Post on 28-Dec-2019
1
Matematika 1Elementárny kalkulus
Úvod
Prehl’ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 1
na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových pred-
nášok doplnených dvojhodinovými cvičeniami (ich členenie nie je definitívne).
Poznámky obsahujú nasledujúce témy:
1. Reálne čísla
2. Elementárne funkcie
3. Limita číselnej postupnosti, číselné rady
4. Limita funkcie, spojitost’ a derivácia
5. Využitie derivácií: L’Hospitalovo pravidlo, priebeh funkcie, Tay-
lorov rozvoj funkcie
6. Integrovanie a jeho aplikácie: Neurčitý integrál, určitý integrál,
obyčajné diferenciálne rovnice
Motivácia. Aj ked’ v informatike sa pracuje najmä metódami diskrét-
nej matematiky a algebry, je vel’mi užitočné ovládat’ aj základy analýzy a
geometrie. Tieto aspekty sa prejavujú najmä v aplikáciách numerických a
informatických metód. Často treba skúmat’, simulovat’ alebo modelovat’ rôzne
procesy, zobrazovat’ ich alebo prenášat’ do virtuálneho sveta počítačov. Na
doplnenie treba uviest’, že aj v rámci diskrétnej matematiky, pri formuláciách
2
problémov alebo ich analýze je užitočné mat’ základné vedomosti zo "spojitej
matematiky".
Zvyčajne, alebo aspoň vel’mi často, skúmaný problém má svoj matemat-
ický alebo fyzikálny popis v rámci "klasickej" analýzy a geometrie. Ciel’om
prednášok Matematika 1 je dat’ nevyhnutné základy analýzy a naučit’ sa
ich aj prakticky využívat’ (podobne predmet Matematika 2 bude poskytovat’
základné poznatky z lineárnej algebry). Pojmový aparát bude preto bu-
dovaný len v nevyhnutnej miere. Dôraz bude kladený na praktické ovládanie
metód, t.j. priebežné precvičovanie naučených poznatkov, riešenie najprv
jednoduchých a potom (trochu) zložitejších problémov.
Poznámka: Ospravedlňujem sa za preklepy, ktoré budú postupne odstraňo-
vané. Upozorňujem na to, že v texte sa používajú štandartné označenia go-
niometrických a cyklometrických funkcií, kým v obrázkoch sa to LATEXove
označenia:Funkcia Text Obrázky
tangens tg x tan x
cotangens tg x cot x
arctangens arctg x arctan x
arccotangens arccotg x −
3
Literatúra.
Učebnice.
1. I. Kluvánek, L. Mišík, J. Švec: Matematika pre štúdium technických
vied, Alfa, Bratislava, 1961.
2. Ch. B. Morrey, jr: University Calculus with Analytic Geometry,
Addison-Wesley Publ. Comp., 1964.
3. J. B. Zel’dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov, Alfa, Bratislava,
1973.
Zbierky úloh.
1. Z. Kubáček, J. Valášek: Cvičenia z matematickej analýzy I a II, skrip-
tum UK Bratislava, 1994.
2. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kazan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, 2.
čast’, Alfa, Bratislava, 1966.
3. B. P. Demidovič: Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomu
analizu, Nauka, Moskva, 1977.
Prehl’ady.
1. I. N. Bronštejn, K. A. Semend’ajev: Príručka matematiky, SNTL,
Bratislava, 1961.
2. Malá encyklopédia matematiky, Obzor, Bratislava, 1978.
4
Hodnotenie predmetu. Výsledné hodnotenie sa skladá z priebežného
hodnotenia a záverečného hodnotenia v pomere 50:50.
1. Priebežné hodnotenie 20 + 20 + 15 bodov
"Malé" testy na cvičeniach (10 × 2) ......... 20 bodov
"Vel’ké" testy v strede a na konci semestra (2 × 10) ... 20 bodov
Aktivita na cvičeniach ......... 15 bodov
2. Záverečné hodnotenie 35 + 20 bodov
Písomný test (treba získat’ aspoň 10 bodov) ....... 35 bodov
Ústna skúška ........................ 20 bodov
3. Známkovanie je rozrátané na 50 + 50 bodov (5 + 5 bodov je bónus za
cvičenia a záverečný test):
≥ 91 bodov ... A
81-90 bodov ... B
71-80 bodov ... C
61-70 bodov ... D
51-60 bodov ... E
≤ 50 bodov ... Fx
Kto zo všetkých písomných testov počas semestra a zo záverečného testu
nezíska viac ako 30 bodov (z možných 90) nebude pripustený k ústnej skúške.
Zlepšenie hodnotenia podl’a písomných testov je dané počtom bodov získaných
na skúške. Zlý výsledok ústnej skúšky môže znamenat’ zhoršenie známky o 1
stupeň oproti hodnoteniu podl’a písomných testov.
Chapter 1
Reálne čísla
Budeme predpokladat’, že intuitívny pojem množiny a základných operácií s
nimi sú známe. Zopakujme si ich:
(i) Množina A je súbor určitých objektov, pričom o každom objekte vieme
rozhodnút’ či do nej patrí alebo nie. Obyčajne budeme postupovat’ tak, že
objekty patriace do množiny jednoducho vymenujeme
A = {a, b, . . . , z} ,
alebo do zátvoriek {. . . } napíšeme presnú charakteristiku objektov patriacich
do množiny. Ak objekt a patrí do A, tak píšeme a ∈ A.
Zjednotenie A ∪ B
A B A B
Prienik A ∩ B
B A
A je podmnožinou BA ⊂ B
Obr. 1 a,b,c
5
6 CHAPTER 1. REÁLNE ČÍSLA
(ii) Zjednotenie A⋃
B dvoch množín A a B je súbor objektov patriacich
aspoň do jednej z množín A a B:
A⋃
B = {všetky x také, že x ∈ A alebo x ∈ B};Prienik A
⋂
B dvoch množín A a B je súbor objektov patriacich do oboch
množín A a B súčasne:
A⋂
B = {všetky x také, že x ∈ A a súčasne x ∈ B}.Podmnožina. Množina A je podmnožinou množiny B, ak každý prvok
množiny A patrí aj do množiny B. Samozrejme, množina B môže mat’ aj
rôzne d’al’šie prvky, (pozri Obr. 1).
Množina celých čísiel. Začnime náš výklad množinou celých čísiel
Z = {0,±1,±2, . . . }, na ktorej je definované sčítanie (n,m) 7→ n + m a
násobenie (n,m) 7→ n.m s obvyklými vlastnost’ami
(i) komutatívnost’ súčtu a súčinu:
n + m = m + n , n.m = m.n ,
pritom n + 0 = n, 1.n = n ;
(ii) asociatívnost’ súčtu a súčinu:
n + (m + k) = (n + k) + m , n.(m.k) = (n.m).k ,
(iii) distributívnost’ súčtu a súčinu: n.(m + k) = n.m + n.k .
(iv) záporný prvok: rovnica n + x = 0 má práve jedno riešenie x = −n.
Množina s vlastnost’ami (i)-(iv) sa nazýva okruh. Teda množina celých čísiel
Z je okruh.
Čísla Z+ = {+1, +2, . . . } sa nazývajú kladné celé čísla, pričom miesto
+1, +2, . . . jednoducho píšeme 1, 2, . . . ; čísla Z− = {−1,−2, . . . } sú záporné
7
celé čísla. Miesto n + (−m) sa zvykne písat’ n−m. Poznamenajme, že platí
−n = (−1).n, podobne n = −(−n).
Ak platí (n−m) ∈ Z+ hovoríme, že číslo n je väčšie ako číslo m, zapisuje
sa to ako n > m (prípadne m < n - m je menšie ako n):
• pre l’ubovol’né dve rôzne celé čísla platí bud’ n > m alebo m > n,
• ak n > m a m > k potom n > k.
To znamená, že množina celých čísiel je lineárne usporiadaná. Číslo n + 1 je
nasledovník čísla n (najbližšie celé číslo väčšie ako n).
Matematická indukcia. Čísla N = {0, +1, +2, . . . } sa nazývajú
prirodzené čísla. Množina prirodzených čísiel N je najmenšia množina, ktorá
má nasledujúce dve vlastnosti:
(i) 0 ∈ N ,
(ii) Ak n ∈ N potom aj n + 1 ∈ N .
Táto vlastnost’ je základom overovania formúl (dôkazu vzorcov) závislých na
prirodzenom čísle n pomocou metódy matematickej indukcie:
(i) Overíme formulu Sn pre n = 0,
(ii) Za predpokladu, že platí Sn dokáže sa platnost’ Sn+1.
Príklad: Overit’ pomocou matematickej indukcie súčtovú formulu pre konečný
aritmetický rad
Sn =n
∑
k=0
n ≡ 0 + 1 + 2 + . . . n =1
2n(n + 1) .
Riešenie: (i) Pre n = 0 máme S0 = 0, čo je zrejme správne; (ii) Pre súčet
8 CHAPTER 1. REÁLNE ČÍSLA
Sn+1 postupne dostaneme:
Sn+1 = Sn + (n + 1) =1
2n(n + 1) + (n + 1) =
1
2(n + 1)(n + 2) .
Posledný výraz je presne súčtový vzorec pre n + 1: za predpokladu jeho
platnosti pre n, overili sme ho pre n + 1.
Základom úspešného výsledku bola už správna formula pre Sn, my sme
len overovali, že naozaj je správna. Keby sme nemali správnu formulu k
dispozícii, museli by sme ju "uhádnut’" alebo odvodit’. V danom prípade to
ale nie je t’ažké:
Sn = 0 + 1 + 2 + . . . n
=1
2[(0 + 1 + 2 + · · · + n) + (n + n − 1 + · · · + 1 + 0)]
1
2[(0 + n) + (1 + n − 1) + · · · + (n + 0)] =
1
2n(n + 1) .
Množina racionálnych čísiel. Množinu racionálnych čísiel Q tvoria
triedy ekvivalencie dvojíc celých čísiel (n,m), m 6= 0, ktoré budeme zapisovat’
ako zlomky nm
(prípadne v texte ako n/m): zlomky n/m a n′/m′ sú ekviva-
lentné ak platín
m=
n′
m′ ak nm′ = mn′ . (1.1)
Toto napríklad nastane ak n′ = n.k a m′ = m.k, t.j.
n
m=
n.k
m.k.
Teda zlomky môžeme krátit’: vždy možno vykrátit’ čitatel’a n aj menovatel’a
m tak, že n a m nesúdelitel’né. Naopak, niekedy môže byt’ vhodné zlomky
rozširovat’.
9
Ak zlomok n/1 (presnejšie s ním ekvivalentnú triedu) identifikujeme s čís-
lom n ∈ Z, tak množina celých čísiel Z bude podmnožinou množiny racionál-
nych čísiel Q. Poznamenajme, že platí
n
m= n.
1
m=
1
m.n ,
−n
m=
n
−m= (−1).
n
m= − n
m.
V množine racionálnych čísiel Q definujeme sčítanie a násobenie zlomkov
nasledovne:
n
m+
p
q=
n.q + m.p
m.q,
n
m.p
q=
n.p
m.q. (1.2)
Množina racionálnych čísiel je pole, t.j. pre operácie sčítania a násobenia
zlomkov platí:
(i) komutatívnost’ súčtu a súčinu: r + s = s + r , r.s = s.r ,
(ii) asociatívnost’ súčtu a súčinu:
r + (s + t) = (r + s) + t , r.(s.t) = (r.s).t ,
(iii) distributívnost’ súčtu a súčinu: r.(s + t) = r.s + r.t ,
(iv) záporný prvok: ku každému racionálnemu číslu r = n/m existuje
práve jedno racionálne číslo x = −r = −n/m, ktoré rieši rovnicu r + x = 0,
(v) inverzný prvok: ku každému nenulovému racionálnemu číslu r =
n/m 6= 0 existuje práve jedno racionálne číslo y = r−1 = mn, ktoré rieši
rovnicu r.y = 1.
Teda množina racionálnych čísiel je okruh s vlastnost’ami (i)-(iv) a má
ešte jednu dôležitú vlastnost’ (v) naviac. Takáto množina sa nazýva teleso.
10 CHAPTER 1. REÁLNE ČÍSLA
Znázornenie celých a racionálnych čísiel.
Celé čísla budeme znázorňovat’ ako body na číselnej osi: nakreslíme si
priamku a na nej zvolíme počiatok - bod n = 0, smerom doprava (dol’ava)
v jednotkovej vzdialenosti od počiatku vyznačíme bod +1 (−1), dvojkovej
vzdialenosti smerom doprava (dol’ava) vyznačíme bod +2 (−2), atd’. (pozri
Obr. 2a).
0-1 1 2 3 4 5-2-3-4Číselná os s celými číslami
0
1
2
1 213
Konštrukcia racionálneho čísla r = 13
Obr. 2 a,b
Zlomku n/m, m 6= 0, jednoduchou geometrickou konštrukciou priradíme
bod na číselnej osi:
• Nakreslíme dve na seba kolmé číselné osi - na "vodorovnú" číselnú os
nanesieme hodnotu n (čitatel’a) a kolmú číselnú os nanesieme hodnotu m 6= 0
(menovatel’a).
• Nanesenými bodmi vedieme priamku p a bodom +1 na kolmej osi s ňou
rovnobežnú priamku p′; priamka p′ pretne vodorovnú os práve v bode n/m.
Ak je zlomok kladný priesečník odpovedajúci racionálnemu číslu n/m je
napravo od bodu 0 na vodorovnej osi, ak je záporný je od bodu 0 nal’avo. Toto
11
priradenie bodu na číselnej osi racionálnemu číslu má tú príjemnú vlastnost’,
že ekvivalentným zlomkom je priradený ten istý bod.
Iné možné vyjadrenie celého čísla n je jeho zápis v dekadickom zápise
pomocou číslic 0, 1, . . . , 9: kladné k-ciferné číslo AB...Z, A 6= 0, je zadané
ako
n = A.10k + B.10k−1 + . . . Z .
Teraz racionálnemu číslu r = n/m priradíme dekadický zápis príslušného
podielu dvoch celých čísiel (vypočítaný pomocou bežného algoritmu). Ilus-
trujme si tento postup na niekol’kých jednoduchých zlomkoch tvaru 1/m:
(a) 12
= 1 : 2 = 0, 500... = 0, 50. Po prvom delení máme nulový
zvyšok a d’al’šie delenie by dávalo len samé 0;
(b) 13
= 1 : 3 = 0, 333... = 0, 3. Ako je zvykom, opakujúce sa
číslo alebo skupina čísiel v podieloch (a) aj (b) je v poslednom zápise vyz-
načená čiarou nad opakujúcim sa súborom čísiel (0 sa nezvykne explicitne
vyznačovat’);
(c) 17
= 1 : 7 = 0, 142857142857... = 0, 142857. V tomto prípade
máme postupne zvyšky po delení: 1, 4, 2, 8, 5, 7, potom sa objaví opät’ 1 a
zvyšky sa začnú opakovat’. Je si treba uvedomit’, že je to nevyhnutné: všetky
zvyšky po delení musia byt’ menšie ako m = 6 a nanajvýš po šiestich krokoch
musia sa objavit’ dva rovnaké zvyšky a nastane opakovanie.
Rovnaký argument platí pre l’ubovol’ný zlomok: každému číslu r = n/m ∈Q je priradený dekadický rozvoj s periódou na konci r = A...B, C...DE...F :
• čast’ dekadického rozvoja pred desatinnou čiarkou sa nazýva celou čast’ou
čisla r a značí sa [r] = A...B,
• za desatinnou čiarkou môže byt’ najprv neperiodická čast’ C...D, po
12 CHAPTER 1. REÁLNE ČÍSLA
ktorej nasleduje perióda E...F nanajvýš dĺžky m,
• perióda 0 sa explicitne nevyznačuje; číslo A...B, C...D9 s D < 9 sa
identifikuje s číslom A...B, C...D′ s poslednou číslicou D′ = D+1. Napríklad,
0, 9 = 1 alebo 2, 19 = 2, 2.
