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obreza y la Desigualdad
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esigualdad 1
Medición de la Desigualdad
Economía de la Pobreza y la Desigualdad Economía de la Pobreza y la Desigualdad
Xavi RamosXavi Ramos
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Índice
RankingsRankings Medidas de desigualdadMedidas de desigualdad DescomposiciónDescomposición
RankingsRankings
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Dominancia de Lorenz Normalizamos dominancia de segundo orden por Normalizamos dominancia de segundo orden por μ Expresa la proporción de renta correspondiente a la Expresa la proporción de renta correspondiente a la proporción poblacional proporción poblacional qq de la distribución de la distribución FF como: como:
L(F;q) := C(F;q) / (F) Obtenemos Obtenemos dominancia de Lorenzdominancia de Lorenz o ranking de o ranking de proporcionesproporciones
Para dada, G domina en términos de Lorenz a F
W(G) > W(F) para toda WW2
Atkinson (1970) demuestra que:Atkinson (1970) demuestra que:
G domina en términos de G domina en términos de Lorenz a Lorenz a FFsignificasignifica: : para todo para todo qq,, L L((GG;;qq) ) LL((FF;;qq), ), para algún para algún qq,, L L((GG;;qq) > ) > LL((FF;;qq) )
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Define Define xx[[ii]] como el como el ii-ésimo elemento del vector -ésimo elemento del vector
de rentas de rentas ((xx11,,xx22,…,,…,xxnn))
Entonces podemos definir: Entonces podemos definir: Desfile de PenDesfile de Pen
Renta acumuladaRenta acumulada
CLGCLG
CLCL
Para distribuciones discretas …
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La Curva de Lorenz
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pro
porc
ión
de
ren
ta
proporción de población
L(G;.)
L(F;.)
L(.; q)
q
Curva de Lorenz para F
Curva de Lorenz para F
EjemploEjemploq=F(μ)
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Renta original+ transf. monetarias
Renta bruta- impuestos directos
Renta disponible- impuestos indirectos
Renta después imp.+ transf. en especie
Renta final
Aplicación de la dominancia al sistema de impuestos y transferencias, UK
Cómo estan ordenadas estas 5 distribuciones?
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0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Proporción de población
Pro
po
rció
n d
e r
en
tai
Renta original
Renta bruta
Renta disponible
Renta despues impuestos
Renta final
(Linia Igualdad)
Curvas de Lorenz. Impacto de Impuestos y Transferencias. UK 2000/1
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Conclusiones de nuestro ejemplo
Las conclusiones son las que seguramente ya intuíamos …Las conclusiones son las que seguramente ya intuíamos … En la mayoría de países:En la mayoría de países:
Impuestos directos son progresivosImpuestos directos son progresivos Así como las transferencias (sobretodo monetarias)Así como las transferencias (sobretodo monetarias) Pero los impuestos indirectos son regresivos!Pero los impuestos indirectos son regresivos!
Por eso la dominancia de Lorenz no es sorprendente.Por eso la dominancia de Lorenz no es sorprendente. Pero que sucede si lo analizamos a lo largo del tiempo?Pero que sucede si lo analizamos a lo largo del tiempo?
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Proporción de población
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1993
2000-1
(Linia Igualdad)
“Renta final” – Lorenz
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0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Proporción de población
Pro
po
rció
n d
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ta
1993
2000-1
(Linia Igualdad)
“Renta original” – Lorenz
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.5
0.6
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Las curvas de Lorenz se cruzan
¿Es 1993 más igual?
¿ó lo es 2000-1?
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En resumen … La dominancia de segundo orden (CLG) equivale La dominancia de segundo orden (CLG) equivale
a ordenar según renta acumulada.a ordenar según renta acumulada. La dominancia de Lorenz equivale a ordenar por La dominancia de Lorenz equivale a ordenar por
proporciones de renta. proporciones de renta. Caso especial de la dominancia de LG Caso especial de la dominancia de LG
normalizada por la media.normalizada por la media. Sin embargo …cuando las curvas de Lorenz se Sin embargo …cuando las curvas de Lorenz se
cruzan no es posible obtener una ordenación no cruzan no es posible obtener una ordenación no ambigua en términos de desigualdad …ambigua en términos de desigualdad …
… … a menos que impongamos nuevas a menos que impongamos nuevas restricciones sobre SWF.restricciones sobre SWF.
