Post on 05-Jul-2015
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Matemaacutetica Discreta
Lista de exerciacutecios resolvidos
Parte I Teacutecnicas de prova e definiccedilotildees indutivas 1) Vamos provar a conjectura ldquoPara um nuacutemero ser primo natildeo eacute suficiente que seja iacutemparrdquo Siga os
seguintes passos para provaacute-la
(a) Desconsidere o natildeo do enunciado e coloque o restante na forma ldquose P entatildeo Qrdquo
(b) Para provar a frase original ldquonatildeo (se P entatildeo Q)rdquo basta refutar ldquose P entatildeo Qrdquo
(a) Como o enunciado fala em suficiecircncia o P seraacute a segunda parte ldquoo nuacutemero eacute imparrdquo Logo o
enunciado sem a negaccedilatildeo seraacute ldquose um nuacutemero eacute iacutempar entatildeo ele eacute primordquo
(b) para refutar (a) basta encontrar um contra-exemplo Ora 9 eacute iacutempar mas natildeo eacute primo Logo a
conjectura original estaacute provada
2)
Prove que para um inteiro n n3+5 eacute iacutempar se somente se n eacute par
a) por contraposiccedilatildeo (a parte lsquosersquo)
Temos que provar que Se n eacute par entatildeo n3+5 eacute iacutempar por contraposiccedilatildeo ou seja
Temos que provar que Se n3+5 eacute par entatildeo n eacute iacutempar
Se n3+5 eacute par entatildeo n
3+5 = 2k logo n
3 +22 + 1 = 2k logo n
3 tem que ser iacutempar pois se fosse par daria
2m+22 + 1= 2(m+2) + 1 o que eacute iacutempar
Mas se n3 eacute iacutempar n natildeo pode ser par pois nesse caso n
3=2r2r2r = 2(4r
2) que eacute par
Logo n tem que ser iacutempar cqd
Temos que provar que Se n natildeo eacute par entatildeo n3+5 natildeo eacute iacutempar
Como por hipoacutetese n eacute iacutempar seraacute da forma n= 2k+1 para algum k Entatildeo
n3 +5= (2k+1)
3 +5= (4k
2 + 4k+1)(2k+1)+5 = 8k
3+8k+2k+4k
2+4k+1+5 =
8k3+4k
2+14k+6= 2 (4k
3+2k
714k+3) logo r= 4k
3+2k
714k+3 eacute um inteiro e temos que
n3 +5= 2r portanto eacute par CQD
b) por absurdo ( a parte lsquosomente sersquo)
Temos que provar que Se n3+5 eacute iacutempar entatildeo n eacute par por absurdo
Suponhamos que n3+5 eacute iacutempar mas n tambeacutem eacute iacutempar
Mas se n eacute iacutempar eacute da forma 2k+1 nesse caso teriacuteamos
n3 +5 = (2k+1)
3 = (2k+1) (2k+1) (2k+1) + 5 = (4k
2+ 4k+3)(2k+1) + 5 =
8k3 + 4k2 + 8k
2 + 4k + 6k + 3 + 5 = 8k
3 + 12k2 + 8k + 8 = 2(4k
3 + 6k2 + 4k + 4)
Que eacute para em contradiccedilatildeo de que n3+5 eacute iacutempar cqd
3) Prove que ldquose x eacute positivo entatildeo x+1 eacute positivordquo
a) por contraposiccedilatildeo
b) por contradiccedilatildeo
(a) provar que ldquose x+1 natildeo eacute positivo entatildeo x natildeo eacute positivordquo Ora se x+1 0 como xltx+1 teremos
que x tambeacutem eacute negativo
(b) suponha que x 0 e x+1 lt 0 Como x 0 e x+1 gt x teremos x+1 gt 0 contradiccedilatildeo com a hipoacutetese
4) (a) Mostre por contradiccedilatildeo que a funccedilatildeo inversa de uma funccedilatildeo bijetiva f(x) eacute uacutenica
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDDE CENTRO DE CIEcircNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E CCOMPUTACcedilAtildeO Professor Ulrich Schiel
Suponhamos que f(x) tem duas inversas f1-1
(y) e f2-1
(y) Como as duas funccedilotildees satildeo diferentes existe um
y tal que f1-1
(y) f2-1
(y) Neste caso se x1= f1-1
(y) e x2 = f2-1
