Post on 01-May-2015
Microonde
Prof. Marco Farina
Dipartimento di Elettromagnetismo e Bioingegneria
Modalità Esami
Prova scritta
Prova orale
Esame di medio termine o Parziale
Testi consigliati
Microwave Engineering, David M. Pozar, Wiley & Sons;
Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde nell’elettronica delle Telecomunicazioni
Microwave Solid State Circuit Design, Inder Bahl e Prakash Bhartia, Wiley & Sons
Equazioni di Maxwell
S
dst
d nBlE
BE
t
D
QdsS
nDD
S
dst
Id nDlH
0 S
ds nBB
0 B
DJH
t
BvEF
q
+
Propagazione guidataLe linee ne sono un caso particolare
z
Superficie arbitraria uniforme in z, in grado di vincolare le onde in tale direzione
Guide “metalliche”: es. guide d’onda, guide planari (microstriscia, complanare ecc) Guide “dielettriche”: es. fibre ottiche
Limitando al regime sinusoidale permanente (fasori) cercheremo soluzioni del tipo
zz
zz
t eyxEeyxzyx uEE ,,,,componente campo trasversale (piano XY)
componente campo longitudinale (direzione di propagazione)
La costante di propagazione sarà generalmente complessa j
00 J
Cosa si può dedurre dalle equazioni di Maxwell? Mettiamoci in condizioni di assenza di sorgenti
Ed esplicitiamo la legge di Faraday
HE j
zxy
yzx
xyz
Hjy
E
x
E
Hjx
E
z
E
Hjz
E
y
E
Chiaramente ora z
zxy
yz
x
xyz
Hjy
E
x
E
Hjx
EE
HjEy
E
Analogamente dalla legge di Ampère/Maxwell
EH j
zxy
yz
x
xyz
Ejy
H
x
H
Ejx
HH
EjHy
H
zxy
yz
x
xyz
Hjy
E
x
E
Hjx
EE
HjEy
E
zyyx Hj
Hj
E
1
zxzyyy EH
jH
jjH
21
22 kjj
j
EH
kkH zx
zyy 22
2
1
zxzyy EjHk
H
22
1
j
EH
kk
kH zx
zyy 22
22
Notate che Hy dipende solo da Hz ed Ez
zxzyy
zyzxx
zxzyy
zyzxx
EjHk
H
EjHk
H
HjEk
E
HjEk
E
22
22
22
22
1
1
1
1
In modo analogo si ottengono le relazioni
Cioè: le componenti trasversali del campo, nell’ipotesi di onde guidate, sono funzione delle componenti longitudinali
zxzyy
zyzxx
zxzyy
zyzxx
EjHk
H
EjHk
H
HjEk
E
HjEk
E
22
22
22
22
1
1
1
1Ora, qualora vi fosse solo propagazione senza attenuazione
Notate che se k= i campi trasversali divergono a meno che Ez ed Hz non siano simultaneamente nulle: solo le onde con Ez=Hz=0, definiti “modi TEM, trasverso-elettromagnetici”, possono avere costante di propagazione - e quindi velocità di fase- coincidenti con quelle della luce
22 j
così che a denominatore delle relazioni compare k2-2
Cosa succede all’equazione di Helmhotlz
nell’ipotesi di onda guidata ?
022 EE k
zeyxzyx ,,, EE
Conviene isolare nell’operatore laplaciano la derivata in z, cioè scrivere
2
22
2
2
2
2
2
22
zzyxt
Il primo termine, che opera solo sulle coordinate x,y, trasversali rispetto alla direzione di propagazione z, lo chiamiamo brevemente laplaciano trasverso
D’altro canto la doppia derivazione in z, con la dipendenza esponenziale che abbiamo assunto, diventa solo una moltiplicazione per 2 (meraviglie degli esponenziali!)
L’equazione d’onda diventa in tal caso
Che definiremo equazione d’onda per onde guidate; analogamente per il campo magnetico
0222 EE kt
0222 HH kt
Ciascuna eq d’onda vettoriale rappresenta 3 equazioni scalari
Tuttavia sappiamo che bastano Ez ed Hz per determinare le altre componenti
Le equazioni di Maxwell sono lineari: potremo immaginare le soluzioni generali come combinazioni lineari di soluzioni più semplici
Definiremo quindi: modi TE (trasverso-elettrici) quelli per cui Ez=0
modi TM (trasverso-magnetici) quelli per cui Hz=0
modi TEM (trasverso-elettromagnetici) quelli per cui simultaneamente Ez=Hz=0
Chiaramente, l’equazione d’onda scalare in Hz (+condizioni al contorno) sarà sufficiente per determinare i campi dei modi TE
Viceversa per i TM sarà sufficiente lavorare su Ez
Cosa succede con i TEM?