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Cuando las CGLorenz se cruzan Considera la siguiente función:
W3 W2: u(•)’ > 0; u(•)’’ < 0; u(•)’’’ > 0 Es decir, creciente, cóncava y… … Que cumpla el Que cumpla el Principio de las Transferencias DecrecientesPrincipio de las Transferencias Decrecientes::
Una pequeña transferencia de un individuo con renta x a otro Una pequeña transferencia de un individuo con renta x a otro con renta (x-con renta (x-ΔΔ)), importa más cuanto menor es x., importa más cuanto menor es x.
Una transferencia de un individuo con renta 500 a otro con renta 100 Una transferencia de un individuo con renta 500 a otro con renta 100 incrementará más el bienestar que la misma transferencia de un individuo con incrementará más el bienestar que la misma transferencia de un individuo con renta 900 a otro con renta 500.renta 900 a otro con renta 500.
Lo que implica que la transferencia más valorada es la que se produce entre un Lo que implica que la transferencia más valorada es la que se produce entre un pobre y un muy pobre (lo compartes?)pobre y un muy pobre (lo compartes?)
Si las CLG para F y G se cruzan una sola vez, entonces: (Dardanoni & Lambert, 1988)
W(F)>W(G) para todo W W3
(i) G cruza a F desde abajo(ii) μ(F) = μ(G)(iii) σ²(F) σ²(G)
Alternativamente, podemos utilizar índices de desigualdad que proporcionan Alternativamente, podemos utilizar índices de desigualdad que proporcionan ordenaciones completas.ordenaciones completas.
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Índice
RankingsRankings Medidas de desigualdad - IntuiciónMedidas de desigualdad - Intuición DescomposiciónDescomposición
Medidas de desigualdad - IntuiciónMedidas de desigualdad - Intuición
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Medidas de desigualdad
Qué es un índice de desigualdad?Qué es un índice de desigualdad? Una función que va del conjunto de Una función que va del conjunto de
distribuciones… distribuciones… ……a la recta de los números reales.a la recta de los números reales. Por tanto, proporciona una ordenación Por tanto, proporciona una ordenación
completa.completa. Formas alternativas de plantear indices:Formas alternativas de plantear indices:
IntuiciónIntuición Bienestar socialBienestar social Enfoque axiomáticoEnfoque axiomático
Empecemos por la intuiciónEmpecemos por la intuición
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Indices de desigualdad Intuitivos
La primera que viene a la mente es una medida de La primera que viene a la mente es una medida de dispersión … la varianzadispersión … la varianza
Pbma: depende de la renta media Pbma: depende de la renta media Podemos utilizar el coeficiente de variaciónPodemos utilizar el coeficiente de variación
No cumple el Ppio. Transferencias DecrecientesNo cumple el Ppio. Transferencias Decrecientes
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
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por
ción
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ren
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proporción de población
Coeficiente de GiniCoeficiente de Gini
El índice de desigualdad más popular?Las comparaciones en términos de Lorenz pueden resultar inconcluyentes
Pero podemos utilizar Lorenz para definir un índice
G = A/(A+B) = 2A = 2(0.5-B) = 1-2B
A
B
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Diferencia normalizada entre todos los pares de rentas:Diferencia normalizada entre todos los pares de rentas: Forma contínua:Forma contínua:
Forma discreta:Forma discreta:
El coeficiente de Gini
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Expresando el Gini como una media ponderada Expresando el Gini como una media ponderada obtenemos una interpretación interesanteobtenemos una interpretación interesante
Las ponderaciones Las ponderaciones son muy especiales son muy especiales Dependen de la posición en la distribuciónDependen de la posición en la distribución Cambian cuando se incorporan o salen otros miembros Cambian cuando se incorporan o salen otros miembros
de la distribuciónde la distribución
Más coeficiente de Gini
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Enfoque Intuitivo: dificultades
Esencialmente arbitrarioEsencialmente arbitrario No implica que el CV o el Gini sean índices malosNo implica que el CV o el Gini sean índices malos Pero, cuáles son sus fundamentos?Pero, cuáles son sus fundamentos?
