Modulo 0.6: Richiami

Dispersioni termiche

Prof. Ing. Cesare Saccani

Prof. Ing. Augusto Bianchini

Ing. Marco Pellegrini, PhD

Ing. Alessandro Guzzini

Department of Industrial Engineering (DIN) - University of Bologna

Corso di Impianti Meccanici

Laurea Triennale e Magistrale

Dispersioni termiche

Generalità

Nella progettazione delle reti di distribuzione dei fluidi, dei serbatoi di accumulo

occorre prestare grande attenzione alle dispersioni termiche che si hanno a causa

della differenza di temperatura fra fluido e ambiente circostante.

In particolare le dispersioni termiche possono essere responsabili di:

• Perdite economiche dovute alla perdita di calore lungo la rete di distribuzione

verso l’utenza

• Possibili fenomeni di congelamento nelle stagioni invernali specialmente

all’interno dei serbatoi

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Dispersioni termicheDispersioni termiche

Conduzione (mezzo stazionario): Q = −λ Sdt

ds[W]

λ = coefficiente di conduzione [W/(mK)]

S = superficie di scambio [m2]

t = temperatura [K]

s = spessore [m]

Per lunghezza unitaria del tubo, vale:

Q = −λ ∙ 2 π r ∙ 1 ∙dt

dr→ −

dr

r=

2 π λ

Qdt → − r1

r2 dr

r= t1

t2 λ 2 π

Qdt → ln

r2

r1=

2 π λ

Qt1 − t2

𝐐𝐥𝐧

𝐫𝟐𝐫𝟏

𝟐 𝛑 𝛌= 𝐭𝟏 − 𝐭𝟐 , 𝐑 =

𝐥𝐧𝐫𝟐𝐫𝟏

𝟐 𝛑 𝛌[K/W] resistenza termica

Per lunghezza unitaria del tubo e considerando lo

scambio con l’ambiente esterno a temperatura ta, vale:

Q = 2 π r2 α t2 − ta → R =1

2 π 𝑟2 α[K/W]

Considerazioni analoghe valgono per la convezione interna.

Convezione (tra una superficie e un fluido in movimento): Q = α S ∆t [W]α = coefficiente di convezione [W/(m2 K)]

3/27

Isolamento di un condotto

L’isolamento di una condotto è molto importante per evitare le dispersioni di calore, o evitare la

formazione di ghiaccio all’interno delle tubazioni.

Q Ri = ti − t1

Q Rt = t1 − t2

Q Ris = t2 − t3

Q Re = t3 − ta

i = interna

t = tubo

is = isolante

e = esterna

Sommando i contributi si ha:

Q1

2 π r1αi+

lnr2r1

2 π λt+

lnr3r2

2 π λi+

1

2 π r3αe= ti − ta

Dispersioni termiche

I test per il calcolo della conducibilità di un materiale sono normati dalla EN ISO 8497

[relativa a manufatti a forma cilindrica (tubi)]

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Dispersioni termiche

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Dispersioni termicheTIPI DI ISOLANTI PER TUBAZIONI:

•Elastomero espanso usato tra -40°C e 150°C (1)

•Lana di vetro e di roccia (temperature di fusione 1000°C) usate tra 100 e 450 °C

•Fibre vegetali: fibre di cellulosa, di legno etc da - 20°C e 100°C (igroscopiche)

•Per tubazioni lunghe si applicano in sito con fascette elementi prefabbricati di corpi isolanti

(coppelle 2 e 3).

•Poliuretano espanso ricoperto da PVC (4), da 0 a 250 °C. Il poliuretano spesso viene inserito

direttamente in loco.

I fogli di alluminio facilitano i lavori

di manutenzione riducendo le

quantità di polveri rilasciate

32

4

1

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Dispersioni termiche

Andamento del coefficiente di conduzione

termica λ in funzione della temperatura di

esercizio

Andamento del coefficiente di conduzione

termica λ della lana di vetro in funzione della

densità del materiale

Conduttività termica λ W/mK

Densità dell’isolante, kg/m3

λ non dipende dalla geometria del corpo ma

solo dalla temperatura e dalla densità

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Dispersioni termiche

Tabella caratteristica lana di vetro

Vediamo come da 50°C a 250°C il coefficiente può

anche raddoppiare il proprio valore

8/27

Dispersioni termiche

LANA DI VETRO

LANA DI ROCCIA

9/27

Dispersioni termiche

metodo della piastra calda con anello di guardia in

accordo alle norme ISO 8302, UNI EN 12667metodo radiale secondo UNI EN ISO 8497

10/27

Dispersioni termiche

COEFFICIENTE DI CONVEZIONE 𝜶

𝛼 dipende in prima analisi dal numero di Nusselt, secondo la seguente dipendenza:

𝛼 =Nu∗𝜆𝑓

D

A sua volta il numero di Nusselt dipende dal regime di moto del fluido che può essere laminare

o turbolento in funzione del numero di Reynolds.