(y) temos que f(x1)=y e f(x2)=y jaacute que as
duas satildeo inversas de f(x) Mas neste caso f(x) natildeo eacute injetiva e portanto natildeo eacute bijetiva
CONTRADICcedilAtildeO
(b) Prove por induccedilatildeo que para todo inteiro positivo n vale que 7n-2n eacute divisiacutevel por 5
Para n=1 temos 7-2=5 OK
Supondo que 7n-2n eacute divisiacutevel por 5 existe um k tal que 7n-2n=5k
Agora 7(n+1) ndash 2(n+1)= 7n+7-(2n+2)= 7n-2n +7-2 = 5k +7-2=5(k+1) CONFIRMADO
5) A sequumlecircncia de nuacutemeros triangulares eacute 1 3 6 10 eacute baseada nos triacircngulos
1 3 6
Encontre a relaccedilatildeo de recorrecircncia e a foacutermula fechada desta sequumlecircncia Para encontrar a foacutermula fechada
use o princiacutepio expandir supor verificar
A sequecircncia seraacute 1 3(=1+2) 6(=3+3) 10(=6+4) 15(=10+5) 21(=15+6) logo a
relaccedilatildeo de recorrecircncia seraacute S(1) = 1 e S(n) = S(n-1) + n
Foacutermula fechada
Expandir S(1) = 1 S(2) = 1 + 2 S(3) = 1 + 2 + 3 S(4) = 1 + 2 + 3 + 4
Supor S(n) = i=1n i
Verificar S(1)=1 = i=11 i
Supondo verdadeiro que S(n) = i=1n i temos que
S(n+1) = S(n) + n+1 = i=1n i + n+1 = i=1n+1 i CQDO
6) Mostre por induccedilatildeo que para a sequumlecircncia de Fibonacci vale a relaccedilatildeo
F(n) lt 2n
(NB a sequumlecircncia de Fibonacci eacute dada por F(1)=1 F(2)=2 e F(n)=F(n-1) + F(n-2))
Hipoacutetese de induccedilatildeo F(1) = 1 lt 21 F(2) = 2 lt 2
2 F(n-1) lt 2
n-1 e F(n) lt 2
n
Vamos mostrar que F(n+1) = lt 2n+1
para n gt 2
Por definiccedilatildeo temos que
F(n+1) = F(n) + F(n-1) substituindo a hipoacutetese de induccedilatildeo temos que
F(n+1) lt = 2 2n-1
+ 2n-1
= 32n-1
lt 42n-1
= 2n+1
estaacute provada a conjectura
Na prova acima foi usada lsquoinduccedilatildeo completarsquo A prova por induccedilatildeo simples seria
F(n+1) = F(n) + F(n-1) pela definiccedilatildeo de F(n)
= F(n-1)+F(n-2) + F(n-1) pela hipoacutetese de induccedilatildeo
lt 2n + F(n-1) como F(n-1) = F(n) ndash F(n-2)
lt 2n + 2
n ndash F(n-2) = 2
n+1 ndash F(n-2)
Entatildeo temos F(n+1) + F(n-2) lt 2n+1
e como F(n-2) gt 0 teremos F(n+1) lt 2n+1
7) Mostre por induccedilatildeo que n3 + 2n eacute divisiacutevel por 3
n=1 1+2=3
supondo que n3+ 2n eacute divisiacutevel por 3 temos n
3+ 2n = 3k
agora (n+1)3+ 2(n+1) =
(n+1)(n2 + 2n +1)+2n+2 = n
3 + 2n
2 + n + n
2 + 2n + 1 + 2n +2 =
3k + 3n2 + 3n +3 = 3(k + n
2 + 3n + 1)
8) Prove que ldquose x e y satildeo iacutempares entatildeo x+y eacute parrdquo
a Por contraposiccedilatildeo
Se x+y eacute impar entatildeo x ou y eacute par
Pela hipoacutetese x+y = 2n + 1 Mas para que isso aconteca x e y natildeo podem ser ambos iacutempares
pois neste caso teriacuteamos x+y = 2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1) que eacute par Logo x ou y tem que ser
par
b Por contradiccedilatildeo
Para x e y impares suponha x+y impar Mas se x+y eacute iacutempar x+y = 2k+1 Nesse caso x e y natildeo
podem ser ambos iacutempares pois teriacuteamos x+y =2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1) que eacute par
9) Uma sequecircncia eacute definida por S(1) = 1 S(n)=n+S(n-1)
Encontre a forma fechada usando o princiacutepio expandir supor verificar
RESP
Expandir S(1) = 1 S(2) = 2 + 1 S(3) = 3 + S(2) = 3 + 2 + 1 S(4) = 4 + S(3) = 4 + 3 + 2 + 1
Supor S(n) = i=1n i
Verificar por induccedilatildeo S(1) = i=11 i = 1 OK
Supondo que vale S(n) = i=1n i teremos
