Post on 18-Jan-2016
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MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
CORPO RÍGIDO é um sistema de partículas no qual as partículas permanecem em posições fixas entre si
Exemplo
x
z
y
ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO
Estudaremos a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
O eixo fixo é denominado eixo de rotação
O sentido da rotação é dado pela regra da mão direita
negativopositivo
z
MOMENTO DA FORÇA ( ou TORQUE)
Quando empurramos uma porta, estamos aplicando uma força sobre a porta
como consequência a porta vai girar em torno dum eixo fixo que passa pelas dobradiças.
A tendência da força de rodar o corpo em torno de um eixo é medida por uma grandeza vectorial denominada momento da força (ou torque)
O momento da força é a causa dos movimentos rotacionais
É análogo a força que causa variações no movimento translacional
FrM
Definimos o momento da força por
O módulo do momento da força é sinrFM
M
F
rCorresponde ao produto da distância até o ponto de aplicação da
força e a componente perpendicular da força.
r
APLICAÇÃO DUMA FORÇA EM PONTOS DIFERENTES NUMA PORTA
A porta é fechada mais facilmente quando a força é aplicada na extremidade da porta
Quando fechar uma porta, experimente fechá-la, empurrando-a no centro da porta (Figura a) e depois, aplicando a mesma força, empurre a porta na extremidade (Figura b).
sinrFM
Arquimedes disse: “Dê-me uma alavanca que moverei o mundo”
O que é uma alavanca? É uma barra rígida apoiada (ponto de apoio O) utilizada para facilitar o deslocamento de um corpo pesado.
sinrFM LFFrM )sin(
A distância do ponto de apoio O, por onde passa o eixo de rotação, à linha de acção da força F, é denominada braço de alavanca, (L)
No movimento de translação do corpo rígido, todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todas possuem, em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração.
MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
Um corpo rígido pode ter três movimentos
1º - O movimento de translação quando todos os pontos percorrem trajectórias paralelas
2º - O movimento de rotação quando todos os pontos percorrem trajectórias circulares
3º - Combinação do movimento de rotação e de translação
Movimento translacional + rotacional
Movimento rotacional puro
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO DA TERRA
ENERGIA CINÉTICA ROTACIONAL
2
2
1iii vmK
ii rv
2222
2
1
2
1 iiiii rmrmK
22
total 2
1
iiirmK
Energia cinética de uma partícula do corpo rígido
Relação entre a velocidade tangencial e velocidade angular
Substituindo em iK
Energia cinética total Unidade: joule (J)
Não é uma nova forma de energia.
A forma é diferente porque é aplicada a um corpo em rotação
Cada partícula de massa do corpo rígido descreve uma trajectória circular de raio com velocidade tangencial
im
ir iv
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
onde é o momento de inérciai
iirmI 2
2m kg: Unidade
2
2
1 IK R
MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
No movimento rotacional o momento de inércia exerce o mesmo papel que a massa no movimento translacional
lim 2 20im i ii
I r m r dm
Podemos reescrever a expressão do momento de inércia em termos de dm
MOMENTO DE INÉRCIA DE ALGUNS CORPOS RÍGIDOS
Definimos inicialmente o momento angular de uma partícula com momento linear .
prL
Derivando o momento angular em relação ao tempo:
dt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld
)(
=0
dt
como
Mfrdt
Ld
L
Note que a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto a rotação não é necessária para o momento angular
p
prL
r p
m
é o momento angular instantâneo emrelação à origem O
L
MOSTRAREMOS QUE O MOVIMENTO ROTACIONAL TEM UMA LEI DE MOVIMENTO SEMELHANTE À SEGUNDA LEI DE NEWTON
L
O MOMENTO ANGULAR
A mesma relação é válida para um corpo rígido, em rotação em torno de um ponto O.
