By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 1

MateMatika Diskrit

Aplikasi TI

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 2

Beberapa Aplikasi Graf� Lintasan terpendek (shortest path)

(akan dibahas pada kuliah IF3051)

� Persoalan pedagang keliling (travellingsalesperson problem)

� Persoalan tukang pos Cina (chinesepostman problem)

� Pewarnaan graf (graph colouring)

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 3

Persoalan Pedagang Keliling(travelling salesperson problem (TSP)

Nama lain: Persoalan:

Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan tur terpendek yang harus dilalui oleh seorangpedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kotaasal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dankembali lagi ke kota asal keberangkatan.

==> menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot

minimum.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 4

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 5

Aplikasi TSP:1. Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang

tersebar padan buah lokasi di berbagai sudutkota.

2. Lengan robot mengencangkann buah mur padabeberapa buah peralatan mesin dalam sebuahjalur perakitan.

3. Produksi n komoditi berbeda dalam sebuahsiklus.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 6

Jumlah sirkuit Hamilton di dalam graf lengkap dengan n simpul: (n – 1)!/2.

Graf di atas memiliki (4 – 1)!/2 = 3 sirkuit Hamilton, yaitu:

a b

cd

12

8

15

1095

a b

cd

12

8

15

10

a b

cd

12

15

95

a b

cd

81095

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 7

I1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a)

bobot = 10 + 12 + 8 + 15 = 45

I2 = (a, c, d, b, a) atau (a, b, d, c, a)

bobot = 12 + 5 + 9 + 15 = 41

I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a)

bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32

Sirkuit Hamilton terpendek: I3 = (a, c, b, d, a) atau

(a, d, b, c, a) dengan bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.

� Jika jumlah simpuln = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuitHamilton atau sekitar 6 × 1016 penyelesaian.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 8

Persoalan Tukang Pos Cina (Chinese Postman Problem)

� Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun 1962.

� Persoalan:seorang tukang pos akan mengantarsurat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatudaerah. Bagaimana ia merencanakan ruteperjalanannya supaya ia melewati setiap jalantepat sekali dan kembali lagi ke tempat awalkeberangkatan?

� menentukan sirkuit Euler di dalam graf

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 9

Lintasan yang dilalui tukang pos: A, B, C, D, E, F, C, E, B, F, A.

B C

EF

8

5

3A D

8

2

1

6

44

2

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 10

� Jika graf yang merepresntasikan persoalan adalah grafEuler, maka sirkuit Eulernya mudah ditemukan.

� Jika grafnya bukan graf Euler, maka beberapa sisi didalam graf harus dilalui lebih dari sekali.

� Jadi, pak pos harus menemukan sirkuit yang mengunjungisetiap jalanpaling sedikit sekali dan mempunyaijarakterpendek.

� Persoalan tukang pos Cina menjadi:

Seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana iamerencanakan rute perjalanannya yang mempunyai jarakterpendek supaya ia melewati setiap jalan paling sedikitsekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan?

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 11

Pewarnaan Graf� Ada dua macam: pewarnaan simpul, dan pewarnaan sisi

� Hanya dibahas perwarnaan simpul

� Pewarnaan simpul: memberi warna pada simpul-simpulgraf sedemikian sehingga dua simpul bertetanggamempunyai warna berbeda.

merah biru

kuning

merahbiru

kuning kuning

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 12

� Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta.

� Peta terdiri atas sejumlah wilayah.

� Wilayah dapat menyatakan kecamatan, kabupaten, provinsi, atau negara.

� Peta diwarnai sedemikian sehingga duawilayah bertetangga mempunyai warnaberbeda.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 13

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 14

� Nyatakan wilayah sebagai simpul, danbatas antar dua wilayah bertetanggasebagai sisi.

� Mewarnai wilayah pada peta berartimewarnai simpul pada graf yang berkoresponden.

� Setiap wilayah bertetangga harusmempunyai warna berbeda� warna setiapsimpul harus berbeda.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 15

2

3

1

45

67

8

2

3

1

4

5

67

8

2

3

1

4

67

8

2

3

1

4

67

8

2

3

1

4

67

8

merah kuning

ungu

5

5

jingga

putih

hitam

biru

hijau

(a) (b) (c)

(d) (e)

merah

merah

5

merah

kuning

kuning

kuning

biruungu

Gambar 8.72 (a) Peta(b) Peta dan graf yang merepresentasikannya, (c) Graf yang merepresentasikan peta,(d) Pewarnaan simpul, setiap simpul mempunai warna berbeda, (e) Empat warna sudah cukup untuk mewarnai 8 simpul

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 16

� Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkanuntuk mewarnai peta.

