Post on 16-Mar-2021
Graad 11 Dag 15 Finansiële Wiskunde _________________________________________________________________________________________________
Matrieks: Doen asb. die hersiening van Gr11 Finansies. Dit is deel van die Junie eksamen. (± 10 punte in vraestel 1) Werk deur die voorbeelde en doen die oefeninge vanaf bl. 17. Gebruik asb. die tyd om solank jou gr11 werk te leer, ons weet nie hoeveel tyd gaan jy hê om the leer vir die eksamen nie. Onthou die eksamen werk en vorige vraestelle is beskikbaar op Moodle. http://e-learn.gc.co.za/moodle/course/view.php?id=214
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 2
Enkelvoudige rente
In die geval word rente bereken slegs op die totale bedrag wat geleen of belê word.
Rente op ʼn bedrag geld wat geleen of belê is, sonder dat die rente by die oorspronklike bedrag getel
word, noem ons enkelvoudige rente, d.w.s. korttermynlening.
Die formule vir enkelvoudige rente
A = P(1 + i.n)
P = die hoofsom d.w.s. oorspronklike bedrag wat geleen of belê word.
A = die eindbedrag d.w.s die hoofsom P plus die rente.
i = rentekoers per jaar.
n = aantal jare
Voorbeeld 1
Frans belê R120 000 in ʼn bank. Aan die einde van elke jaar word die rente onttrek om vir sy jaarlikse
vakansie te betaal.
Aan die einde van 12 jaar onttrek hy die laaste jaar se rente sowel as die oorspronklike deposito.
Bereken:
a) die totale bedrag wat oor 12 jaar uit sy rekening getrek is as die bank 9% p.j. rente betaal.
b) die totale bedrag rente wat verdien is.
Oplossing
a) Probleem: enkelvoudige rente omdat die rente onttrek word en nie by die oorspronklike
bedrag getel word nie.
i = 9% = 9
0,09100
P = 120 000
n = 12
A = ?
A = P(1 + i.n)
= 120 000(1 + (0,09)(12))
= R249 600
b) Rente verdien = A – P
= 249 600 – 120 000
= R 129 600
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 3
Saamgestelde rente Rente word op rente verdien.
Die formule vir saamgestelde rente
A = nP(1 + i)
P = hoofsom of kapitaal of oorspronklike bedrag belê of geleen is.
A = die geakkumuleerde kapitaal d.w.s. oorspronklike bedrag plus rente
n = die aantal jare
i = rentekoers per jaar
Voorbeeld
Om ʼn klein besigheid te begin, word R70 000 geleen. Na vyf jaar word die lening in een bedrag afbetaal.
Bereken in elk van die volgende gevalle hoeveel geld benodig word om die betrokke lening af te betaal.
a) Rente word bereken teen 12% p.j. enkelvoudige rente
b) Die rente word teen 12% p.j. jaarliks saamgestel, bereken
Oplossing
a) P = 70 000
n = 5
i = 12% = 0,12
A = ?
A = P(1 + i.n)
= 70 000[1 + (0,12)(5)]
= R 112 000
b) A = nP(1 + i)
= 70 000 5
1 0,12
= R 123 363, 92
Jy sal opmerk dat R11 363, 92 meer rente in (b) betaal is as in (a)
Voorbeeld
Tobie belê R30 000 in ʼn pensioenfonds vir ʼn tydperk van 8 jaar. Die belegging groei tot ʼn totale bedrag van
R65 000 na 8 jaar.
a) Bereken die rentekoers per jaar, jaarliks saamgestel, wat dieselfde opbrengs sal lewer.
b) Bereken die rentekoers per jaar wat teen enkelvoudige rente dieselfde opbrengs sal gee.