Príklad: Konečný geometrický rad je definovaný ako súčet
Sn =n
∑
k=0
qn ≡ 1 + q + . . . qn .
Dokážte súčtovú formulu
Sn =qn+1 − 1
q − 1, pre q 6= 0 .
Riešenie: Vyjdeme jednak zo vzt’ahu
Sn+1 = = 1 + q + . . . qn+1 = Sn + qn+1 ,
a tiež zo vzt’ahu
Sn+1 = 1 + q + . . . qn+1 = 1 + q(1 + · · · + qn) = 1 + q.Sn .
Porovnaním, pravých strán obdržíme hl’adaný súčtový vzorec.
Poznámka 1: V prípade q < 1 je užitočné prepísat’ súčtový vzorec geo-
metrického radu takto:
Sn =1 − qn+1
1 − q=
1
1 − q− qn+1
1 − q, .
Pre vel’ké n druhý člen bude malý (napríklad, ak q = 10−k, prvý člen dá číslo,
ktoré ktoré sa bude líšit’ od Sn nanajvýš na k-tom desatinnom mieste). Toto
13
motivuje nasledujúcu definíciu: Pri q < 1 súčet nekonečného geometrického
radu je rovný
S(q) ≡ 1 + 2 + . . . =1
1 − q, q < 1 . (1.3)
K súčtovému vzorcu (1.3) pre nekonečný geometrický rad sa vrátime neskôr.
Poznámka 2: Aplikujme teraz súčtový vzorec pre nekonečný geometrický
rad na číslo zadané v dekadickom zápise
r = A...B, C...DE...F r = A...B, C...D + 0, 0 . . . 0E...F .
Číslo A...B, C...D je evidentne racionálne, ukážme že taká je aj jeho period-
ická čast’ 0, 0 . . . 0E...F (počet núl za desatinnou čiarkou sa rovna počtu cifier
C...D). Ako a = 0, 0 . . . 0E...F označíme prvú čast’ periódy, jej druhá čast’
bude a.q, tretia a.q2, atd’; tu q = 10−k, kde k je rovné počtu cifier v perióde
E...F . Podl’a súčtového vzorca periodická čast’ je rovná racionálnemu číslu:
0, 0 . . . 0E...F = a.(1 + q + q2 + . . . ) =a
1 − q.
Lineárne usporiadanie racionálnych čísiel.V d’al’šom bez ujmy na
obecnosti racionálne číslo berieme s kladným menovatel’om v tvare r = n/m,
m > 0:
• Racionálne číslo r je kladné r > 0 ak n > 0; r je záporné r < 0 ak
n < 0; (kladné resp. záporné racionálne čísla sa zobrazujú sa kladnú pravú
čast’ resp. zápornú l’avú čast’ číselnej osi);
• Hovoríme, že r ∈ Q je väčšie s =∈ Q práve ak r − s > 0, zapisujeme
to ako r > s. Číslo r je menšie ako s ak s − r > 0, zapisujeme to ako r < s
alebo s > r;
14 CHAPTER 1. REÁLNE ČÍSLA
• Pre l’ubovol’né dve rôzne racionálne čísla r a s platí bud’ r > s alebo
s > r; usporiadanie je tranzitívne: ak r > s a s > t potom r > t;
• Množina racionálne čísiel je hustá: medzi dvoma racionálnymi číslami
r > s vždy existuje racionálne číslo t také, že r > t > s.
• Ak r > s a t > 0 potom r.t > s.t; ak r > s a t < 0 potom r.t < s.t;
špeciálne pre r > s dostaneme −r < −s.
Teda množina racionálnych čísiel Q je lineárne usporiadané teleso: na čísel-
nej osi menšie racionálne číslo je nal’avo od väčšieho, kladné resp. záporné
racionálne čísla sa zobrazujú sa kladnú pravú čast’ resp. zápornú l’avú čast’
číselnej osi.
Poznámka: Vzt’ah r > s sa nazýva ostrá nerovnost’. Neostrá nerovnost’
r ≥ s znamená r > s alebo r = s;
analogicky
r ≤ s znamená r < s alebo r = s.
Množina reálnych čísiel. Množinu racionálnych čísiel je potrebné
rozšírit’ aby bolo možné riešit’ (niektoré) algebraické rovnice. Ako príklad
uvažujme rovnicu
x2 = 2 .
Predpokladajme, že jej riešením je racionálne číslo x = n/m ∈ Q s nesúdeli-
tel’nými n,m ∈ Q (t.j. vykrátili sme všetky spoločné faktory v n a m). Po
dosadení do rovnice dostaneme
n2
m2= 2 alebo n2 = 2m2 .
Pravá strana je párne číslo a preto musí byt’ n = 2k. Po dosadení do posled-
15
ného vzt’ahu dostaneme 2k2 = m2, takže aj m musí byt’ párne: obe čísla n
a m sú párne a prišli sme k sporu s ich predpokladanou nesúdelitel’nost’ou.
Vidíme, že rovnica x2 = 2 nemá racionálne riešenia. Pretože riešenie x
rovnice x2 = 2 nie je racionálne, jeho dekadický rozvoj nemôže byt’ s perió-
dou na konci.
Množinu reálnych čísiel R definujeme ako čísla, ktoré majú všeobecný
dekadický rozvoj x = A...B, CD...:
• čísla s periódou na konci sú racionálne,
• ostatné čísla sú iracionálne.
Poznámka: Čísiel v R je ovel’a viac ako racionálnych čísiel Q. Dajú
sa ale l’ubovol’ne presne aproximovat’ číslami z Q. Napríklad, stačí zobrat’
z dekadického rozvoja x = A...B, C1...Cn... ∈ R jeho celú čast’ a prvých
n = číslic za desatinnou čiarkou, t.j. xn = A...B, C1...Cn ∈ Q. Zrejme
0 < x − xn < 10−n. Podrobnejšie sa budeme takýmito otázkami zaoberat’
neskôr.
Množina reálnych čísiel R je usporiadané pole:
• V R sú definované komutatívne asociatívne a vzájomne distributívne
operácie sčítania a násobenia (vlastnosti (i)-(iii));
• Rovnice x + a = 0 a by = 1 (pri b 6= 0), majú práve jedno riešenie
x = −a resp. y = b−1 (vlastnosti (iv)-(v));
• V R máme lineárne usporiadanie x > y ⇔ x − y > 0 s obdobnými
vlastnost’ami ako v množine racionálnych čísiel.
Intervaly na reálnej osi. Ohraničené intervaly na reálnej osi sú podm-
nožiny R zadané dvomi reálnymi číslami a ≤ b ako:
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} − uzavretý interval ,
16 CHAPTER 1. REÁLNE ČÍSLA
[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b} − zhora otvorený polouzavretý interval ,
(a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} − zdola otvorený polouzavretý interval ,
(a, b) = {x ∈ R; a < x < b} − otvorený interval .
Okrem toho sa definujú zhora neohraničené intervaly:
[a,∞) = {x ∈ R; x ≤ a} − zhora neohraničený uzavretý interval ,
(a,∞) = {x ∈ R; x ≤ a} − zhora neohraničený otvorený interval .
Zdola neohraničené intervaly (−∞, a] = {x ∈ R; x ≥ a} a (−∞, a) = {x ∈R; x > a} sú definované obdobne; nakoniec sa zvykne definovat’ neohraničený
interval (zdola aj zhora) (−∞,∞) = R.
Chapter 2
Funkcie
Hovoríme, že f je reálna funkcia na podmnožine Df ⊂ R reálnej osi, ak
každému x ∈ Df je priradené reálne číslo f(x) ∈ R. Píšeme,
f : Df → R , alebo x ∈ Df 7→ f(x) ∈ R .
Množina Df sa nazýva definičný obor funkcie f a množina Rf = {y =
f(x); x ∈ Df} sa nazýva obor hodnôt funkcie f .
Graf funkcie. V rovine (na papieri alebo tabuli) nakreslíme reálnu x-
ovú os a jej počiatkom vedieme na ňu kolmú y-ovú os. Každý bod roviny
bude takto charakterizovaný dvojicou reálnych čísiel [x; y] ∈ R × R = R2.
Na x-ovej osi vyznačíme definičný obor a každému x ∈ Df priradíme
reálne číslo y = f(x) na y-ovej osi. Množina dvojíc bodov Gf = {[x; f(x)] ∈R2} sa nazýva graf funkcie.
17
18 CHAPTER 2. FUNKCIE
Prehl’ad funkcií.
Niektoré nelementárne funkcie.
0 1 2 3
1
2
3
-1
-1
y=[x]
0 1 2
1
2
3
-1
-1
-2
y=|x|
0 1 2 3
1
-1
-1
-2
y = ε(x)
Obr. 3 a,b,c
1. Celá čast’ čísla [x] je definovaná ako najväčšie celé číslo n ≤ x, t.j. pre
x ∈ [n, n + 1) je [x] = n. Napríklad, pre číslo x = A...B,D... ∈ R máme
[x] = A...B.
2. Abslútna hodnota |x| čísla x je definovaná takto:
|x| = x pre x ≥ 0 , |x| = −x pre x ≤ 0 , (2.1)
19
Ekvivalentne, |x| = max{x,−x} (najväčšie z čísiel x a −x).
3. Znamienková funkcia (signum x) značieva sa ako ε(x) (alebo sgn(x)).
Je definovaná takto:
ε(x) = 1 pre x > 0, ε(0) = 0, ε(x)− = 1 pre x < 0. (2.2)
Jednoducho s ňou súvisí Heavisideova funkcia θ(x) = 12[1 + ε(x)]. Grafy
funkcií [x], |x| a ε(x) sú na Obr. 3.
*4. Pre prirodzené n symbol n! (n-faktoriál) je definovaný takto: 0! = 1,
n! = 1.2.3 . . . (n−1).n. Gamma funkcia Γ(x) je definovaná pomocou integrálu
Γ(x) =
∫ ∞
0
dt e−ttx−1 , pre x > 0, (2.3)
Možno ukázat’, že pre prirodzené čísla platí Γ(n+1) = n!. Teda Γ(x) rozširuje
faktoriál na všetky reálne kladné čísla. Čo sa za týmto skrýva dozvieme sa
koncom semestra.
Elementárne funkcie.
Celočíselné mocniny a polynómy.
Funkcia xn, n je prirodzené číslo. Definičný obor funkcie je celá
reálna os D = R: pre všetky x ∈ R kladieme x0 ≡ 1 (x0 je funkcia identicky
rovná 1), kým pre prirodzené kladné číslo n kladieme
xn = x...x , n-násobný súčin x-ov . (2.4)
20 CHAPTER 2. FUNKCIE
Funkcia xn má nasledovné vlastnosti:
• Ak x 6= 0 potom xn 6= 0,
• xn.xm = (x...x).(x...x) = xn+m (v prvej zátvorke n-násobný a v druhej
m-násobný súčin),
• (xn)m = xn...xn = xnm (v druhom kroku máme m-násobný súčin xn),
• (xy)n = xnyn,
• Binomický rozvoj. Platí formula
(x + y)n =n
∑
k=0
(nk) xkyn−k , (2.5)
kde
(nk) =
n!
k!(n − k)!. (2.6)
0 1 2
1
2
3
-1
-1
-2
y=x
y = x2
0 1 2
1
2
3
-1
-1
y = x2
y = x3
Obr. 4 a,b
Grafy funkcií y = f(x) = x a y = g(x) = x2 sú znázornené na Obr.4a:
graf funkcie y = x je priamka prechádzajúca počiatkom, kým y = x2 je
parabola v hornej polrovine prechádzajúca počiatkom symetrická okolo y-
21
ovej osi. Graf funkcie y = xn pre x > 0 je podobný grafu funkcie y = x2
(pozri Obr.4b, kde sú nakreslené grafy funkcií x2 a x3).
Polynóm n-tého stupňa p(x). Je to funkcia na D = R zadaná formulou
p(x) = anxn + an−1x
n−1 + ... + a1x + a0 , (2.7)
kde a0, a1, ..., an sú pevne dané reálne čísla, pričom an 6= 0.
Funkcia x−n. Jej definičný obor tvoria všetky nenulové body na reálnej
osi D = {x ∈ R; x 6= 0} = (−∞, 0)⋃
(0, +∞). Je definovaná ako riešenie
rovnice
y.xn = 1 , x 6= 0 . (2.8)
Pri x 6= 0 vzt’ahy
xn 6= 0 , xn.xm = xn+m , (xn)m = xnm , (2.9)
platia pre l’ubovol’né celočíselné mocniny. Špeciálne, x−n = x−1...x−1 je n-
násobný súčin x−1.
Racionálna funkcia je definovaná ako podiel dvoch (reálnych) polynó-
mov
f(x) =p(x)
q(x)(2.10)
m-tého a n-tého stupňa:
p(x) = amxm + .. a1x + a0, (2.11)
q(x) = xn + .. b1x + b0 (2.12)
(bez ujmy obecnosti sme položili bn = 1). Aby sme určili definičný obor
využijeme (bez dôkazu) tvrdenie z teórie algebraických rovníc, podl’a ktorého
22 CHAPTER 2. FUNKCIE
polynóm q(x) má nasledujúci rozklad:
q(x) = (x−x1)...(x−xl).[(x−c1)2 +d2
1]...[(x−ck)2 +d2
k] , d1 6= 0, .., dn 6= 0 ,
(2.13)
pričom n = l +2k (môže byt’ l = 0 alebo k = 0). Čísla x1, ..., xl ∈ R sú práve
reálne korene polynómu q(x). Definičný obor racionálnej funkcie p(x)q(x)
tvoria
všetky reálne čísla nerovnúce sa koreňom polynómu q(x): D = {x ∈ R; x 6=x1, ..., x 6= xl}.
Pokial’, polynóm p(x) má nižší stupeň ako q(x) a q(x) má vyššie uve-
dený rozklad na koreňové faktory, tak racionálna funkcia p(x)/q(x) môže byt’
rozložená na parciálne zlomky takto:
p(x)
q(x)=
a1
x − x1
+ ... +al
x − xl
+ ... +α1.x + β1)
(x − c1)2 + d21
+ ... +αk.x + βk)
(x − ck)2 + d21
. (2.14)
Túto formulu možno dokázat’ matematickou indukciou.
Zložená a inverzná funkcia.
Zložená funkcia. Uvažujme dve reálne funkcie
f : Df → R, g : Dg → R, (2.15)
pričom budeme predpokladat’, že obor hodnôt funkcie f je podmnožinou
definičného oboru funkcie g:
Rf = {y = f(x); x ∈ Df} ⊂ Dg . (2.16)
23
Ak Rf ⊂ Dg, má zmysel na Df uvažovat’ zložené zobrazenie
x 7→ f(x) 7→ g(f(x)) ,
ktoré definuje zloženú funkciu g ◦ f : Df to R:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈ Df . (2.17)
Poznámka: Pokial’, Rf nie je podmnožinou Dg, niekedy pomôže zúžit’ definičný
obor Df funkcie f na podmnožinu D′f ⊂ Df , tak aby R′
f = {y = f(x); x ∈D′
f} už bolo podmnožinou Dg.
Príklad 1.: Nech f(x) = x3 − 1 a g(x) = x2 + 2, potom zložená funkcia
bude
(g ◦ f)(x) = (x3 − 1)2 + 2 = x6 − 2x3 + 3 .