El índice de Gini tiene además algunos problemas El índice de Gini tiene además algunos problemas ‘estructurales’‘estructurales’ No se puede descomponer aditivamenteNo se puede descomponer aditivamente
Cuál es la relación con el bienestar social?Cuál es la relación con el bienestar social? Examina la relación entre desigualdad y bienestar Examina la relación entre desigualdad y bienestar
directamente: aproximaciones normativasdirectamente: aproximaciones normativas
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Índice
RankingsRankings Medidas de desigualdad – Bienestar socialMedidas de desigualdad – Bienestar social DescomposiciónDescomposición
Medidas de desigualdad – Bienestar socialMedidas de desigualdad – Bienestar social
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SWF y desigualdad: Atkinson
Atkinson (1970) utiliza una Atkinson (1970) utiliza una W W2 donde donde uu es iso-elàstica: es iso-elàstica:
xx1 – – 1 u(xx) = ————, 1 –
La propiedad de elasticidad constante implica que la reducción La propiedad de elasticidad constante implica que la reducción proporcional de la ponderación en bienestar [proporcional de la ponderación en bienestar [u’u’((xx)], causada por un )], causada por un incremento proporcional de la renta, es constante para cualquier nivel de incremento proporcional de la renta, es constante para cualquier nivel de renta.renta. i.e. un incremento de la renta del 1% reduce la ponderación en un i.e. un incremento de la renta del 1% reduce la ponderación en un
% de su valor anterior.% de su valor anterior. Cuanto mayor sea Cuanto mayor sea , mayor será la reducción proporcional en la , mayor será la reducción proporcional en la
ponderación para un mismo incremento de renta.ponderación para un mismo incremento de renta. Por tanto, ePor tanto, el parámetro l parámetro se puede interpretar como la aversión a la se puede interpretar como la aversión a la
desigualdad.desigualdad.
• El cambio en bienestar de un incremento en la renta de todos los individuos es:
ΔW = u’(x1)Δx1 + u’(x2)Δx2 +…+ u’(xn)Δxn • Por tanto, podemos interpretar las u’(xi) como ponderaciones, que recogen la
importancia que damos a los incrementos de renta.
• Notar que u’(xi) depende del nivel de renta x, y de ε (la curvatura).
• El cambio en bienestar de un incremento en la renta de todos los individuos es:
ΔW = u’(x1)Δx1 + u’(x2)Δx2 +…+ u’(xn)Δxn • Por tanto, podemos interpretar las u’(xi) como ponderaciones, que recogen la
importancia que damos a los incrementos de renta.
• Notar que u’(xi) depende del nivel de renta x, y de ε (la curvatura).
W(F) = ∫ u(x)dF(x) W(F) = ∫ u(x)dF(x)
Elasticidad de u’(x) = -xu’’(x) / u’(x) = ε Elasticidad de u’(x) = -xu’’(x) / u’(x) = ε
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Relación entre utilidad y renta (relativa)
1 2 3 4 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
U
x /
... y cuanto mayor es ε, más cóncava es la relación
La escala de U es arbitraria: añadir o multiplicar por una constante los valores de U no altera sus caracterísitcas como índice de bienestar. Lo que importa es la curvatura! …
La escala de U es arbitraria: añadir o multiplicar por una constante los valores de U no altera sus caracterísitcas como índice de bienestar. Lo que importa es la curvatura! …
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Relación entre el peso [u’(x)] y la renta
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
U'
x /
Para = 0, el peso es constante
Para 2, el peso disminuye rápidamentee.g. 5 [U’(0.45 )= 5·U’( )]
Para = 5, U’(2 ) 0
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Renta Equivalente Igualmente Distribuida Si U(x) es cóncava E[U(x)] < U[E(x)] = U()
Podemos obtener el mismo nivel de
utilidad, E[U(x)], con una renta per capita menor, , si está igualmente distribuida.
U(x)
E(x)=x1 x2
U()=U[E(x)]
U(x1)
U(x2)
U = E[U(x)]
U(x)
x
es la REID (EDEI)
Podemos prescindir de ( - ) y obtener el mismo bienestar.
( - ) mide el coste de la desigualdad.
La curvatura de U(x) indica la disposición de la sociedad a tolerar la ‘pérdida de eficiencia’ para conseguir más igualdad.
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Renta Equivalente Igualmente Distribuida (2)
O xi
xj
otra forma de verlo Dada una distribución …todas estas tienen la misma media Dadas unas curvas de indiferencia social
•E
(F) (F)
•F
La distribución igualitaria E tiene el mismo bienestar que F. Por tanto, es la REID
( - ) es el coste de la desigualdad.
