Post on 02-Dec-2015
(PERMASALAHAN BENTUK STANDAR)
safrudiannur 1
PENGANTAR METODE SIMPLEKS
METODE SIMPLEKS: Suatu metode sistematis untuk
menyelesaikan masalah PL dalam bentuk standar (atau
distandarkan) melalui serangkaian perhitungan berulang
(hingga diperoleh penyelesaian yang optimal).
Metode simpleks efektif digunakan untuk menyelesaikan
masalah PL yang melibatkan lebih dari dua kegiatan (atau
dua peubah)
Algoritma yang digunakan dalam metode simplek lazim
disebut metoda simplex table.
safrudiannur 2
Contoh masalah awalPerusahaan sepatu “IDEAL” membuat dua jenis sepatu, A dan B. Sepatu A
dengan sol karet dan sepatu B dengan sol kulit. Untuk membuat keduanya,
perusahaan memiliki 3 jenis mesin. Mesin P membuat sol karet, mesin Q
membuat sol kulit, dan mesin R membuat bagian atas dan merakitnya dengan
sol. Setiap lusin sepatu A mula-mula dikerjakan di mesin P selama 2 jam
kemudian dilanjutkan di mesin R selama 6 jam. Setiap lusin sepatu B mula-
mula dikerjakan di mesin Q selama 3 jam kemudian dilanjutkan di mesin R
selama 5 jam.
Dalam 1 hari, Jam kerja maks mesin P = 8 jam, mesin Q = 15 jam, dan mesin
R = 30 jam. Laba yang diperoleh dari setiap lusin sepatu A = Rp 30.000 dan
dari setiap lusin sepatu B = Rp 50.000
Tentukan berapa lusin sepatu A dan sepatu B yang sebaiknya diproduksi agar
laba yang diperoleh maksimumsafrudiannur 3
Model Masalah Awal
Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
Batasan
(1) 2X1 ≤ 8
(2) 3X2 ≤ 15
(3) 6X1 + 5X2 ≤ 30
(4) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
safrudiannur 4
TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Masalah dalam bentuk standar) Merumuskan model PL
Mengubah fungsi tujuan menjadi fungsi implisit
Contoh: Z = 3X1 + 5X2 menjadi Z – 3X1 – 5X2 = 0
Mengubah fungsi-fungsi batasan (syarat, kendala) dan fungsi
batasan dengan cara menambah slack variabel (S).
Contoh: (bentuk standar: semua batasan berelasi ≤)
(1) 2X1 ≤ 8 menjadi 2X1 + S1 = 8
(2) 3X2 ≤ 15 menjadi 3X2 + S2 = 15
(3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 menjadi 6X1 + 5X2 + S3 = 30
(4) Z – 3X1 – 5X2 = 0 menjadi Z – 3X1 – 5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0safrudiannur 5
LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Masalah dalam bentuk standar)
Menyusun persamaan-persamaan pada langkahsebelumnya ke dalam tabel simpleks
Tabel Awal:Iterasi
No Var.Dasar
KoefVar
C1 C2 … Cn 0 0 … 0 bi Ri
X1 X2 … Xn S1 S2 … Sm
1
1 S1 0 a11 a12 … a1n 1 0 … 0 b1
2 S2 0 a21 a22 … a2n 0 1 … 0 b2
… … … … … … … … … … … …m Sm 0 am1 am2 … amn 0 0 … 1 bm
4 Evaluasi (Zj) C1 C2 … Cn 0 0 … 0 0
safrudiannur 6
LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Masalah dalam bentuk standar)Contoh Tabel Simpleks
(1) 2X1 ≤ 8 menjadi 2X1 + S1 = 8
(2) 3X2 ≤ 15 menjadi 3X2 + S2 = 15
(3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 menjadi 6X1 + 5X2 + S3 = 30
(4) Z – 3X1 – 5X2 = 0 menjadi Z – 3X1 – 5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0
Iterasi No Var.
DasarKoefVar
-3 -5 0 0 0bi Ri
X1 X2 S1 S2 S3
1
1 S1 0 2 0 1 0 0 82 S2 0 0 3 0 1 0 153 S3 0 6 5 0 0 1 30
4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0
safrudiannur 7
LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Masalah dalam bentuk standar)
Memilih kolom kunci: yaitu kolom yang memiliki nilai Zjnegatif terkecil
Contoh
Iterasi No Var.