Pretože Dg = R, definičný obor zloženej funkcie môže byt’ celá reálna os:
Dg◦f = R.
Príklad 2.: Nech f(x) = 1 − x2 a g(x) =√
x. Pretože Dg = [0, +∞), tak
zložená funkcia
(g ◦ f)(x) =√
1 − x2 ,
bude mat’ definičný obor Dg◦f = [−1, +1].
Inverzná funkcia. Hovoríme, že funkcia y = f(x) je prostá na podm-
nožine D′ ⊂ Df , ak pre jej dva l’ubovol’né rôzne body x1 a x2 z D′ sú rôzne
ich obrazy f(x1) a f(x2):
x1, x2 ∈ D′, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) .
24 CHAPTER 2. FUNKCIE
Medzi x ∈ D′ a y ∈ R′ = {y = f(x); x ∈ D′} máme jedno-jednoznačné
priradenie x ↔ y = f(x): ku každému y ∈ R′ najdeme práve jedno x ∈ D′,
pre ktoré y = f(x).
Príklad: Z grafov funkcie y = x a y = x2 vidíme, že funkcia y = x je
prostá na R, kým funkcia y = x2 je prostá na [0, +∞] (alebo [−∞, 0]), ale
nie je prostá na žiadnej väčšej podmnožine reálnej osi.
1
1
y = x2
y =√
x
Graf funkcie y = x2
a inverznej y =√
x
Obr. 5a,b
y=f(x)
y=g(x)
Graf funkcie g(x) inverznej k f(x)
0
K funkcii y = f(x) prostej na množine D′, môžeme definovat’ na R′ =
{y = f(x); x ∈ D′} inverznú funkciu y = g(x), ktorá má nasledujúcu
vlastnost’:
Bodu x′ = f(x) ∈ R′ prirad’uje g(x′) = x . (2.18)
25
Vo všeobecnosti medzi funkciou a k nej inverznou platí:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = x , pre x ∈ D′ ,
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = x , pre x ∈ R′ . (2.19)
Grafom inverznej funkcie je množina bodov
Gg = {[x′; g(x′) = [f(x); x]},
t.j. oproti Gf je x-ová súradnicová os vymenená s y-ovou osou: Gg dostaneme
z Gf tak, že graf Gf otočíme okolo priamky y = x (pozri Obr. 5a).
Odmocnina.
Funkcia f(x) = xn, n ∈ N (n-á mocnine) je pre x ≥ 0 jednoznačne
zobrazuje množinu Df = [0; +∞) na Rf = [0; +∞) (pozri Obr. 5b). Preto
existuje inverzná funkcia, ktorá sa nazýva n-tá odmocnina a značí sa ako
g(x) = x1
n alebo g(x) = n
√x s definičným oborom Dg = [0; +∞) = Rf . Teda
platí:
(xn)1
n = x pre x ≥ 0 ,
(x1
n )n = x pre x ≥ 0 . (2.20)
Racionálna a reálna mocnina. Ked’ už máme definovanú odmocninu
x1
n , x ≥ 0, tak môžme vypočítat’ mocninu čísla x > 0 na racionálne číslo
r = m/n takto:
xr = (xm)1
n = (x1
n )m. (2.21)
26 CHAPTER 2. FUNKCIE
Oba spôsoby výpočtu xr dávajú rovnaký výsledok. Poznamenajme, že pokial’
exponent r > 0, tak uvedené formuly môžme použit’ aj pre x = 0 (pritom
0r = 0).
Pre racionálne mocniny platia vzt’ahy
xr.xs = xr+s, (x.y)r = xr.yr, (xr)s = xrs, (2.22)
ktoré zovšeobecňujú analogické vzt’ahy platné pre celé čísla.
Poznámka. Pretože, reálne čísla možno l’ubovol’ne presne aproximovat’
racionálnymi číslami, tak pojem mocniny xa kladného čísla x možno rozšírit’
aj na reálne exponenty a ∈ R. Formuly (2.22) pre xa.xb, (x.y)a, (xa)b sú
rovnaké ako pre racionálne exponenty. Presnejšia argumentácia vyžaduje
pojem limity a bude uvedená neskôr.
Exponenciálna funkcia a logaritmus.
Exponenciálna funkcia.V definícii reálnej mocniny xa pre x > 0 a a ∈ R,
vymeníme úlohy x a a a budeme uvažovat’ pri kladnom a > 0 exponenciálnu
funkciu ax definovanú na celej číselnej osi x ∈ R. Táto funkcia spĺňa nasle-
dujúci vzt’ah (dôsledok prvej rovnice v (2.22)).
ax.ay = ax+y, a > 0 pevne zvolené, (2.23)
ktorý platí pre l’ubol’né reálne čísla x a y (číslo a sa nazýva základom a číslo
x exponentom).
27
y=ln(x)
y = ex
Obr. 6
10
1
Medzi exponenciálnymi funkciami význačné postavenie má Eulerova ex-
ponenta zadaná nekonečným radom:
ex = 1 +x
1!+
x2
2!+
x3
3!+ ... =
∞∑
n=0
xn
n!. (2.24)
Neskôr ukážeme, že exponenciálny rad má definovaný súčet pre všetky x ∈ R.
Jeho základom je Eulerova konštanta
e = e1 = 1 +1
1!+
1
2!+
1
3!+ ... = 2, 718282... . (2.25)
Teraz sa formálne presvedčíme, že funkcia ex spĺňa požadovanú rovnicu
ex.ey = ex+y . (2.26)
Postupne máme:
ex.ey = (1 +x
1!+
x2
2!+
x3
3!+ ... ).(1 +
y
1!+
y2
2!+
y3
3!+ ... )
= 1 +1
1!(x + y) +
1
2!(x2 + 2xy + y2) +
1
3!(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) + ...
28 CHAPTER 2. FUNKCIE
= 1 +(x + y)
1!+
(x + y)2
2!+
(x + y)3
3!+ ... =
∞∑
n=0
(x + y)n
n!= ex+y.
Na základe rovnice (2.26) tiež máme ex.e−x = ex−x = e0 = 1, takže
e−x =1
ex= 1 − x
1!+
x2
2!− x3
3!+ ... . (2.27)
Funkcia ex je rastúca a kladná na celej číselnej osi (jej graf je na Obr. 6):
(i) Pretože, x > y > 0 implikuje xn > yn > 0, tak ex je rastúca pre x > 0,
(ii) pre x < 0 to zase vyplýva zo vzt’ahu e−x = 1/ex.
Funkcia ex nadobúda všetky kladné hodnoty: jej obor hodnôt je nevlastný
interval (0, +∞).
Logaritmus. Prirodzený logaritmus ln x je definovaný ako funkcia in-
verzná k ex. Teda, funkcia ln x je definovaná pre x > 0, pričom:
ln ex = x, x − reálne,
eln x = x, x − reálne a kladné. (2.28)
Na celom svojom definičnom obore logaritmus je rastúca funkcia (pozri Obr.
6). Ďalej platí:
ln (x.y) = ln x + ln y, ln (xa) = a.ln x. (2.29)
Teraz už l’ahko vyjadríme l’ubovol’nú exponenciálnu funkciu ax pomocou
Eulerovej exponenty
ax = (eln a)x = ex.ln a. (2.30)
Vidíme, že k tomu aby sme vypočítali ax stačí dosadit’ do vzorca pre ey
preškálovaný argument y = x.ln a. Poznamejme ešte že, pre reálnu mocninu
platí xa = ea.ln x.
29
Poznámka 1. Logaritmická funkcia redukuje násobenie dvoch reálnych
čísiel a a b na sčítanie ich logaritmov ln a a ln b (podstata logaritmického
pravítka):
a.b = eln a.eln b = eln a+ln b.
Komplexné čísla
Teleso reálnych čísiel R rozšírime o nový matematický objekt o imag-
inárnu jednotku i: jej sčítanie s reálnym číslom a násobenie reálnym číslom
definujeme tak, že pre všetky reálne čísla a, b platí
i + a = a + i , (i + a) + b = i + a( + b) , i + 0 = i , (2.31)
i . a = a . i , (i . a) . b = i . a( . b) , i . 1 = i , (2.32)
a( + b) . i = a . i + b . i , i2 = −1 . (2.33)
Posledný vzt’ah i2 = −1 definuje násobenie imaginárnej jednotky samej so
sebou a podstatne ju odlišuje od reálnych čísiel (pre ktoré vždy platí a2 ≥ 0).
Definícia: Množinu komplexných čísiel C tvoria čísla tvaru
c = a + b.i , a, b − reálne čísla .
V tejto formuli imaginarna jednotka i má vlastnosti (2.31)-(2.33). Súčet c+c′
a súčin c.c′ dvoch komplexných čísiel c = a+b.i a c′ = a′+b′.i sú definované
vzt’ahmi:
c + c′ = (a + a′) + (b + b′).i ,
30 CHAPTER 2. FUNKCIE
c . c′ = (a.a′ − b.b′) + (a.b′ + a′.b).i .
Poznámky:
1) Ku každému komplexnému číslu c = a + b.i definujeme komplexne
združené číslo c̄ = a − b.i. Reálne čísla
Re c :=1
2(c̄ + c) = a ,
Im c :=i
2(c̄ − c) = b ,
nazývajú sa reálnou čast’ou a imaginárnou čast’ou komplexného čísla. Kom-
plexné čísla, s nulovou imaginárnou čast’ou, pre ktoré c = c̄ = a, identifiku-
jeme s reálnymi číslami.
2) Absolútna hodnota (modul) komplexného čísla c = a+b.i je definovaná
ako nezaporné reálne číslo zadané vzt’ahom:
|c| =√
c.c̄ =√
a2 + b2 .
Komplexné číslo c = 0 práve vtedy ak |c| = 0, t.j. Re c = a = 0 a súčasne
Im c = b = 0.
3) Ku každému komplexnému číslu c = a + b.i existuje práve jedno za-
porné číslo −c = (−a) + (−b).i = −a − b.i, pre ktoré platí c + (−c) =
c − c = 0. Pre každé komplexné číslo c = a + b.i 6= 0 existuje práve jedno
31
inverzné číslo
c−1 =c̄
|c|2 =a − b.ia2 + b2
=a
a2 + b2− b
a2 + b2. i ,
pre ktoré platí c.c−1 = 1.
4) Na základe tohto jednoducho sa možno presvedcit’, že komplexné čísla
C tvoria teleso, podobne ako ho tvoria racionálne čísla Q a reálne čísla R:
• operácie sčítania a násobenia komplexných čísiel sú komutatívne a aso-
ciatívne, a tiež vzájomne distributívne,
• ku každému komplexnému číslu existuje zaporné číslo a ku každému
komplexnému číslu rôznemu od 0 existuje inverzné číslo.
• Komplexné čísla, na rozdiel od racionálnych a reálnych čísiel, nemožno
prirodzene lineárne usporiadat’.
5) Každé komplexné číslo z = x + y.i ∈ C možno identifikovat’ s bodom
[x; y] v rovine reálnych čísiel R2:
• Na vodorovnú x-ovú os v rovine nanášame reálnu čast’ komplexného
čísla, na kolmú y-ovú os nanášame jeho imaginárnu čast’. Komplexnému
číslu z = 0 odpovedá počiatok v rovine.
• Komplexné číslo z = x + y.i môžme tiež identifikovat’ s vektorom ("šip-
kou") z v rovine R2 s koncovym bodom [x; y], ktorá vychádza z počiatku.
Vektor z odpovedajúci z ma dĺžku |z| a zviera s x-vou osou uhol ζ zadaný
formulou tg ζ = xy
(podrobnejšie si to všimneme neskôr).
• Pri znazornení pomocou vektorov v rovine, súčtu komplexných čísiel c
a z odpovedá súčet vektorov c a z. Ak komplexné číslo z násobime kom-
32 CHAPTER 2. FUNKCIE
plexným číslom c, tak súčinu c . z odpovedá vektor dĺžky |c|.|z|, ktorý zviera
s x-vou osou uhol γ + ζ (ζ a γ označujú uhly, ktoré s x-ovou osou zvierajú
vektory c a z).
Goniometrické funkcie.
ξ
η
x
x
[ξ, η]
η = sin x
ξ = cos x
Obr. 7a,b
β
sin β
cos β
sin αα
sin α cos β
αcos α sin β
.
10
sin(α + β)
Uvažujme v rovine R2 (s navzájom kolmými číselnými osami ξ a η)
kružnicu C o polomere 1. Body na C parametrizujme uhlom , ktorý nanášame
od bodu (1; 0) na kružnicu v kladnom smere (t.j. proti smeru hodinových
ručičiek). Uhly zadávame v radiánoch: 180o = π, kde π = 3, 141592... je
Ludolfovo číslo, t.j. 1o = π/180 (špeciálne 90o = π/2).
Podl’a definície goniometrických funkcií z pravouhlého trojuholníka vyz-
33
načeného na Obr. 7a máme
sin x =protil’ahlá odvesna
prepona= η ,
cos x =pril’ahlá odvesna
prepona= ξ . (2.34)
Z obrázku vidno, že funkcie sinx a cosx nadobúdajú špeciálne hodnoty
sin 0 = 0 , sin(π
2) = 1 ,
cos 0 = 1 , cos(π
2) = 0 . (2.35)
Tiež jednoducho možno ukázat’, že platia súčtové (presnejšie, rozdielové)
vzorce
sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y ,
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y . (2.36)
Dôkaz týchto vzorcov je naznačený na Obr. 7b. Zo špeciálnych hodnôt (2.35)
a súčtových vzorcov (2.36) plynú všetky formulky pre goniometrické funkcie.
Zhrňme tie základné:
(i) Ak v súčtových vzorcoch položíme x = 0, získameme nepárnost’ funkcie
sinus a párnost’ funkcie cosinus:
sin(−y) = − sin y , cos(−y) = cos y , (2.37)
(ii) Ak v súčtových vzorcoch položíme y = −x, obdržíme známu rovnicu
(Pytagorova veta pre trojuhoník s jednotkovu preponou):
sin2 x + cos2 x = 1 , (2.38)
34 CHAPTER 2. FUNKCIE
(iii) Ak položíme x = π2
a využijeme (i) dostaneme základný vzt’ah medzi
funkciami sinus a cosinus:
sin(π
2− y) = cos y , cos(
π
2− y) = sin y , (2.39)
(iv) Ak v súčtových vzorcoch položíme y = π = π2
+ π2
a použijeme
ich dvakrát dostaneme zmenu znamienka funkcií sinus a cosinus pri zmene
argumentu o π:
sin(x + π) = sin(x +π
2+
π
2) = cos(x +
π
2) = − sin x ,
cos(x + π) = cos(x +π
2+
π
2) = − sin(x +
π
2) = − cos x , (2.40)
(v) Nakoniec, ak predchádzajúci vzt’ah aplikujeme dvakrát dostaneme
periodičnost’ funkcií sinus a cosinus pri zmene argumentu o 2π:
sin(x + 2π) = sin(x + π + π) = − sin(x + π) = sin x ,
cos(x + 2π) = cos(x + π + π) = − cos(x + π) = cos x . (2.41)
Okrem goniometrických funkcií sinx a cosx zavádzujú sa aj d’al’šie:
tg x =sin x
cos xdefinovaná pre x 6= ±π
2,±3π
2, ...
cotg x =cos x
sin xdefinovaná pre x 6= 0,±, ... (2.42)
Z ich definičných oborov sme museli vynat’ body na číselnej osi, v ktorých
cosx = 0 resp. sinx = 0. Ich základné vlastnosti plynú l’ahko z formuliek
funkcie sinx a cosx, ktoré sú uvedené vyššie. Napríklad, funkcie tgx a cotgx
sú periodické s periódou π:
tg(x + π) = tg x , cotg(x + π) = cotg x . (2.43)
35
Úplne podobne možno odvodit’ zo súčtových vzorcov rôzne d’al’šie vzt’ahy
medzi goniometrickými funkciami.