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 4
Oplossing
A = 65 000
P = 30 000
n = 8
i = ?
a) A = nP(1 + i)
n
n
n
8
A(1 + i)
P
A 1 + i =
P
A i = 1
P
65000 = 1
30000
= 1,10147 1
= 0,10147
i = 10,15 % p.j. jaarliks saamgestel. (Rond af in die laaste stap)
b) A = P(1 + i.n)
A1 + i.n =
P
A i.n = 1
P
A1
P i = n
650001
30000 = 8
= 0,14583
i = 14,58 % p.j.
Verskillende samestellings periodes
Saamgestelde rente word gegee as ʼn jaarlikse koers, maar rente kan oor korter tydperke gedurende ʼn jaar
bereken word.
Jaarliks - een keer per jaar (1 jaar → n = 1)
Halfjaarliks - twee keer per jaar (1 jaar → n = 2)
Kwartaalliks - vier keer per jaar (1 jaar → n = 4)
Maandeliks - 12 keer per jaar (1 jaar → n = 12)
Daagliks - 365 keer per jaar (1 jaar → n = 365)
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 5
Voorbeeld
R45 000 word in ʼn spaarrekening gedeponeer. Bereken in elk van die volgende gevalle wat die waarde van
die deposito na 7 jaar sal wees as die rentekoerse soos volg is:
a) 14% p.j. jaarliks saamgestel
b) 14% p.j. kwartaalliks saamgestel
c) 14% p.j. maandeliks saamgestel
d) 14% p.j. daagliks saamgestel
Oplossing
a) P = 45 000; i = 14% = 14
0,14100
; n = 7; A = ?
A n=P(1 + i)
7
7
45000(1 + 0,14)
45000(1,14)
R112 602,10
b) P = 45 000; im = 14
0,14100
; m = 4; n = 7; A = ?
m nmi
A P 1m
7 40,14
45000 1 + 4
R117 907,74
c) P = 45 000; im = 14
0,14100
; m = 12; n = 7; A = ?
m nmi
A P 1m
7 120,14
45000 1 + 12
R119 222,31
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 6
d) P = 45 000; im = 14
0,14100
; m = 365; n = 7; A = ?
m nmi
A P 1m
7 3650,14
45000 1 + 365
R119 878,00
LET OP: Hoe meer dikwels die rente bygevoeg word, hoe groter is die effektiewe rentekoers. Bv 14% p.j.
daagliks saamgestel sal ʼn groter opbrengs lewer as 14% p.j. maandeliks saamgestel.
Nominale en effektiewe rentekoerse
Nominale rentekoerse die rentekoers neem nie verskillende saamgesteldeperiodes wat korter is as die
jaarlikse tydperk, in ag nie. Bv 11% per jaar, kwartaalliks saamgestel, 11% is nominale rentekoers.
Effektiewe rentekoerse – Die ekwivalente jaarlikse rentekoers noem ons die effektiewe rentekoers.
Bv 11,462% per jaar, jaarliks saamgestel gaan dieselfde wees as die 11% per jaar, kwartaallikse saamgestel.
Die simbool i = effektiewe rentekoers
im = nominale rentekoers saamgestel (m) keer per jaar.
Voorbeelde van nominale rentekoerse
1) 8% p.j. kwartaalliks saamgestel
Nominale rentekoers 4i = 0,08
Kwartaallikse rentekoers 0,08
0,024
n = 1 4 4
2) 14% p.j. maandeliks saamgestel kan geskryf word as 12i 0,14
Nominale rentekoers 12i 0,14
Maandelikse rentekoers 0,14
0,011612
n = 1 12 12
3) 7% p.j. daagliks saamgestel
Nominale rentekoers 365i 0,07
Daaglikse rentekoers 0,07
0,00019365
n = 1 365 365
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 7
Voorbeeld
R8 000 is in ʼn spaarrekening gedeponeer vir een jaar teen ʼn rentekoers van 13,5% p.j. kwartaalliks
saamgestel.
a) Wat is die nominale rentekoers?
b) Wat is die kwartaallikse rentekoers?
c) Bereken die totale bedrag geld in die rekening opgehoop aan die einde van een jaar.
d) Bereken die effektiewe jaarlikse rentekoers.
