MATRIKS

Matematika-2

m=baris n=kolom ordo=mxn

amnamam

naaanaaa

A

21

2222111211

Operasi pada matriks:

Penjumlahan (dan pengurangan) berlaku untuk matriks-matriks berukuran samaA + B = (aij + bij)

Perkalian skalar terhadap matriksλ.A = (λ.aij)

Berlaku:- A + B = B + A (hk. komutatif)- (A + B) + C = A + (B + C) (hk. asosiatif)- λ.(A + B) = λ.A + λ.B (hk. distributif)

Perkalian matriksA.B = C

Syarat:- Banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris

matriks B- Jika matriks A=(aij) berukuran (pxq) dan B=(bij)

berukuran (qxr) maka C=(cij) berukuran (pxr) dimana:cij = ai1.b1j + ai2.b2j + … + aiq.bqj

Berlaku:- A.(B + C) = A.B + A.C (hk. distributif)

(B + C).A = B.A + C.A- A.(B.C) = (A.B).C (hk. asosiatif)

Transpose dari suatu matriks

Transpose dari matriks A=(aij) yang berukuran mxn adalah AT = (aji)yang berukuran nxm.

Sifat matriks transpose:- (A+B)T = AT + BT

- (AT)T = A- λ.(AT) = (λ.A)T

- (A.B)T = BT.AT

Determinan

bcaddcba

Cara Sarrus (untuk matriks 3x3):

Sifat-sifat determinan: det(A) = det(AT) Tanda determinan berubah bila 2 baris /

kolom ditukar tempatnya Harga determinan menjadi λ kali jika suatu

baris / kolom dikalikan dengan λ (suatu skalar)

Harga determinan tidak berubah jika baris / kolom ke-i ditambah dengan λ baris / kolom ke-j

Minor dan Kofaktor

Minor dari elemen aij suatu matriks A=(aij) adalah |Mij|

Kofaktor dari aij adalah (-1)i+j. |Mij| Minor dan kofaktor merupakan suatu skalar

Contoh:

Minor dari elemen a32 =

Kofaktor dari elemen a32 =

A32 = (-1)3+2.(-6) = 6

198765432

A

65.47.27542

32 M

Tanda dari kofaktor elemen-elemen aij

dari matriks dapat disimpulkan sbb.:

............

...

...

...

Beberapa matriks khusus:

Matriks bujur sangkar: matriks dengan banyak baris = banyak kolomcontoh matriks bujur sangkar berukuran 3 :

198765432

A

Matriks nol: matriks yang semua elemennya 0

Matriks diagonal: matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah 0

300010002

Matriks identitas: matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya = 1

Matriks skalar: matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utamanya = k

100010001

400040004

Matriks segitiga bawah: matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas

diagonal utama = 0

Matriks segitiga atas: matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0

401023001

400210231

Matriks simetris: matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri

Matriks antisimetris: matriks yang transposenya adalah negatifnya

110132021

110132021

TAA

031301110

A AAT

031301

110