Poznámka: Uvažujme funkciu
E(x) = cos x + i sin x .
Použitím súčtových vzorcov pre goniometrické funkcie dostaneme
E(x) E(y) = (cos x + i sin x) (cos y + i sin y)
= (cos x cos y − sin x sin y) + i (sin x cos y + cos x sin y)
= cos(x + y) + i sin(x + y) = E(x + y) .
Teda funkcia E(x) je exponenta, ktorú možno vyjadrit’ pomocou Eulerovej
exponenciálnej funkcie. Platia dôležité Moivreove vzorce
eix = cos x + i sin x , e−ix = cos x − i sin x .
Obrátené Moivreove vzt’ahy sú
cos x =eix + e−ix
2, sin x =
eix − e−ix
2i.
Teraz pomocou rozvojov (2.24) a (2.27) pre funkcie ex a e−x dostaneme
dôležité rozvoje pre goniometrické funkcie cos x a sin x:
cos x = 1 − x2
2!+
x4
4!− ... =
∞∑
n=0
(−1)n x2n
(2n)!. (2.44)
sin x = x − x3
3!+
x5
5!− ... =
∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
(2n + 1)!. (2.45)
36 CHAPTER 2. FUNKCIE
Cyklometrické funkcie.
Cyklometrické funkcie sú funkcie inverzné ku goniometrickým. Funkcie
sinx, cosx, tgx a cotgx sú monotónne (rastúce alebo klesajúce na vhodných
intervaloch dĺžky π. Ich štandartná vol’ba je nasledovná:
(i) Funkcia sinx je rastúca na intervale (−π2, +π
2), pričom jej obor hodnôt
je interval (−1, +1). Funkcia arcsin x, inverzná k sinx je určená vzt’ahmi
(pozri Obr. 8a, funkcia sinx je vyznačená plnou čiarou a funkcia arcsinx)
čiarkovane):
arcsin(sin x) = x pre x ∈ (−π
2, +
π
2),
sin(arcsin x) = x pre x ∈ (−1, +1).
Podobne, funkcia tgx je rastúca na intervale (−π2, +π
2), jej obor hodnôt je
interval (−∞, +∞). Inverzná funkcia arctgx spĺňa vzt’ahy (pozri Obr. 8b,
funkcia tgx je vyznačená plnou čiarou a funkcia arctgx čiarkovane):
arctg (tg x) = x , x ∈ (−π
2, +
π
2),
tg (arctg x) = x , x ∈ (−∞, +∞).
(ii) cosx a cotgx sú klesajúce na intervale (0, π). Ich obory hodnôt sú
(−1, +1) resp. (−∞, +∞). Vd’aka reláciam
cos x = sin(π
2− x) , cotg x = tg (
π
2− x), x ∈ (−π
2, +
π
2)
príslušné inverzné funkcie sú dané vzt’ahmi:
arccos x =π
2− arcsin x, x ∈ (−1, +1),
37
arccotg x =π
2− arctg x, x ∈ (−∞, +∞).
Základné vzt’ahy pre cyklometrické funkcie:
arcsin x = − arcsin(−x) =π
2− arccos x = arctg
x√1 − x2
,
arccos x = π − arccos(−x) =π
2− arcsin x = arctg
√1 − x2
x,
arctg x = −arctg (−x) =π
2− arccotg x = arcsin
x√1 + x2
,
arccotg x = π − arccotg (−x) =π
2− arctg x = arcsin
1√1 + x2
.
Tieto vzt’ahy plynú l’ahko zo známych relácií medzi goniometrickými funkci-
ami. Ako ilustráciu overíme vzt’ah
arctgx√
1 − x2= arcsin x.
Ak dosadíme na l’avej strane x = sin t, postupne dostaneme
arctgsin t
√
1 − sin2 t= arctg
sin t
cos t= arctg(tg t) = t.
Toto je presne to, čo sa získa pri dosadení do pravej strany: arcsin(sin t) = t.
38 CHAPTER 2. FUNKCIE
Obr. 8 a,b
y = sin x
y = arcsin x
Graf funkcie y = sin xa k nej inverznej y = arcsin x
π2
−π2 1-1
1
0
π2
-1
y = arctgx
y = tgx
Graf funkcie y = tgxa k nej inverznej y = arctgx
π2
−π2
1-1
1
0
π2
-1
3-2 2
2
3
-2
-3
-3
−π2
x
yy
x
−π2
y = x y = x
Chapter 3
Limita číselnej postupnosti, rady
Číselná postupnost’. Číselná postupnost’ {an}∞n=m ≡ {am, am+1, am+2, . . . }je funkcia definovaná na podmnožine prirodzených čísiel {m,m + 1,m +
2, . . . }, ktorá prirad’uje každému číslu n z tejto podmnožiny reálne číslo an:
n ∈ {m,m + 1,m + 2, . . . } 7→ an ∈ R . (3.1)
Poznámka: Zväčša sa uvažujú prípady m = 1 (alebo m = 0). Nie je
to podstatné, lebo ak položíme a′n = an+m, n = 0, 1, 2, . . . , máme jedno-
jednoznačné priradenie medzi postupnost’ou {an}∞n=m a postupnost’ou {a′n}∞n=1
(alebo {a′n}∞n=0).
Monotónne a ohraničené postupnosti. Postupnost’ {an}∞n=m je
• rastúca ak pre všetky členy postupnosti platí an < an+1,
• klesajúca ak pre všetky členy postupnosti platí an > an+1,
• neklesajúca ak pre všetky členy postupnosti platí an ≤ an+1,
39
40 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY
• nerastúca ak pre všetky členy postupnosti platí an ≥ an+1,
• ohraničená zdola resp. ohraničená zhora ak existuje také číslo K, že pre
všetky členy postupnosti platí an > K resp. an < K,
• ohraničená ak je ohraničená zdola aj zhora; vtedy existuje kladné číslo
K, že pre jej všetky členy platí |an| < K.
Niekol’ko príkladov:
1) {an}∞n=1 = {1, 2, . . . } alebo an = n, n = 0, 1, 2, . . . ,
2) {an}∞n=0 = {3,−32, 3
4,−3
8, . . . } , alebo an = 3.(−1
2)n, n = 0, 1, 2, . . . ,
3) {an}∞n=0 = {1,−1, 1, . . . } , alebo an = (−1)n, n = 0, 1, 2, . . . ,
4) an = 1n
alebo {an}∞n=1 = {1, 12, 1
3, . . . } , n = 1, 2, . . . ,
5) {an}∞n=1 = {1,−2, 3,−4, . . . } , alebo an = (−1)n−1n, n = 1, 2, . . . .
Poznámka. Postupnost’ 1. je rastúca, 4. je klesajúca, postupnosti 1. a 5.
sú neohraničené, kým postupnosti 2., 3. a 4. sú ohraničené.
41
Limita číselnej postupnosti.
Vlastná limita. Ak existuje k danej postupnosti {an . . . }∞n=m číslo a ∈R, ku ktorému čísla an s rastúcim sa l’ubovol’ne približujú, vtedy číslo a
nazývame limitou postupnosti {an}∞n=m a značíme
a = limn→∞
an . (3.2)
Definícia (presné znenie). Hovoríme, že číslo a ∈ R je (vlastnou) limitou
postupnosti {an}∞n=m
ak pre každé kladné číslo ε > 0 existuje také prirodzené číslo, že pre každé
prirodzené číslo n > n0 platí
a − ε < an < a + ε . (3.3)
Objasnime si bližšie, čo znamená táto presná definícia:
(i) Ak zvolíme ε = 10−k, potom nerovnosti (3.3) nám hovoria, že všetky
členy postupnosti an s n > n0 majú rovnaký dekadický rozvoj ako a aspoň
do k-teho miesta za desatinnou čiarkou;
(ii) Geometrický si môžme nerovnosti (3.3) predstavit’ takto. Uvažujme
graf funcie n 7→ an. Nerovnosti (3.3) nám zaručujú, že pre n > n0 hodnoty
an sú v ±ε páse okolo priamky y = a rovnobežnej s x=ovou osou, pozri Obr.
9a.
42 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY
Nevlastná limita. Ak členy postupnosti {an}∞n=m pri rastúcom n neohraničene
rastú (resp. klesajú), tak hovoríme, že postupnost’ má nevlastnú limitu +∞(resp. −∞), pozri Obr. 9b. Toto označujeme symbolom
limn→∞
an = +∞ resp. limn→∞
an = −∞ . (3.4)
Definícia (presné znenie). Hovoríme, postupnost’ {an}∞n=0 má nevlastnú
limitu +∞ resp. −∞ak pre každé kladné číslo K > 0 existuje také prirodzené číslo, že pre
všetky prirodzené čísla n > n0 platí
an > +K resp. an < −K . (3.5)
Základné vety o limitách postupností.
1. Postupnost’ môže mat’ najviac 1 limitu. Ak postupnost’ {an}∞n=m má
limitu, potom rovnakú limitu má aj jej každá podpostupnost’ {a′n}∞n=0, kde
a′n = ain a m ≤ i1 < i2 < . . . , je rastúca postupnost’ prirodzených čísiel.
2. Postupnost’, ktorá má vlastnú limitu je ohraničená; ak má nevlastnú
limitu +∞ resp. −∞, tak nie je ohraničená zhora resp. zdola.
3. Ohraničená rastúca resp. klesajúca postupnost’ má vlastnú limitu,
pričom an ≤ a = limn→∞ an resp. an ≥ a = limn→∞ an (podl’a toho či
postupnost’ je rastúca resp. klesajúca).
43
n0 = f(ε)
aa + ε
a − ε
0
Všetky body za n0
musia padnúťdo (a − ε, a + ε)
n0 = f(K)
K
0
Všetky body za n0
musia padnúťnad K
Obr. 9a,b
Konvergencia postupnosti Divergencia postupnosti
4. Neohraničená rastúca resp. klesajúca postupnost’ má nevlastnú limitu
+∞ resp. −∞.
5. Ak existujú vlastné limity a = limn→∞ an a b = limn→∞ bn postupností
{an}∞n=0 a {bn}∞n=0, potom platí
limn→∞
(an + bn) = a + b, limn→∞
(an.bn) = a.b ,
Ak b 6= 0 potom limn→∞
an
bn
=a
b.
6. Ak existuje vlastná limita limn→∞ an = a a nevlastná limita limn→∞ bn =
+∞, potom limn→∞(an + bn) = +∞.
Ak a 6= 0, potom limn→∞(an.bn) = ±∞ (podl’a znamienka a).
7. Ak {an}∞n=m je postupnost’ kladných resp. záporných čísiel, pre ktorú
limn→∞ an = 0, potom limn→∞(1/an) = +∞ resp. limn→∞(1/an) = −∞.
Ak limn→∞ |an| = +∞, potom a = limn→∞(1/an) = 0.
44 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY
Niektoré dôležité limity.
Nech a je reálne kladné číslo, potom
1.
limn→∞
na = +∞, limn→∞
n−a = 0,
limn→∞
n−a ln n = 0, limn→∞
na
n!= 0 .
2.
limn→∞
an = +∞, pre a > 1,
limn→∞
an = 1, pre a = 1,
limn→∞
an = 0, pre a < 1.
3.
limn→∞
a1
n = limn→∞
n
√a = 1,
limn→∞
n1
n = limn→∞
n
√n = 1.
4.
limn→∞
(
1 +1
n
)n
= e = 2, 718282... ,
limn→∞
(
1 − 1
n
)n
= e−1 = 0, 36790... ,
limn→∞
(
1 +1
2+ · · · + 1
n− ln n
)n
= C = 0, 57722...
(e = Eulerove číslo, C = Eulerova konštanta).
45
Číselné rady.
Definícia: Výraz tvaru
∞∑
n=0
an ≡ a0 + a1 + . . . ,
kde {an}∞n=0 tvoria číselnú postupnost’, nazývame číselným radom; an sa
nazýva n-tým členom číselného radu a čísla
Sn =n
∑
k=0
ak = a0 + a1 + · · · + an
čiatočnými súčtami. Rad∑∞
n=0 an konverguje ak existuje limita
S = limn→∞
Sn =∞
∑
n=0
an . (3.6)
Posledné značenie nie je dôsledné, ale bežne sa používa: symbol∑∞
n=0 an oz-
načuje jednak rad ako objekt a zároveň aj jeho súčet (jeho okamžitý význam
obyčajne vyplynie z kontextu).
Ak limita (3.6) neexistuje, rad diverguje (to značí, že limn→∞ Sn bud’
neexistuje alebo existuje nevlastná limita ±∞).
Príklady radov.
1. Konvergentný rad:
∞∑
n=0
2−n = 1 +1
2+
1
4+ . . .
46 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY
2. Divergentný rad:
∞∑
n=0
1 = 1 + 1 + 1 + . . .
3. Divergentný rad:
∞∑
n=0
(−1)n = 1 − 1 + 1 + . . .
4. Divergentný harmonický rad:
∞∑
n=0
1
n + 1= 1 +
1
2+
1
3+ . . .
5. Konvergentný rad:
∞∑
n=0
(−1)n
n + 1= 1 − 1
2+
1
3− . . .
Základné vety o konvergencii radov.
1. Na konvergenciu alebo divergenciu radu nemá vplyv vynechanie alebo
pridanie niekol’kých členov na začiatku radu.
2. Ak vynásobíme členy konvergentného radu tým istým číslom c dostaneme
opät’ konvergentný rad, pričom
∞∑
n=0
can = c
∞∑
n=0
an .
3. Konvergentné rady môžeme po členoch sčítat’ a sčítat’. Ak existujú
Sa =∞
∑
n=0
an , Sb =∞
∑
n=0
bn
47
potom existuje∞
∑
n=0
(an ± bn) = Sa ± Sb .
4. Nutná podmienka konvergencie. Ak rad∑∞
n=0 an konverguje, potom
limn→∞ an = 0. Táto podmienka ale nie je postačujúca (pozri príklad s
harmonickým radom).
5. Rad s alternujúcimi znamiemkami. Ak an > 0 pre n ∈ N, potom
Sa =∑∞
n=0(−1)nan nazývame radom s alternujúcimi znamiemkami.
Leibnizovo kritérium. Rad s alternujúcimi znamiemkami konverguje ak
a0 > a1 > a2 > . . . a existuje limn→∞
an = 0 .
Absolútna konvergencia.
V prípade ak rad∑∞
n=0 an má členy s rôznymi znamienkami (ktoré ne-
musia byt’ alternujúce), je výhodné skúmat’ rad∑∞
n=0 |an| s kladnými členmi.
Možno ukázat’, že ak konverguje rad∑∞
n=0 |an|, tak konverguje aj rad∑∞
n=0 an
(naopak to neplatí).
Definícia: Hovoríme, že rad∑∞
n=0 an absolútne konverguje ak konverguje
rad∑∞
n=0 |an|. Hovoríme, že rad∑∞
n=0 an konverguje neabsolútne, ak je kon-
vergentný, ale rad∑∞
n=0 |an| diverguje.
Vlastnosti absolútne konvergentných radov.
1. V absolútne konvergentnom rade môžeme poradie jeho členov l’ubovol’ne
48 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY
menit’ - jeho súčet sa nemení.