Abbiamo appena detto che nel caso particolare TEM
Per cui in tale caso specifico l’equazione diventa
A tutti gli effetti, una coppia di equazioni di Laplace. Le onde TEM hanno quindi la particolarità di avere distribuzioni di campo nei piani trasversali (sia la componente elettrica che magnetica: analoga equazione di otterrebbe per H), del tutto simili alle distribuzioni di campo elettrostatico e magnetostatico nella stessa struttura, con la differenza fondamentale che si propagano in z con costante k
02 Et
022 k
Particolarizziamo le equazioni che avevamo ricavato al caso TEM
xy
xy
EjH
HjE
/xxxy EEj
jE
jH
/yx EH EuH z
1
Relazioni simili alle onde piane (che ne sono un caso particolare)
Si propagano per ogni frequenza, visto che in assenza di perdite jk Sempre immaginario
Le soluzioni dipendono chiaramente dalle condizioni al contorno, ma possono essere non banali solo se queste costituiscono un dominio non semplicemente connesso
Pensate all’elettrostatica: se non potete individuare due punti a potenziale diverso, il gradiente del potenziale (perciò il campo elettrico) è identicamente nullo
In generale, per n conduttori, otterremo n-1 soluzioni indipendenti non banali: n-1 MODI TEM
Nell’esempio di sopra abbiamo due strisce metalliche ed un piano (o scatola) di massa: 2 modi
Si tratta di un caso particolare, ovvero SIMMETRICO, nel qual caso di definisce PARI il caso in cui le componenti tangenziali del campo magnetico si annullano sul piano di simmetria, e DISPARI quelle in cui sono le componenti tangenziali del campo elettrico ad annullarsi
+ +
Jz
Modo PARI
+ -
Jz
Modo DISPARI
Trattiamo il caso TM: in tal caso dovremo risolvere l’eq.
Definiamo in particolare
Dovremo imporre che le componenti tangenziali di E siano nulle sulla guida metallica (se metallica ideale): questo garantisce l’unicità della soluzione
0222 zzt EkE
222ckk
z
Et
Tuttavia, basterà imporre che Ez sia nulla sulla guida per assicurarsi che tutte le componenti tangenti lo siano
Del resto possiamo ricavare una relazione semplice per avere le componenti tangenziali da E
Ovvero, vettorialmente
zxzyy
zyzxx
HjEk
E
HjEk
E
22
22
1
1
zyc
y
zxc
Ek
E
Ek
2
2
ztc
t Ek
2
E
Vediamo le proprietà della costante di propagazione: ricaviamola dalla definizione di kc
222ckk
222 kkc 22 kkc
Mentre k dipende dalla frequenza, kc dipende fondamentalmente dalle condizioni al contorno
Per frequenze basse, il termine sotto radice è positivo e la costante di propagazione REALE: ATTENUAZIONE
Ridefiniamo kc cck Così che la pulsazione c costituisca la pulsazione a cui =0
Posto su un grafico
2
1
cc f
fk
f( )
f
fc
Invece per >c
Posto su un grafico
2
1
f
fjkj c
f( )
k f( )
f
fc
k
Notate che per frequenze alte, la costante di propagazione si avvicina a quella della luce
La velocità di fase è, per definizione, il rapporto tra pulsazione e costante di propagazione
Al “taglio” diviene infinita, e decresce per frequenze maggiori
2
12
11
/
f
fv c
p
Quando la velocità di fase dipende dalla frequenza, il modo si definisce “dispersivo”. In particolare la dipendenza dalla frequenza decrescente si definisce “dispersione normale”
La velocità di gruppo è, per definizione, il rapporto tra le variazioni di pulsazione e costante di propagazione
Essa rappresenta la velocità dell’inviluppo di un pacchetto di onde
2
12
11
/
f
fddv c
g
Notiamo che il rapporto tra componenti ortogonali di campo elettrico e magnetico è
jH
E
H
E
x
y
y
x Quantità che definiamo
impedenza modale TM, così da poter scrivere
tzTM
t ZEuH
0
1
vp f( )
vg f( )
c
f
fc