Post on 07-Feb-2020
Samoindukcija, meñuindukcija i RLC krugovi
Samoindukcija
-električni krug na slici-zatvaranjem sklopke S, struja ne postiže trenutno vrijednost ε/R – zbog elektromagnetske indukcije-porastom struje u krugu, raste mag. tok kroz krug i inducira se ems (napon) u krugu čiji je smjer suprotan uzroku svog nastanka (bateriji) – zbog toga je smjer inducirane struje takav da se njeno mag. polje opire promjeni toka mag. polja kroz krug – struja postepeno raste do max. iznosa
-ova pojava naziva se samoindukcija-ems inducirana na taj način naziva se samoinducirana ems (εL)
Pokus: Ostvarimo strujni krug prema slici.
Što se dogaña kada uključimo struju kroz žarulje?
Žarulja 2 se upali s malim zakašnjenjem! Zašto?
Za to je odgovorna zavojnica.
Objašnjenje:
Prolaskom struje kroz zavojnicu stvara se mag. polje oko nje. Mijenjanjem jakosti struje (uključenje – isključenje) � Mijenja se i mag. polje oko zavojnice. � Zakon elektromagn. indukcije (zavojnica u promjenjivom mag. polju). � U zavojnici se inducira EMS. Pojava se zove samoindukcija.
Smjer inducirane struje je takav da ona svojim poljem nastoji spriječiti promjenu mag. toka.
Inducirana EMS samoindukcije je:
Magnetsko polje oko zavojnice je proporcionalno jakosti struje kroz nju.
Budući su ΦΦΦΦ i B takoñer proporcionalni (ΦΦΦΦ = SB) �
L
dN
dtε Φ= −
Magnetski tok je takoñer proporcionalan jakosti struje kroz zavojnicu.
LIΦ =L = koeficijent samoindukcije (samoinduktivitet)
L
dIL
dtε = −
Za zavojnicu od N namotaja � N LI
d dIN L
dt dt
Φ =Φ =
LLdI
dt
ε= −
[ ] VsL H
A= = henri
Izračunaj koeficijent samoindukcije torusnezavojnice.
Primjer:
Od prije:
Tok kroz presjek zavojnice S �NI
BS Sl
µΦ = =
N LIΦ =
2
NI NIB
r lµ µ
π= =
N LIΦ =N
LI
Φ=
N NIL S
I lµ=
2N SL
lµ=
Meñuindukcija2 zavojnice, jedna blizu druge � Promjena struje u prvoj (primarnoj) uzrokuje induciranu elektromotornu silu u drugoj (sekundarnoj). Pojava se zove meñuindukcija ili uzajamna indukcija.
Kako odrediti iznos induciranog napona u drugoj zavojnici?
Kako odrediti iznos induciranog napona u drugoj zavojnici?
Neka je:l = duljina prve zavojniceS = Površina presjeka prve zavojniceN1 = Broj namotaja prve zavojniceN2 = Broj namotaja druge zavojniceµµµµ = Permeabilnost jezgre zavojnice
Promjenjiva struja I1 stvara mag. tok koji prolazi i kroz drugu zavojnicu. � U drugoj zavojnici se inducira EMS:
22 2
dN
dtε Φ= −
Tok = ? 2 1 BSΦ = Φ = Φ = 1 1N IS
lµΦ =
1 12 2
N IdN S
dt lε µ = −
1 2 1SN N dI
l dt
µ= − 12
dI
dtε ∼
M = Koeficijent meñusobne indukcije (meñuinduktivnost)
1 2 12
SN N dI
l dt
µε = − 12
dI
dtε ∼ 1
2
dIM
dtε = −
2
1
MdI
dt
ε= −
Meñuinduktivnost je jednaka omjeru EMS inducirane u jednom krugu i brzine promjene struje u drugom krugu.
[ ] (henri)/
VM H
A s= =
1 2SN NM
l
µ= Meñuinduktivnost – Ovisi isključivo o gemetriji zavojnica.
Struja u LR kruguPromjena jakosti struje kroz zavojnicu. �
Inducirana EMS samoindukcije:
Zatvaranje strujnog kruga. � Porast struje (od 0 do I). � U zavojnici se inducira EMS (suprotnog smjera od εεεε).
Lε
L RIε ε+ =
I
2. Kirchoffovo pravilo �
� Uključivanje struje u strujnom krugu sa zavojnicom nije trenutno.
L
dIL
dtε = −
Promatramo strujni krug u kojem se nalaze otpornik R i zavojnica induktivnostiL.
