UNIVERSITETI I PRISHTINËS

FAKULTETI I INXHINIERISË MEKANIKE

PRISHTINË

Aplikimi i trigonometrisë dhe gjeometrisë gjatë procesit

të përpunimit me prerje tek NC dhe CNC makinat

Mr. sc. Afrim Gjelaj ing.dipl.

Hyrje

Të ndërmarrjet e vogla në shumë raste dallojnë llogaritjet prej llogaritjes, të cilat

aplikohen të makinat me drejtim numerik të kompjuterizuar CNC.

Për realizimin final të copave punuese si të frezimi, tornimi ashtu edhe te erozimatet

me makinat me drejtim numerik të kompjuterizuar CNC, prandaj kjo është e domosdoshme,

të përshkrimi i konturave të ndryshueshme, kontura e pikës gjegjësisht pika ndihmëse për

përcaktim dhe llogaritje.

Shembujt në vazhdim nevojitet të llogariten për programimin e copave punuese sipas

DIN 66025. Në shumicën e detyrave programuese mund të ketë shumë mënyra për zgjedhjen

e tyre. Por ne do të japim një ose më shumë mënyra (rrugë) për llogaritjen e tyre.

Përmbajtja

1. Bazat e matematikes të procesi i përpunimit

në makinat NC dhe CNC

Kryesisht kontura e pikës mund të llogaritet me disa përjashtime të vogla me ndihmën

e trigonometrisë me trekëndëshin kënddrejtë të (ngushtë)pjerrtë. Nga këto njohuri mund të

bazohemi, të cilat këtu do të paraqiten si themelore. Pra, trigonometria zë vend të rëndësishëm

për realizimin e copave punuese në përpunueshmërinë më prerje, kur kemi raste te rrëzimi i

teheve, kontura të pjerrëta apo për çfarëdo konture që paraqitet gjatë procesit të përpunimit

me tornim e po ashtu edhe te procesi i përpunimit me frezim, erozimatet etj.

1.1. Teorema e Pitagores

Në një trekëndësh kënddrejtë si në fig. 1 ., shuma e kateteve është e barabartë me

hipotenuzën.

, pasi të rrënjëzohet shprehja,

Fig. 1. Teorema e Pitagores

pas rrënjëzimit rrjedh hipotenuza:

ose kur nevojitet të llogaritet ndonjëra prej kateteve: ;

a,b – tregojnë katetet

c – tregon hipotenuzën

Shembull: janë dhënë hipotenuza , dhe kateta , kërkohet të

llogaritet kateta b = ?

nga shprehja:

Funksionet e kënddrejtë

a) Sinusi i një këndi në trekëndëshin kënddrejtë është në proporcion(përpjesëtim) të

njëjtë me katetën përballë nda për hipotenuzën fig.2.

Fig. 2.

Nga trigonometria për teoremë të sinusit kemi:

, për rastin konkret kur nuk dihet këndi α, por katetat dhe hipotenuza janë të

njohura, atëherë kemi:

Shembull: Janë dhënë kateta dhe hipotenuza

b) Kosinusi i një këndi në trekëndëshin kënddrejtë është në proporcion(përpjesëtim) të

njëjtë me katetën pranë nda për hipotenuzën si në fig.3.

Fig. 3.

Nga trigonometria për teoremë të kosinusit kemi:

, për rastin konkret kur nuk dihet këndi α, por katetat dhe hipotenuza janë të

njohura, atëherë kemi:

Shembull: Janë dhënë kateta dhe hipotenuza

c) Tangjenti i një këndi në trekëndëshin kënddrejtë është në përpjesëtim (proporcion)

të njëjtë me kateten për ballë nda për kateten pranë.

Këndi i tangjentit mund të kuptohet edhe si boshti i Y – nit, nda për boshtin e X – it,

ku i përgjigjet kateta (a) nda për kateten (b) si në fig.4..

Fig. 4.

,

- kur kateta b është boshti i sinuseve (y-nit) dhe

kateta a boshti i kosinuseve (x-it),

Prej nga kemi:

dhe

Shembull: Janë dhënë kateta dhe hipotenuza

d) Kotangjenti i një këndi në trekëndëshin kënddrejtë është në përpjesëtim

(proporcion) të njëjtë me kateten pranë nda për kateten për ballë.

Këndi i kotangjentit mund të kuptohet edhe si boshti i X – it, nda për boshtin e Y – it,

ku i përgjigjet kateta (a) nda për kateten (b) si në fig.5.

Fig. 5.

,

- kur kateta a është boshti i cosinuseve (x-it) dhe

kateta b boshti i sinuseve (y-it),

Prej nga kemi:

dhe

1.2. Teorema e sinusit

Në një trekëndësh të çfarëdoshëm janë koeficientet e njëjtë nga njëra anë e

trekëndëshit dhe qëndron këndit të sinusit.