𝑅𝑒 =𝜌𝐷𝑤

𝜇

se Re < 2100 si ha moto laminare

se 2100 < Re < 3100 siamo in regime di transizione

se Re > 3100 si ha moto turbolento

w = velocità media nella sezione del condotto (m/s)

ρ =densità del fluido (kg/m³)

µ = viscosità dinamica (kg/ms)

Nu= Numero di Nusselt (adimensionale)

𝜆𝑓= coeff. Di conduzione termica W/mk

D= diametro equivalente (m);

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Nella convezione forzata il numero di Nusselt viene calcolato come:

Nu = a (Re)b (Pr)c

Con Pr = ʋ/β² ʋ = viscosità cinematica (m²/s)

β² = diffusività termica (m²/s)

Nella convezione naturale invece Nu dipende dal numero di Grashof, definito come:

Gr = g β D3 (Ts - Tf ) /ν²

E viene calcolato attraverso la seguente formulazione:

Nu = C (Gr)a (Pr)b C,a e b = coefficienti sperimentali in funzione del materiale,

del diametro e di Grashof

Dispersioni termiche

a,b e c = coefficienti sperimentali in funzione del materiale, del

diametro e di Reynolds

Pr= numero di Prandt

g= accelerazione di gravità (m/s2 )

D= diametro equivalente (m)

Ts= temperatura della parete (K)

Tf = temperatura del fluido (K)

ʋ = viscosità cinematica (m²/s)

12/27

Dispersioni termicheRiportiamo alcuni valori caratteristici dell’aria in funzione della temperatura

13/27

Dispersioni termicheIl coefficiente di convezione 𝜶 dipende quindi dal tipo di fluido e dal regime di moto

Di seguito i valori caratteristici del coefficiente di scambio termico per i fluidi maggiormente

utilizzati nell’applicazioni impiantistiche.

Nella figura si riporta l’andamento del coefficiente convettivo dell’aria in funzione della velocità.

14/27

Dispersione termica da recipiente a pareti piane

Come esempio, calcoliamo l’abbassamento medio di temperatura di un fluido contenuto

all’interno di un serbatoio nel tempo θ.

dQ = λS

st − ta dθ [ J ]

dQ = −M c dt = −M c d t − ta [ J ]

M = massa del fluido [kg]

c = calore specifico del fluido [J/(kgK)]

λS

st − ta dθ = −M c d(t − ta) [prendiamo ta= cost ]

−d t − ta

t − ta=

λ S

s M cdθ →

−(ln(tf−ta) − ln(ti−ta) ) =λ S

s M cθ → ln

ti − ta

tf − ta=

λ S

s M cθ

tf = ta + ti − ta 𝑒 −λ S

s M c θ [°C] i = iniziale

f = finale

Dispersioni termiche

න𝑡

𝑖−𝑡𝑎

𝑡𝑓

−𝑡𝑎

−d t − ta

t − ta= න

𝟎

𝜽λ S

s M cdθ

15/27

Variazione di temperatura di un fluido attraverso una condotta

Nell’ipotesi che il fluido ceda calore, vale:

dQ =2 π λ

lnreri

t − tp d𝑙 = 2 π re α tp − ta d𝑙 [W]

dQ =t − ta

lnreri

2 π λ+

12 π re α

d𝑙 =t − ta

𝑅d𝑙 [W]

Inoltre, essendo G la portata in massa di fluido che attraversa la condotta, il calore ceduto dal

fluido nel tratto dl, vale:

dQ = −G c dt [W] → dQ = −G c d t − ta [W]

−d t−ta

t−ta=

1

𝑅

𝑑𝑙

𝐺 𝑐→ ln

t1−ta

t2−ta=

𝑙

𝑅 𝐺 𝑐→ t2 = ta + t1 − ta 𝑒 −

𝑙

R G c [°C]

Dispersioni termiche

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Esempio: accumulatore termico

Si consideri un serbatoio cilindrico di altezza 5 m e raggio 2 m contenente 15,7 𝑚3 di acqua a

15 °C ed una Te esterna di -5 °C, rivestito con 1 cm di lana di vetro. Considerando trascurabile lo

spessore del metallo, quanto tempo impiegherà l’acqua a raggiungere la temperatura di

congelamento?

