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MECÂNICA - ESTÁTICA
Vetores Forças
Cap. 2
TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2
Objetivos
Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.
Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.
Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.
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2.5 Vetores Cartesianos
Sistema de Orientado de Coordenadas (Mão Direita):
O dedão da mão direita aponta
para a direção z+. Os demais dedos se curvam a partir da
direção x+ para a direção y+
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2.5 Vetores Cartesianos
Componentes Retangulares de um Vetor:
A = A' + Az
A' = Ax + Ay
Þ A = Ax + Ay + Az
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2.5 Vetores Cartesianos
Vetor Unitário:A direção e o sentido de A pode ser especificado por um vetor unitário uA
A
A
u
uA
Au
de módulo o define positivo)(escalar
de sentido o e direção a define que
al.adimension vetor um é
A
AA
A
A
A
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2.5 Vetores Cartesianos
Vetores Cartesianos
Unitários:
Em três dimensões o conjunto
de vetores unitários é i, j e k.
i, j e k são usados para
designar, respectivamente, as
direções dos três eixos x, y e z.
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2.5 Vetores Cartesianos
kjiA zyx AAA Representação de Vetores Cartesianos:
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2.5 Vetores Cartesianos
Módulo de um Vetor Cartesiano:222zyx AAAA
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2.5 Vetores Cartesianos
Direção de um Vetor Cartesiano:
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A
AzcosA
AxcosA
Aycos
2.5 Vetores Cartesianos
Direção de um Vetor Cartesiano:
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2.5 Vetores Cartesianos
1coscoscos
1 que Desde
cos cos cos
Mas
coscoscos
222
A
A
zyxA
zyx
u
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
kjiu
kjiA
u
Direção de um Vetor Cartesiano:
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2.5 Vetores Cartesianos
kjiA zyx AAA Representação de Vetores Cartesianos:
kji
kji
uA
zyx
A
AAA
AAA
A
cos cos cos
:Conferindo
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2.6 Adição e Subtração de Vetores Cartesianos
kjiR
BAR
kjiR
BAR
kjiB
kjiA
)()()(
)()()(
zzyyxx
zzyyxx
zyx
zyx
BABABA
BABABA
BBB
AAA
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2.6 Adição e Subtração de Vetores Cartesianos
kjiFFR zyx FFF
esConcorrent Forças de Sistema
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Problema 2.59
Determine o módulo e os ângulos diretores de:
F1 = {60i – 50j + 40k}N
e
F2 = {-40i –85j +30k}N
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Problema 2.59 - Solução
1
2 2 21
11
11
11
1
1
1
1
1
{60i – 50 j 40k} N
(60) ( 50) (40)
60cos
87.750
50cos
87.750
40c
87.7 N
46.8
125
62os 87.7
.9
8
50
7.750 NF FF
F
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Problema 2.59 - Solução
2
2 2 22
12
12
1
2 2
2
2
22
{-40i –85 j 30k} N
( 40) ( 85) (30)
40cos
98.615
85cos
98.6
98.6 N
114
150
7
98.615 N
15
30cos
98.6152.3
F FF
F
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Exemplo 2.A
Três forças atuam no gancho. Se a força
resultante possui a direção e módulos mostrados,
determine
o módulo
e direção de F3.
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Exemplo 2.A - Solução
3 3 3
Vetores Cartesianos:
120 cos 45 sin 30 cos 45 cos30 sin 45
42.426 73.485 84.853 N
4 3 80 N
5 5
64 48 N
110 N
Nx y z
F F F
R
R
1
1
2
3
F i j k
F i j k
F i k
F i k
F k
F i j k
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Exemplo 2.A - Solução
3 3 3
42.426 73.485 84.853 N
64 48 N
110 N
N
Força Resultante:
x y zF F F
R
1
2
3
R 1 2 3
F i j k
F i k
F k
F i j k
F F F F
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Exemplo 2.A - Solução
3 3 3
3 3
3 3
3
Força Resultante:
42.426 73.485 84.853 64 48 110
Igualando os componentes , e
64 42.426 21.574 N
73.485 73.485 N
48 110 84
x y z
x x
y y
z
F F F
F F
F F
F
i j k i j k
i j k
3.853 146.85 N
21.574 73.485 146.85 Nz
F
3 F i j k
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Exemplo 2.A - Solução
32 2 2
3
1
3
1
166
21.574 73.485 146.85 N
O módulo de é:
( 21.574) (73.485) (146.85)
Os ângulos diretores de são:
21.57cos
165.62
73.48cos
1
1
65.62
N
97.5
65.62 NF F F
3
3
3
F i j k
F
F
1 146.85cos
165.
63.7
27.62
5
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2.7 Vetores Posição
Coordenadas x, y, z:Sistema orientadoeixos z sentido zenitalx e y residem no mesmo
plano horizontalPontos no espaço são
localizados em relação a origem do sistema, O.
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2.7 Vetores Posição
Vetor Posição:
O vetor posição, r, é definido como um vetor fixo que localiza um ponto no espaço em relação a um outro ponto.
r = x i + y j + z k r = x i + y j + z k
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2.7 Vetores Posição
( , , ) , ( , , )
( ) ( ) ( )
A A A B B B
B A B A B A
A x y z B x y z
x x y y z z
A B
AB B A
r r r
r r r r
r i j k
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Problema 2.B
Determine a
distância entre os
pontos A e B de um
cabo, encontrando o
vetor posição de A
para B e
determinando o seu
módulo.
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Problema 2.B - Solução
2 2 2
( 3sin 30 ,3cos30 ,1);
(8sin 60 ,8cos60 , 2)
(8sin 60 ( 3sin 30 ))
(8cos60 3cos30 )
( 2 1)
8.4282 1.4019 3
(8.4282) (1.4019) (3)
9.06 inAB
AB
A
r
B
r
AB
AB
i
r j
k
r i j k
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2.8 Vetor Força Direcionado ao Longo de uma Linha
A direção da força é especificada por dois pontos que definem sua linha de ação.A força F esta orientada ao longo da corda AB.F tem a mesma direção e sentido que rAB.A direção comum é especificada pelo vetor unitário u.
rFF
r
ruF
ru
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Problema 2.C
Determine o módulo
e os ângulos
diretores da força
resultante.
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Problema 2.C - Solução
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Problema 2.C - Solução
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Problema 2.C - Solução
AC
R AB AC
R
R
2 2 2
268.33 536.66 N
242.54 363.80 242.54 N
242.54 ( 268.33 363.80)
(536.66 242.54)
242.54 95.470 779.20
(242.54) (95.470) (77
822 N821.64
9. 0
N
2 )
A
R
RR
B
FF
F
F j k
F i j k
F F F
i jF
k
F i j k
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Problema 2.C - Solução
1
1
1
242.54 95.470 779.20
242.54cos
82172.
.64
95.470cos
821.64
779.20cos
821.64
821.
8
83.3
162
64 NR
R
F
F i j k
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Exemplo 2.B
A janela é mantida aberta
pela corrente AB. Determine
o comprimento da corrente,
expresse a força de 50-lb
atuando em A, ao longo da
corrente como um vetor
cartesiano e determine seus
angulos diretores.
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Exemplo 2.B - Solução
Az
Ax
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Exemplo 2.B - Solução
1
1
19.1
19.069 14.935 43.74
Vetor Força:
50 19.05i 15.00 j 43.75k lb
Ângulos Diretores:
50 lb
Assim:
19.069cos
50
14.935cos
2
15.0 43.7 lb
112
107
lb
50
co
AB AB
AB
AB
AB
F
F i j k
F i j k
F u
1 43.742s
5029.0