Oplossing
a) Nominale rentekoers = 4i = 13,5% p.j.
b) Kwartaallikse rentekoers = 0,135
0,033754
c) P = 8 000
i = 0,135
0,033754
n = 4
A = nP(1 + i)
4
4
8000(1 0,03375)
8000(1,03375)
R9135,92
d) A = 9 135,92
P = 8 000
n = 1
A = nP(1 + i)
n
n
1
A1 i =
P
A i = 1
P
9135,92 i = 1
8000
i = 0,14199
i = 14,2% p.j.
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 8
Die formule om nominale rentekoerse na effektiewe rentekoerse en effektiewe rentekoerse na nominale
rentekoerse te herlei.
mmi
1 i 1m
i = effektiewe rentekoers
m = die kere per jaar wat die nominale rentekoerse saamgestel is
im = nominale rentekoers
Voorbeelde
1) Herlei 11% p.j. kwartaalliks saamgestel, na die effektiewe jaarlikse rentekoers
2) Herlei ʼn effektiewe jaarlikse rentekoers van 14,2% p.j. na ʼn nominale jaarlikse rentekoers
wat maandeliks saamgestel word.
Oplossing
1) 4i = 11% = 11
0,11100
m = 4
mm
4
i1 i 1
m
0,111 i 1
4
1 i 1,11462
i 0,11462
Effektiewe rentekoers = 11,46% p.j. korrek tot twee desimale plekke.
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 9
2) i = 14,2% = 14,2
0,142100
m = 12
mm
1212
12
12
12
12
12
i1 i 1
m
i1 0,142 1
12
i1 1,142
12
i1 1,01112....
12
i 0,01112....
12
i 0,1335....
13,35% nominale rentekoers per jaar
Voorbeeld
R15 000 word in ʼn spaarrekening gedeponeer. Die rentekoers is 11% p.j. maandeliks saamgestel.
a) Bereken die effektiewe rentekoers per jaar.
b) Bereken die waarde van die spaarrekening aan die einde van 8 jaar deur die effektiewe jaarlikse
rentekoers, jaarliks saamgestel te gebruik.
Oplossing
a)
mmi
1 i 1m
1212
12
i1 i 1
12
0,111 i 1
12
i 0,115719
i 11,57%
b) A = nP(1 + i)
= 15 000(1 + 0,115718...)8
= R 36 018,81 (afgerond tot die naaste sent)
Alternatief kan (a) en (b) in een berekening gekombineer word.
A = Bedrag aan die einde
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 10
P = Hoofsom wat belê is
m = aantal periodes (maandeliks, kwartaalliks, daagliks, ens.)
n = aantal jare
A = nP(1 + i)
mm
m nm
12 8
96
i1 i 1
m
iA P 1
m
0,11A 15000 1
12
0,11 15000 1
12
R36018,81 (korrek tot die naaste sent)
Hierdie formule kan gebruik word as ʼn hoofsom P belê word vir n jaar teen ʼn nominale
koers im % p.j., m keer per jaar saamgestel
m nmi
A P 1m
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 11
Veranderende rentekoerse
Voorbeeld
R 5700 word in ʼn spaarrekening gedeponeer en 2 jaar later word ʼn verdere R1900 in die rekening belê. Na 5
jaar word ʼn finale deposito van R4100 bygevoeg. Vir die eerste 3 jaar is die rentekoers 13% p.j. kwartaalliks
saamgestel. Daarna vermeerder dit tot 11,2% p.j. maandeliks saamgestel. Bereken hoeveel geld in totaal in
die rekening is aan die einde van 8 jaar.
1) Beskou die eerste deposito van R5700
Aan die einde van 3 jaar is die geakkumuleerde bedrag:
m nmi
A P 1m
4 30,13
5700 1 + 4
Na 3 jaar verander die rentekoers en vir die volgende 5 jaar is die rentekoers 11,2% p.j. maandeliks
saamgestel.