(Uz pretpostavku RL = 0)
dIL RI
dtε − = dI
L RIdt
ε= − : RL dI
IR dt R
ε= −
Granice integracije?
Uvodimo supstituciju:
L dII
R dt R
ε= −
x IR
ε= − dx dI
dt dt= − L dx
xR dt
− =
dx Rdt
x L= − ∫
0 0 /t I x Rε= ⇒ = ⇒ =/t t I I x R Iε= ⇒ = ⇒ = −
/
/ 0
R I t
R
dx Rdt
x L
ε
ε
−
= −∫ ∫ ( ) ( )ln / ln /R
R I R tL
ε ε− − = −
/ln
/
R I Rt
R L
εε
− = − /
/
Rt
LR I
eR
εε
−− =
1/
Rt
LI
eRε
−− = 1
/
Rt
LI
eRε
−= −
Nakon dovoljno dugo vremena �
1/
Rt
LI
eRε
−= − 1
Rt
LI eR
ε − = −
1
za 0
Rt
LR
tL
EXP e
et EXP
−= =
→ ∞⇒ →
t = 0 ���� I = I0 = εεεε/R 0 1R
tLI I e
− = −
/0 01 1
t t
L RI I e I e τ− −
= − = −
τ τ τ τ = L/R = vremenska konstanta= vrijeme potrebno da struja
dostigne 63,2% svoje konačne vrijednosti (t = ττττ)
( )10 01 0,632I I e I−= − =
Koliko vremena treba da struja padne na polovicu prvobitne vrijednosti?
1/ 2
00 1
2
tII I e τ
− = = −
τ τ τ τ = L/R = vremenska konstanta/0 01 1
t t
L RI I e I e τ− −
= − = −
0
2
I
1/ 2 11
2
t
e τ−
= −1/ 2 1
2
t
e τ−
= ln
1/ 2 1ln
2
t
τ− = 1/ 2
1ln
2t τ= − ( )1/ 2 ln1 ln 2t τ= − −
1/ 2 ln 2t τ= ⋅ 1/ 2 0,693t τ= ⋅ Polovično vrijeme porasta
1/ 2t
Utjecaj induktivnosti na prekid struje u LR krugu
Isključimo prekidač. � Otpor postaje beskonačno velik. Kako se mijenja struja?
Promatramo situacije kada zatvorimo P2!� Prekid struje s izvorom jer je on kratko spojen.
L RIε =2. Kirchoffovo pravilo �
dIL RI
dt− = L dI
dtR I
− = ∫
0 0
I t
I
L dIdt
R I− =∫ ∫
0
lnI R
I tI L
= −0
lnI R
tI L
= −
0
Rt
LI I e−
= /0 0
t t
L RI I e I e τ− −
= =
Isključimo prekidač svjetla. � Iskrenje (Zbog Lenzova pravila). Nastaje inducirana struja koja nastoji "zadržati" struju prije isključenja.
/0 0
t t
L RI I e I e τ− −
= =
Odakle zavojnici sposobnost stvaranja struje?
Zavojnica kojom teče struja ima energiju.
Energija zavojnice je pohranjena u njenom magnetskom polju.
Inducirana struja će teći sve dok postoji mag. polje.
τ τ τ τ = L/R= vrijeme potrebno da struja
padne na 37% svoje početne vrijednosti (t = ττττ)
I0/2
1/ 2t
0,37·I0
Zadatak: a) Odredi vremensku konstantu kruga na slici.b) Izračunaj struju u trenutku t=2ms i nacrtaj graf
ovisnosti I(t).c) Usporedi pad napona na otporniku i zavojnici.
a)
b)
c)
-u trenutku t=0 kada zatvorimo prekidač, krugom još ne teče struja i stoga je pad napona na otporniku VR=0, a pad napona na zavojnici (induktoru) jednak je naponu baterije (ems baterije=12 V) jer se zavojnica opire promjeni mag. toka -s prolaskom vremena, inducirana ems na zavojnici slabi i krugom poteče struja koja sve više raste; stoga je i pad napona na otporniku sve veći (VR) dok pad napona na zavojnici biva sve manji (VL)
-vrijedi: VR + VL = ε (=12 V)
Energija u magnetskom polju zavojnice
Energija koju daje izvor za vrijeme dt.
Inducirana struja će teći sve dok postoji mag. polje.
L RIε ε+ =
dIL RI
dtε − = Idt dq⋅ =
2Idt RI dt LIdIε = +
Dio energije pretvoren u Jouleovu toplinu.
