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Medidas de Risco
Análise de Risco (3)R.Vicente
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Resumo
O que é uma medida de RiscoMedida de risco derivada da Teoria de UtilidadeAxiomatizaçõesMedidas CoerentesDownside RiskMedidas CondicionaisVaRCVaR
Bibliografia
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Qual carteira é mais arriscada ?CARTEIRA A CARTEIRA B
RETORNO PROBABILIDADE PROBABILIDADE -10 0,01 0,01-7,5 0,04 0,04-5 0,05 0,25
-2,5 0,1 0,250 0,5 0,3
2,5 0,15 0,15 0,15 0,05
RET ESPERADO 0,225 -1.775DESVIO PADRAO 3,124 3,128
1% VaR -10 -105% VaR -7,5 -7,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1 2 3 4 5 6 7
CARTEIRA ACARTEIRA B
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O que é uma medida de risco ?
Relação de preferência: ( ) ( )BA
A B X X⇔ Φ > Φ
Relação de risco:
( ) ( )R BAA B R X R X⇔ >
(.)R = medida de risco
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O que é uma medida de risco ?
Relação de preferência: ( ) ( )BA
A B X X⇔ Φ > Φ
Carteira Eficiente (Markowitz):
( ) var[ ], [ ]A A AX H X E X⎡ ⎤Φ = ⎢ ⎥⎣ ⎦
é o retorno da carteira A.AX
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Dois Tipos de Medidas de Risco
Tipo 1: Amplitude de desvios em relação a uma meta.
Tipo 2: Capital necessário ou Prêmio a ser cobrado.
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Medidas de Risco Derivadas da Teoria de Utilidade
( )( )=− −R X E U X E XMedida de Risco Padrão (Jia e Dyer ’96):
Se :2( )U x ax bx= −
( ) ( )2( )
var
=− − − −
=
R X E a X E X b X E X
b X
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Medidas de Risco Derivadas da Teoria de Utilidade
2( )U x ax bx= −
(7,0)
(6,0)
(5,0)
(4,0)
(3,0)
(2,0)
(1,0)
-
1,0
(2,0
)
(1,7
)
(1,4
)
(1,1
)
(0,8
)
(0,5
)
(0,2
)
0,1
0,4
0,7
1,0
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
2,8
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Medidas de Risco Derivadas da Teoria de Utilidade
Se :2 3( )U x ax bx cx= − +
( ) ( ) ( )32
2 3
3
( )
var varλ
=− − − − + −
= −
R X E a X E X b X E X c X E X
b X c X
(20,0)
(15,0)
(10,0)
(5,0)
-
5,0
10,0
15,0
20,0
(2,0
)
(1,7
)
(1,4
)
(1,1
)
(0,8
)
(0,5
)
(0,2
)
0,1
0,4
0,7
1,0
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
2,8
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Medidas de Risco Derivadas da Teoria de Utilidade
( )U x ax x= −
( )( )=− − − −
=
R X E a X E X X E X
DMA X
Se :
(7,0)(6,0)(5,0)(4,0)(3,0)(2,0)(1,0)
-1,02,03,04,0
(2,0
)
(1,7
)
(1,4
)
(1,1
)
(0,8
)
(0,5
)
(0,2
)
0,1
0,4
0,7
1,0
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
2,8
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Axiomatizações
1 2 1 2
( 1) ( ) 0( 2) ( ) ( ) 0( 3) ( ) ( ) ( )( 4) ( ) ( )
≥= ≥+ ≤ ++ ≤ ∀
PS R XPS R cX cR X cPS R X X R X R XPS R X c R X c
Pedresen-Satchell ‘98 :
Risco como desvio.
Proporcional ao tamanho.
Diversificável.
Risk-free não altera a medida.