Poznámka: V neabsolútne konvergentnom rade môžeme jeho členy usporiadat’
tak, že jeho súčet bude rovnat’ l’ubovol’nému číslu (Riemannova veta).
2. Absolútne konvergentné rady Sa =∑∞
n=0 an a Sb =∑∞
n=0 bn môžeme
po členoch násobit’:
(a0 + a1 + a2 + . . . ).(b0 + b1 + b2 + . . . )
= a0b0 + (a1b0 + a0b1) + (a2b0 + a1b1 + a0b2) + . . . = Sa.Sb
3. Jednoduché kritérium konvergencie. Rad∑∞
n=0 an absolútne konver-
guje, ak existuje kladné čislo q < 1 a kladné číslo A, tak že pre všetky n platí
odhad:
|an| ≤ Aqn .
4. D’Alembertove a Cauchyho kritéria konvegencie. Nech pre rad∑∞
n=0 an
existuje niektorá z limít:
ρ = limn→∞
|an+1||an|
, D’Alembertovo kritérium,
ρ = limn→∞
n
√
|an| , Cauchyho kritérium.
Ak ρ < 1 potom rad absolútne konverguje, ak ρ > 1 rad diverguje. Pri ρ = 1
rad môže, ale nemusí, konvergovat’.
Príklady. Vyšetrite konvergenciu uvedených radov:
1. Rad∑∞
n=0n2n
konverguje, lebo
ρ = limn→∞
an+1
an
= limn→∞
n + 1
2n+1
2n
n=
1
2.
49
2. Harmonický rad∑∞
n=11n
diverguje.
Tvrdenie dokážeme sporom. Budeme predpokladat’, že existuje konečný
súčet S =∑∞
n=11n. Potom existujú konečný súčet jeho párnych členov
S ′ =∞
∑
n=1
1
2n=
1
2
∞∑
n=1
1
n=
1
2S,
ako aj nepárnych členov
S ′′ =∞
∑
n=1
1
2n − 1>
1
2
∞∑
n=1
1
2n=
1
2S.
Pretože, S = S ′ + S ′′ prídeme ku sporu:
S = S ′ + S ′′ >1
2S +
1
2S = S.
3. Rad∑∞
n=1n+1n2 diverguje, lebo
∞∑
n=1
n + 2
n2=
∞∑
n=1
(
1
n+
1
n2
)
>∞
∑
n=1
1
n= +∞.
Poznámka. V posledných dvoch príkladoch D’Alembertove alebo Cauchyho
kritérium dáva ρ = 1 a neurčuje konvergenciu alebo divergenciu uvažovaných
radov.
Súčty niektorých číselných radov.
1.∞
∑
n=0
1
n!= 1 +
1
1!+
1
2!+ . . . = e
50 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY
2.∞
∑
n=0
(−1)n
n!= 1 − 1
1!+
1
2!− . . . =
1
e
3.∞
∑
n=0
1
2n= 1 +
1
2+
1
4+ . . . = 2
4.∞
∑
n=0
(−1)n
2n= 1 − 1
2+
1
4− . . . =
2
3
5.∞
∑
n=1
1
n(n + 1)=
1
1.2+
1
2.3+
1
3.4+ . . . = 1
6.
∞∑
n=1
1
(2n − 1)(2n + 1)=
1
1.3+
1
3.5+
1
5.7+ . . . =
1
1.2
7.∞
∑
n=1
1
n(n + 2)=
1
1.3+
1
2.4+
1
3.5+ . . . =
3
4
8.∞
∑
n=0
(−1)n
n + 1= 1 − 1
2+
1
3− . . . = ln2
9.∞
∑
n=0
(−1)n
2n + 1= 1 − 1
3+
1
5− . . . =
π
4
10.∞
∑
n=1
1
n2= 1 +
1
4+
1
9+ . . . =
π2
4
51
Komentár k príkladom
(i) Príklady 1 a 2. Pre rad∑∞
n=0xn
n!máme
limn→∞
an+1
an
= limn→∞
xn+1
(n + 1)!.n!
xn= lim
n→∞
x
n + 1= 0 .
Tento rad (absolútne) konverguje pre l’ubovol’né x. Pre x = 1 máme príklad
1, pre x = −1 príklad 2.
(ii) Príklady 3 a 4. Jedná sa o geometrický rad∑∞
n=0 qn s q = 12
resp.
q = −12. V oboch prípadoch máme
limn→∞
|an+1||an|
= limn→∞
|q|n+1
|q|n = |q| =1
2.
Geometrický rad môžme sčítat’ takto. Označme
Sn =n
∑
k=0
qk = 1 + q + q2 + qn
Potom
Sn+1 = 1 + q + q2 ... + qn + qn+1
= Sn + +qn+1 = 1 + qSn .
Z posledného riadka dostávame
Sn =1 − qn+1
1 − q=
1
1 − q− qn+1
1 − q.
Zrejme,
limn→∞
Sn =1
1 − q.
Stačí sem dosadit’ q = 12
resp. q = −12.
52 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY
(iii) Príklady 5 až 7. V príklade 5 zapíšeme člen radu takto:
an =1
n(n + 1)=
1
n− 1
n + 1.
Potom,∞
∑
n=1
an = (1 − 1
2) + (
1
2− 1
3) + . . . = 1 .
V príklade 6 zapíšeme
an =2n − 1
2n + 1)=
1
2
(
1
2n − 1− 1
2n + 1
)
,
a použijeme rovnaký postup:
∞∑
n=1
an =1
2
(
(1 − 1
3) + (
1
3− 1
5) + . . .
)
=1
2.
Číselný rad v príklade 7 je súčtom oboch predchádzajúcich radov:
∞∑
n=1
an =1
1.3+
1
2.4+
1
3.5+
1
4.6. . .
=
(
1
1.3+
1
3.5+ . . .
)
+1
4
(
1
1.2+
1
2.3+
1
3.4) + . . .
)
=1
2+
1
4=
3
4.
(iv) Príklady 8 až 10. Konvergenciu radov určíme odhadom súčtov zhora:
Rad 8 : 1 − 1
2+
1
3− 1
4. . . = (1 − 1
2) + (
1
3− 1
4) + . . .
< (1 − 1
2) + (
1
2− 1
3) + (
1
3− 1
4) + (
1
4− 1
5) . . . = 1 .
Tu sme pri odhade pridali podčiarknuté kladné členy. V príklade 9 postupu-
jeme obdobne:
Rad 9 : 1 − 1
3+
1
5− 1
7. . . = (1 − 1
3) + (
1
5− 1
7) + . . .
53
< (1 − 1
3) + (
1
3− 1
5) + (
1
5− 1
7) + (
1
7− 1
9) . . . = 1 ,
kde sme opät’ pridali podčiarknuté kladné členy. Nakoniec rad 10 odhadneme
pomocou radu z príkladu 5:
Rad 10 : 1 +1
22+
1
32+
1
42. . . < 1 +
1
1.2+
1
2.3+
1
3.4+ . . . = 2 .
V prídade alternujúcich znamienok možno využit’ aj Leibnizovo kritérium.
Chapter 4
Limita funkcie, spojitost’ a
derivácia
Limita funkcie
Nech funkcia f(x) je definová v δ-okolí bodu x = a
Uδ(a) = {x ∈ R; 0 < |x − a| < 0} . (4.1)
V samotnom bode bode a pritom funkcia f(x) nemusí byt’ definovaná. Do
Uδ(a) patria reálne čísla, pre ktoré platí: x 6= a a a − δ < x < a + δ.
Hovoríme, že funkcia y = f(x) definová v okolí bodu a má v tomto bode
limitu
c = limx→a
f(x)
ak s približovaním sa x k číslu a, hodnoty funkcie f(x) sa l’ubovol’ne približujú
k číslu c. Geometrická interpretácia limity funkcie je naznačená na Obr. 10a.
55
56 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST’ A DERIVÁCIA
Definícia (presné znenie): Funkcia f(x) má v bode x = a limitu rovnajúcu
sa číslu c:
ak pre každé kladné číslo ε > 0 existuje také číslo δ > 0, že pre všetky x
splňajúce nerovnosti
0 < |x − a| < δ ,
platí
c − ε < f(x) < c + ε ⇔ |f(x) − c| < ε . (4.2)
C
C + ε
f(x)
C − ε
aa − δ a + δ
a
a − δ a + δ
K
Obr. 10a,b
Nevlastná limita funkcie
Hovoríme, že funkcia f(x) v bode x = a má nevlastnú limitu +∞ resp.
−∞limx→a
f(x) = +∞, resp. limx→a
f(x) = −∞,
57
ak funkcia neobmedzene rastie resp. klesá pri približovaní sa x k bodu a.
Geometrická interpretácia nevlastnej limity +∞ funkcie f(x) je naznačená
na Obr. 10b.
Definícia (presné znenie): Funkcia f(x) má v bode x = a limitu
limx→a
f(x) = +∞ resp. limx→a
f(x) = −∞
ak k l’ubovol’nému číslu K > 0 existuje také číslo δ > 0, že pre všetky x
splňajúce nerovnosti
0 < |x − a| < δ ,
platí f(x) > K resp. f(x) < −K.
Poznámka 1 (dôležitá): Funkcia má v bode x = a (vlastnú alebo nevlastnú)
limitu limx→a f(x) = c práve vtedy, ak pre l’ubovol’nú číselnú postupnost’
bodov {x1, x2, ...} z okolia bodu a, ktorá má limitu a = limn→∞ xn, príslušná
postupnost’ hodnôt funkcie {f(x)1, f(x)2, ...} má konverguje k c, t.j.
limn→∞
f(xn) = c .
Limita funkcie v nevlastných bodoch
Číslo c je limitou funkcie f(x) pre x → ±∞, čiže
c = limx→+∞
f(x), resp. c = limx→−∞
f(x),
58 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST’ A DERIVÁCIA
ak pre l’ubovol’né číslo ε > 0 existuje také číslo K > 0, že
c − ε < f(x) < c + ε pre všetky x > K resp. x < −K. (4.3)
Nevlastná limita v nevlastných bodoch je definovaná obdobne:
limx→+∞
f(x) = ±∞, resp. limx→−∞
f(x) = ±∞,
ak pre l’ubovol’né číslo K > 0 existuje také číslo N > 0, že pre všetky x
spĺňajúce nerovnosti x > N , resp. x < −N platí
f(x) > K v prípade, že limita je +∞,
f(x) < −K v prípade, že limita je −∞.
Poznámka 2 (analóg predchádzajúcej poznámky 1): Pokial’ existuje (vlastná
alebo nevlastná) limitu limx→±∞ f(x) = c, potom pre každú postupnost’
bodov {x1, x2, ...}, ktorá má odpovedajúcu limitu limn→∞ xn = ±∞, platí
limn→∞
f(xn) = c .
Základné vety o limitách funkcií
Nasledujúce tvrdenia sú priamym dôsledkom Poznámok 1 a 2 spolu s
analogicými tvrdeniami o limitách postupností:
59
1) Limita súčtu a súčinu funkcií. Ak existujú vlastné limity limx→a f(x)
a limx→a g(x) potom existujú limity
limx→a
(f(x) + g(x)) = limx→a
f(x) + limx→a
g(x),
limx→a
(f(x).g(x)) =(
limx→a
f(x))
.(
limx→a
g(x))
. (4.4)
2) Limita podielu funkcií. Ak existujú vlastné limity
limx→a
f(x) a limx→a
g(x) 6= 0
potom existuje limita podielu
limx→a
f(x)
g(x)=
limx→a f(x)
limx→a g(x). (4.5)
3) Ak v okolí bodu x = a o funkcii f(x) platí φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) a ak
limx→a
φ(x) = c a limx→a
ψ(x) = c (4.6)
potom aj limx→a f(x) = c.
4) Ak existuje vlastná limita limx→a f(x) a nevlastná limita limx→a g(x) =
±∞ potom existuje limita
limx→a
(f(x) + g(x)) = ±∞.
Ak naviac limx→a f(x) 6= 0, potom
limx→a
(f(x).g(x)) = ±∞.
60 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST’ A DERIVÁCIA
Znamienko poslednej limity je určené znamienkami limx→a f(x) a limx→a g(x).
5) Ak existuje také kladné číslo K, že |f(x)| < K v okolí bodu a, hov-
oríme, že funkcia f(x) je ohraničená v okolí bodu a.
Ak existuje nevlastná limita limx→a g(x) a funkcia f(x) je ohraničená v
okolí bodu a potom
limx→a
f(x)
g(x)= 0.
Niektoré dôležité limity
Uved’me dve dôležité limity, ktoré budeme využívat’ pri výpočte limít
rôznych výrazov:
limx→∞
(
1 +1
x
)x
= e , limx→0
sin x
x= 1 . (4.7)
Prvá je zovšeobecnením analogickej limity pre číselné postupnosti (v ktorej
celočíselná premenná n sa nahradila reálnou premennou x). Odvodenie
druhej je naznačené na Obr. 11, z ktorého pre 0 < |x| < π2
možno dedukovat’
nerovnosti
cos x =sin x
tgx<
sin x
x< 1.
Ak uvážime, že limx→0 cos x = 1, tak v limite x → 0 obdržime hl’adanú
limitu.
Spojitost’ funkcie
61
10
x tgx
sin x
x x+h
f(x)
f(x + h)
α
f(x)
obr. 11f ′(x) = lim
h→0tgαh(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)h
obr. 12
Definícia: Funkcia f(x) definovaná v okolí bode x = c je v tomto bode
spojitá ak bod c patrí do definičného oboru funkcie a existuje vlastná limita
limx→c
f(x) = f(c). (4.8)
Funkcia je spojitá na intervale (a, b), ak je spojitá v každom bode c z intervalu
(a, b).
Poznámka: Ak funkcia je spojitá a existuje vlastná limita limx→a f(x) =
c, potom môžeme funkciu f(x) spojito dodefinovat’ tým, že definujeme novú
funkciu f̃(x) takto:
f̃(a) = limx→a
f(x) = c , f̃(x) = f(x) pre x 6= a, .
Funkcia f̃(x) je už spojitá v bode x = a.
62 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST’ A DERIVÁCIA
Príklady na spojitost’ funkcie.
1. Neelementárne funkcie [x] a ε(x) sú nespojité; absolútna hodnota |x|je spojitá funkcia.
2. Mocninné funkcie sú spojité na svojich definičných oboroch:
a. Pre celé číslo n > 0 funkcia xn je spojitá na celej číselnej osi x ∈(−∞, +∞), kým x−n je spojitá pre všetky x 6= 0;
b. pre realne a funkcia xa je spojitá na intervale (0, +∞).
3. Exponenciálna funkcia a logaritmus sú spojité na svojich definičných
oboroch:
a. ex je spojitá na celej číselnej osi x ∈ (−∞, +∞).
b. ln x je spojitá na intervale (0, +∞).
4. Goniometrické a cyklometrické funkcie sú spojité na svojich definičných
oboroch:
a. Funkcie sin x a cos x sú spojité celej číselnej osi x ∈ (−∞, +∞).
b. Funkcia tg x je spojitá na celej číselnej osi s výnimkou bodov x =
π2
+ nπ, n - celé číslo, kým cotg x je spojitá na celej číselnej osi s výnimkou
bodov x = nπ, n - celé číslo.
c. Funkcia arcsin x je spojitá na intervale (−1, +1) a funkcia arctgx je
spojitá na celej číselnej osi (−∞, +∞)
63
Derivácia funkcie
Definícia: Derivácia spojitej funkcie f(x) spojitej na intervale (a, b) je
nová funkcia premennej x
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)
h, (4.9)
ktorá je definovaná v tých bodoch x ∈ (a, b), v ktorých existuje uvedená
limita.