Energija magnetskog polja zavojnice.
i LdE dQ dE= +
(II Kirch. pravilo)
Ukupna energija spremljena u mag. polju kruga struje, kad se struja povećala od 0 = do I dobiva se inetgracijom:
2Idt RI dt LIdIε = +
Prekidanjem strujnog kruga, mag. energija zavojnice se pretvara u unutrašnju energiju (toplinu) u otporniku sve dok ne iščezne i struja postane nula.
Energija magnetskog polja zavojnice.
2
2L
LIE =LdE LIdI= ∫
i LdE dQ dE= +
Gustoća energije u magnetskom polju zavojnice
Ubacimo izraze za koeficijent samoindukcije i izraz za struju iz mag. polja zavojnice.
Energija magnetskog polja zavojnice.2
2L
LIE =
0
IB N
lµ=
2
0
N SL
lµ=
2
2L
LIE =
22
00
2L
N S Bl
l NE
µµ
=
0
BlI
Nµ=
2
0
1
2LE B Slµ
=
Gustoća energije je energija/volumen �LE
wSl
=
2
0
12
B Sl
wSl
µ=
2
02
Bw
µ= Vrijedi općenito za bilo koje mag. polje
u prostoru!
Nabijanje kondenzatora u RC krugu
Prije toga, pogledajmo ponašanje kondenzatora u str. krugu. Da li je nabijanje kondenzatora trenutno?
Kako će se ponašati strujni krug gdje su zajedno kapacitet i zavojnica?
Nabijanje kondenzatora:
Zatvorimo prekidač: � c RU Uε = +
; ; c R
q dqU U IR I
C dt= = =
q dqR
C dtε = +
dqRC C q
dtε= −
C⋅
uz x C qε= −
dxRC x
dt− =
dx dq
dt dt= −
1dxdt
x RC= −
Vremenska konstanta
1dxdt
x RC= − ∫ 2
1
1ln
0
x tx t
x RC= −
uz x C qε= −
0 0t q x Cε= ⇒ = ⇒ =t t q q x C qε= ⇒ = ⇒ = − 1
lnC q
tC RC
εε
− = −
1t
RCC q
eC
εε
−− =1
tRCC q Ceε ε
−− =
1t
RCq C Ceε ε−
= −1
1t
RCq C eε−
= −
RCτ =
1t
q C e τε−
= −
I0
1t
q C e τε−
= −
1td
I C edt
τε−
= −
dqI
dt=
1 t
I C e τετ
−=
0
t
I I e τ−
=
Izbijanje kondenzatora u RC kruguDa li je izbijanje kondenzatora trenutno?
Nabijemo kondenzator, a zatim zatvorimo prekidač P2.
Izbijanje kondenzatora preko otpora. �
0 c RU U= +
; ; c R
q dqU U IR I
C dt= = =
0q dq
RC dt
= +
0dq
RC qdt
+ =
C⋅
1dqdt
q RC= − ∫
0
1ln
0
q tq t
q RC= −
0
1ln
qt
q RC= −
1
0 0
tt
RCq q e q e τ− −
= =
Ovisnost struje izbijanja?
1
0 0
tt
RCq q e q e τ− −
= =
dqI
dt= 0
tdI q e
dtτ
− =
0tq
I e τ
τ−
= −
0
t
I I e τ−
= −
Energija pohranjena u kondenzatoru
Energija koju daje izvor za vrijeme dt.
Energiju daje izvor. Troše je R i C.
C RU Uε = + qIR
Cε = +
Idt dq⋅ =
2 qIdt RI dt dq
Cε = +
Dio energije pretvoren u Jouleovu toplinu.
Energija kondenzatora
i CdE dQ dE= +
q dqR
C dtε = +
Ukupna energija? Kada naboj dostigne konačnu vrijednost, struja pada na nulu � dQ = 0
C
qdE dq
C= ∫
2
2C
qE
C=
Izbijanje kondenzatora u LC strujnom krugu
Nakon nabijanja kondenzatora, struja prestane teći.
Energiju daje izvor. Troše je L i C.
Zatvorimo prekidač P2 �
Nabijeni kondenzator šalje struju kroz zavojnicu. � Inducirana EMS u zavojnici.
L CUε = dI qL
dt C− =
2
2uz
dI d dq d q
dt dt dt dt = =
2
20
d q q
dt LC+ =
Diferencijalna jednadžba drugog reda. Da li smo nešto slično već vidjeli?