Aan die einde van die 8 jaar is die geakkumuleerde bedrag:
4 3 12 5
0,13 0,1125700 1 + 1 +
4 12
2. Beskou die tweede deposito van R1900
Aan die einde van die derde jaar het dit geakkumuleer tot:
m nmi
A P 1m
4 10,13
1900 1 + 4
Vir die volgende 5 jaar is die rentekoers 11,2% p.j. maandeliks saamgestel. Aan die einde van die 8 jaar is
die geakkumuleerde bedrag: 4 1 12 5
0,13 0,1121900 1 + 1 +
4 12
T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
R5700 R1900 R4100
13% p.j.
kwartaaliks
11,2% p.j. maandeliks
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 12
3. Beskou die laaste deposito van R4100
Dis belê vir 3 jaar teen 11,2 % p.j. maandeliks saamgestel.
Aan die einde van die 8 jaar is die geakkumuleerde bedrag:
T8:
m nmi
A P 1m
12 30,112
4100 1 + 4
Dus, die totale bedrag aan die einde van 8 jaar:
4 3 12 5
0,13 0,1125700 1 + 1 +
4 12
+
4 1 12 50,13 0,112
1900 1 + 1 + 4 12
+
12 30,112
4100 1 + 4
= R24 108,19
Voorbeeld 2
R120 000 word vir 5 jaar in die effektemark belê. Vir die eerste 3 jaar was die vasgestelde rentekoers
11,25% p.j. kwartaalliks saamgestel. Daarna is dit verander na 9,75% p.j. maandeliks saamgestel. Een
onttrekking van R40 000 is na 18 maande gemaak. Bereken die bedrag geld wat na 5 jaar beskikbaar sou
wees.
Oplossing:
In die geval word die tydlyn kwartaalliks (d.i. elke 3 maande ) ingedeel:
Net soos in die vorige voorbeeld sal ons afsonderlik met die waarde van die deposito en die onttrekking by
T5 werk. Dan sal ons die onttrekking aftrek van die deposito.
1. Beskou die deposito van R120 000
Ie rentekoers was 11,2 % p.j. kwartaalliks saamgestel vir 3 jaar.
By T3:
m nmi
A P 1m
4 30,1125
120000 1 + 4
11,25% p.j.
kwartaaliks
9,75% p.j. maandeliks
T2
R40000
T0 T1 T3 T4 T5
R120000 R4100
18 maande
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 13
By T5:
m nmi
A P 1m
4 3 12 20,1125 0,0975
120000 1 + 1 + 4 12
2. Beskou die onttrekking van R40 000
By T3 is die bedrag onttrek, tesame met rente:
m nmi
A P 1m
4 1.5
6
0,112540000 1 +
4
0,112540000 1 +
4
By T5 sal die bedrag tesame met die rente geakkumuleer die volgende wees:
m nmi
A P 1m
6 12 20,1125 0,0975
40000 1 + 1 + 4 12
Die finale geakkumuleerde bedrag by T5 is 4 3 12 2
0,1125 0,0975120000 1 + 1 +
4 12
6 12 20,1125 0,0975
40000 1 + 1 + 4 12
= R 145 902,52
Waardevermindering (Depresiasie)
Waardevermindering is die daling in waarde van ʼn bate as gevolg van ouderdom. Byvoorbeeld voertuie,
masjinerie en toerusting se waarde daal oor ʼn tydperk.
Boekwaarde: is die waarde van ʼn bate op ʼn spesifieke tydperk nadat waardevermindering plaasgevind het.
Skrapwaarde: is die boekwaarde van die bate aan die einde van sy bruikbare lewe.
Reglynige waardevermindering (Depresiasie)
In hierdie geval in die depresiasie jaarliks dieselfde. Dis ʼn persentasie van die oorspronklike waarde van die
bate. As dit reglynige depresiasie is word die waarde van die bate oor ʼn tydperk tot nul verminder.
