Post on 09-Jul-2015
Funciones Trigonométricas
MATH1500
Ángulos y Sus Medidas
• Ángulos
– Un ángulo es determinado al rotar un rayo sobre su extremo.
– La posición inicial del rayo se conoce como el lado inicial del ángulo y la posición del rayo después de la rotación es el lado terminal.
lado inicialvértice
Ángulos y Sus Medidas
• Ángulos– Cuando colocamos un ángulo en un sistema coordenado y su
vértice está en el origen y el lado inicial está en el eje positivo de x, decimos que ese ángulo está en posición estándar.
– Los ángulos positivos son generados por rotaciones en contra del reloj, mientras que los ángulos negativos son a favor del reloj.
x
y
ángulo positivo
ángulo negativo
Ángulos y Sus Medidas
• Ángulos– Los ángulos son nombrados con letras griegas tales como
α, β y θ, también con letras mayúsculas tales como A, B y C.
– En la siguiente figura los ángulos α y β tienen el mismolado inicial y terminal; estos ángulos son llamados ánguloscoterminales.
x
y
x
y
α
β
α
β
Medida en Grados
• La medida de un ángulo está determinada por la cantidad de rotación desde el lado inicial al lado terminal.
• La unidad más común de medida de ángulos es el grado, denotado por el símbolo °.
Encontrando Ángulos Coterminales
• Encuentra dos ángulos coterminales (uno positivo y uno negativo) para:
a) θ = 390°
b) θ = -120°
Ángulos Complementarios y Suplementarios
• Dos ángulos positivos α y β son complementarios si su suma es 90°. Dos ángulos positivos α y β son suplementarios sisu suma es 180°.
• Si es posible, encuentra el complemento y el suplemento de:
a) 72°
b) 148°
Medida en Radianes
• Un radián (rad) es la medida de un ángulo central θ que intercepta un arco s igual en longitud al radio r del círculo.
Medida en Radianes
• La medida en radianes de un ángulo central θse obtiene dividiendo el largo de arco s por r.
s
r
Encontrando Ángulos
• Encuentra cada ángulo.
a) El complemento de θ = π/12
b) El suplemento de θ = 5π/6
c) Un ángulo coterminal a θ = 17π/6
Conversión de Medidas de Ángulos
• Convierte las siguientes medidas a radianes.a) 135°
b) -270°
• Convierte las siguientes medidas a grados.a) -π/2 rad
b) 2 rad
radPara convertir grados a radianes, multiplica los grados por .
180
180Para convertir radianes a grados, multiplica los radianes por .
rad
Trigonometría del Triángulo Recto
θ
Lado adyacente a θLa
do
op
ues
to a
θ
opuestosin
hipotenusa
adyacentecos
hipotenusa
opuestotan
adyacente
hipotenusacsc
opuesto
hipotenusasec
adyacente
adyacentecot
opuesto
Evaluando Funciones Trigonométricas
• Utilizando la figura provista encuentra el valor exacto de las seis funciones trigonométricas de θ.
4
3
θ
Senos, Cosenos y Tangentes de Ángulos Especiales
1sin30 sin
6 2
3cos30 cos
6 2
3tan 30 tan
6 3
2sin 45 sin
4 2
2cos 45 cos
4 2
tan 45 tan 1
4
3sin 60 sin
3 2
1cos60 cos
3 2
tan 60 tan 3
3
Identidades Trigonométricas• Identidades Recíprocas
• Identidades Cocientes
• Identidades Pitagoreanas
• 1
1sin
csc
1cos
sec
1tan
cot
1csc
sin
1sec
cos
1cot
tan
sintan
cos
coscot
sin
2 2
2 2
2 2
sin cos 1
tan 1 sec
1 cot csc
Aplicando Identidades Trigonométricas
• Sea θ un ángulo agudo tal que cos θ = 0.8. Encuentra el valor de:
a) sin θ
b) tan θ
Utilizando IdentidadesTrigonométricas
• Utiliza identidades trigonométricas paratransformar un lado de la ecuación en el otro.
a) cos θ sec θ = 1
b) (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
Aplicaciones que Envuelven Triángulos Rectos
• Un agrimensor está parado a 50 pies de la base de un árbol. El agrimensor mide el ángulo de elevación al tope del árbol la cual es 71.5°. ¿Cuán alto es el árbol?