𝑄 = 𝑄1 +𝑄22 + 𝑄21 [W] con 𝑄22 = 𝑄21

𝑄1 =2𝜋ℎ 𝑇 − 𝑇𝑒

1riαi

+ln

reri

λ+

1reαe

𝑄2 =2𝜋ri

2 𝑇 − 𝑇𝑒

1αi

+𝑠λ

+1

αe

Dispersioni termiche

Coefficienti lana di vetro (ipotizzati fissi)

Coefficiente di conduzione λ 0,04 [W/mK]

Coefficiente di convezione con acqua αi 200 [W/m2K]

Coefficiente di convezione con aria αe 10 [W/m2K]

re

ri

ℎ

𝑄22

𝑄21

𝑄1

1

𝑅=

2𝜋ℎ

1riαi

+ln

reri

λ+

1reαe

+2𝜋ri

2

1αi

+𝑠λ

+1

αe

= 248,3𝑊

𝐾

𝑹 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝑲

𝑾17/27

−𝑄dθ = McldT dθ =−MclRdT

𝑇 − 𝑇𝑒න

0

θ

dθ = න𝑇

0−𝑇𝑒

𝑇 −𝑇𝑒

−MRcl

d(T − Te)

T − Te

θ = −MRcl𝑙𝑛T − Te

T0 − Te= −15000 ∗ 4186 ∗ 0,004 ∗ 𝑙𝑛

0 − −5

15 − −5= 𝟏𝟎𝟐 𝒉

Dispersioni termiche

M= massa acqua in

kg/m3

cl= calore specifico

acqua [J/(kgK)]

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Tem

per

atura

, [C

]

Tempo, [h]

Andamento della temperature dell’acqua nel tempo al variare dello

spessore di isolante

Spessore isolante, 1 cm Spessore isolante, 2 cm Spessore isolante, 4 cm

Spessore isolante ↑

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

0 100 200 300 400 500 600

Tem

per

atura

, [C

]

Tempo, [h]

Andamento della temperatura dell'acqua nel tempo in

funzione della tipologia di isolante (spessore 2 cm)

Lana di vetro, 2 cm Lana di roccia, 2 cm Assenza isolante

18/27

Costo del calore disperso: CQ = g cc [€]

η =Q

ki g→ g =

Q

η ki

Q =2 π λ

lnReRi

ti − te → g =2 π λ

lnReRi

∆t

ηki→ CQ =

2 π λ

lnReRi

∆t

ηkicc =

A

lnReRi

Valutazioni economiche relative all’isolamento di un condotto

Il costo dell’isolante per unità di lunghezza per una tubazione, è proporzionale al volume:

Ci = 1 ∙ π Re2 − Ri

2 ci r [€]ci = costo dell’isolante per unità di volume

r = tasso ammortamento annuo

g = portata di combustibile

cc = costo unitario del combustibile

η = rendimento stagionale

ki = potere calorifico inferiore

Dispersioni termiche

19/27

Costo totale: CT = π ci r Re2 − Ri

2 + A

lnReRi

[€]

dCT

dRe= 0 → 2 π ci r Re −

𝐴

Re ln2ReRi

= 0 → B Re −𝐴

Re ln2ReRi

= 0

Si divide per Ri e si pone Re/Ri=X: BRe

Ri−

A

Ri2

ReRi

ln2ReRi

= 0 → X2 ln2 X =A

B Ri2

Da risolvere per tentativi

(il secondo membro è noto)

Eu

ro/a

nn

o

Dispersioni termiche

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Stillicidio

È necessario verificare che non si abbia un gocciolamento costante

e continuo a seguito di condensazione sulla parete del tubo del vapor

d’acqua presente in aria.

La temperatura di parete esterna tp va confrontata con il punto di

rugiada tsat. Se risulta tp< tsat , occorre aumentare il diametro

dell’isolante, rinunciando ad avere il diametro economico.

Infatti l’isolante costantemente bagnato potrebbe andare incontro a

un processo di degradamento molto rapido.

Q =2 π λ

lnReRi

tp − ti = 2 π α Re ta − tp

ta − tp

tp − ti=

λ

α Re lnReRi

Si fissa tp e si ricava Re (o viceversa)

Dispersioni termiche

21/27

Dispersioni termiche

22/27

Dispersioni termicheStillicidio

Una condotta da DN100 da 4” in acciaio, con diametro interno pari a 100 mm e diametro

esterno pari a 114 mm, percorsa internamente durante tutto l’anno da un fluido freddo a 7°C,

si trova in un ambiente chiuso a temperatura Ta= 30°C e grado igrometrico φ= 0,65.