Geometrický význam derivácie je znázornený na Obr. 12. Podl’a náčrtu
f ′(x) =tg α je dotyčnica ku grafu funkcie y = f(x) v bode x. Uhol α udáva
sklon dotyčnice v bode x vzhl’adom k x-ovej osi; ak v bode x = a existuje
nevlastná limita f ′(a) = ±∞, tak dotyčnica je rovnobežná s y-ovou osou.
Poznámka 1. Používa sa tiež označenie: ∆f(x) = f(x + h) − f(x) a
∆x = x + h − x = h. Definíciu limity potom môžeme zapísat’ ako
f ′(x) ≡ df(x)
dx= lim
∆x→0
∆f(x)
∆x. (4.10)
Označenie derivácie ako f ′(x) pochádza od Newtona, kým označenie df(x)dx
zaviedol Leibniz.
Poznámka 2. Samotná funkcia f ′(x) resp. df(x)dx
môže mat’ tiež deriváciu,
ktorú značíme bud’ ako f ′′(x) (v Newtonovom značení), alebo ako d2f(x)dx2 (v
Lebnizovom označení); hovoríme, že funkcia f(x) má druhú deriváciu. Ana-
logicky sa definujú aj vyššie derivácie: n-ta derivácia sa značí ako f (n(x)
64 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST’ A DERIVÁCIA
alebo dnf(x)dxn
. Obe značenia sú úplne rovnocenné a v odbornej litetúre sa
bežne používajú.
Príklady na výpočet derivácií. Vypočítame postupne derivácie funkcií
xn, x−n, ex, sin x a cos x:
1. Pri vypočte derivácie (xn)′ využijeme binomickú formulu (x + h)n =∑n
k=0(nk)xn−khk
(xn)′ = limh→0
(x + h)n − xn
h= lim
h→0
n∑
k=1
(nk)xn−khk
= limh→0
(
nxn−1 + hn(n − 1)
2xn−2 + . . .
)
= nxn−1.
V poslednom kroku sme využili to, že limh→0 hm = 0 pre m = 1, 2, ...,m.
2. Deriváciu (x−n)′ vypočítame obdobne
(x−n)′ = limh→0
1
h
(
1
(x + h)n− 1
xn
)
= limh→0
1
(x + h)nxn
xn − (x + h)n
h
=1
x2nlimh→0
(
−nxn−1 − hn(n − 1)
2xn−2 + . . .
)
= −nx−n−1 .
Tu sme využili to, že limita prvého zlomku v druhom riadku je rovná 1/x2n,
kým druhý zlomok sme upravili podobne ako v príklade 1.
3. Pri výpočte (ex)′ využijeme rozvoj (2.24) funkcie eh = 1+h+ 12!h2+. . . ,
z ktorého plynie 1h
(
eh − 1)
= 1 + 12h + . . . . Teraz už l’ahko dostaneme
(ex)′ = limh→0
1
h
(
ex+h − ex)
= limh→0
1
h
(
ex+h − ex)
65
= ex limh→0
1
h
(
eh − 1)
= ex .
4. Pri výpočte (sin x)′ využijeme limity
limh→0
sin h
h= 1 , a lim
h→0
1 − cos h
h= 0 .
Bude
(sin x)′ = limh→0
1
h[sin(x + h) − sin x]
= limh→0
[cos x sin h − sin x(1 − cos h)] = cos x.
5. Podobne sa ukáže, že
(cos x)′ = limh→0
1
h(cos(x + h) − cos x)
= limh→0
(− cos x(1 − cos h) − sin x(1 − sin h)) = − sin x.
Základné pravidlá pre výpočet derivácií
Nech f(x) a g(x) sú funkcie, ktoré v uvažovanom bode majú derivácie
f ′(x) a g′(x). Platia nasledujúce pravidlá:
1. Derivácie súčtu a súčinu
(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x), (4.11)
(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x). (4.12)
66 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST’ A DERIVÁCIA
Derivácia podielu(
f(x)
g(x)
)′
=f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)
g2(x), g(x) 6= 0 g(x) 6= 0 . (4.13)
Príklad. Odvodíme vzorce pre (tg x)′ a (cotg x)′:
(tg x)′ =
(
sin x)
cos x
)′
=(sin x)′ cos x − sin x(cos x)′
cos2 x
=cos2 x + sin2 x
cos2 x=
1
cos2 x.
(cotg x)′ =
(
cos x)
sin x
)′
=(cos x)′ sin x − cos x(sin x)′
sin2 x
=− sin2 x − cos2 x
sin2 x= − 1
sin2 x.
2. Derivácia zloženej funkcie
Uvažujme funkciu y = g(x) definovanú pre x ∈ Dg, a funkciu z = f(y)
definovanú pre z ∈ Df ⊃ Rg (definičný obor funkcie f obsahuje obor hodnôt
funkcie g). Potom má zmysel uvažovat’ zloženú funkciu:
z = f(g(x)), x ∈ Dg. (4.14)
Ak existuje derivácia g′(x) pre x ∈ Dg a derivácia f ′(y) v bode y = g(x), tak
existuje aj derivácia zloženej funkcie
(f(g(x)))′ = (f ′(y))y=g(x) g′(x). (4.15)
Symbol (f(y))′y=g(x) znamená, že vypočítame f ′(y) a vo výsledku položíme
y = g(x).
67
Príklad. Formulu pre deriváciu podielu môžeme odvodit’ zo vzorca pre
súčin takto:(
f(x)
g(x)
)′
=
(
f(x).1
g(x)
)′
= f ′(x).1
g(x)+ f(x).
(
1
g(x)
)′
=f ′(x)
g(x)− f(x)
g′(x)
g2(x).
Tento výraz sa už ale rovná formule pre deriváciu podielu. V poslednom
kroku sme použili vzorec pre deriváciu zloženej funkcie:(
1
g(x)
)′
= −(
1
y2
)
y=g(x)
g′(x) = − g′(x)
g2(x).
3. Derivácia inverznej funkcie
Nech existuje funkcia g(x) inverzná funkcia k f(x) pre x ∈ Df . Potom
platí
f(g(x)) = x pre x ∈ Df .
Deriváciou tohto vzt’ahu dostaneme
(f ′(y))y=g(x) g′(x) = 1 , lebo derivácia (x) = 1 .
Z tejto rovnice pre deriváciu inverznej funkcie dostávame vzt’ah
g′(x) =
(
1
f ′(y)
)
y=g(x)
. (4.16)
Príklad 1. Pre funkciu f(x) = ex platí f ′(x) = ex. Zo vzorca pre deriváciu
inverznej funkcie lnx potom dostaneme
(ln x)′ =
(
1
ey
)
y=ln x
=1
eln x=
1
x.
68 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST’ A DERIVÁCIA
Príklad 2. Podobne pre funkciu f(x) = sin x máme
f ′(x) = cos x =√
1 − sin2 x.
Zo vzorca pre deriváciu inverznej funkcie arcsin x potom dostaneme
(arcsin x)′ =
(
1√
1 − sin2 y
)
y=arcsin x
=1
√
1 − (sin arcsin x)2=
1√1 − x2
.
Príklad 3. Napokon pre funkciu f(x) = tg x máme
f ′(x) =1
cos2 x= 1 + tg2 x.
Pre deriváciu inverznej funkcie arctg, x potom dostaneme
(arctg x)′ =
(
1
1 + tg2 y
)
y=arctgx
=1
1 + (tg arctg x)2=
1
1 + x2.
Tabul’ka derivácií elementárnych funkcií
f(x) f ′(x) f(x) f ′(x)
c = const 0 xn nxn−1
x−n −nx−n−1 xa nxa−1
ex ex ln x 1x
sin x cos x cos x − sin x
tg x 1cos2 x
cotg x − 1sin2 x
arcsin x 1√1−x2
arctg x 11+x2
arccos x − 1√1−x2
arccotg x − 11+x2
Chapter 5
Využitie derivácií
L’Hospitalovo pravidlo
Veta: Nech f(x) a g(x) sú funkcie spojité v okolí bodu x = a také, že
(1) existujú limity limx→a f(x) = limx→a g(x) = 0, alebo
existujú nevlastné limity limx→a f(x) a limx→a g(x), a
(2) d’alej existuje limita
limx→a
f ′(x)
g′(x).
Potom existuje aj limita
limx→a
f(x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x). (5.1)
Dôkaz naznačíme za predpokladu, že f(a) = g(a) = 0, a že existujú
derivácie
f ′(a) = limh→0
1
h[f(a + h) − f(a)] ,
69
70 CHAPTER 5. VYUŽITIE DERIVÁCIÍ
g′(a) = limh→0
1
h[g(a + h) − g(a)] 6= 0.
Potom skutočne,
limh→0
f(a + h)
g(a + h)= lim
h→0
1h[f(a + h) − f(a)]
1h[g(a + h) − g(a)]
=f ′(a)
g′(a).
Poznámka. Ak by bolo f ′(a) = g′(a) = 0, tak môžeme znova použit’
l’Hospitalovo pravidlo na funkcie f ′(x) a g′(x), za predpokladu, že existuje
limita
limx→a
f ′′(x)
g′′(x), atd’.
Pri k-násobnom použití l’Hospitalovho pravidla musia byt’ splnené predpok-
lady f(a) = f ′(a) = · · · = f (k−1)(a) = 0, g(a) = g′(a) = · · · = g(k−1)(a) = 0
a existuje derivácia f (k)(a) a spolu s deriváciou g(k)(a) 6= 0.
Príklady 1.
a.
limx→0
sin x
x= lim
x→0
(sin x)′
x′ = limx→0
cos x
1= 1 .
b.
limx→a
xp − ap
xq − aq= lim
x→a
(xp − ap)′
(xq − aq)′= lim
x→a
pxp−1
qxq−1=
p
qap−q .
c.
limx→0
x − sin x
x3= lim
x→0
1 − cos x
(3x2= lim
x→0
sin x
6x= lim
x→0
cos x
6=
1
6.
71
d.
limx→1
(
x
x − 1− 1
ln x
)
= limx→1
x ln x − x + 1
(x − 1) ln x
= limx→1
(x ln x − x + 1)′
((x − 1) ln x)′= lim
x→1
ln x
ln x + 1 − x−1= lim
x→1
x−1
x−1 + x−2=
1
2.
Príklady 2.
a.
limx→∞
x3
ex= lim
x→∞
3x2
ex= limx→∞
6x
ex= limx→∞
6
ex= 0 .
b.
limx→π
2
(
1
cos x − tg x
)
= limx→π
2
1 − sin x
cos x= lim
x→π
2
− cos x
sin x= 0 .
c. Dokážte, že
limx→0
(1 + x)1
x = e .
Miesto tejto limity uvažujme
limx→0
ln(1 + x)1
x = limx→0
ln(1 + x)
x= lim
x→0
(1 + x)−1
1= 1 .
Hl’adaný vzt’ah okamžite vyplýva z rovnice ln e= 1. Poznamenajme, že
vyšetrovaná limita po substitúcii x = 1/t prejde na prvú limitu v rovnici
(4.7).
Vyšetrovanie priebehu funkcie
72 CHAPTER 5. VYUŽITIE DERIVÁCIÍ
Veta 1 (O nadobúdaní hodnôt): Nech f(x) je funkcia spojitá na intervale
[a, b], pričom f(a) < f(b). Pre každé číslo c ∈ [a, b] existuje aspoň jeden bod
x0 z intervalu [a, b], v ktorom platí f(x0) = c (analogické tvrdenie platí aj v
prípade f(a) > f(b)).
Dôkaz: Vezmeme stred intervalu a1 = 12(a+ b); ak f(a1) = c skončili sme.
1) Ak f(a1) < c uvažujeme interval [a, a1], na ktorom f(a1) < c < f(b) a
položíme a2 = 12(a1 + b),
2) Ak f(a1) > c uvažujeme interval [a1, b], na ktorom f(a) < c < f(a1) a
položíme a2 = 12(a + a1).
Vrátime sa na začiatok s a2 miesto a1 a postup opakujeme. Takto dostaneme
konvergentnú postupnosť {a1, a2, . . . }: v jej limitnom bode x0 = limn→∞ an
platí f(x0) = c.
f(b)
f(a)c
a bx0
c = f(x0)
a b
f(x2)
f(x1)
x2 x1
f(x1) = minf(x), x ∈ [a, b]
f(x2) = maxf(x), x ∈ [a, b]
obr. 13a,b
Veta 2 (O maxime a minime): Ak f(x) je funkcia spojitá na uzavretom
73
intervale [a, b] potom existujú body x1 a x2 z intervalu [a, b] také, že platí:
f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) pre všetky x ∈ [a, b] . (5.2)
Túto vetu dokazovat’ nebudeme. Veta nám hovorí, že spojitá funkcia na
uzavretom intervale nadobúda svoje extrémy (Obr. 13b):
(i) minimum f(x1) = minx∈[a,b] f(x), t.j. f(x1) ≤ f(x) pre x ∈ [a, b],
(ii) maximum f(x2) = maxx∈[a,b] f(x), t.j. f(x2) ≥ f(x) pre x ∈ [a, b].
Definícia (Monotónnosť funkcie): Funkcia f(x) je rastúca resp. kle-
sajúca na intervale [a, b], ak
f(x1) < f(x2) resp. f(x1) > f(x2) pre a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. (5.3)
Veta 3: Ak funkcia f(x) spojitá na intervale [a, b], má pre x ∈ (a, b)
deriváciu f ′(x) > 0 resp. f ′(x) < 0, potom f(x) je na intervale [a, b] rastúca
resp. klesajúca.
Dôkaz: Nech derivácia funkcie v bode x je kladná
f ′(x) = limh→0
1
h[f(x + h) − f(x)] = c > 0.
Pre dostatočne malé h > 0 potom platí
1
h[f(x + h) − f(x)] =
1
2c > 0.
Po vynásobení h dostaneme f(x) < f(x + h); podobne pri h < 0 sa dostane
f(x + h) < f(x). Teda funkcia je rastúca. V prípade zápornej derivácie,
analogicky sa ukáže, že je funkcia klesajúca.
74 CHAPTER 5. VYUŽITIE DERIVÁCIÍ
Definícia (Lokálny extrém): Hovoríme, že funkcia f(x) má v bode x0
lokálne maximum resp. lokálne minimum, ak je definovaná v jeho okolí (x0−δ, x0 + δ) a pre x 6= x0 platí
f(x) < f(x0) resp. f(x) > f(x0) . (5.4)
Veta 4: Ak funkcia f(x) je spojitá na intervale (x0 − δ, x0 + δ) a má pre
x 6= x0 deriváciu, potom má v bode x0 maximum alebo minimum, vtedy ked’
f ′(x) mení v okolí bodu x0 znamienko podl’a nasledujúcej tabul’ky:
f(x0) má x < x0 x > x0
maximum f ′(x) > 0 f ′(x) < 0
minimum f ′(x) < 0 f ′(x) > 0
(5.5)
Derivácia bode x0 nemusí existovať, ak ale existuje, potom f ′(x0) = 0. Ak
f ′(x) nemení v okolí bodu x0 znamienko, extrém neexistuje.
Veta 5 (Rolleova veta): Nech f(x) je spojitá na intervale [a, b], pričom
f(a) = f(b) = 0. Ak f ′(x) existuje na otvorenom intervale (a, b), potom
existuje bod x0 ∈ (a, b), v ktorom f ′(x0) = 0.
Dôkaz: Rozlišujeme tri prípady:
1) f(x) = 0 pre všetky x ∈ (a, b), potom x0 môžeme voliť ľubovoľne.
