Metody teledetekcyjne w badaniach atmosfery i oceanów.

Wykład 5.

Krzysztof Markowicz

kmark@igf.fuw.edu.pl

2

Wprowadzenie

• Własności optyczne aerozoli odgrywają kluczowe znaczenie w oszacowaniu poprawki atmosferycznej.

• Ma to znaczenie w czasie wyznaczania koncentracji ozonu czy innych gazów śladowych oraz koncentracji chlorofilu.

• Aerozole są istotnym składnikiem układu klimatycznego ziemia-atmosfera i mogą efektywnie wpływać na wartość wymuszenia radiacyjne.

• Aerozole globalnie ochładzają klimat poprzez zwiększanie albeda planetarnego (efekt bezpośredni)

• Aerozole modyfikują własności mikrofizyczne oraz optyczne chmur (efekt pośredni)

• Monitoring własności optycznych aerozoli w skali globalnej jest więc niezbędny.

3

Pomiary naziemne

• Jedną z najprostszych metod pomiarowych zawartości aerozolu w pionowej kolumnie powietrza jest pomiar promieniowania bezpośredniego na powierzchni ziemi.

• Obecności aerozoli sprawa, że promieniowanie bezpośrednie dochodzące do ziemi jest efektywnie osłabiane (poprzez procesy rozpraszania oraz absorpcji) zgodnie z prawem Lamberta Beera.

• Dla horyzontalnie jednorodnej atmosfery mamy:

mo e)(I)(I

gO2H3OARAY

4

• W obszarze widzialnym oraz w bliskiej podczerwieni grubość optyczna ozonu, pary wodnej oraz innych gazów jest najczęściej zaniedbywana mała poza wąskimi pasmami absorpcyjnymi.

• Największy wkład do grubości optycznej wnoszą rozpraszanie i absorpcja aerozolu oraz rozpraszanie molekularne. Przy czym to ostatnie szybko zmniejsza się z długością fali (-4).

• Przykład:

RAY(350nm)=0.61

RAY(500nm)=0.14

RAY(1000nm)=0.008Grubość optyczną aerozolu wyznaczamy ze wzoru:

RAYo

A )(I

)(Iln

m

1

5

• Grubość optyczna aerozolu (AOT) opisuje całkowita zawartość aerozolu w pionowej kolumnie powietrza.

• Z definicji grubości optycznej mamy

gdzie ekstynkcja wyraża się wzorem

0

dz

dr)r(nrm,r2

Q)( 2

Q () jest efektywnym przekrojem czynnym na ekstynkcje

i dla cząstek sferycznych może być wyznaczony z teorii MIE o ile znamy współczynnik refrakcji m oraz promień cząstki r.

6

dr)r(nrm,r2

Qdz)( 2

0

drdz)z,r(nrm,r2

Q)(0

2

dr)r(nrm,r2

Q)( c2

0

c dz)z,r(n)r(n nc(r)- kolumnowy rozkład wielkości

7

Spektralna zmienność AOT

1) Mono-dyspersyjny rozkład wielkości cząstek aerozolu.

nc(r ) =No (r-ro)

m,r2

CQm,r2

QNr)( ooo

2o

Jeśli przyjąć że ro=1m

x=6/ to dla >1 m

AOT maleje z długością fali !

8

• Dla <1 m zachowanie AOT jest bardziej skomplikowane

• Z anomalnej teorii dyfrakcji ADT mamy

2

cos14

sin42Q

r)1m(4

2

cos14

sin42C)(

Zaniedbując III wyraz mamy

o

o

r)1m(4

r)1m(4sin

42C)(

AOT maleje z długością fali jeśli 2/r)1m(4 o

9

)1m(8ro

Typowa zmienność współczynnika załamania światła (rzeczywista cześć współczynnika refrakcji) zawiera się w granicach (1.3-1.7)

Aby AOT malała z długością fali musi być spełniony przybliżony warunek

ro</2

• Dla fal krótszych od 0.5 m AOT dla aerozoli drobnych zmniejsza się z długością fali.

• Pomiary potwierdzają ze AOT zmniejsza się z długością fali dla małych cząstek i jedynie dla dużych możemy mieć odwrotna zależność

10

2) Rozkład Junge

• Zakładając ze rozkład wielkości cząstek ma postać

0

rrrCr)r(n 21

)1(

c

Możemy wyznaczyć grubość optyczna aerozolu

drrm,r2

QCr)( )1(r

r

22

1

r2

x dr2

dx

Po zamianie zmiennych mamy

dx2

x2

m,xQ2

C)( )1()1(x

x

22

1

11

dxxm,xQ2

C)( )1(x

x

13 2

1

22kC~

)( gdzie k jest stała opisującą wartość całki po parametrze wielkości x.