50 ft71.5°
Aplicaciones que Envuelven Triángulos Rectos
• Te encuentras a 200 m de un río. En lugar de caminar directamente hacia el río, caminas 400 m por una vereda que te lleva a la orilla del río. Encuentra el ángulo entre la vereda y el borde del río.
x
y
(x, y)
θ
Funciones Trigonométricas de Cualquier Ángulo
2 2
Sea un ángulo en posición estándar con , un
punto en el lado terminal de y 0.
x y
r x y
r
sin
cos
tan
y
r
x
r
y
x
csc
sec
cot
r
y
r
x
x
y
Evaluando Funciones Trigonométricas
• Sea (-3, 4) un punto en el lado terminal de θ. Encuentra el seno, coseno y tangente de θ.
• Sea (12, -5) un punto en el lado terminal de θ. Encuentra el seno, coseno y tangente de θ.
Signos de las Funciones Trigonométricas
x
y
Cuadrante I
sin :
cos :
tan :
Cuadrante II
sin :
cos :
tan :
Cuadrante III
sin :
cos :
tan :
Cuadrante IV
sin :
cos :
tan :
Evaluando Funciones Trigonométricas
21) Dado que sin y que tan 0, encuentra el valor
3
de las seis funciones trigonométricas.
152) Dado que tan y que sin 0, encuentra el valor
8
de las seis funciones trigonométricas.
Ángulos de Referencia
• Sea θ un ángulo en posición estándar. Su ángulo de referencia es el ángulo agudo θ’ formado por el lado terminal de θ y el ejehorizontal.
• Encuentra el ángulo de referencia para los ángulos dados1. θ = 300°
2. θ = 2π/3
3. θ = -135°
Evaluando Funciones Trigonométricas de Cualquier Ángulo
• Para encontrar el valor de una función trigonométrica de cualquier ángulo θ:1. Determina el valor de la función para el ángulo asociado de
referencia.
2. Dependiendo del cuadrante donde θ descansa, coloca el signoapropiado al valor de la función.
(grados) 0 30 45 60 90 180 270
(radiannes) 0 6
4
3
2
3
2
sin 0 1
2
2
2
3
2 1 0 1
cos 1 3
2
2
2
1
2 0 1 0
tan 0 3
3 1 3 Indef. 0 Indef.
El Círculo Unitario
-1 1
-1
1
x
y
0
2
3
2
El Círculo Unitario
-1 1
-1
1
x
y
0
2
3
2
4
3
4
5
4
6
4
El Círculo Unitario
-1 1
-1
1
x
y
0
2
3
2
4
3
4
5
4
6
4
6
3
2
3
5
6
7
6
4
3
5
3
11
6
El Círculo Unitario
-1 1
-1
1
x
y
0
2
3
2
4
3
4
5
4
6
4
6
3
2
3
5
6
7
6
4
3
5
3
11
6
1,0
0,1
1,0
0, 1
3 1,
2 2
2 2,
2 2
1 3,
2 2
3 1,
2 2
2 2,
2 2
1 3,
2 2
3 1,
2 2
2 2,
2 2
1 3,
2 2
1 3,
2 2
2 2,
2 2
3 1,
2 2
Funciones Trigonométricas de Ángulos No Agudos
• Evalúa cada función trigonométrica.
41) cos
3
2) tan 210
113) csc
4
Utilizando Identidades Trigonométricas
11) Sea un ángulo en el Cuadrante II tal que sin .
3
Encuentra cos y tan .
52) Sea un ángulo en el Cuadrante IV tal que csc .
8
Encuentra sec y cot .