2) Ak maximum f(x) je kladné, tak sa nadobúda v bode x0 ∈ (a, b), v
ktorom f ′(x0) = 0 (pozri Obr. 14a).
3) Analogicky, záporné minimum f(x) sa nadobúda v bode x0 ∈ (a, b), v
ktorom f ′(x0) = 0.
75
a bx0
f(x)
f ′(x0) = 0
a bx0
f(b)
f(a)
f ′(x0) = f(b)−f(a)b−a
obr. 14a,b
Veta 5 (Lagrangeova veta o prírastku funkcie): Nech f(x) je spojitá na
intervale [a, b], pričom f ′(x) existuje na otvorenom intervale (a, b). Potom
existuje také x0 ∈ (a, b), že platí
f ′(x0) =f(b) − f(a)
b − a. (5.6)
Dôkaz: Miesto funkcie f(x) uvažujeme funkciu
g(x) = f(x) − f(a)
b − a(b − x) − f(b)
x − a(x − a) ,
ktorá spĺňa predpoklad Rolleovej vety g(a) = g(b) = 0. Potom existuje bod
x0 ∈ (a, b), v ktorom platí
0 = g′(x0) = f ′(x0) +f(a)
b − a− f(b)
b − a.
Odtiaľto hned’ dostaneme hl’adané vyjadrenie f ′(x0) (pozri Obr. 14a).
76 CHAPTER 5. VYUŽITIE DERIVÁCIÍ
*Asymptoty.
1) Nech funkcia f(x) je definovaná na nevlastnom intervale (a, +∞). Hov-
oríme, že priamka y = kx + p zadaná parametrami
k = limx→+∞
f(x)
x, p = lim
x→+∞[f(x) − kx] (5.7)
je asymptota funkcie f(x) pre x → +∞. Asymptota v +∞ je priamka, ktorá
sa k f(x) neobmedzene približuje pre x → +∞.
Ak funkcia f(x) je definovaná na nevlastnom intervale (−∞, a) jej asymp-
tota v −∞ sa definuje rovnako, len všade limx→+∞ nahradíme limx→−∞.
2) Hovoríme, že funkcia f(x) definovaná na vlastnom intervale (a, b) má
vertikálnu asymptotu v bode x = a, ak pri približovaní sa x k bodu a sprava
funkcia f(x) bud’ neobmdzene rastie alebo klesá. Analogicky sa definuje
vertikálna asymptota v pravom krajnom bode x = b.
*Konvexnost’ a konkávnost’ funkcie.
Spojitá funkcia f(x) je na intervale (a, b) konvexná resp. konkávna, ak na
(a, b) má spojitú derváciu, pričom v každom bode x0 ∈ (a, b) jej graf je nad
resp. pod jej dotyčnicou y = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) v bode x0 (pozri Obr.
16a a 16b).
77
f(x)
a bobr. 15a,b
f ′(x) = kx + q
asymptota
vertikálna asymptota
a b
obr. 16a,bkonkávnosť
a bkonvexnosť
Veta 6: Ak f ′′(x) > 0 resp. f ′′(x) < 0 pre x ∈ (a, b), potom f(x) je na
intervale (a, b) konvexná resp. konkávna.
Poznámka: Bod x0 ∈ (a, b) odpovedá maximu resp. minimu ak
f ′(x0) = 0 a f ′′x0 < 0 resp. f ′′x0 > 0 . (5.8)
Bod x0 ∈ (a, b) je inflexný bod, ak f ′′(x) = 0 a f ′′(x) mení v bode x0
78 CHAPTER 5. VYUŽITIE DERIVÁCIÍ
znamienko.
Zostrojenie grafu funkcie y = f(x).
1. Určíme obor definície.
2. Zistíme, či je funkcia párna alebo nepárna.
3. Preskúmame limity funkcie v krajných bodoch definičného oboru.
4. Najdeme body nespojitosti a prípadne určíme hodnoty funkcie vo
vybratých bodoch.
5. Najdeme intervaly, v ktorých funkcia rastie alebo klesá, urvčíme max-
imá a minimá.
*6. Určíme asymptoty.
*7. Najdeme intervaly, v ktorých funkcia je konvexná alebo konkávna,
určíme inflexné body a v každom z nich smer dotyčnice.
Taylorov rozvoj.
Najprv prepíšeme Lagrangeovu vetu o prírastku funkcie do tvaru vhod-
nejšieho v d’al’šom.
Nech teda f(x) je spojitá funkcia na intervale [a, a + h] pre h > 0 resp.
[a + h, a] pre h < 0, ktorá na príslušnom otvorenom intervale má spojitú
deriváciu. Lagrangeovu vetu o prírastku funkcie môžeme prepísať takto:
f(a + h) = f(a) + h.f ′(a + θh), 0 < θ < 1. (5.9)
79
Prírastok funkcie f(x) medzi bodmi x = a a x = a + h je na pravej strane
reprezentovaný priamkou vychádzajúou z bodu f(a) so "správnym" sklonom
f ′(x0) vyjadreným pomocou derivácie v bode x0 = a + θh: vybratý je práve
tak, aby sme sa "trafili" do hodnoty f(a + h).
V prípade, že funkcia má n-tú deriváciu, Taylor zovšeobecnil vetu o
prírastku funkcie pomocou jej aproximácie polynómami n-tého stupňa.
Veta (Taylorova veta o prírastku funkcie): Nech f(x) je spojitá na in-
tervale [a, a + h] pre h > 0 resp. [a + h, a] pre h < 0, ktorá na príslušnom
otvorenom intervale má spojité všetky derivácie až do n-tého rádu. Potom
f(a + h) = f(a) +h
1!.f ′(a) +
h2
2!.f ′′(a) + . . .
+hn−1
(n − 1)!.f (n−1)(a) +
hn
n!.f (n)(a + θh), 0 < θ < 1. (5.10)
.
Mocninný rad.
Uvažujme funkciu f(x) zadanú v tvare mocninného radu
f(x) =∞
∑
n=0
an xn = a0 + a1 x + a2 x2 . . . + an xn + . . . (5.11)
pre ktorý existuje kladná limita
R = limn→∞
∣
∣
∣
∣
an
an+1
∣
∣
∣
∣
> 0 . (5.12)
80 CHAPTER 5. VYUŽITIE DERIVÁCIÍ
Pre |x| < R rad∑∞
n=0 an xn absolútne konverguje. Kladné číslo R sa nazýva
polomer konvergencie, ak R = ∞, mocninný rad konverguje pre všetky hod-
noty x. Polomer konvergencie možno vypočítať aj pomocou vzorca:
R−1 = limn→∞
n
√
|an|. (5.13)
Poznámka 1. Absolútnu konvergenciu mocninného radu dokážeme tak,
že využijeme to, že z existencie R > 0 vyplýva existencia takého kladného
čísla A, že platí odhad
|an| < A
(
2
R + |x|
)n
.
Potom máme
|f(x)| ≤∞
∑
n=0
|an| |xn| < A
∞∑
n=0
(
2
R + |x|
)n
= AR + |x|R − |x|
Poznámka 2. Mocninný rad možno derivovať člen po člene. Pod tým sa
myslí to, že derivácia mocninného radu je daná formulou
f ′(x) =∞
∑
n=1
n an xn−1 = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 + . . . (5.14)
Podstatné tu je to, že polomer konvergencie derivovaného radu je opäť R.
Toto plynie z toho, že
limn→∞
∣
∣
∣
∣
n an
(n + 1)an+1
∣
∣
∣
∣
= limn→∞
n
n + 1. lim
n→∞
∣
∣
∣
∣
an
an+1
∣
∣
∣
∣
= R.
Opakovaním tohto postupu získame l’ubovol’nú derivovaciu funkcie zadanej
v tvare mocniného radu:
81
(i) Funkcia f(x) zadanú v tvare mocninného radu má pre |x| < R (R je
polomer konvergencie) všetky derivácie;
(ii) f (k)(x) sa získa k-násobným derivovaním mocninného radu člen po
člene.
Funkciu zadanú v tvare mocninného radu možno rozvinút’ pre |x| < R do
Taylorovho radu v bode x = 0:
f(x) =∞
∑
n=0
an xn =∞
∑
n=0
1
n!f (n)(0) xn , kde an =
1
n!f (n)(0) . (5.15)
Podobne, Taylorov rozvoj v okolí bodu x = a má tvar
f(x) =∞
∑
n=0
an (x−)n =∞
∑
n=0
1
n!f (n)(a) (x − a)n , kde an =
1
n!f (n)(a) .
(5.16)
Tento rad konverguje pre všetky x spĺňajúce nerovnost’ |x − a| < R.
Príklady
1. Taylorov rozvoj funkcie f(x) = ex. Pre túto funkciu platí (ex)′ = ex.
V bode x = 0 potom máme f (n)(0) = (ex)x=0 = e0 = 1. Taylorov rozvoj ex v
bode x = 0 bude
ex =∞
∑
n=0
1
n!xn t.j. an =
1
n!.
Tento rad konverguje pre všetky x lebo má polomer kovergencie
R = limn→∞
∣
∣
∣
∣
an
an+1
∣
∣
∣
∣
= limn→∞
(n + 1)!
n!= lim
n→∞(n + 1) = ∞.
82 CHAPTER 5. VYUŽITIE DERIVÁCIÍ
2. Taylorov rozvoj funkcií sin x a cos x. Platí (sin x)′ = cos a (cos x)′ =
− sin x. Preto
(sin x)(2n) = (−1)n sin x , (cos x)(2n) = (−1)n cos x ,
(sin x)(2n+1) = (−1)n cos x , (cos x)(2n+1) = −(−1)n sin x .
Pretože, sin 0 = 0 a cos 0 = 1, tak bude
(sin x)(2n)x=0 = 0 , (cos x)
(2n)x=0 = (−1)n
(sin x)(2n+1)x=0 = (−1)n , (cos x)
(2n+1)x=0 = 0 .
Pre všetky x dostávame nasledujúce Taylorove rozvoje
sin x =∞
∑
n=0
(−1)n
(2n + 1)!x2n+1 , cos x =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!x2n .
Poznámka: Dokážeme Moivreov vzorec
cos x + i sin x = eix . (5.17)
Ak do l’avej strany dosadíme rozvoje sin x a cos x tak dostaneme∞
∑
n=0
(−1)n
(2n)!x2n + i
∞∑
n=0
(−1)n
(2n + 1)!x2n+1 =
∞∑
n=0
1
n!(ix)n = eix.
3. Nasledujúce Taylorove rozvoje konvergujú pre |x| < 1:
(1 ± x)a = 1 ± a x +a(a − 1)
2!x2 ± a(a − 1)(a − 2)
3!x3 + . . . ,
ln(1 + x) = x − x2
2+
x3
3− x4
4+ . . . ,
arcsin x = x +1
2
x3
3+ +
1.3
2.4
x5
5+
1.3.5
2.4.6
x7
7+ . . . .
Chapter 6
Integrovanie a jeho aplikácie
Neurčitý integrál a primitívna funkcia
Definícia: Primitívna funkcia k funkcii f(x) s definičným oborom Df je
funkcia F (x), pre ktorú platí:
F ′(x) = f(x) pre všetky x ∈ Df . (6.1)
Poznámka 1: Definičný obor DF primitívnej funkcie môže byt’ aj väčší ako
Df . Napríklad, ak ohraničená funkcia f(x) je v intervale (a, b) spojitá, až na
konečný počet bodov x1, x2, ..., xk (v ktorých ani nemusí byt’ definovaná), jej
primitívna funkcia F (x) bude definovaná a spojitá na celom intervale (a, b)
(ak ale f(x) nie je ohraničená, tak F (x) nemusí byt’ definovaná vo všetkých
bodoch x1, x2, ..., xk).
83
84 CHAPTER 6. INTEGROVANIE A JEHO APLIKÁCIE
Príklady
(i) Znamienková funkcia
f(x) = ε(x) rovná − 1, 0, +1 po rade pre x < 0, x = 0, x > 0
je ohraničená a nespojitá v bode x = 0, pričom nie je tam ani definovaná,
ale F (x) = |x| je definovaná a spojitá v bode x=0.
(ii) Podobne, funkcia f(x) = x−2/3 je neohraničená a nespojitá v bode
x = 0, ale F (x) = 3x1/3 je definovaná a spojitá v bode x = 0.
(iii) Funkcia f(x) = x−2 je neohraničená a nespojitá v bode x = 0,
rovnako aj F (x) = −x−1 je neohraničená a nespojitá v x = 0.
Poznámka 2: Primitívna funkcia F (x) k funkcii f(x) nie je určená jed-
noznačne. Každá funkcia F (x) + C líšiaca sa od F (x) o aditívnu konš-
tantu C je tiež primitívna k funkcii f(x) (lebo derivácia konštanty je nula):
(F (x) + C)′ = F ′(x) + C ′ = f(x).
Definícia: Všeobecná primitívna funkcia F (x) + C k danej funkcii f(x)
sa nazýva neurčitým inegrálom a označuje sa ako
∫
dx f(x) = F (x) + C . (6.2)
Symbol∫
dx sa nazýva neurčitým integrálom v premennej x (lebo konštanta
C nie je určená), funkcia f(x) vystupujúca v integráli sa nazýva integrandom
(niekedy sa používa zápis∫
f(x) dx s dx na konci).
85
Základné neurčité integrály dostaneme obrátením tabul’ky derivácií el-
ementárnych funkcií (v tabul’kách sa nezvykne explicitne uvádzat’ neurčitá
konštanta C).
Tabul’ka základných neurčitých integrálov
∫
dx xn = xn+1
n+1
∫
dx 1x
= ln x∫
dx xa = xa+1
a+1, a 6= −1
∫
dx ex = ex
∫
dx sin x = − cos x∫
dx cos x = sin x∫
dx 11+x2 = arctg x
∫
dx 1√1−x2
= arcsin x∫
dx 1sin2 x
= −cotg x∫
dx 1cos2 x
= tg x∫
dx tg x = −ln | cos x|∫
dx cotg x = ln | sin x|
Ďalej uvedieme niektoré zovšeobecnenia (o ich správnosti dá sa presvedčit’
jednoduchým derivovaním):
∫
dx1
a2 + x2=
1
aarctg
x
a
∫
dx1
x2 − a2=
1
2aln
a + x
a − xpre |x| < a
∫
dx1
a2 − x2=
1
2aln
x − a
x + apre |x| > a
∫
dx1√
a2 − x2= arcsin
x
apre |x| < a
∫
dx1√
x2 − a2= ln (x +
√x2 − a2) pre |x| > a
∫
dx1√
x2 + a2= ln (x +
√x2 + a2) pre .
86 CHAPTER 6. INTEGROVANIE A JEHO APLIKÁCIE
Základné pravidlá výpočtu neurčitých integrálov
1. Multiplikatívnu konštantu možno vyňat’ pred integrál:∫
dx a f(x) = a
∫
dx f(x) . (6.3)
2. Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu príslušných integrálov:∫
dx (f(x) + g(x)) =
∫
dx f(x) +
∫
dx g(x) . (6.4)
Niektoré integrály možno redukovat’ na výpočet jednoduchších (základ-
ných) integrálov integračnou metódou substitúcie a integračnou metódou per-
partes.
3. Substitučná metóda:∫
dt φ′(t) f(φ(t)) =
(∫
dx f(x)
)
x=φ(t)
. (6.5)
Na pravej strane najprv vypočítame integrál∫
dx f(x) a do výsledku za x
dosadíme φ(t).
4. Metóda per-partes:∫
dx f(x) g′(x) = f(x) g(x) −∫
dx f ′(x)g(x) . (6.6)
Tu f ′(x) označuje deriváciu funkcie f(x) a podobne g′(x) je derivácia g(x).