Typowa wartość dla aerozolu mieści się w przedziale od 2 do 4. Zatem wykładnik 2- <0

)( 2 Wykładnik Angstroma

Wyniki obserwacyjne spektralnej zmienności AOT dowodzą, iż wykładnik Angstroma zmienia się średnio w przedziale od 0 do 2 chociaż rejestruje się również ujemne wartości .

12

• Wykładnik Angstroma związany jest z parametrem rozkładu wielkości . Im jest on większy tym mniej jest dużych cząstek i odwrotnie

• Małe wartości odpowiadają dużemu aerozolowi i odwrotnie. • Chociaż rozkład Junge ma osobliwości dla r=0 to jednak

nieźle opisuje rozkład wielkości aerozolu większego od 0.5 m i zaskakująco dobrze przewiduje obserwacyjne wartości wykładnika Angstroma.

• Spektralna zmienność AOT zawiera informacje o rozkładzie wielkości aerozolu.

13

14

3) Rozkład Log-Normalny

• Znacznie lepiej opisuje rozkład wielkości aerozolu. • Często przyjmuje się że rozkład wielkości jest suma 2

lub 3 rozkładów lognormalnych opisujących cząstki w modzie nukleacyjnym i akumulacyjnym oraz cząstki grube.

2

i

im

ln

rlnrln

2

13

1i i

ic e

2lnr

N)r(n

rmi jest promieniem modalnym, i zaś geometryczne odchylenie standardowe.

Tego wzoru nie można scałkować analitycznie podobnie jak rozkładu Junge. Jednak korzystając z twierdzenia o wartość średniej możemy zapisać:

15

16

dr)r(nrm,xQ)( c2

0

2

0

c2 rm,xQNdr)r(nrm,xQ)(

jest całkowitą powierzchnią aerozolu w jednostce objętości

2rN

Ogólny wzór na n–ty moment rozkładu log-normalnego można łatwo obliczyć i ma on postać:

22 lnn2

1nm

n err

2ln2

5

meff errPromień efektywny zaś

17

2

3

2

3

effr

r

dr)r(nr

dr)r(nrr

m,

r2Q

r

M

4

3m,xQ

r

V

4

3

r

rNm,xQ)(

effeffeff

3

AOT możemy policzyć ze wzoru

gdzie V jest całkowitą objętością aerozolu zaś M masą w jednostce objętości.

Niestety jest na ogół wielkością zależną od promienia efektywnego co zasadniczo komplikuje obliczenia.

Obliczmy iloraz:

r

m,r2

Q

m,r2

Q

)(

)(

2

1

2

1

18

• Iloraz AOT dla 2 długości fali nie zależy od masy ani objętości aerozolu a jedynie od wielkości charakteryzujących jego wielkość i własności optyczne.

• Rozważmy przypadek aerozolu gigantycznego x>>1Wówczas Q2 (paradoks ekstynkcji)

S2dr)r(nr2)(0

c2

effeff r

M

2

3

r

V

2

3)(

S – całkowita powierzchnia aerozolu w jednostce objętości

Wzór często stosowany dla kropel chmurowych gdzie warunek x>>1 jest spełniony

19

Wykładnik Angstroma cd

• Ze względu na wagę tego parametru zajmiemy się nim dokładniej

)( lnlnln ln

ln

lnlub

Rozważmy mono-dyspersyjny rozkład cząstek o promieniu r

M dr)r(Qnr2

QNrdr)r(n

Qr o

22M

gdyż n(r)=No(r)

Q

QM

20

• Rozważmy obecnie rozkład poli-dyspersyjny

dr)r(nQ

rNdr)r(nQ

rN 2o

20

Q

)(Q

MKorzystamy ze wzoru

dr)r(Qn)(rN1

M2

0

Zauważmy że drr)r(QnNd 2

0

d)( M Wzór Shifrina

Wzór pozwala wyznaczyć wykładnik Angstroma cząstek o poli-dysperysyjnym rozkładzie wielkości gdy znamy wykładnik Angstroma dla poszczególnych składowych mieszaniny.