Si prevede l’utilizzo di un isolante in lana di vetro con conducibilità λi= 0,04 W/m*K e si

supponga che il coefficiente di convezione termica all’esterno dell’isolante sia pari a 𝛂𝐞 = 10

W/m2*K, mentre quello interno 𝛂𝐢 = 300 W/m2*K Trovare lo spessore minimo di isolante

necessario per evitare la condensa. Ipotizziamo inoltre λtubo= 17 W/m*K

r1

r2

re

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Dispersioni termiche

METODO GRAFICO PER IL CALCOLO DELLA Tsat ATTRAVERSO DIAGRAMMA

PSICOMETRICOTbsecco = 30°C

φ = 0,65

La temperatura di rugiada

è la temperatura alla

quale l’aria raggiunge le

condizioni di saturazione

(U.R.=100%). Su ogni

elemento che si trova ad

una temperatura appena

inferiore alla temperatura

di rugiada si forma

condensa

Partendo dal punto A

quindi ci muoviamo sulla

linea a tiolo costante fino

ad incontrare φ=1, da li

quindi scendiamo

trovando la Tsat= 22,6 °C

A

Asse delle ordinate (US): Titolo g/kg

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Q1

2 π r1αi+

lnr2r1

2 π λt+

lnrer2

2 π λi+

1

2 π reαe= Ti − Ta

Dispersioni termiche

𝑝𝑠𝑎𝑡 𝑇 = exp 16,6536 −4030,183

𝑇a+235

= 4,25 kPa

𝑇𝑠𝑎𝑡= Calcolata mediante approssimazione di Magnus-Tetens = 237,7∗[

17,27∗𝑇

237,7+𝑇+ln(φ)]

17,27 −[17,27∗𝑇

237,7+𝑇+ln(φ)]

= 22,68 °𝐶

Esplicitiamo quindi la quantità di calore dispersa dal tubo:

Analizziamo i vari contributi: ln

r2r1

2 π λt≪

lnrer2

2 π λiin quanto 𝛌𝐭/𝛌𝐢 = 𝟒𝟐𝟓

1

2 π r1αi≪

1

2 π reαein quanto 𝛂𝐢/𝛂𝐞= 30

Otteniamo quindi:

Qln

rer2

2 π λi+

1

2 π reαe= Ti − Ta

(Tale rapporto risulta

alto in quanto

abbiamo un liquido in

movimento all’interno

mentre all’esterno

aria ferma)

METODO ANALITICO per la Tsat

25/27

Imponiamo la condizione Te =Tsat = 22,68 °𝐶

re𝑙𝑛re

0,057=

0,04∗(22,68 − T1′)

αe(30 − 22,68)

Dispersioni termiche

𝑐𝑎𝑙𝑐𝑜𝑙𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑇1′ = 𝑇𝑒 −𝑄

𝐥𝐧𝐫𝐞𝐫𝟐

𝟐 𝛑 𝛌𝒊

= 𝑇𝑒 −Ti−Ta

lnrer2

2 π λi+

1

2 π reαe

1

𝐥𝐧𝐫𝐞𝐫𝟐

𝟐 𝛑 𝛌𝐢

re𝑙𝑛re

0,057=

0,04∗(22,68 −22,68 −7 − 30

lnre

0,0572 π 0,04

+1

2 π re10

1

lnre

0,0572 π 0,04

)

10(30 − 22,68)

Otteniamo una equazione con unica incognita re risolvendola per tentativi otteniamo che

re deve essere almeno 0,16 m

Q =2 π λi

lnrer2

Te − T1′ = 2 π αe re Ta − Te

Ta − Te

Te − T1′=

λ

αe re lnrer2

Andiamo a calcolare re :

[In quanto Q =2 π λ

i

lnrer2

Te − T1′ ]

E lo inseriamo

nell’ugualianza ottenendo:

26/27

Dispersioni termicheConsiderazioni generali:

Analizziamo i due fattori predominanti nel calcolo di Q, ovvero la resistenza dell’isolante e quella

esterna:

Qln

rer2

2 π λi+

1

2 π reαe= Ti − Ta

Risolante= ln

rer2

2 π λi=

ln0,16

0,057

2 π 0,04= 4,11 [K/W]

Resterna= 1

2 π reαe=

1

2 π 0,16∗10= 0,1 [K/W]

Non considerare l’apporto della resistenza esterna equivale quindi ad un errore di circa il

2,5%, tale valore può oscillare però, in caso di diametri di isolante minori, fino al 30%.

Inoltre la conducibilità termica varia in funzione delle temperature e della densità del materiale.

In caso quindi di abbassamento o di innalzamento della temperatura del fluido, la conducibilità

del materiale varia e di conseguenza la resistenza termica. Tali considerazioni devono essere

fatte in fase di progettazione.

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Dispersioni termiche

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