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Axiomatizações
1 2 1 2
0 1( 2) ( 3) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )≤ ≤
+ − ≤ + −c
PS e PS R cX c X cR X c R X
A medida de Risco é convexa :
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Axiomatizações
1 2 1 2
( 4) ( ) ( )( 3) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0
( 1) ( ) 0 ( ) 0
+ ≤ ∀+ ≤ +
+ ≤ ⇔ + ≤ ⇒≤
≥ ⇒ =
PS R X c R X cPS R X X R X R X
R X c R X R X R c R XR cPS R c R c
De (PS4), (PS 3) e (PS 1) :
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Axiomatizações: Medidas Coerentes
1 2 1 2( 1) ( ) ( ) ( )( 2) ( ) ( ) 0( 3) ( ) ( )( 4) ( ) ( )
+ ≤ += ≥+ = − ∀
≤ ⇒ ≤
ADEH R X X R X R XADEH R cX cR X cADEH R X c R X c cADEH X Y R Y R X
Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :
Redução de Risco por Alocação.
Proporcional ao tamanho.
Diversificável.
+ arriscado = maior perda
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Axiomatizações: Medidas Coerentes
( 3) ( ) ( )( ) ( ( )) 0
+ = −= ⇒ + =ADEH R X c R X c
c R X R X R X
Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :
Tipo 2: Redução de Risco por alocação de capital.
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Medidas Tipo 1: Desvio Padrão
Markowitz ’52:
Vantagens:
(1) Fácil de calcular e manipular;
(2) Fácil de otimizar.;
(3) Fácil de estimar.
( ) var( )=R X X
Desvantagens:
(1) Trata perdas e ganhos igualmente;
(2) Insensível a caudas pesadas;
(3) Fácil de estimar.
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Medidas Tipo 1: Desvio Padrão
Kijima e Ohnishi ’93:1
( )= −kkR X E X E X
-
200,0
400,0
600,0
800,0
1.000,0
1.200,0
(2,4
)
(2,1
)
(1,8
)
(1,5
)
(1,2
)
(0,9
)
(0,6
)
(0,3
)
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
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Downside Risk
Risco de queda em relação a um determinado benchmark.
Momentos parciais de grau k (Fishburn ’77):
( )( ; ) max ,0= − kkLPM X b E b X
Caso k=0 (Probabilidade de Queda): { }( ) ( )bSP X P X b F b= ≤ =
Caso k=1 (Queda Esperada): ( )max ,0= −bSE E b X
Caso k=2 (Dispersão da Queda): ( )2max ,0= −bSV E b X
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Downside RiskEscolhendo :
Semi Desvio Absoluto Esperado: ( )( ) max ,0= −R X E E X X
Semi Variância: ( )2( ) max ,0= −R X E E X X
b E X=
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Medidas Condicionais
Queda Condicional Esperada:
( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
max ,0 ( )( ) ( )
= − ≤
= − ≤
∧ ≤= −≤
−= =
≤
∫∫
b
b
b
MEL X E b X X b
dx b X p x X b
p x X bdx b xP X b
E b X SE XP X b SP X
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Classe Geral de Medidas de Risco
( ) [ ]( ) ( ) ( )−∞
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫bz a
R X x c w F y f y dy
Satisfazem os Axiomas PS
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Medidas Tipo 2: Value-at-Risk
−= −t t hL V V
O VaR no nível de confiança é implicitamente definido através de:
( )α α> =P L VaR
A perda potencial na janela de tempo h é:
α
Assim: 1(1 )α α−= −VaR F
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Medidas Tipo 2: Value-at-Risk
Propriedades:
( 2) ( ) ( ) 0( 3) ( ) ( )( 4) ( ) ( )
α α
α α
α α
= ≥+ = − ∀
≤ ⇒ ≤
ADEH VaR cX cVaR X cADEH VaR X c VaR X c cADEH X Y VaR Y VaR X
No entanto:
1 2 1 2( 1) ( ) ( ) ( )α α α+ ≤ +ADEH VaR X X VaR X VaR X
Vale para distribuições normais mas não vale em geral.
O Value-at-Risk não é uma medida coerente !
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VaR Condicional
Pode ser decomposto como:
( )α α= >CVaR L E L L VaR
Medida coerente na maioria dos casos práticos.
( ) ( )α α α α= + − >CVaR L VaR L E L VaR L VaR
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Bibliografia
• Alexander, C. Market Models 2001
• Albrecht, P., Risk Measures, preprint 2004
Leitura ComplementarJia, J. Dier, J.S. : A Standard Measure of Risk and Risk-Value Models, Management Science 42, 1691-1705 (1996)