2
20
d xx
dtω+ =Isti tip jednadžbe kao kod harmoničkog oscilatora:
Rješenje:
0 cosq q tω= 1uz
LCω =
Naboj se mijenja periodički (sinusoidalno)!
Isti tip jednadžbe kao kod harmoničkog oscilatora:
2
20
d q q
dt LC+ =
2
20
d xx
dtω+ =
cosx A tω=
Rješenje našeg problema �:
0 cost
q qLC
=
Dobili smo oscilatorni krug gdje se energija električnog polja kondenzatora pretvara u energiju mag. polja zavojnicei obrnuto.
Koliko dugo traju te oscilacije?
Da nema otpora vodova (žica), trajalo bi vječno. Zbog otpora, oscilacije su gušene. Takoñer, sistem zrači energiju u obliku elektromagnetskih valova (za dovoljno velike frekvencije).
1
LCω = Frekvencija titranja LC kruga.
(svojstvena, vlastita, prirodna)
2
20
d q q
dt LC+ =
1
2 LCν
π=
tzv. THOMSONOVA FORMULA (FREKVENCIJA)
Kako se mijenja struja izbijanja?
0 cost
q qLC
=
12T LCπ
ν= = Period titranja.
0 cosdq d t
i qdt dt LC
= =
0 sinq t
iLC LC
= − sinm
ti
LC= −
Struja se mijenja po zakonu kosinusa � izmjenična struja(obilježavamo malim slovom i)
qu
C=
0 cost
q qLC
=
Grafički:
sin sinm m
ti i i t
LCω= − = −
0 cosq t
uC LC
= cosmu tω=
Pomak u fazi izmeñu struje i napona za ππππ/2:
sinmi i tω= −
cosmu u tω=
( )cos / 2mi i tω π= +
Struja brza za ππππ/2 ispred napona!
Usporedba elektromagnetskog i mehaničkog titranja
LC strujni krug elastična opruga bez trenja
Titranje energije izmeñu kondenzatora (E) i zavojnice (B) analogno je titranju elastične opruge (pretvorba potencijalne u kinetičku energiju i obratno).
E=
B=
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
-ukupna energija pohranjena u LC strujnom krugu je konstantna
max cosQ Q tω= max sinI I tω= −
.U const= =
-sva energija na C ili L
Izbijanje kondenzatora u RLC strujnom krugu
Nakon nabijanja kondenzatora, zatvorimo prekidač P �
L CiR Uε = +
L
C
diL
dtq
UC
ε = −
=
2
2uz
di d dq d q
dt dt dt dt = =
2
20
d q R dq q
dt L dt LC+ + =
Diferencijalna jednadžba drugog reda. Teorija diferencijalnih jednadžbi daje rješenje:
22
2
1cos
4
Rt
Lm
Rq q e t
LC L
− = −
Argument funkcije kosinus je realan �
2
2
1
4
R
LC L>
22
2
1cos
4
Rt
Lm
Rq q e t
LC L
− = −
Oscilacije naboja su gušene, amplituda eksponencijalno opada. � PRIGUŠENO titranje
Tko uzrokuje gušenje? LC krugu smo dodali otpornik R �Koeficijent gušenja je R/2L. Dodani otpornik igra ulogu trenja u mehaničkim sistemima.
Kutna frekvencija titranja: 2
2
1
4
R
LC Lω = −
2
2
12
4R
TLC L
π= −
Slučaj R << 2L � 2T LCπ= Ista relacija kao u LC krugu (Thomson)
Slučaj 1:
U ovisnosti vrijednosti unutar uglate zagrade imamo 3 slučaja:
2
2
1
4
R
LC L>
22
2
1cos
4
Rt
Lm
Rq q e t
LC L
− = −
Grafički prikaz oscilacija naboja i struja u RLC krugu:
Amplitude naboja(crno) i struje(crveno) opadaju po envelopama.
Slučaj 1:
2
2
1
4
R
LC L=
22
2
1cos
4
Rt
Lm
Rq q e t
LC L
− = −
Slučaj 2:
Naboj više ne oscilira, nema titranja. Naboj monotono pada prema: 2
Rt
Lmq q e
−=
Struja pada po istom zakonu.
Tzv. KRITIČNO APERIODIČNO izbijanje.2
0
Rt
LQ Q e−
=
2
2
1
4
R
LC L<
22
2
1cos
4
Rt
Lm
Rq q e t
LC L
− = −
Slučaj 3:
Argument funkcije kosinus je imaginaran. �
Izbijanje kondenzatora je APERIODIČNO(izboj u jednoj eksponencijalnoj krivulji).