Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 1/23

Matemáticas DiscretasTC1003

Relaciones entre Conjuntos: PropiedadesDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 2/23

Representación Alternativa para Relaciones

Sea A un conjunto y R una relación de A en A. Eneste caso diremos que R es una relación sobre A ouna relación en A. Alternativamente al diagramade flechas del conjunto hacia si mismo:

a

b

c

a

b

c

a

b

c

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 3/23

EjemploSi A = {1,2,3,4} yR = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (3,3), (4,1)} dibuje eldiagrama de flechas de las relación.Solucion

1 2

34

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

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Relación Reflexiva

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice que■ R es reflexiva si :

∀x, (x ∈ A→ (x, x) ∈ R).

Es decir, toda relación que sea reflexiva debe teneral menosn flechas (suponiendo que n es el númerode elementos de A): deben estar todas las parejas(a, a) donde a barre todos los elementos de A.

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

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Ejemplos

1 2

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Relación no Reflexiva

1 2

34

Relación Reflexiva

Cada nodo debe tener un cíclo.

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

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EjemplosDe acuerdo a la mtriz de adyacencia de unarelación:

1 · · ·.

.

.

...

0...

1 · · ·.

.

. 1...

1

Relación No reflexiva Relación Reflexiva

En la diagonal principal debe haber sólo unospara relaciones reflexivas. En las no reflexivas hayal menos un cero.

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 7/23

Relación Simétrica

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es simétrica si

∀x, y, ((x, y) ∈ R→ (y, x) ∈ R).

Que no nos engañe la implicación: no dice quetengamos flechas de x a y para todo x y y: Diceque en caso de haber una flecha de x a y debemosde tener una de y a x en las relaciones simétricas.

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

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Ejemplos

1 2

34

Relación no simétrica

1 2

34

Relación Simétrica

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 9/23

Relación Antisimétrica

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es antisimétrica si

∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R→ x = y).

Cuando están las parejas (x, y) y (y, x) en larelación, es porque las parejas son (x, x).

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

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Ejemplos

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Relación no Antisimétrica

1 2

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Relación Antisimétrica

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 11/23

Relación Transitiva

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es transitiva si

∀x, y, z, ((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R).

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

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Ejemplos

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Relación no Transitiva

1 2

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Relación Transitiva

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 13/23

Relación de Equivalencia

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es una relación de equivalencia si R es reflexiva,simétrica y transitiva.

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 14/23

Ejemplos

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Relación no de Equivalencia

1 2

34

Relación de Equivalencia

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 15/23

Relación de Orden Parcial

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es una relación de orden parcial si R esreflexiva, antisimétrica y transitiva.

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 16/23

Ejemplos

1 2

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Relación que no es Orden Parcial

1 2

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Relación de Orden Parcial

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 17/23

EjemploConsidere el conjunto

A = {1,2,3}

y la relación:

R =

(2,2) , (2,3) , (1,2) ,

(1,1) , (3,3)

Indique cuáles propiedades tiene la relación.

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 18/23

EjemploIndica cuáles de las siguientes son relaciones deequivalencia:1. mod5 en los enteros2. La relación vecinosen los paises3. Primos en una familia4. ≥ en los enteros

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

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Cerradura Transitiva de una Relación

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. La cerraduratransitiva de R es una relación R′que cumple:■ R′ es transitiva,■ R ⊆ R′ (R′ contiene a R), y■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a

R también contiene a R′.Es decir, la cerradura transitiva de una relación Res la más pequeña relación transitiva que contienea R.

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12

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Ejemplos

1 2

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Relación

1 2

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Cerradura Transitiva

Cuidado: A veces hace falta una segunda pasadapara revisar si ya es transitiva.

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Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 21/23

Considere el conjunto

A = {1,2,3}

y la relación sobre A:

R =

(1,1) , (1,2) , (1,3) ,

(2,1) , (2,2) , (3,3)

Sólo de la siguiente lista indique cuáles parejasdeben aãdirse a R en la cerradura transitiva:1. (2,3)

2. (3,1)

3. (3,2)

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Partición de un Conjunto

DefinicionSea A un conjunto no vacío. Una partición para Aes una colección de subconjuntos de A, A1,A2,. . . ,Am tal que■ Ningún subconjunto Ai es vacío:

∀i, Ai , ∅

■ Los conjuntos no tienen elemento en común:

∀i, j, (i , j→ Ai ∩ A j = ∅)

■ La unión de los conjuntos es igual a A:

A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am = A

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EjemploIndica cuáles de las siguientes son particiones delconjunto:

{1,3, {5,2},4}

1. {∅, {1,3, {5,2},4}}2. {{1}, {3, {5,2},4}}3. {{{1,3}}, {5,2}, {4}}4. {{1}, {3}, {{5,2}}, {4}}