DasarKoefVar
-3 -5 0 0 0bi Ri
X1 X2 S1 S2 S3
1
1 S1 0 2 0 1 0 0 82 S2 0 0 3 0 1 0 153 S3 0 6 5 0 0 1 30
4 Evaluasi (Zj) -3 -5* 0 0 0 0
safrudiannur 8
LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Masalah dalam bentuk standar)
Menghitung indeks tiap baris (Ri):Ri = nilai bi : nilai kolom kunci
Memilih baris kunci: yaitu baris dengan indeks positif terkecilNilai yang masuk dalam kolom dan baris kunci disebut angka kunciContoh
Iterasi No Var.
DasarKoefVar
-3 -5 0 0 0bi Ri
X1 X2 S1 S2 S3
1
1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf
2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*
3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6
4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0
Angka kunci di atas adalah 3safrudiannur 9
LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Masalah dalam bentuk standar)
Mengubah nilai pada baris kunci, dengan cara membagi setiapnilai dengan angka kunci
Mengubah variabel dasar dengan variabel di atas kolom kunciContohNilai Awal: 0 3 0 1 0 15Nilai Baru: 0/3=0 3/3=1 0/3=0 1/3 0/3=0 15/3=5
Iterasi No Var.
DasarKoefVar
-3 -5 0 0 0bi Ri
X1 X2 S1 S2 S3
2
1 S1 0 2 0 1 0 0 82 X2 -5 0 1 0 1/3 0 53 S3 0 6 5 0 0 1 30
4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0safrudiannur 10
LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL Mengubah nilai pada baris lainnya:
Nilai baris baru = nil. Baris lama – (nil. pd kolom kunci x nilai pada baris kunci)Contoh: Nilai Awal (baris 1) : 2 0 1 0 0 8
0 x 0 0 x1 0 x 0 0 x 1/3 0 x 0 0 x 5 -Nilai Baru (baris. 1): 2 0 1 0 0 8Nilai Awal (baris 3) : 6 5 0 0 1 30
5 x 0 5 x1 5 x 0 5 x 1/3 5 x 0 5 x 5 -Nilai Baru (baris. 3): 6 0 0 -5/3 1 5Nilai Awal (baris Z) : -3 -5 0 0 0 0
-5 x 0 -5 x1 -5 x 0 -5 x 1/3 -5 x 0 -5 x 5 -Nilai Baru (baris. Z): -3 0 0 5/3 0 25
Iterasi No Var.
DasarKoefVar
-3 -5 0 0 0bi Ri
X1 X2 S1 S2 S3
2
1 S1 0 2 0 1 0 0 82 X2 -5 0 1 0 1/3 0 53 S3 0 6 0 0 -5/3 1 5
4 Evaluasi (Zj) -3 0 0 5/3 0 25safrudiannur 11
LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL Melanjutkan pengubahan nilai-nilai pada
baris hingga diperoleh penyelesaianyang optimal. Dimulai dari langkahpemilihan kolom kunci hingga langkahpengubahan nilai tiap baris
Penyelesaian optimal diperoleh jikanilai-nilai pada baris Z tidak ada yang negatif.
safrudiannur 12
LANJUTAN CONTOH TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL
Iterasi No Var.
DasarKoefVar
-3 -5 0 0 0bi Ri
X1 X2 S1 S2 S3
1
1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6
4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0
2
1 S1 0 2 0 1 0 0 8 42 X2 -5 0 1 0 1/3 0 5 tdf3 S3 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6*4 Evaluasi (Zj) -3 0 0 5/3 0 25
Karena masih ada nilai pada baris Z yang bertanda negatifmaka perhitungan perlu dilanjutkan ke iterasi ke-3.
safrudiannur 13
LANJUTAN CONTOH TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL
Iterasi No Var.
DasarKoefVar
-3 -5 0 0 0bi Ri
X1 X2 S1 S2 S3
1
1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6
4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0
2
1 S1 0 2 0 1 0 0 8 42 X2 -5 0 1 0 1/3 0 5 tdf3 S3 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6*4 Evaluasi (Zj) -3 0 0 5/3 0 25
3
1234 Evaluasi (Zj)
(Pemilihan kolom kunci, penentuan indeks Ri dan penentuan kolom kuncisafrudiannur 14
LANJUTAN CONTOH TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Mengubah nilai pada baris kunci)
Mengubah nilai pada baris kunci, dengan cara membagi
setiap nilai dengan angka kunci
Mengubah variabel dasar dengan variabel di atas kolom
kunci
Nilai Awal: 6 0 0 -5/3 1 5
Nilai Baru: 6/6=1 0/6=0 0/6=0 (-5/3)/6= -5/18 1/6 5/6
safrudiannur 15
LANJUTAN CONTOH TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL
Iterasi No Var.