π/2 π 3π/2 2π
-1
-0.5
0.5
1
x
y
Gráficas de las Funciones Seno y Coseno
sinf x x
Periodo: 2π
Gráficas de las Funciones Seno y Coseno
π/2 π 3π/2 2π
-1
-0.5
0.5
1
x
y
cosf x x
Periodo: 2π
Amplitud y Periodo de las Curvas de Seno y Coseno
siny a bx c d
cosy a bx c d
Amplitud y Periodo de las Curvas de Seno y Coseno
La amplitud de
sin y cos
representa la mitad de la distancia entre los valores
máximos y mínimos de la función y está dada por
Amplitud .
y a x y a x
a
π/2 π 3π/2 2π
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
2si
s
1n
i
i
n
s2
ny x
y x
y x
Amplitud y Periodo de las Curvas de Seno y Coseno
La amplitud de
sin y cos
representa la mitad de la distancia entre los valores
máximos y mínimos de la función y está dada por
Amplitud .
y a x y a x
a
π/2 π 3π/2 2π
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
2si
s
1n
i
i
n
s2
ny x
y x
y x
Amplitud y Periodo de las Curvas de Seno y Coseno
La amplitud de
sin y cos
representa la mitad de la distancia entre los valores
máximos y mínimos de la función y está dada por
Amplitud .
y a x y a x
a
π/2 π 3π/2 2π
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
2si
s
1n
i
i
n
s2
ny x
y x
y x
Amplitud y Periodo de las Curvas de Seno y Coseno
Sea un número positivo real. El periodo de sin
y cos está dado por
2 Periodo .
b y a bx
y a bx
b
π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π
-1
-0.5
0.5
1
x
y
sin 2
n
2
i
n
s
si
y x
y
y x
x
Amplitud y Periodo de las Curvas de Seno y Coseno
Sea un número positivo real. El periodo de sin
y cos está dado por
2 Periodo .
b y a bx
y a bx
b
π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π
-1
-0.5
0.5
1
x
y
sin 2
n
2
i
n
s
si
y x
y
y x
x
Amplitud y Periodo de las Curvas de Seno y Coseno
Sea un número positivo real. El periodo de sin
y cos está dado por
2 Periodo .
b y a bx
y a bx
b
π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π
-1
-0.5
0.5
1
x
y
sin 2
n
2
i
n
s
si
y x
y
y x
x
Translaciones de las Curvas Seno y Coseno
Las gráficas de sin y cos
tienen las siguientes características. (Asume que 0)
2 Amplitud Periodo
Los extremos izquierdos y derechos de un intérvalo de
un ciclo pueden ser de
y a bx c y a bx c
b
ab
terminados resolviendo las
ecuaciones 0 y 2 .bx c bx c
Translaciones de las Curvas Seno y Coseno
1Analiza la gráfica de sin .
2 3
Analiza la gráfica de 3cos 2 4 .
y x
y x
Translaciones de las Curvas Seno y Coseno
Una translación vertical es causada por la constante
en las ecuaciones
sin y cos
La translación es unidades hacia arriba si 0
y unidades hacia abajo si 0.
d
y a bx c d y a bx c d
d d
d d
Analiza la gráfica de 3cos2 2y x
Encontrando la Ecuación para una Gráfica
• Encuentra la amplitud, periodo y cambio de fase de la función seno, cuya gráfica se presenta. Escribe una ecuación para esta gráfica.
-π/2 π/2 π 3π/2
-2
-1
1
2
x
y
Funciones Trigonométricas Inversas
La función seno inverso esta definida por
arcsin si y solamente si sin
donde 1 1 y 2 2. El dominio
de arcsin es 1,1 y el alcance es 2, 2 .
y x y x
x y
y x
Funciones Trigonométricas Inversas
1
1
Si es posible, encuentra el valor exacto.
1a. arcsin
2
3b. sin
2
c. sin 2
Funciones Trigonométricas Inversas
Función Dominio Alcance
arcsiny x si y solamente si sin y x 1 1x 2 2
y
arccosy x si y solamente si cos y x 1 1x 0 y
arctany x si y solamente si tan y x x 2 2
y
Funciones Trigonométricas Inversas
1
1
Encuentra el valor exacto.
2a. arccos
2
b. cos 1
c. arctan 0
d. tan 1