La curvatura de las curvas de indiferencia indica la disposición de la sociedad a tolerar la ‘pérdida de eficiencia’ para conseguir más igualdad.
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Dada una WDada una W WW22 con con uu iso-elàstica, se puede expresar como iso-elàstica, se puede expresar como
(F) (F) - (F)I
A(F) = 1 – —— = ———————
(F) (F)
Índice de Atkinson
Atkinson (1970) propone una medida de desigualdad en Atkinson (1970) propone una medida de desigualdad en términos del coste de ésta:términos del coste de ésta:
W(F) = ∫ u(x)dF(x) W(F) = ∫ u(x)dF(x)
x 1 - – 1 u(x) = ———— , 0
1 –
x 1 - – 1 u(x) = ———— , 0
1 –
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Índice de Atkinson (2) Está acotado entre (0, 1)Está acotado entre (0, 1)
0 IA(F) 1
Interpretación muy intuitiva:Interpretación muy intuitiva: I
A(F) = 0.2 significa que podemos 0.2 significa que podemos
prescindir del 20% de la renta total y prescindir del 20% de la renta total y obtener el mismo nivel de bienestar si obtener el mismo nivel de bienestar si distribuimos igualitariamente el 80% distribuimos igualitariamente el 80% restante.restante.
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Índice
RankingsRankings Medidas de desigualdad – AxiomasMedidas de desigualdad – Axiomas DescomposiciónDescomposición
Medidas de desigualdad – AxiomasMedidas de desigualdad – Axiomas
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Enfoque Axiomático Ya hemos visto algunos de los axiomas Ya hemos visto algunos de los axiomas
estándar (para el caso del bienestar)estándar (para el caso del bienestar) AnonimidadAnonimidad Principio de poblaciónPrincipio de población Principio de transferenciasPrincipio de transferencias Invarianza de escala/translaciónInvarianza de escala/translación
Sin embargo, vale la pena reconsiderar la Sin embargo, vale la pena reconsiderar la propiedad de descomponibilidad, ya que:propiedad de descomponibilidad, ya que: Nos permitirá relacionar la desigualdad de toda Nos permitirá relacionar la desigualdad de toda
la población con la de los subgrupos.la población con la de los subgrupos. Nos conducirá a una família de índices: FEGNos conducirá a una família de índices: FEG
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Índice
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Descomposición: objetivo
Poder cuantificar qué parte de la Poder cuantificar qué parte de la desigualdad total se puede atribuir a un desigualdad total se puede atribuir a un subgrupo poblacionalsubgrupo poblacional Definido en términos de edad, sexo, Definido en términos de edad, sexo,
educación, etc.educación, etc. … … o del cruce de más de un atributo.o del cruce de más de un atributo.
Los subgrupos tienen que ser exhaustivos y Los subgrupos tienen que ser exhaustivos y disjuntos, i.e. particionesdisjuntos, i.e. particiones
Ejemplo de una partición
Ejemplo de una partición
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Una partición
Proporción poblacional
Desigualdad subgrupo
Proporción de renta
j
sj
Ij
(ii)
(i)
(iii)
(iv)
• La poblaciónLa población• Atributo 1Atributo 1
• Un subgrupoUn subgrupo• Atributo 2Atributo 2
(1)(2)
(3) (4)(5) (6)
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restricción ponderacionesrestricción ponderaciones
función de pesosfunción de pesos
Descomposición aditiva
descomposición aditivadescomposición aditiva
La desigualdad total es mayor que la suma de las desigualdades en los subgrupos, ya que la heterogeneidad de los grupos es una fuente de dispersión
La desigualdad total es mayor que la suma de las desigualdades en los subgrupos, ya que la heterogeneidad de los grupos es una fuente de dispersión
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Dos tipos de particiones
En base a los atributos relevantesEn base a los atributos relevantes Los grupos se solaparán en rentaLos grupos se solaparán en renta
Particiones que no se solapen en rentaParticiones que no se solapen en renta Particiona sólo en base a la rentaParticiona sólo en base a la renta
La distinción entre las dos es crucialLa distinción entre las dos es crucial Algunos índices populares sólo se podrán descomponer Algunos índices populares sólo se podrán descomponer
para el segundo tipo para el segundo tipo
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Ilustración de las dos particiones
x*
N1 N2
0
x**N1
grupos de renta no solapados
grupos de renta solapados
