Mathématiques financières

Mathématique financière à court terme

I) Les Intérêts :

Intérêts simples

- Intérêts terme échu et terme à échoir

- Taux terme échu iu équivalent à un taux terme à échoir ir

- Intérêt simple post compté ou in fine

o Intérêt Payable à l’échéance IPE

o Intérêt Payable d’avance IPA

- Intérêt simple précompté ou taux d’escompte

Conventions de durées

- Les conventions de paiements

- Les conventions de bases

o Jours

o années

Le taux composé, actuariel et continu :

- taux actuariel

- taux continu

Les conversions de taux

- Conversion d’un taux simple en taux actuariel

- Conversion d’un taux simple en taux continu

- Conversion d’un taux actuariel en taux continu

Taux nominal - Taux proportionnel – Taux équivalent

- Taux nominal

- Taux proportionnel

- Taux équivalent

- Relation entre le taux proportionnel et le taux équivalent

Valeur acquise, valeur présente

II) Annuités et rentes

Annuités

- série d’annuités constantes immédiates payables en fin de période

o Valeur actuelle VO

o Calcul de l’annuité constante

o Valeur acquise Vn d’une

o Relation valeur acquise et valeur présente

- série d’annuités en progression géométrique immédiates payables en fin de période

o la valeur actuelle VO

o la valeur acquise Vn

o Relation valeur acquise et valeur présente

- série d’annuités constantes immédiates payables en fin de période

o Valeur actuelle

o Calcul de l’annuité constante

o Valeur acquise

o Relation valeur acquise et valeur présente

Rentes

- Rente immédiate constante versée annuellement d’avance

Annuités et rentes

Une annuité est un règlement périodique, la période n’est pas nécessairement l’année.

On désigne par suite d’annuité une suite de règlements à intervalle de temps constant.

On appel rente le bénéfice d’une série d’annuités, elle peut être

- certaine quand le nombre de ces termes est fixé à l’avance.

- Aléatoire quand le versement de ces termes est interrompu par la survenance d’un événement

que l’on ne peut prévoir à l’avance.

- Temporaire lorsque le nombre de termes est fini

- Perpétuelle lorsque le nombre de termes est infini

- à termes constants (annuité égales) ou variables

- à termes échus ou à termes à échoir

- immédiates ou différés

Les versements sont toujours périodiques. La période peut être l’année ou toute autre durée. Si elle

est différente de l’année le terme annuité devient impropre on parle alors semestrialité, trimestrialité,

mensualité…..

Immédiate, différée

Paiement : fin début de période

Valeur actuelle d’une série d’annuités constantes immédiates payables en fin de

période

Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle, n = nombre d’annuité constantes

versées en fin de période

Suite géométrique de raison

En posant la valeur présente de 1€ par période

Calcul de l’annuité constante payable en fin de période

Cas de la rente perpétuelle

Valeur acquise d’une série d’annuités constantes payable en fin de période

Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle de la dette de l’emprunteur

Suite géométrique de raison

Relation valeur acquise et valeur présente

On pose Valeur acquise en n de versement unitaire à chaque période pendant n périodes

Or on a vu que

On constate que

Valeur actuelle d’une série d’annuités constantes payable en fin de période avec un

différé de d périodes

Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle, n = nombre de périodes de versement;

annuité constantes versées en fin de période d = différé

Suite géométrique de raison

Calcul de l’annuité constante payable en fin de période

Cas de la série d’annuités perpétuelle constantes payable en fin de période avec un

décalage de d périodes

la valeur actuelle VO d’annuités en progression géométrique, de versements de fin de

période

La formule entre parenthèse est une suite géométrique composée de n termes, de premier terme 1 et

de raison q avec

Si i <> z

la valeur actuelle V0 d’annuités perpétuelles en progression géométrique, de

versements de fin de période

la valeur acquise Vn d’annuités en progression géométrique, de versements de fin de

période est

Progression géométrique de raison

Si z< i

Si z= i

Valeur actuelle d’une série d’annuités constantes payable en début de période

Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle de la dette de l’emprunteur

Suite géométrique de raison

On sait que

Calcul de l’annuité constante payable en début de période

Or

donc

Valeur acquise d’une série d’annuités constantes payable en début de période

Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle de la dette de l’emprunteur

Suite géométrique de raison

On a vu que

Relation entre valeurs acquises

Le fractionnement des annuités

Si l’on fractionne l’annuité a annuelle en k « annuités » par an de montant avec k entier positif, les

annuités mensuelles sont partiellement anticipées, la suite d’annuités vos donc plus cher que la rente

originale.