21

i

ii

ii

Rozważmy atmosferę w której w dolnej części mamy aerozol o grubości optycznej 1 i wykładniku Angstroma 1

powyżej zaś warstwę scharakteryzowana przez wartości 2 oraz 2 . Mamy więc dwa równania:

21

22

11

21 /q Oznaczmy przez q :

2211

1

221 1

q1

12

q

11

1

22

1

2

1

21 q1q

1

q

1

q

11

Gdy q>>1 czyli 1>> 2 to wówczas 1 o ile nie jest bliskie zero

Wzór Shifrina jest ważną relacja która pokazuje że jedynie aerozole o znaczącym wkładzie do całkowitej grubości optycznej mogą efektywnie wpływać na wartość wykładnika Angstroma

Przykład.

soot=0.02 soot=2.0

seasalt=0.2 seasalt=0.0

Na postawie wzoru Shifrina mamy: =0.18. Nawet gdyby soot=0.05 to =0.4. Grubość optyczna sadzy nawet dla bardzo zanieczyszczonych rejonów świata jest bardzo mała (podobnie jak w powyższym przykładzie).

23

• Rozważamy osobno przypadek małych i dużych cząstek zdefiniowanych przez parametr wielkości x

1) Dla x>>1 Q=const=2 stad =0

2) Dla x<<1

a) gdy cześć urojona współczynnika refrakcji k=0 Q()=Qscat=C/ 4

b) gdy cześć urojona współczynnika refrakcji k 0 Q()=Qabs=C/

Paradoks Angstroma

1

4M

k=0

k 0

małe cząstki

Obliczmy albedo pojedynczego rozpraszania SSA (Single Scattering Albedo)

Q

Q1 abs xQabs 4

scat xQ

24

4xx

x1

Dla x<<1 011

Dla cząstek dużych

Qext=2

Qabs=1 (gdy k>0)

Stad =0.5

Paradoks Angstroma występuje nawet dla

k=10-10. Wówczas to

=0 oraz =1

25

• Załóżmy, że mamy małe cząstki dla których spełniona jest zależność Qabs=x

Stąd

1aabs Wykładnik Angstroma dla absorpcji

wynosi 1

eext

1

e

a

ext

abs 11

Dla aerozolu o wykładnika Angstroma równym 1 mamy płaską zależność albeda pojedynczego rozpraszania z długością fali.

1) Dla <1 SSA rośnie z długością fali

2) Dla >1 SSA maleje z długością fali

26

Wykładnik Angstrom’a cd

• Załóżmy, że mamy dwa mody aerozolu o liczbie cząstek odpowiednio N1 oraz N2. Wówczas AOT wynosi:

2211 SNSN

dr)r(nQrS i2

i

212111

222121

1

2

1

2

1

2

SNSN

SNSNln

ln

1

ln

ln

i=1,2

211211

221212

1

2 SN/NS

SN/NSln

ln

1

Wykładnik Angstroma zależy więc jedynie od stosunku liczby cząstek w poszczególnych modach nie zaś od całkowitej ich ilości.

27

28

Uogólnienie problemu odwrotnego

2

1

r

r

c2 dr)r(n)m,x(Qr)(

Rozkład wielkości n(r) możemy rozbić na dwie części; wolno f(r) oraz szybko h(r) zmienną, gdzie h(r) ma na przykład postać rozkładu Junge

2

1

r

r

2 dr)r(h)m,x(Qr)r(f)(

Naszym zadaniem jest wyznaczenie funkcji f(r) zakładając współczynnik refrakcji m. Równanie to sprowadza się do równania Fredholma pierwszego rodzaju jeśli przyjmiemy, iż g=() zaś

)r(hm,r2

Qr)r(K 2

dr)r(K)r(fg2

1

r

r

29

dr)r(K)r(fg2

1

r

r

ii

gdzie K(r) jest funkcją wagową (jądrem). W praktyce, ponieważ mamy tylko skończona ilość mierzonych parametrów gi powyższy problem jest źle postawiony nawet jeśli funkcja wagowa K(r) oraz wartości mierzone gi pozbawione są niepewności.

Rozważmy równanie Fredholma w postaci:

i=1,2,…,M M jest liczbą obserwacji spektralnych wielkości g

Dla wygody poszukiwać będziemy rozwiązanie w postaci:

N

1jjj )r(wf)r(f gdzie fj są nieznanymi współczynnikami,

zaś wj oznacza funkcje ortogonalne. Podstawiając dostajemy:

30

N

1jjiji fAg gdzie i-1,2,…,M dr)r(K)r(wA

2

1

r

r

ijij

Musimy wyznaczyć fj(j=1,…,N) korzystając z obserwacji gi(i=1,…,M). Wprowadzamy oznaczenia:

M

2

1

g

...

g

g

g

N

2

1

f

...

f

f

f

MN1M

N22221

N11211

A......A

............