x
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esigualdad 36
Una familia de índices decomponibles La única família de índices que satisface la propiedad de La única família de índices que satisface la propiedad de
descomponibilidad aditiva (e invarianza de escala) es la descomponibilidad aditiva (e invarianza de escala) es la Familia de Entropía GeneralizadaFamilia de Entropía Generalizada
El parámetro El parámetro es un indicador de la sensibilidad de cada es un indicador de la sensibilidad de cada miembro de la familia.miembro de la familia. grande y positivo: índice sensible a la cola altagrande y positivo: índice sensible a la cola alta negativo : índice sensible a la cola bajanegativo : índice sensible a la cola baja
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Familia de Entropía Generalizada
La FEG incluye dos indices de Henri Theil:La FEG incluye dos indices de Henri Theil: = 1: = 1: [ [ xx / / ((FF)] log ()] log (xx / / ((FF)) d)) dFF((xx) [Theil]) [Theil] = 0: = 0: – – log ( log (xx / / ((FF)) d)) dFF((xx) [MLD]) [MLD]
La FEG está relacionada con la Familia de AtkinsonLa FEG está relacionada con la Familia de Atkinson Para Para < 1 es ordinalmente equivalente a la familia de < 1 es ordinalmente equivalente a la familia de
Atkinson, conAtkinson, con = 1 = 1 – – ..
Para Para = 2 es ordinalmente equivalente a la varianza = 2 es ordinalmente equivalente a la varianza (normalizada).(normalizada).
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Familia de Entropía Generalizada
Las ponderaciones Las ponderaciones jj sólo suman 1 cuando sólo suman 1 cuando = 0 o 1 (MLD y = 0 o 1 (MLD y
Theil)Theil)
La ponderacion de la desigualdad de cada partición La ponderacion de la desigualdad de cada partición jj, ,
j j = = jj11−−ssjj
= 0 = 0 j j = = jj (pesos poblacionales)
= 1 = 1 j j = = ssjj (proporción de renta)
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Descomposición del MLD
N
iixN
I10 log
1)(
x
kkjk
j
jBW IxInwIII 1,...,1, 11
0010 x
j
N
i
N
ii
j
j
k
j
j
NxNN
N j
log1
log1
111
j
k
j
j
i
jN
ij
N
i N
N
xNNj
loglog11
111
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Descomposición de Atkinson (1)
Recordar: Recordar: AA miden la proporción de la renta que se miden la proporción de la renta que se
puede ahorrar al pasar de la distribución original a una puede ahorrar al pasar de la distribución original a una
con igualdad total, manteniendo el bienestar social.con igualdad total, manteniendo el bienestar social.
C
N
NC
N
N
N
NA
1
Xavi R
amos:
Xavi R
amos: E
conomía de la P
obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 41
Descomposición de Atkinson (2) Dado un vector de rentas Dado un vector de rentas xx = ( = (xx11, ..., , ..., xxkk) y la partición ) y la partición NN = ( = (NN11, ..., , ..., NNkk), ),
considera 3 vectores con el mismo nivel de bienestar social:considera 3 vectores con el mismo nivel de bienestar social:
(a)(a) xx = ( = (xx11, ..., , ..., xxkk),), distribución originaldistribución original(b)(b) ((11 11nn11, ...,, ..., kk 1 1nknk)) sin disparidades dentro de los grupossin disparidades dentro de los grupos
(c)(c) (( 11nn)) igualdad totaligualdad total
La desigualdad La desigualdad intraintra grupos se mide como la proporción de renta grupos se mide como la proporción de renta ahorrada al pasar de (a) a (b):ahorrada al pasar de (a) a (b):
La desigualdad La desigualdad interinter grupos se mide como la proporción de renta grupos se mide como la proporción de renta ahorrada al pasar de (b) a (c).ahorrada al pasar de (b) a (c).
n
nA
k
j
jj
W
11
k
j
jj
Bn
nA
1
1
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amos:
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conomía de la P
obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 42
Descomposición de Atkinson (3)
Para los índices de Atkinson, la interpretación del Para los índices de Atkinson, la interpretación del componente componente interinter grupos es muy distinta: grupos es muy distinta: FEGFEG: desigualdad que resultaría si todos los individuos : desigualdad que resultaría si todos los individuos
tuvieran la tuvieran la renta media renta media de su grupo.de su grupo. AtkinsonAtkinson: desigualdad que resultaría si todos los : desigualdad que resultaría si todos los
individuos tuvieran la individuos tuvieran la renta equivalente igualmente renta equivalente igualmente distribuidadistribuida de su grupo.de su grupo.