Fig. 6 Trekëndëshi për termen e sinusit

Duke u nisur nga ngjashmëria e trekëndëshave kemi:

Nga rezulton:

;

;

Prej nga

Shembull:

Janë dhënë këndi , sipërfaqja a=90mm dhe b=50mm

Kërkohet këndi β=?

;

2. Bazat e gjeometrisë

2.1. Sistemet Koordinative

Secila pikë në rrafsh mund të përcaktohet qartë përmes horizontales me vlerë të X-it,

dhe vertikales me vlerë të Y-it. Pika kthyese zakonisht merret pika zero e copës punuese, që

përputhet me pikën prerëse në horizontale me aksin X dhe në vertikale me aksin Y.

Marrim një shembull: Për konturën e dhënë realizohet programimi i copës punuese

përmes G-kodeve si në figurë. Kontura e copës punuese duhet realizuar me procesin e frezimit

Fig. 7 Pamja e trajektores së copës punuese .

Programimi për copës punuese

N10 G17

N20 G41

N30 G1 X125 Y50 F2800 P1

N40 X105 Y40 P2

N50 X90 P3

N60 G3 X75 Y25 J-15 P4

N70 G1 Y20 P5

N80 X25 P6

N90 Y60 P7

N100 X45 Y80 P8

X110 X70 P9

X120 G3 X100 I15 P10

X130 G1 X125 Y60 P11

N140 M30

Fig. 8 Paraqitja skematike e rrafshit G 17, djathtas kemi llogaritjen e pikave (P1, P2 dhe P3)

2.2 Këndi

a) Këndi në prerjen e drejt

Këndi i cili qëndron njëri pranë tjetrit, quhet këndi pranë. Madhësia e tij komplet është 1800.

Shembull:

Këndet, të cilat qëndrojnë njëri kundrejt tjetrit, emërohet si kënde ndaj, këto kënde

kanë madhësinë e njëjtë.

Shembull:

Fig. 9.

b) Këndet me prerje paralele

Këndet e pjerrëta qëndrojnë paralel me sipërfaqen e njëjtë dhe drejtë me të njëjtën

sipërfaqe të prerjes. Gjithashtu se bashku kanë madhësinë të njëjtë.

Për shembull: dhe

Fig. 10.

Këndet, të cilët janë të ndryshueshëm me sipërfaqen paralele dhe janë të

ndryshueshëm me sipërfaqen e drejtë të prerjes, emërtohen si kënde të ndryshueshme. Por

edhe këto kënde kanë madhësi të njëjta.

Për shembull: dhe

2.3. Tangjentja në një rreth

Kontakti i një drejtëze në një rreth të një pikë të saktë, ashtu që emërtohet si tangjente.

Drejtëza dhe rrethi e formojnë një kontakt përmes tangjentes. Rrezja e paraqitur në figurë nga

qendra e rrethit deri të pika kontaktuese, kështu formohet një kënd i drejt me tangjenten si në

fig. 7.

Fig. 11. Tangjentja në një rreth

2.4. Dy tangjente në një rreth

Dy drejtëza nuk mund të jenë paralele në një rreth kontaktues, ashtu që ato priten në

një pikë A si në fig. 8.

Fig. 12. Kur dy drejtëza priten në një pikë.

Karakteristikat simetrike të një delta – plani të rregullt

- Kur janë dy sipërfaqe me gjatësi të njëjtë,

- Kur aksi i simetrisë e ndanë në dyshë këndin.

Fig. 13. Paraqet aksin e simetrisë për këtë këndë.

Shembull: Të gjitha këndet e emërtuara në fig. 9 mund të merren si bazë për

përcaktimin e karakteristikave simetrike të delta - planit (Drachens) të rregullt.

Pllaka nga çeliku i leguruar S235, me fortësi prej

Instrumenti prerës 1:

Lloji i instrumentit prerës: Frezi bishtor për përpunim të ashpër me katër tehe

Pozicioni i instr. prerës: 1

Materiali i instr. prerës: Çelik shpejtëprerës

Diametri i instr. prerës:

Thellësia mak. e prerjes:

Distanca maksimale para hyrjes në material:

Shpejtësia e prerjes:

Numri i rrotullimeve:

Hapi punues i frezës:

Numri i dhëmbëve:

Hapi punues i tavolinës:

Llogaritja e pikës me ndihmën teoremës së Pitagores

Detyrë: Llogarisni koordinatat e pikave P2 dhe P3.

Fig. Paraqitja skematike e copës punuese

Zgjidhje:

Fig. Llogaritja e pikave P2 dhe P3 për copën punuese

Pika P2:

Llogaritja e sipërfaqes a1:

Llogaritja e pikës me ndihmën e funksioneve trigonometrike sipas Sinusit dhe Cosinusit

Detyrë: të llogaritet koordinata e pikës P.

Fig. Paraqitja e copës punuese për llogaritjen e pikës P.

Zgjidhje

Fig. Llogaritja e projeksionit për pikës P.