� Simbol: χ(G).

� Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatiskdilambangkan denganχ(G) = k.

� Graf di bawah ini memilikiχ(G) = 3.

merah biru

kuning

merahbiru

kuning kuning

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 17

� Graf kosongNn memiliki χ(G) = 1, karena semua simpultidak terhubung, jadi untuk mewarnai semua simpulcukup dibutuhkan satu warna saja.

� Graf lengkapKn memiliki χ(G) = n sebab semua simpulsaling terhubung sehingga diperlukann buah warna.

� Graf bipartit Km,n mempunyai χ(G) = 2, satu untuksimpul-simpul di himpunanV1 dan satu lagi untuk simpul-simpul diV2.

� Graf lingkaran dengann ganjil memiliki χ(G) = 3, sedangkan jikan genap makaχ(G) = 2.

� Sembarang pohonT memiliki χ(T) = 2.

� Untuk graf-graf yang lain tidak dapat dinyatakan secaraumum bilangan kromatiknya.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 18

� Perkembangan teorema pewarnaan graf:

TEOREMA 1. Bilangan kromatik graf planar ≤ 6.

TEOREMA 2. Bilangan kromatik graf planar ≤ 5.

TEOREMA 3. Bilangan kromatik graf planar ≤ 4.

� Teorema 4 berhasil menjawab persoalan 4-warna (yang diajuka pada abad 19): dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya dengan 4 warna saja?

� Jawaban dari persoalan ini ditemukan oleh Appel dan Hakenyang menggunakan komputer untuk menganalisis hampir2000 graf yang melibatkan jutaan kasus

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 19

� Aplikasi lain pewarnaan graf: penjadwalan.

Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (1, 2, …, 8) dan lima buah mata kuliah yang dapat dipilihnya (A, B, C, D, E). Tabel berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Angka 1 pada elemen (i, j) berarti mahasiswa i memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0 menyatakan mahasiswa i tidak memilih mata kuliah j.

A B C D E 1 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 3 0 0 1 1 0 4 1 1 0 0 0 5 0 1 0 1 0 6 0 0 1 1 0 7 1 0 1 0 0 8 0 0 1 1 0

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 20

Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkanuntuk jadwal ujian tersebut sedemikian sehinggasemua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliahyang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya denganjadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya?

Penyelesaian:

simpul� mata kuliah

sisi� ada mahasiswa yang mengambilkedua mata kuliah (2 simpul)

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 21

A

BE

D

(a)

A

B

E

CD

merah

merah

merah

biru

biru

(b)

Gambar 8.74. (a) Graf persoalan penjadwalan ujian 5 mata kuliah untuk 8 orang mahasiswa

(b) Hasil pewaranan pada simpul-simpul graf

• Bilangan kromatik graf pada Gambar 8.74 adalah 2. • Jadi, ujian mata kuliahA, E, danD dapat dilaksanakan bersamaan,

sedangkan ujian mata kuliahB danC dilakukan bersamaantetapi pada waktu yang berbeda dengan mata kuliahA, E, danD.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 22

Latihan soal1. Dapatkah kita menggambar graf teratur

berderajat 3 dengan 7 buah simpul? Mengapa?

2. Tentukan jumlah simpul pada graf sederhanabila mempunyai 20 buah sisi dan tiap simpulberderajat sama.

3. Berapa jumlah minimum simpul yang diperlukan agar sebuah graf dengan 6 buah sisi menjadi planar? Ulangi soal yang sama untuk 11 buah sisi.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 23

4. Diberikan gambar sebuah graf G seperti di bawah ini.

(a) Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf G tidak planar.

B

A C

G

H

F

D E

(b) Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf G tidak planar.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 24

5. Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul.

6. Sebuah departemen mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K1 = {Amir, Budi, Yanti}, K2= {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K4 = {Hasan, Tommy, Yanti}, K5 = {Amir, Budi}, K6 = { Budi, Tommy, Yanti}. Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (jelaskan sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.

By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 25

7. ApakahK13 memiliki sirkuit Euler? Sirkuit Hamilton? Ulangi pertanyaan yang sama untuk K14

8. Sebuah graf akan dibentuk dari 25 buah sisi. Berapajumlah maksimum simpul di dalam graf sederhana yang dapat dibuat dari 25 buah sisi tersebut?