Finalmente, la descomposición del índice de Finalmente, la descomposición del índice de Atkinson no es Atkinson no es aditivaaditiva, por lo que pierde atractivo empírico:, por lo que pierde atractivo empírico:
AA = = AAWW + + AABB + + AAWW··AABB
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obreza y la Desigualdad
Econom
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esigualdad 43
Descomposición de Atkinson (4)
IlustraciónIlustración para diferenciar las 2 descomposiciones para diferenciar las 2 descomposiciones
Población con Población con 2 hombres con rentas (10, 10) y 2 hombres con rentas (10, 10) y 2 mujeres con rentas (18, 2).2 mujeres con rentas (18, 2).
Con FEG, Con FEG, IIBB = 0, ya que = 0, ya que hh = = mm = 10 = 10 Sin embargo, hombres y mujeres no reciben el mismo Sin embargo, hombres y mujeres no reciben el mismo
trato. trato. La mitad de las mujeres reciben menos renta que los La mitad de las mujeres reciben menos renta que los
hombreshombres Ex-ante es más atractivo recibir la renta de un hombre, Ex-ante es más atractivo recibir la renta de un hombre,
ya que la de una mujer conlleva un riesgo mayor.ya que la de una mujer conlleva un riesgo mayor.
La descomposición de La descomposición de AA permite recoger estas permite recoger estas diferencias, ya que diferencias, ya que ≠≠ ( ( >0), >0), AABB > 0. > 0.
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amos:
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obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 44
Gini no se descompone aditivamente
¿A qué es debido?¿A qué es debido? Recuerda que el coeficiente de Gini Recuerda que el coeficiente de Gini
depende de las posiciones:depende de las posiciones:
Sólo se descompondrá en dos términos Sólo se descompondrá en dos términos cuando las particiones no se solapen en cuando las particiones no se solapen en términos de rentatérminos de renta
VeámosloVeámoslo
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amos:
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conomía de la P
obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 45
x*
N1 N2
0
x**N1
x'x
Caso 2: el efecto sobre el Gini es proporcional a [i-j]: difiere entre el subgrupo y la población
x'x
Caso 1: el efecto sobre el Gini es proporcional a [i-j]: es la misma en el subgrupo y en la población
x
El Gini y la descomponibilidad Grupos de renta que se solapan
Considera una transferencia: Caso1
Considera una transferencia: Caso 2
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amos:
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conomía de la P
obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 46
Descomposición por fuentes (1) ObjetivoObjetivo: cuantificar qué parte de la desigualdad total se puede : cuantificar qué parte de la desigualdad total se puede
atribuir a la desigualdad en cada uno de los diferentes tipos de atribuir a la desigualdad en cada uno de los diferentes tipos de renta según su procedencia.renta según su procedencia.
IntuiciónIntuición: existe una correlación entre las distribuciones de los : existe una correlación entre las distribuciones de los factores de renta, que habrá que decidir como se asigna a la factores de renta, que habrá que decidir como se asigna a la contribución de cada uno de los factores a la desigualdad total.contribución de cada uno de los factores a la desigualdad total.
La literatura utiliza la ‘La literatura utiliza la ‘descomposición natural de la varianzadescomposición natural de la varianza’ ’ de un índice, que mide la contribución de cada fuente como la de un índice, que mide la contribución de cada fuente como la dispersión de cada fuente más la mitad de los efectos de dispersión de cada fuente más la mitad de los efectos de interacción en los que interviene.interacción en los que interviene.
Por ejemplo, la contribución absoluta de la fuente Por ejemplo, la contribución absoluta de la fuente ff, , SSff, según , según el el CVCV22 o o II22 es es
SSff = cov( = cov(xxff, , xx)/)/ 22
Mientras que la contribución relativa, Mientras que la contribución relativa, ssff, es, es
ssff = = SSff / /II22 = cov( = cov(xxff, , xx)/)/22
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conomía de la P
obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 47
Descomposición por fuentes (2) Shorrocks (1982) demuestra que Shorrocks (1982) demuestra que sólosólo las contribuciones relativas las contribuciones relativas
correspondientes a la ‘descomposición natural de la varianza’ satisfacen correspondientes a la ‘descomposición natural de la varianza’ satisfacen 6 axiomas.6 axiomas.