dt
LdM
e corresponde à um momento da força externo resultante M
análogo à segunda lei de newton
dt
ou
dt
LdM
A relação acima é válida também para um sistema de partículas onde o momento angular é a soma vectorial dos momentos angulares de cada partícula
em relação ao mesmo ponto fixo O
A soma dos momentos das forças internos são nulos
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
O momento angular total do corpo rígido será
2
ii rmI
iii
i rvmL
prL
Lembrando que
como obtemos ii rv
)()( 2
ii
iiii
i rmrrmL
e é o momento de inércia
e o momento angular pode ser escrito como IL que é análogo à mvp
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
O MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
constante 0 Lfrdt
LdM
Quando
se 0 ) fi
ou 0 ) rii
0M
ou constanteL
fi LL
Análogo ao que acontece com o momento linear fi pp
FORÇAS CENTRAIS, que são forças da forma
urfrF
)()(
Neste caso:
iii) quando a força é colinear com o vector posição teremos também
constante
0)(
L
urfrdt
LdM
0M
Exemplo:
EXEMPLO 1: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto:
ffii IIIL constante
iI fi fI
Com a aproximação dos halteres ( < ) a velocidade angular do sistema aumentafI iI
EXEMPLO 2: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Momento angular inicial do sistema roda de bicicleta-homem (+ banco)
ibicbici ILL
Agora o homem inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta
ibic LL
2 21,2 kg.m ; 6,8 kg.m e 3,9 rot/sbic tot iI I
Dados
Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o homem inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta
EXEMPLO 2 (cont): CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Há conservação do momento angular uma vez que só há forças internas no sistema
ibictot II 2
imen
iimenif
LL
LLLLL
2
Momento angular final do sistema:
imenmenbicf LLLLL
rot/s4,12
tot
ibic
I
I
No caso da mergulhadora da figura ao lado o CM segue um movimento parabólico
e o momento angular da nadadora é constante durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode aumentar sua velocidade angular em torno do eixo que passa pelo CM, às custas da redução do momento de inércia em relação a este eixo
L
Mg
L
gM
L
Exemplo 3: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
i
iirmI
const.0
Ldt
Ld
onde
Idt
dII
dt
d
dt
dL )(
QUANDO O MOMENTO ANGULAR VARIA COM O TEMPO
ou
IM
que é semelhante à equação de Newton
amF
Velocidade do centro de massa
CM
ds dv R R
dt dt
CMCMdv d
a R Rdt dt
ROLAMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
Aceleração do centro de massa
Consideramos que um cilindro gira de um ângulo . O centro de massa desloca-se de rs
PARA O MOVIMENTO DE ROLAMENTO PURO
A Figura mostra as velocidades translacionais dos vários pontos sobre o cilindro
Observe que a velocidade translacional (velocidade linear) de cada ponto do cilindro está numa direcção perpendicular à linha que une esse ponto ao ponto de contacto
O ponto P’ desloca-se com uma velocidade
CM2vv
22
2
1
2
1CMCM vMIK
ENERGIA CINÉTICA DE ROLAMENTO
É a soma da energia cinética de rotação em torno do CM com a energia cinética associada ao movimento de translação do CM.
CMv v R
COMBINAÇÃO DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
Translação pura Rotação pura
O ponto de contacto está sempre em repouso
Translação + Rotação
=
CMv
CMv
CMv
2
0v
Rv
Rv
CMv
0v CMv
centro do abaixo
centro do acima
Rv
Rv
FOTOGRAFIA DE UMA RODA EM ROLAMENTO
Os raios de cima estão menos nítidos que os de baixo porque estão se movendo mais depressa
Exemplo 1 Rolamento sobre um plano inclinado
(1) 0cos MgN
Na direção y:
Na direção x:
(2) sin CMMaFMg a
(3) CMIRFa
Da condição de rolamento sem deslizamento:
(4) CM
R
a
CMv
aFx
y
CMv
sinMg
gM
cosMgTiro o valor de em (3): / 2
CM RaIF CMa aF
Substituindo em (2) a fica:
sin CMCM2
CM MaaR
IMg
Ra CM N
A força de atrito produz um momento da força em relação ao CM:
sin
sin
2
CMCM g
R
IM
Mga
e
7/5
3/2
2/1
2
CM
R
IM
M
anel
cilindro
esfera
1
sin
)/(
sin
CM
22
CM
2
CM
CM2
CM
I
MRMg
R
I
RIM
Mga
R
IFa
Temos ainda :
assim cos1
sin cos
CM
2max Mg
I
MRMg
MgFF eeea
re I
MR tan)1(tanCM
2
ângulo máximo (limiar) para que haja rolamento sem deslizamento
x
y
CMvN
sinMg
gM
cosMg
aF
Exemplo 1 (continuação)
r
À medida que aumenta a inclinação do plano a força de atrito estático necessária para evitar o deslizamento vai aumentando. No limite, antes do deslizamento, temos maxea FF
e
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Tabela de equivalências
Rotação em torno de um eixo fixo Movimento de translação
Energia cinética
Equilíbrio
2a lei de Newton
2a lei de Newton
Momento
Conservação
Potência
2
2
1 IKR2
2
1vmK
amf
0
f
dt
IL vmp
fi pp
vFPMP fi LL
0
M
IM
dt
LdM
massa mMomento de inércia I