Paraqitja e rrezes , prej qëndresë së rrethit deri të pika. Te dhjetë këndeshi

madhësitë e këndeve janë prej pikës së këndit deri te pika tjetër e këndit .

Llogaritja e vlerave X dhe Y.

Sipas teoremës së Kosinusit kemi:

Sipas teoremës së Kosinusit kemi:

Llogaritja e pikës me ndihmën e funksioneve trigonometrike sipas tangjentit

Detyrë: të llogaritet koordinata e pikës P si në figurë.

Fig. paraqitja skematike e copës punuese

Zgjidhje

Fig. Llogaritja e pikës P në funksion të tangjentit.

Llogaritja e pikës P sipas funksionit të tangjentit:

Llogaritja e madhësisë Y:

Dy tangjente në një rreth, kur e kemi trupin simetrik të rregullt me karakteristikat gjeometrike.

Detyrë: Të llogaritet rrezja për trupin gjeometrik si në figurë.

Fig. paraqitja skematike për trupin simetrik.

Zgjidhje

Fig. Llogaritja e rrezes në funksion të këndit të dhënë.

Për trekëndëshin A dhe B të dhënë si në figurë. Këndi prej 57o, mund të na jep

karakteristikat simetrike të një katërkëndëshi nëse 2 këndet janë fqinje dhe kanë madhësi të

njëjtë:

2 = 180o – 66o = 114o

Për trekëndëshin A:

Llogaritet madhësia a1:

Në funksion të tangjentit kemi:

Për trekëndëshin B:

Llogaritet madhësia a2:

Llogaritja e rrezes R:

Tangjentja në dy rrathë

Detyrë: Të llogaritet koordinatat e pikës P si në figurë.

Fig. Paraqitja skematike e copës punuese.

Zgjidhje:

Fig. Llogaritja e pikës P, nëpërmjet funksioneve trigonometrike.

Në vizatim është treguar rrezja , në vertikale me pikën P.Skicimi i trekëndëshit B.Tangjentja është e zhvendosur për gjatësinë ; e cila kalon nëpër qendër te

rrethit me rreze të radiusit . Vizatimi i trekëndëshit A; kateta e dhënë (caktuar) është aq e gjatë sa është ndryshimi i të dy rrezeve:

Për trekëndëshin A:

Në bazë të funksionit të kosinusit:

Për trekëndëshin B:

Për llogaritjen e këndit , shfrytëzojmë:

Llogaritja e vlerave X dhe Y:

Në bazë të funksionit të sinusit:

Në bazë funksionit të kosinusit:

Pikë-prerja e dy rrathëve, llogaritja e pikës me ndihmën e teoremës së kosinusit

Detyrë: Të llogariten koordinatat e pikës P të treguar si në figurë:

Fig. Paraqitja skematike e copës punuese.

Zgjidhje:

Fig. Llogaritja e pikës P, përmes funksioneve trigonometrike

Qendra e rrethit dhe pika P, lidhen njëra me tjetrën.

Për trekëndëshin A:

Llogaritja e faqes c, në funksion të kosinusit

Për trekëndëshin B:

Llogaritja e këndit ,

Për trekëndëshin C:

Të llogaritet këndi :

Pastaj llogariten vlerat X dhe Y:

- në funksion të sinusit

- në funksion të kosinusit

Pika prerëse nga dy drejtëza

Detyrë: Të llogariten koordinatat e pikës P, si në rastin e treguar në figurë. Të gjitha filetat e treguara në figurë duhet realizuar me M7.

Fig. Paraqitja skematike e copës punuese.

Zgjidhje

Fig. Llogaritja e pikës P dhe hapja e filetave për katër vrimat

Lidhja e pikave fillestare të dy drejtëzave (distanca S1). Lidhja e pikave fillestare të dy drejtëzave me pikën P (trekëndëshi B).Paraqitja e trekëndëshit kënd drejt A.Paraqitja e trekëndëshit kënd drejt C.

Trekëndëshi A:

Të llogaritet faqja S1:

Pastaj llogarisim këndin :

Trekëndëshi B:

Llogaritja e këndit :

Llogaritja e distancës S2:

Trekëndëshi C:

Llogaritja e distancave a dhe b:

Në bazë të funksionit të kosinusit kemi:

Në bazë të funksionit të sinusit:

Atëherë i llogarisim vlerat e koordinatave X dhe Y:

Trajektorja e rrugës së instrumentit prerës në mes tre rrathëve.

Detyrë:

Të llogariten koordinatat e pikës P.

Fig. Copa punuese për operacionin e frezimit.

Zgjidhje

Pika e qëndresë së rrethit të lidhet me rrezet dhe

Të skicohet trekëndëshi kënddrejtë A.

Të gjitha pika e qendrave të lidhen njëra me tjetrën dhe të skicohet trekëndëshi kënd

pjerrtë B.

Të skicohet trekëndëshi kënddrejtë C.

Fig. Llogaritja e pikës P për trajektoren e dhënë.