Si k=1 alors on retrouve la formule de l’annuité annuelle à terme échu

Supposons maintenant que l’on travail avec un taux proportionnel

Relation entre Vp0 et V0

Supposons maintenant que l’on travail avec un taux équivalent

Verification de la relation Ve0 et V0

Rentes

Une rente certaine est une série d’annuités de 1 € reçues par le rentier quelque soit sont état.

Notation versement de r€ chaque année pendant n années à terme échu.

La rente peut être

- Immédiate, différée

- Constant, croissante

- d’avance , à terme échu

Rente immédiate constante versée annuellement d’avance

versement de 1€ chaque année pendant n années d’avance.

Avec

versement de 1€ chaque année pendant n années à terme échu.

Rente différée d périodes versée annuellement d’avance

versement de 1€ chaque année pendant n années à terme avance.

Emprunt indivis

Les remboursements

Un emprunt indivis est

- un emprunt dont le versement par le préteur s’effectue en une seule fois à une date 0.

- Le remboursement du principal s’effectue de manière progressive avec une périodicité

constante.

A l’échéance de chacune des annuités, l’emprunteur rembourse en plus de remboursement du

principal, les intérêts échus correspondant au capital restant dû en début de la période considérée. La

somme de l’intérêt et de l’amortissement du capital correspond au montant de l’annuité.

Le tableau d’amortissement

Emprunt

- Capital emprunté V0

- durée n

- au taux d’intérêt i

- Capital amorti à chaque échéance

- Intérêts a chaque échéance

- Total échéance ap = Ip + A

Période Annuité at Intérêts de la

période

Amortissement

Capital

remboursé

Capital restant dû

0 V0

1 a1= I1+A1 I1 = V0 x i r1 V1= V0- r1

2 a2= I2+A2 I2 = V1 x i r2 V2 = V1- r2

P ap= Ip+Ap Ip = Vp-1 x i rp Vp = Vp-1- rp

N an= In+An In = Vn-1 x i rn 0

Amortissement in fine

L’amortissement in fine consiste à rembourser le capital en une seule fois à l’échéance du prêt.

Les intérêts peuvent être payé périodiquement ou à l’échéance. Ce type de prêt s’applique sur des

durées courtes et les intérêts sont calculés selon la méthode des intérêts simples

Amortissement constant

L’amortissement constant consiste à rembourser une partie identique du capital à chaque période. Les

intérêts de chaque échéance sont calculés sur le capital restant dû à chaque début de période.