DasarKoefVar
-3 -5 0 0 0bi Ri
X1 X2 S1 S2 S3
1
1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6
4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0
2
1 S1 0 2 0 1 0 0 8 42 X2 -5 0 1 0 1/3 0 5 tdf3 S3 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6*4 Evaluasi (Zj) -3 0 0 5/3 0 25
3
1 S1 02 X2 -53 X1 -3 1 0 0 -5/18 1/6 5/64 Evaluasi (Zj)
Diperoleh penyelesaian optimal: Z = 55/2 dengan X1 = 5/6 dan X2 = 5safrudiannur 16
LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL Mengubah nilai pada baris lainnya:
Nilai baris baru = nil. Baris lama – (nil. pd kolom kunci x nilai pada baris kunci)
Contoh:
Nilai Awal (baris 1) : 2 0 1 0 0 82 x (1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) -
Nilai Baru (baris. 1): 0 0 0 5/9 -1/3 19/3
Nilai Awal (baris 2) : 0 1 0 1/3 0 50 x (1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) -
Nilai Baru (baris. 2): 0 1 0 1/3 0 5
Nilai Awal (baris Z) : -3 -5 0 0 0 0-3 x(1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) -
Nilai Baru (baris. Z): 0 0 0 5/6 1/2 55/2
safrudiannur 17
LANJUTAN CONTOH TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL
Iterasi No Var.
DasarKoefVar
-3 -5 0 0 0bi Ri
X1 X2 S1 S2 S3
1
1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6
4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0
2
1 S1 0 2 0 1 0 0 8 42 X2 -5 0 1 0 1/3 0 5 tdf3 S3 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6*4 Evaluasi (Zj) -3 0 0 5/3 0 25
3
1 S1 0 0 0 1 5/9 -1/3 19/32 X2 -5 0 1 0 1/3 0 53 X1 -3 1 0 0 -5/18 1/6 5/64 Evaluasi (Zj) 0 0 0 5/6 1/2 55/2
Diperoleh penyelesaian optimal: Z = 55/2 dengan X1 = 5/6 dan X2 = 5safrudiannur 18
Interpretasi penyelesaian optimal
Keuntungan maksimum perusahaan
adalah 55/2 x 10.000 = 275.000
dengan memproduksi sepatu A
sebanyak 5/6 lusin dan sepatu B
sebanyak 5 lusin.
safrudiannur 19
KETENTUAN TAMBAHAN Terdapat lebih dari satu kolom yang memiliki
nilai negatif terkecil yang sama pada baris Z
Solusi: Pilih salah satu kolom secara bebas untuk
menjadi kolom kunci
Terdapat lebih dari satu baris yang memiliki
indeks positif terkecil yang sama
Solusi: Pilih salah satu baris secara bebas untuk
menjadi baris kuncisafrudiannur 20
Soal 1
Maksimumkan Z = 30X1 + 15X2 + 40 X3
Syarat: 1) 2X1 + X2 + 2X3 ≤ 80
2) 6X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 180
3) 4X1 – 5X2 + 10X3 ≤ 300
4) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0; X3 ≥ 0
safrudiannur 21
Soal 2Toko “ANAK CERIA) yang menjual mainan anak-anak akanmembuat 3 jenis bingkisan tahun baru, yaitu Standard, DeLuxe, dan Super De Luxe. Setiap jenis bingkisan akan berisikombinasi: mobil, motor, dan pesawat mainan.
Bingkisan Standar berisi 4 mobil, 4 motor, dan 2 pesawatdengan harga jual Rp 35.000,- per bingkisan.Bingkisan De Luxe berisi 5 mobil, 6 motor, dan 5 pesawatdengan harga jual Rp 40.000,- per bingkisanBingisian Super De Luxe berisi 6 mobil, 8 motor, dan 5pesawat dengan harga jual Rp 60.000,- per bingkisanJumlah barang yang tersedia adalah 55.000 mobil, 75.000motor, dan 45.000 pesawat.
Tentukan banyaknya masing-masing bingkisan yang harusdiproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum.
safrudiannur 22
safrudiannur 23