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 14
Voorbeeld
ʼn Maatskappy koop rekenaars vir R250 000. Die rekenaars se waarde verminder teen 20% p.j. op ʼn
reglynige grondslag. Bereken die waarde van die rekenaars aan die einde van die 1ste, 2de, 3de, 4de en 5de jaar
onderskeidelik.
Oplossing:
Let wel: 20% = 20
0,2100
Einde van die 1ste jaar:R250 000 – 0,2(250 000)
= R 200 000
Einde van die 2de jaar: R200 000 – 0,2(250 000)
= R 150 000
Einde van die 3de jaar: R150 000 – 0,2(250 000)
= R 100 000
Einde van die 4de jaar: R100 000 – 0,2(250 000)
= R 50 000
Einde van die 5de jaar: R50 000 – 0,2(250 000)
= 0
Die grafiek wys die depresiasie oor die 5 jaar:
Reguitlyn waardevermindering formule: A = P(1 – in )
A - boek / skrapwaarde
P - huidige waarde
i - verminderingskoers
n - tydperk
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 15
Waardevermindering volgens verminderde saldo
In hierdie geval word die waardevermindering gebaseer op die vorige jaar se waarde. Elke jaar is die
waardevermindering ʼn persentasie van die verminderde waarde van die bate. Die daling in die waarde sal
jaarliks minder word soos wat die bate se waarde ook minder word. In waardevermindering volgens die
metode van verminderde saldo sal die bate altyd iets werd wees aan die einde van die tydperk.
Voorbeeld
ʼn Maatskappy koop ʼn trok vir R250 000. Waardevermindering word bereken teen 20 % p.j. op die
verminderde saldo. Bereken die trok se waarde aan die einde van die 1ste, 2de, 3de, 4de en 5de jaar
onderskeidelik.
Oplossing:
Let wel: 20% = 20
0,2100
Einde van die 1ste jaar:R250 000 – 0,2(250 000)
= R 200 000
Einde van die 2de jaar: R200 000 – 0,2(200 000)
= R 160 000
Einde van die 3de jaar: R160 000 – 0,2(160 000)
= R 128 000
Einde van die 4de jaar:R128 000 – 0,2(128 000)
= R 102 400
Einde van die 5de jaar: R102 400 – 0,2(102 400)
= R81 920
Die grafiek wys die depresiasie oor die 5 jaar:
In waardevermindering volgends verminderde saldo
a. Die waardevermindering is elke jaar 20% van die vorige jaar se waarde.
b. Die waardevermindering is elke jaar minder as die van die vorige jaar.
c. Die trok sal altyd ʼn waarde hê wat nooit na nul verminder nie.
Waardevermindering volgens verminderde saldo formule: A = P 1n
i
A - boek / skrapwaarde
P - huidige waarde
i - verminderingskoers
n - tydperk
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 16
Voorbeeld
ʼn Maatskappy koop kantoormeubels ter waarde van R860 000. Bereken die waarde van die meubels na 6
jaar as waardevermindering bereken word teen 14% p.j. volgens:
a) Reglynige grondslag
b) Waardevermindering op die verminderde balans
Oplossing
a) A = P(1 – i .n )
860000(1 0,16(6))
137600R
b) A = P 1n
i
6860000(1 0,14)
347927,82R
Let op:
i. Boekwaarde is die waarde van die bate nadat waardevermindering vir ʼn gegewe aantal jaar in
berekening gebring is.
ii. Skrootwaarde is die boekwaarde van ʼn bate aan die einde van sy bruikbare leeftyd.
iii. ʼn Delgingsfonds is die fonds wat ingestel is om die bate te vervang aan die einde van sy
bruikbare tyd.
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 17
Doen die volgende oefeninge
Graad 11 Finansiële Wiskunde
Grey Kollege 18