Además, demuestra que esta regla es independiente del índice de Además, demuestra que esta regla es independiente del índice de desigualdad empleado. Todas proporcionan las mismas contribuciones desigualdad empleado. Todas proporcionan las mismas contribuciones relativas.relativas.
Los 6 axiomas son:Los 6 axiomas son: el índice de desigualdad es el índice de desigualdad es continuocontinuo y y simétricosimétrico las fuentes de renta son las fuentes de renta son continuascontinuas y y simétricassimétricas las contribuciones las contribuciones no dependen del nivel de agregación no dependen del nivel de agregación (la (la
contribución de las transferencias monetarias es la misma que los contribución de las transferencias monetarias es la misma que los componentes de dichas transferencias)componentes de dichas transferencias)
la suma de todas las contribuciones la suma de todas las contribuciones suma la desigualdad totalsuma la desigualdad total la contribución de una fuente es la contribución de una fuente es cero cero si todos los individuos si todos los individuos reciben reciben
la misma renta la misma renta de esa fuente.de esa fuente. con sólo dos fuentes de renta, dónde una es permutación de la otra, con sólo dos fuentes de renta, dónde una es permutación de la otra,
las contribuciones deben ser iguales.las contribuciones deben ser iguales.
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obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 48
Descomposición por fuentes (3)
Cómo definir una contribución absolutaCómo definir una contribución absoluta??
(a) (a) SSaaff = = II((xxff). La contribución de cada fuente coincide con ). La contribución de cada fuente coincide con su su
desigualdaddesigualdad..(b) (b) SSbb
ff = = II((xx) -) - I I((x - xx - xff). La contribución de cada factor coincide ). La contribución de cada factor coincide con la variación en los niveles de desigualdad cuando con la variación en los niveles de desigualdad cuando suprimimos esa fuente de rentasuprimimos esa fuente de renta..
(c) (c) SSccff = = II((xxff + + - - ff). La contribución de cada fuente coincide ). La contribución de cada fuente coincide
con la desigualdad que observamos cuando ésta es la con la desigualdad que observamos cuando ésta es la única única fuente de renta que genera desigualdadfuente de renta que genera desigualdad. Esto es, cuando las . Esto es, cuando las demás fuentes de renta se distribuyen uniformemente, demás fuentes de renta se distribuyen uniformemente, asignando a cada hogar la media global de dicha fuente.asignando a cada hogar la media global de dicha fuente.
(d) (d) SSddff = = II((xx) - ) - II((x - xx - xff + + ff). ). La contribución de cada fuente La contribución de cada fuente
coincide con la variación de la desigualdad cuando coincide con la variación de la desigualdad cuando eliminamos la dispersión en esa fuente de rentaeliminamos la dispersión en esa fuente de renta. Eso es, . Eso es, cuando la fuente se distribuye uniformemente entre los cuando la fuente se distribuye uniformemente entre los individuos.individuos.
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obreza y la Desigualdad
Econom
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esigualdad 49
Descomposición por fuentes (4) Estas 4 contribuciones no proporcionan el mismo resultado. Estas 4 contribuciones no proporcionan el mismo resultado. Tomamos el índice Tomamos el índice II22 y las dos últimas para ejemplificarlo: y las dos últimas para ejemplificarlo:
2
2
2 f
ffcf IS
xμμx
2
2
22
,cov2
fff
ffdf IIS
xxxxμxxx
La interpretación (La interpretación (cc) produce una contribución que ignora las ) produce una contribución que ignora las interacciones, mientras que la (interacciones, mientras que la (dd) asigna todas las interacciones de la ) asigna todas las interacciones de la fuente a su contribución.fuente a su contribución.
La descomposición propuesta en Shorrocks (1982) responde a la La descomposición propuesta en Shorrocks (1982) responde a la media de estas dos contribuciones.media de estas dos contribuciones.
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obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 50
Seleccionar un índice de desigualdad
Queremos un índice intuitivo?Queremos un índice intuitivo? Entonces, sobre qué fundamentamos dicha intuición?Entonces, sobre qué fundamentamos dicha intuición?