87
Komentár k pravidlám inegrovania. Pretože neurčitý integrál (prim-
itívna funkcia) je "opakom" derivovania, tieto pravidlá plynú priamo z pra-
vidiel pre derivovanie:
Pravidlo 1: Ak F (x) bude primitívna funkcia k f(x), pravidlo 1. je
ekvivaletné nasledujúcemu pravidlu pre derivovanie
(a F (x))′ = aF ′(x) .
Pravidlo 2: Ak F (x) a G(x) označujú primitívne funkcie k f(x) a g(x),
pravidlo 2. je ekvivaletné derivovaniu súčtu funkcií
(F (x) + G(x))′ = F ′(x) + G′(x) .
Pravidlo 3. Pravidlo sa získa integráciou pravidla pre deriváciu zloženej
funkcie:∫
dt φ′(t) f(φ(t)) =
∫
dtdF (φ(t))
dt= F (φ(t))
= F (x)x=φ(t) =
(∫
dx f(x)
)
x=φ(t)
.
Pravidlo 4. Integráciou pravidla pre deriváciu súčinu funkcií
(f(x) g(x))′ = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x)
dostaneme rovnicu
f(x) g(x) =
∫
dx f ′(x) g(x) +
∫
dx f(x) g′(x)
ktorá je ekvivalentná pravidlu 4.
Poznámka: Často býva potrebné použit’ tieto pravidlá aj viackrát za se-
bou. Existujú návody, ako postupovat’ pri integrování určitých triedach ele-
mentárnych funkcií:
88 CHAPTER 6. INTEGROVANIE A JEHO APLIKÁCIE
(i) Integrovanie racionálnych funkcií,
(ii) Integrand obsahuje odmocniny,
(iii) Integrand obsahuje goniometrické funkcie.
Takýmito návodmi sa ale nebudeme bližšie zaoberat’. Jednoznačné pravidlo
na výpočet integrálov neexistuje, je potrebný cvik a skúsenost’.
Integrály elementárnych funkcií nie sú vždy elementárne funkcie. Ak nas-
tane takýto prípad, alebo je integrovanie príliš zložité, integrand môžme brat’
v tvare Taylorovho radu (alebo iného vhodného rozvoja), ktorý za určitých
podmienok možno integrovat’ člen po člene. Výsledok je potom daný v tvare
mocnniného rozvoja (prípadne rozvoja v iných funkciách).
Zvyknú sa tiež uvádzat’ rozsiahle tabul’ky neurčitých integrálov, kde spravidla
možno najst’ hl’adaný integrál, pokial’ sa dá vyjadrit’ pomocou elementárnych
alebo iných špeciálnych funkcií.
Určitý integrál
Budeme sa zaujímat’ o plochu medzi funkciou f(x) spojitou na vlastnom
intervale [a, b] a x-vou osou (pozri Obr. 17). Túto plochu možno odhadnút’
takto:
(i) Interval [a, b] rozdelíme na N podintervalov [a0, a1], [a1, a2], ... ,[aN−1, aN ]
dĺžky ∆x = 1N
(b−a), s krajnými bodmi a0 = a, ... ,an = a+n∆x, ... ,aN = b.
Potom, v každom z intervalov (an−1, an) vyberieme bod xn, n = 1, 2, ..., N .
(ii) Hl’adaná plocha je približne daná ako Riemannov integrálny súčet
N∑
n=1
∆x f(xn) , ∆x =1
N(b − a) . (6.7)
89
Pritom plocha nad x-vou osou sa berie kladne resp. záporne, podl’a ynamienka
f(xn).
a = a0x1 x2 xna1 a2 an−1an = b
...
obr. 17
Definícia: Určitý integrál∫ b
adx f(x) je definovaný ako limita integrálnych
súčtov∫ b
a
dx f(x) = limN→∞
N∑
n=1
∆x f(xn) . (6.8)
Symbol∫ b
adx sa nazýva určitým integrálom cez dx v medziach a, b ("na
intervale [a, b]" alebo "od a do b"), funkcia f(x) sa nazýva integrandom.
Komentár k definícii.
1. Možno ukázat’, že za predpokladu o spojitosti integranda f(x) na
intervale [a, b] limita integrálnych súčtov nezávisí od výberu bodov xn ∈(an−1, an).
2. Ďalej možno dokázat’, že ak c je daný bod z intervalu (a, b) a je inte-
90 CHAPTER 6. INTEGROVANIE A JEHO APLIKÁCIE
grand je ohraničený a spojitý na intervaloch (a, c) a (c, b), tak určitý integrál
na intervale [a, b] existuje a je daný ako súčet integrálov cez [a, c] a [c, b]:∫ b
a
dx f(x) =
∫ c
a
dx f(x) +
∫ b
c
dx f(x) . (6.9)
Integrál pritom nezávisí od hodnoty integrandu v bode c (funkcia f(x) v
bode x = c ani nemusí byt’ definovaná).
Poznámka 1: Z tohoto je vidiet’, že určitý integrál na intervale (a, b)
existuje pre ohraničený po častiach spojitý integrand. To je funkcia f(x)
spojitá a ohraničená v intervale (a, b) až na konečný počet bodov c1, c2, ...
ck.
Poznámka 2: Ak ohraničený integrand f(x) zmeníme v konečnom počte
bodov, hodnota integrálu sa nezmení. Špeciálne, integrál nezávisí od hodnôt
integranda f(c1), f(c2), ... , f(ck) v bodoch nespojitosti.
Newtonova formula
Uvažujme integrálny súčet
N∑
n=1
∆x f(xn) , xn ∈ (an−1, an) (6.10)
Nech F (x) je primitívna funkcia k integrandu f(x). Podl’a vety o prírastku
funkcie v každom z intervalov (an−1, an) existuje taký bod xn, že platí
F ′(xn) =F (an) − F (an−1)
an − an−1
. (6.11)
91
Práve tieto hodnoty f(xn) = F ′(xn), n = 0, 1, . . . , N , dosad’me do inte-
grálneho súčtu. Ak uvážime to, že ∆x = an − an−1, tak príslušný integrálny
súčet môžme prepísat’ takto:
N∑
n=1
(an − an−1)F (an) − F (an−1)
an − an−1
=N
∑
n=1
[F (an) − F (an−1)]
= [F (a1) − F (a0)] + [F (a2) − F (a1)] . . .
+ [F (an−1) − F (an−2)] + [F (an) − F (an−1)]
= F (aN) − F (a0) = F (b) − F (a) .
Vidíme, že platí vel’mi dôležitá Newtonova formula:∫ b
a
dx f(x) = F (b) − F (a) ≡ [F (x)]ba. (6.12)
Tu je zavedené bežne používané označenie [F (x)]ba = F (b) − F (a) (tiež
sa používa značenie F (x)|ba = F (b) − F (a)).
Newtonova formula je fundamentálny vzt’ah, ktorý vyjadruje určitý inte-
grál na intervale (a, b) z integrandu f(x) ako rozdiel hodnôt príslušnej prim-
itívnej funkcie v koncových bodoch oboru integrovania. Samozrejme, určitý
integrál nezávisí od aditívnej konštanty vystupujúcej v F (x).
Základné pravidlá výpočtu určitých integrálov
Prvé dve pravidlá plynú z Newtonovej integračnej formuly, d’al’šie vyplý-
vajú priamo z pravidiel výpočtu neurčitých integrálov.
92 CHAPTER 6. INTEGROVANIE A JEHO APLIKÁCIE
0. Výmena integračných hraníc a rozdelenie integračného intervalu:∫ b
a
dx f(x) = −∫ a
b
dx f(x) . (6.13)
∫ b
a
dx f(x) =
∫ c
a
dx f(x) +
∫ b
c
dx f(x) . (6.14)
1. Multiplikatívnu konštantu možno vyňat’ pred integrál:∫ b
a
dx c f(x) = c
∫ b
a
dx f(x) . (6.15)
Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu príslušných integrálov:∫ b
a
dx (f(x) + g(x)) =
∫ b
a
dx f(x) +
∫ b
a
dx g(x) . (6.16)
2. Substitučná metóda:∫ β
α
dt φ′(t) f(φ(t)) =
(∫ b
a
dx f(x)
)
x=φ(t)
= F (b) − F (a) . (6.17)
Vzorec platí ak φ(t) na intervale [a, b] je monotónna: na pravej strane najprv
vypočítame integrál∫ b
adx f(x) = F (b) − F (a) a do výsledku dosadíme
• a = φ(α) a b = φ(β) ak φ(t) je rastúca, resp.
• a = φ(β) a b = φ(α) ak φ(t) je klesajúca.
3. Metóda per-partes:∫ b
a
dx f(x) g′(x) = [f(x) g(x)]ba −∫ b
a
dx f ′(x)g(x) . (6.18)
93
Príklady
1. Integrál∫ +1
−1dx x2 počítame priamo:
∫ +1
−1
dx x2 =
[
x3
3
]+1
−1
=1
3− −1
3=
2
3
2. Integrál∫ π
2
0dt sin t cos t môžeme vypočítat’ pomocou substitúcie x =
sin t, dx = (sin t)′ = cos t:∫ π
2
0
dt sin t cos t =
∫ π
2
0
dt (sin t)′ sin t =
∫ 1
0
dx x =
[
x2
2
]1
0
=1
2
3. Iný spôsob výpočtu∫ π
2
0dt sin t cos t spočíva vo využití vzorca sin(2t) =
2 sin t cos t:∫ π
2
0
dt sin t cos t =1
2
∫ π
2
0
dt sin(2t) = −1
2
[
cos(2t)
2
]π
2
0
=1
2
4. Integrál∫ c
0dx x ex počítame metódou per-partes, tak že položíme
f(x) = x a g′(x) = ex. Ak využijeme to, že f ′(x) = 1 a g(x) = ex, hned’
dostaneme:∫ c
0
dx x ex = [x ex]c0 −∫ c
0
dx ex = [x ex]c0 − [ex]c0 = c ec − ec + 1
Nevlastné integrály
Integrál cez nevlastné intervaly (c, +∞) resp. (−∞, c) definujú sa ako
limity integrálov cez vlastné intervaly:∫ +∞
c
dx f(x) = limb→+∞
∫ b
c
dx f(x) (6.19)
94 CHAPTER 6. INTEGROVANIE A JEHO APLIKÁCIE
resp.∫ c
−∞dx f(x) = lim
a→−∞
∫ c
a
dx f(x) (6.20)
Integrál cez celú reálnu os (−∞, +∞) sa definuje takto∫
−∞+∞dx f(x) =
∫ c
−∞dx f(x) +
∫ +∞
c
dx f(x) (6.21)
kde posledné dva integrály boli zavedené vyššie. Hodnota takto definovaného
integrálu cez interval (−∞, +∞)) nezávisí od výberu bodu c.
Príklady
1. Integrál∫ +∞
0dx e−x počítame priamo:
∫ +∞
0
dx e−x = limc→+∞
∫ c
0
dx e−x = limc→+∞
[
e−x]c
0= 1
2. Integrál∫ +∞
0dx x e−x počítame metódou per-partes. Zvolíme f(x) = x
a g′(x) = e−x), potom∫ +∞
0
dx x e−x = limc→+∞
∫ c
0
dx x e−x = limc→+∞
(
[
−xe−x]c
0−
∫ c
0
dx (−e−x)
)
= limc→+∞
∫ c
0
dx x e−x = limc→+∞
[
−e−x]c
0= 1
3. Integrál In =∫ +∞
0dx xn e−x počítame metódou per-partes. Zvolíme
f(x) = xn a g′(x) = e−x (kvôli stručnosti nevypisujeme explicitne limc→+∞):
In =
∫ +∞
0
dx xn e−x =[
−xne−x]c
0−
∫ +∞
0
dx (nxn−1)(−e−x)
= n.
∫ +∞
0
dx xn−1 e−x = n.In−1
95
Dostali sme rekurentný vzt’ah In = n.In−1, pričom I0 = 1 podl’a príkladu 2.
Toto dáva
In =
∫ +∞
0
dx xn e−x = n! .
Poznámka: Možno ukázat’, že integrál Γ(z) =∫ +∞
0dx xz−1 e−x existuje
pre l’ubovol’né reálne z > 0 (jeho definíciu možno rozšírit’ aj na komplexné
čísla z rôzne od 0 a celých záporných čísiel). Toto definuje Eulerovu gamma
funkciu. Nedá vyjadrit’ pomocou elementárnych funkcií, aj ked’ pre prirodzené
čísla n = 1, 2, ..., nadobúda hodnoty Γ(n) = (n − 1)!.
Výpočty plôch a objemov rotačných telies
Plochy v rovine (x, y) ohraničené funkciami y = f(x)
Jedná sa o plochy v rovine ohraničené niekol’kými funkciami. Ako ilus-
tráciu vypočítame plochu elipsy v rovine (x, y) zadanej rovnicou
x2
a2+
y2
b2= 1 . (6.22)
Ak vyjadríme z tejto rovnice premennú y dostaneme dve riešenia (pozri Obr
18):
y = f1(x) = +b
√
1 − x2
a2, x ∈ [−a, +a] ,
y = f2(x) = −b
√
1 − x2
a2, x ∈ [−a, +a] .
Prvé z nich je kladné pre x ∈ (−a, +a), druhé je symetricky rozložené pod
x-ovou osou. Spájajú sa v bodoch x = +a a x = −a: f1(+a) = f1(+a) = 0)
96 CHAPTER 6. INTEGROVANIE A JEHO APLIKÁCIE
a f1(−a) = f1(−a) = 0. Plocha elipsy S je plocha uzavretá medzi funkciami
f1(x) a f2(x).
Zrejme S je dvojnásobok plochy pod funkciou f1(x), ktorá je rovná inte-
grálu
I =
∫ +a
−a
dx b
√
1 − x2
a2= ab
∫ +1
−1
dt√
1 − t2 .
Tu sme urobili substitúciu t = x/a. Ďal’šou substitúciou t = sin φ dostaneme
integrál I v tvare
I = ab
∫ +π
2
−π
2
dφ cos2 φ
=1
2ab
∫ +π
2
−π
2
dφ (1 − cos 2φ) =π
2ab .
Tu sme využili sme to, že
∫ +π
2
−π
2
dφ cos 2φ =1
2[sin 2φ]
+π
2
−π
2
= 0 .
Pre plochu elipsy máme vzorec: S = πab. V prípade kružnice položíme
a = b = r a získame známy vzorec S = πr2 pre plochu kružnice polomere r.
Objemy rotačných telies
Uvažujme teleso, ktoré sa získa rotáciou spojitej funkcie y = f(x), zadanej
na intervale [a, b], okolo x-ovej osi. Každému bodu x ∈ [a, b] máme takto
priradenú kružnicu ploche π f 2(x). Takéto rotačné teleso má objem V zadaný
integrálom (pozri Obr 19):
V = π
∫ b
a
dx f 2(x) . (6.23)
97
y = f1(x) = +b√
1 − x2
a2
y = f2(x) = −b√
1 − x2
a2
I
x+a−a
obr. 18
+b
Na ilustráciu vypočítame objem rotačného elipsoidu, ktorý sa dostane
rotáciou krivky
y = f(x) = +b
√
1 − x2
a2, x ∈ [−a, +a] ,
okolo x-ovej osi. Po dosadení do integrálu pre objem V dostaneme:
V = π
∫ +a
−a
dx b2
(
1 − x2
a2
)
= π(2ab2 − 2
3ab2) =
4
3π ab2 .
Integrácia je v tomto prípade jednoduchá. Ak položíme a = b = r, získame
známy vzorec V = 43π r3 pre objem gule o polomere r.