

Transcript of opca_ kinematika

Kinematika Agus

KINEMATIKA PARTIKEL

Kinematika Mekanisme

4 kinematika

Kinematika i

Kinematika fluida

Kinematika (3)

KINEMATIKA GETARAN

kinematika teorija

Kinematika Robot

KINEMATIKA - …afiefdiaspambudi.staff.telkomuniversity.ac.id/.../Bab-2-Kinematika... · Kinematika Dinamika Optik Listrik Dll . ... menyatakan sudut awal, dan r menyatakan vektor

Xi kinematika

Kinematika Dimensi

Kinematika Dinamika.pdf

Kinematika Rotasi

KINEMATIKA FISIKA

opca_ kinematika

KINEMATIKA PARTIKEL - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/197902072014041001/pendidikan/3-Kinematika Partikel.pdf · KINEMATIKA PARTIKEL Oleh : Achmad Arifin, S.Pd, M.Eng.

KINEMATIKA na

Kinematika Kinematika krutog tela