A...AA

A...AA

A

Wyjściowe równanie sprowadza się do równania wektorowego

fAg

Jak wiadomo macierz odwrotna istnieje tylko wtedy gdy M=N oraz gdy detA0. Jeśli więc M=N to nasze rozwiązanie jest postaci:

gAf 1

31

• Z reguły macierz A nie może być odwrócona dlatego używa się metody najmniejszych kwadratów. Różnicę lewej i prawej strony powyższego równania zapisujemy w postaci:

j

N

1jijii fAg

i=1,…,M

Musimy więc zminimalizować wielkość

M

1i

2

ij

N

1jij

M

1i

2i gfA

Poprzez przyrównaniu wszystkich pochodnych względem fk(k=1,2,…,n) do zera

0gfAf

M

1i

2

ij

N

1jij

k

32

0AgfA2M

1iijj,kij

N

1jij

0AgfAM

1iikij

N

1jij

lub w formie macierzowej

gAfAA TT

gAAAf T1T

Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego w powyżej formie jest niestabilne. Niestabilności związane ze źle postawionym problemem wyjściowym nie są jedyne. Istotnym wkład wnoszą błędy kwadratur używane do obliczeń elementów macierzy Aij, błędy obcięcia numerycznego oraz przede wszystkim błędy pomiarowe wielkości gi. W praktyce gi nigdy nie jest znane i dlatego musi być zapisane w postaci:

iii gg

Niepewności i wpływają na niejednoznaczność rozwiązania fi, która może być usunięta poprzez narzucenie dodatkowego warunku pozwalającego wybrać jedno z możliwych fi

33

Rozpatrujemy wyrażenie 2

i ij

2i ff

gdzie jest współczynnikiem wygładzającym mówiącym jak silnie rozwiązanie fi jest zmuszane do zbiegania do zadanej wartości (w tym przypadku do wartości średniej a ogólnie do wektora informacji a priori). Stosując metodę najmniejszych kwadratów mamy

f

0ffgfAf i

2

ji

2

jijij

k

0ffAgfAf j

iik

jijij

k

Równoważny zapis macierzowy

0fHgAfAA TT

gdzie macierz H ma postać

11

111

111

N1......N

............

N...N1N

N...NN1

H

34

Postać macierzy H związana jest ze wzorem

N

1kk

1 fNf

gdzie I jest macierzą jednostkową

gAHAAf T1T

Wprowadzony dodatkowy warunek ma na celu zbliżać rozwiązanie do pewnej klasy rozwiązań określonych przez

Rozwiązanie na może być wyznaczane na podstawie danych historycznych.

f

0)ff(gAfAA TT

0)fgA(IAAf T1T

Rozwiązanie problemu odwrotnego dane jest wzorem

f

35

Warunek wygładzania rozwiązania można konstruować również przez wyrażenia:

1) (pierwsza pochodna)

2) (druga pochodna)

które nie zawierają wyrażenia

• Stosując przedstawioną po wyżej metodę rozwiązywania problemu odwrotnego dla grubości optycznej aerozolu zakładaliśmy, że znamy współczynnik refrakcji.

• Założenie to jest bardzo silne i może prowadzić do znacznych błędów, które w tej metodzie wchodzą do wielkości i

• Wartość współ. refrakcji wpływa na zmienność efektywnego przekroju czynnego na ekstynkcje i tak cześć rzeczywista odpowiada ze przesuwanie kolejnych maksimów w zależności od parametru wielkości x zaś część urojona za wygładzanie oscylacji rezonansowych.

2

j1j )ff(

21jj1j )ff2f(

f

36

Fitowanie rozkładu log-normalnego2

i

im

ln

rlnrln

2

12

1i i

ic e

2lnr

N)r(n

dr)r(nrm,xQ)( 2

• Zakładamy, że mamy dwu-modowy rozkład log-normalny.

• Mamy do wyznaczenia 6 parametrów swobodnych (przy założeniu współczynnika refrakcji) N1,N2, rm1, rm2, 1,2

• Możemy liczbę niewiadomych zredukować o 1i 2 na podstawie informacji klimatycznych dla odpowiednich modów.

• Dodatkowo przy dużej licznie kanałów spektralnych AOT możemy fitować współczynnik refrakcji.