Emprunt

- Capital emprunté V0 = 100 000€

- durée n = 10

- au taux d’intérêt i = 5%

- Capital amorti à chaque échéance

- Intérêts a chaque échéance

- Total échéance ap = Ip + A

- Capital restant dû Rp = Rp-1- rp

Tableau d’amortissement

Echéance Total

échéance

intérêts Capital

remboursé

Capital

restant dû

5% 100 000 €

1 15 000 € 5 000 € 10 000 € 90 000 €

2 14 500 € 4 500 € 10 000 € 80 000 €

3 14 000 € 4 000 € 10 000 € 70 000 €

4 13 500 € 3 500 € 10 000 € 60 000 €

5 13 000 € 3 000 € 10 000 € 50 000 €

6 12 500 € 2 500 € 10 000 € 40 000 €

7 12 000 € 2 000 € 10 000 € 30 000 €

8 11 500 € 1 500 € 10 000 € 20 000 €

9 11 000 € 1 000 € 10 000 € 10 000 €

10 10 500 € 500 € 10 000 € 0 €

Total 127 500 € 27 500 € 100 000 €

Amortissement à échéances constantes

Calcul du premier amortissement r1 de l’emprunt

Le remboursement constant a comprend

- une part r d’amortissement de capital

- une part I d’intérêt sur le capital restant dû

Avec et

Calcul du deuxième amortissement de l’emprunt

avec

Généralisation

Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du Pieme

remboursement

Calcul du capital remboursé rp au Pieme

remboursement

Or on peut écrire le taux i comme étant

Capital du restant dû Vp après le paiement du Pieme

remboursement

Suite géométrique de n-p termes de raison

En remplacent a dans cette formule par

On obtient Vp en fonction de V0

Une autre manière de calculer le montant restant dû

Intérêts payer Ip au Pieme

remboursement

Intérêts cumulé payer ITp pour l’emprunt après le p° paiement

Le paiement périodique s’écrit

L’amortissement périodique de capital s’écrit

Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du Pieme

remboursement

Intérêts total payer IT pour l’emprunt

Le paiement périodique s’écrit

L’amortissement périodique de capital s’écrit

Tableau d’amortissement

Emprunt

Durée année 10

capital initial 100 000 €

taux nominal 5.00%

annuités constantes 12 950.46

Echéance Total

échéance

Intérêts Capital

remboursé

Capital

restant dû

5% 100 000.00 €

1 12 950.46 € 5 000.00 € 7 950.46 € 92 049.54 €

2 12 950.46 € 4 602.48 € 8 347.98 € 83 701.56 €

3 12 950.46 € 4 185.08 € 8 765.38 € 74 936.18 €

4 12 950.46 € 3 746.81 € 9 203.65 € 65 732.53 €

5 12 950.46 € 3 286.63 € 9 663.83 € 56 068.70 €

6 12 950.46 € 2 803.44 € 10 147.02 € 45 921.68 €

7 12 950.46 € 2 296.08 € 10 654.37 € 35 267.31 €

8 12 950.46 € 1 763.37 € 11 187.09 € 24 080.22 €

9 12 950.46 € 1 204.01 € 11 746.45 € 12 333.77 €

10 12 950.46 € 616.69 € 12 333.77 € 0.00 €

Total 129 504.57 € 29 504.57 € 100 000.00 €

Valeur actuelle d’annuité en progression géométrique

Progression géométrique de raison (1+z) Ils croîtront chaque année de z%

Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle de la dette de l’emprunteur

En mettant en facteur on obtient

La formule entre parenthèse est une suite géométrique de n termes de premier terme 1

et de raison q =

Calcul de la première annuité a1

mensualités progressive de z% chaque année

- Mensualités progressives de z% par an,

- TEG = i,

- Taux périodique ip = i/k,

- k=nombre de période par ans

Calcul du premier amortissement r1 de l’emprunt

Le remboursement constant a comprend

- une part d’amortissement de capital A

- une part d’intérêt sur le capital restant dû I

Avec et

Calcul du deuxième amortissement de l’emprunt

Avec

Calcul du troisième amortissement de l’emprunt

Avec

Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du Pieme

remboursement

Capital du capital restant dû Vp après le paiement du Pieme

remboursement

calculer le capital restant dû à la fin de la peme

mensualité.

- Mensualités progressives de z% par an,

- TEG = i,

- Taux périodique ip = i/k,

- K = nombre de période par ans

- n= nombre d’années du crédit

- p = période de la dernière mensualité

- np = nombre années entières écoulées après le paiement de la peme

échéance

- Si k = 1

- np = n-p et n- np=p

Intérêts cumulé payer ITp pour l’emprunt après le p° paiement

Le paiement périodique s’écrit

mensualités progressive de z% chaque année une autre approche : Valeur acquise des

mensualités

- Mensualités progressives de z% par an,

- TEG = i,

- Taux périodique ip = i/k,

- k=nombre de période par ans

Mensualités progressives de z% chaque années, il est possible de ce ramener d’u n paiement mensuel à une

annuité annuelle.

En effet on peut considérer que l’annuité annuelle dans le cas de paiements mensuels n’est autre que la valeur

la valeur acquise S12 d’une suite de mensualités certaines en adaptant le taux d’intérêt d’un taux périodique en

un taux équivalent annuel ieq Dès lors la mensualité n’est autre que l’annualité rapportée à S12

Recherche du taux équivalent annuel Recherche Sn : valeur atteinte a l’échéance d’une suite de mensualités certaines

Calculer le montant des intérêts versés à la fin de la première année.

Calcul capital rembourser r1 de l’emprunt la première année

Le remboursement constant a comprend

- une part d’amortissement de capital r

- une part d’intérêt sur le capital restant dû I l’intérêt est ici payer au taux i donnant le taux

périodique ip Le taux ieq ne servant qu’a introduire les mensualité sous forme de valeur de

paiement annuel.

Avec et

Intérêts payé à la fin de la première année.

Intérêts payé la deuxième année année.

Usufruit et nue propriété des emprunts indivis

Considérons un emprunt indivis.

V = valeur actuelle de l’emprunt

K = capital restant dû

Il existe un taux x tel qu’il y ait égalité entre V et le total des valeurs actuelles des annuités non

échues.

La p° annuité est de la forme : ap= iKp-1 + Ap

Ou Kp-1 est le capital restant dû avant la p° échéance

Ap est l’amortissement de capital de la p°

I est le taux d’intérêt nomialde l’emprunt.

Si l’on se place avant le premier versement annuité à échoir on obtient :

On appel : usufruit total U la valeur actuelle au taux x des intérêts iKp-1

Nue propriété totale P la valeur actuelle au taux x des amortissements Ap

Or Ap = Kp-1-Kp

D’ou iP + xU = iK

Comme P + U = V

P = V-U

On en déduit

Si i=x P + U = K = V

Si la valeur V d’un emprunt est égale à sa valeur nominale le taux effectif x est égal au taux nominal.