Necesitamos que sea descomponible?Necesitamos que sea descomponible? En caso afirmativo, escogeremos entre algunos pocosEn caso afirmativo, escogeremos entre algunos pocos
Queremos una interpretación en términos de bienestar?Queremos una interpretación en términos de bienestar? Qué propiedades queremos que cumpla?Qué propiedades queremos que cumpla?
Importan estas decisiones?Importan estas decisiones? Ejemplo 1: Desigualdad Absoluta/Relativa para el mundoEjemplo 1: Desigualdad Absoluta/Relativa para el mundo Ejemplo 2: tendencia para USEjemplo 2: tendencia para US
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obreza y la Desigualdad
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esigualdad 51Atkinson y Brandolini. (2004)
Indices Absolutos vs Relativos
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obreza y la Desigualdad
Econom
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esigualdad 52
Desigualdad en US
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
19
65
19
70
19
75
19
80
19
85
19
90
19
95
20
00
20
05
GiniGE0GE1A.25A.50A.75
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obreza y la Desigualdad
Econom
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esigualdad 53
Sensibilidad de un índice de desigualdad
Cómo medir la sensibilidad a los cambios Cómo medir la sensibilidad a los cambios distributivos en las colas de la distribución?distributivos en las colas de la distribución? Calcular la función de influencia (IF): reacción Calcular la función de influencia (IF): reacción
del índice ante incorporacíones infinitesimales del índice ante incorporacíones infinitesimales de renta (en las colas)de renta (en las colas)
Define una distribución mixtaDefine una distribución mixta
GG = (1- = (1- ) ) F F + + H H
La IF se puede calcular como:La IF se puede calcular como:
IF = IF = II((GG )/ )/ | | = 0 = 0
distribución de interésdistribución de interés
distribución ‘perturbación’: asigna una massa de 1 en un nivel arbitrariamente alto o bajo de renta, z.
distribución ‘perturbación’: asigna una massa de 1 en un nivel arbitrariamente alto o bajo de renta, z.
0 < < 10 < < 1
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obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 54
IF de los índices de desigualdad ¿Cómo se comportan los índices?¿Cómo se comportan los índices?
Indices de EG(Indices de EG(>1) son muy sensibles a cambios >1) son muy sensibles a cambios en la cola altaen la cola alta
Indices de EG(Indices de EG(<0) y A(<0) y A(>1>1) son muy sensibles a ) son muy sensibles a cambios en la cola bajacambios en la cola baja
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obreza y la Desigualdad
Econom
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esigualdad 55
IF de los índices de EG
RIF=IF[I(F)]/I(F)RIF=IF[I(F)]/I(F)
(=2) RIF crece rápido para valores altos de z
(=2) RIF crece rápido para valores altos de z
(=-2) RIF crece rápido para valores bajos de z
(=-2) RIF crece rápido para valores bajos de z
Gini crece más rápido para valores intermedios de z
Gini crece más rápido para valores intermedios de z
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conomía de la P
obreza y la Desigualdad
Econom
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esigualdad 56
IF de los índices de Atkinson
RIF=IF[I(F)]/I(F)RIF=IF[I(F)]/I(F)
(=0.05) RIF crece rápido para valores altos de z
(=0.05) RIF crece rápido para valores altos de z
(=2) RIF crece rápido para valores bajos de z(=2) RIF crece rápido para valores bajos de z
Xavi R
amos:
Xavi R
amos: E
conomía de la P
obreza y la Desigualdad
Econom
ía de la Pobreza y la D
esigualdad 57
Distribución contaminadaDistribución contaminada
Efecto de valores extremos IF difícil de interpretar.IF difícil de interpretar. Multiplicamos (dividimos) la renta más alta (baja) por 10 y Multiplicamos (dividimos) la renta más alta (baja) por 10 y
evaluamos su impacto con:evaluamos su impacto con:
RC = [RC = [II((FF) - ) - II((FF*)]/*)]/II((FF))
El efecto sobre I(F) es mayor cuanto mayor es
El efecto sobre I(F) es mayor cuanto mayor es
El efecto sobre I(F) es mayor cuanto menor es
El efecto sobre I(F) es mayor cuanto menor es
El Gini es poco sensible a cambos en cualquiera de las
colas
El Gini es poco sensible a cambos en cualquiera de las
colas