S(n+1) = n+1 + S(n) = n+1 + i=1n i = i=1n+1 i Verificado
10) Demonstre quais das afirmaccedilotildees a seguir satildeo verdadeiras ou mostre quais satildeo falsas
a) O cubo de um nuacutemero par x eacute par
Verdadeiro Prova por absurdo Suponhamos que existe um iacutempar n = p3 em que p eacute um par Logo n =
ppp = p2p Como p eacute par existe um inteiro q tal que p=2q Mas entatildeo temos que = p
2q2 e fazendo
p2q = m temos n = 2m contradizendo a suposiccedilatildeo de que n eacute iacutempar
b) |x+y| |x| + |y|
Verdadeiro Temos 3 casos principais (1) x e y positivos (2) um deles eacute negativo e (3) ambos
negativos
(1) Neste caso |x| = x e |y| = y logo |x+y| = |x| + |y| = x+y
(2) Seja xlt 0 e y 0 neste caso x+y lt |x| + y = |x| + |y| e como para todo nuacutemero n|n| temos que
|x+y| lt ||x| + |y|| = |x| + |y|
(3) para x e y negativos teremos |x+y| |-(-x + -y)| = |(-x + -y)| |-x| + |-y| = |x| + |y|
(4) Os casos em que um deles eacute 0 podem ser enquadrados nos casos anteriores
c) 1+5+9+ + (4n-3) = n(2n-1) prove por induccedilatildeo que vale para todo inteiro positivo n
Prova
Para n=1 temos 4n-3=1 a sequecircncia teraacute um soacute termo como 1=1(21-1)= 1 OK
Supondo que vale para n para n+1 seriacutea
1+5+9+ + (4n-3)+(4(n+1)-3) = (n+1)(2(n+1)-1)
n(2n-1) + 4n+4-3 = 2n2-n + 4n +1= 2n
2 + 3n +1
A outra parte fica sendo
(n+1)(2n+2-1) = (n+1)(2n+1) = 2n2+n+ 2n+1=2n
2+3n+1 CQD
11)
Sabemos que para uma relaccedilatildeo de recorrecircncia do tipo S(n) = cS(n-1) + g(n) podemos
encontrar a foacutermula fechada pela equaccedilatildeo S(n) = cn-1
S(1) + (k=0n-2) ck g(n-k) Aplique esta equaccedilatildeo agrave
relaccedilatildeo de recorrecircncia a S(1) = 2 S(n) = 2S(n-1) + n2 + 1
a) Determine sua foacutermula fechada A equaccedilatildeo S(n) = c
n-1 S(1) + (k=0n-2) c
k g(n-k) aplicada agrave relaccedilatildeo S(1) = 2 e S(n) = 2S(n-1) + n
2 + 1
Temos que c= 2 S(1)=2 e g(n) = n2+1 logo a foacutermula seraacute
S(n) = 2n-1
2 + (k=0n-2) [2k ((n-k)
2+1)] = 2
n + (k=0n-2) [2
k ((n-k)
2+1)]
b) Calcule S(4) Para n=4 temos que S(4) = 2
4-1 2 + (k=04-2) [2
k ((4-k)
2+1)] = 2
3 2 + (k=02) [2
k ((4-k)
2+1)] = 16 + 2
0 (4
2+1) + 2
1(3
2+1) +
22(2
2+1) = 16 + 16+1 + 2(9+1) + 4(4+1) = 33 + 20 + 20 = 73
Conferindo S(1) = 2 S(2) = 4+4+1=9 S(3) = 29+9+1= 28 S(4) = 228+16+1= 73
Parte II Conjuntos e Gramaacuteticas
1) Sejam A = pqrs B = rtv e C = pstu subconjuntos de S=pqrstuvw Encontre (Obs Arsquo eacute
o complemento de A)
1) (A B)rsquo
2) Arsquo ndash (B C)
3) (B-A) A
4) R =(xy) B A tal que x precede y no alfabeto
5) R =(xy) B S tal que x divide y
1) (A B) = r logo (A B)rsquo = pqstuvw
2) tuvw ndash prstuv = w
3) tv pqrs = (tp) (tq) (tr) (ts) (vp) (vq) (vr) (vs)
4) (rs)
5) (11)(110)(33)(36)(39)(55)(510)
2) Sejam A = 24568 B = 135 e C = xx Z e 3 x lt 5 subconjuntos de S=010 Encontre
a (A B)rsquo
(A B)rsquo = (24568 135)rsquo = (5)rsquo = 01234678910
b Arsquo ndash (B C)
Arsquo ndash (B C) = 24568rsquo ndash (13534= 0137910 ndash 1345) = 07910
c (B-A) A
(135 - 24568) 24568= 13 24568 = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt
lt32gtlt34gtlt35gtlt36gtlt38gt
d R =(xy) B A tal que x divide y
R = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt lt36gtlt55gt
3)
Sejam A = letras do teu primeiro nome e B = letras do teu uacuteltimo nome
a) Encontre (A Brsquo)rsquo (BA) Obs O universo eacute L=letras do alfabeto
(ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquo
ABrsquo = U R
(BA) = [ULRICHSE]
(ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquo = A-Z exceto U e R] - A-Z exceto U L R I C H S E] = LICHSE
b) Seja l1 = das duas primeiras letras de teu primeiro nome e l2 = das duas primeira letras de teu
uacuteltimo nome Encontre (A B)(l1 l2)
l1=UL L2 = SC logo li X l2 = ltUSgt ltUCgt ltLSgt ltLCgt Nesse caso teremos
A X B ndash (l1 X l2) todos os pares de letras de ULRICH e SCHIEL exceto os 4 acima 2) Seja a gramaacutetica G = lt L Pgt com = tnt t = 01 nt= S L= t
e as produccedilotildees P = S 0S S 1
a) Quais sentenccedilas vaacutelidas satildeo produzidas por esta gramaacutetica
b) E se acrescentarmos a produccedilatildeo S S0
(a) As sentenccedilas vaacutelidas satildeo 1 01 001 0001 00001
(b) Agora temos 1 01 001 0001
e 10 100 1000
e 010 0010 00010
Ou seja todas cadeias com um lsquo1rsquo e restante lsquo0rsquos
3)
a) Qual a diferenccedila entre Decirc a cardinalidade de cada um e as possiacuteveis relaccedilotildees
ou = entre eles
RESP ||=||=0 e || = 1 = e
b) Dados os conjuntos A=a a a B=a e C= aa decirc a cardinalidade de cada um e
mostre quais afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras CA BA BC a aA A-BC
RESP |A| = 3 |B| = 1 |C| = 2
CA - falsa BA - verdadeira BC - falsa a aA - falsa A-BC - falsa
4)
Dados 3 conjuntos A B e C mostre que
a) A X (B C) = (A X B) (A X C)
Parte 1 A X (B C) (A X B) (A X C)
Se ltxygt A X (B C) entatildeo x A e y (B C) Nesse caso y B e y C) Mas com x A e y B
temos que ltx ygt (A X B) e com x A e y C temos que ltx ygt (A X C) Destes dois fatos deduzimos
que lt xygt (A X B) (A X C)
Parte 2 O inverso se mostra invertendo todos os argumentos anteriores
b) (A B) C) = A (BC)
Parte 1 (A B) C) A (BC)
Se ltxygt (A B) C) entatildeo ltxygt A X B e ltxygt (A X C) Pela primeira pertinecircncia
sabemos que x A e y B Logo para valer a relaccedilatildeo soacute eacute possiacutevel se y C
Nesse caso temos x A y B e y C o que caracteriza a situaccedilatildeo ltxygt (A X (B-C)) cqd Parte 2 similar a anterior
5) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 U B S I P F sendo B o siacutembolo inicial
R = B SIPF
S +|-| λ
I ID | D
P
F DD
D 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9
1) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
RESP esta gramaacutetica reconhece nuacutemeros com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente
ou natildeo Os nuacutemeros poderatildeo comeccedilar com um ou mais diacutegitos lsquo0rsquo Em outras palavras reconhece
sequencias da forma +nnnnn ou ndashnnnn ou nnnnn
2) Mostre como ela reconhece o nuacutemero -45933
RESP para testar basta seguir em ordem inversa as regras ateacute chegar a B Ou seja temos
-45933 -459DD -459F -459PF -45DPF -4DDPF -DDDPF SDDDPF
SIDDPF SIDPF SIPF B (NB tambeacutem pode-se percorrer o caminho inverso)
3) Modifique a gramaacutetica para que ela reconheccedila nuacutemeros inteiros sem fraccedilotildees
RESPPara reconhecer soacute nuacutemeros inteiros deve-se alterar a primeira regra para BSI e excluir as
regras P e F DD
Para reconhecer tambeacutem nuacutemeros inteiros a primeira regra fica sendo BSIPF | SI
5)
Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 e nt = B EXP OP N D com as
regras de produccedilatildeo
R = 1 B EXP 2 EXP ( EXP ) OP N 3 EXP N OP N
4 OP + | - | | 5 N D | ND 6 D 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9
a) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
Define expressotildees aritmeacuteticas da forma op1 op op2 em que op eacute um dos operadores + - ou op2 eacute
um nuacutemero inteiro positivo e op1 eacute ou tambeacutem um inteiro ou outra expressatildeo da mesma forma entre
parecircntesis
b) Mostre como ela reconhece a expressatildeo (30-5)+025 Indique qual regra foi aplicada em cada
passo
-(1)- B EXP -(2)- ( EXP ) OP N -(4)- ( EXP ) + N -(5)- ( EXP ) + ND -(5)- ( EXP ) + NDD -(5)- (
EXP ) + DDD -(6)- ( EXP ) + 025 -(3)- ( N OP N ) + 025 -(5)- ( N OP D ) + 025 -(6)- ( N OP 5 ) + 025
-(5)- ( ND OP 5 ) + 025 -(5)- ( DD OP 5 ) + 025 -(5)- ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)- ( 30 - 5 ) + 025
c) Modifique a gramaacutetica para que ela
1 tambeacutem reconheccedila expressotildees entre parecircntesis agrave direita e
Alterar a regra (2) para 2 EXP N OP (EXP) | ( EXP ) OP N
2 um nuacutemero natildeo comece com 0 (zero)
Substituir as regras 5 e 6 por 5 N P | PD 6 D DF | F 7 P 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9 8 F
P | 0 |
E acrescentar aos natildeo-terminais os siacutembolos P e F
6) Considere a gramaacutetica G = lt L R gt Onde
R 0R1 | 1R0 | λ
a) A palavra 11001 pertence agrave linguagem geada por G
Natildeo pois se tentamos produzi-la pex R1R011R001100 vai faltar a produccedilatildeo do uacuteltimo lsquo1rsquo a
direita Generalizando toda regra produz um nuacutemero par de terminais logo eacute impossiacutevel produzir uma
cadeia com 5 diacutegitos
b) Qual linguagem definida por G
Cadeias de 1s e 0s tal que para cada diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da esquerda para a direita ocorre o inverso
desse diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da direita para a esquerda
7) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = lsquoarsquo lsquobrsquo lsquocrsquorsquoxrsquo lsquoyrsquo lsquozrsquo lsquorsquo lsquo lsquo e
nt = NC Nome Sobrenome N Letra com as regras de produccedilatildeo
R = 1 NC Nome acute acute Sobrenome 2 Nome N | N lsquo lsquo Nome 3 Sobrenome N | N lsquo lsquo
Nome 4 N Letra | Letra N 5 Letra lsquoarsquo | lsquobrsquo | | lsquozrsquo
c) Mostre a sequecircncia de produccedilotildees para produzir teu nome completo
1 NC Nome acute acute Sobrenome
(2) N acute acute Sobrenome
(4) Letra N acute acute Sobrenome
(4)5 vezes Letra Letra Letra Letra Letra Letra acute acute Sobrenome
(5)6 vezes ulrich acute acute Sobrenome
(3) ulrich acute acute N
Repetindo (4)5 vezes e (5)6 vezes obtemos ulrich schiel
d) Altere a gramaacutetica para produzir o nome na forma inversa sendo que soacute o uacuteltimo sobrenome aparece
antes da viacutergula
Basta alterar as regras (1) e (3) Ficaratildeo sendo
1 NC Sobrenome acute acute Nome
3 Sobrenome N
8)
a) Uma mulher tem 7 blusas 5 saias e 9 vestidos De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir
(princiacutepios da adiccedilatildeo e multiplicaccedilatildeo)
Existem duas formas de se vestir (1) blusa e saia ou (2) vestido
(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias pelo princiacutepio da multiplicaccedilatildeo haacute 35 combinaccedilotildees possiacuteveis
(2) Aqui haacute 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute ao todo 35 + 9 = 44 possibilidades
b) Queremos criar uma codificaccedilatildeo binaacuteria para um conjunto de k caracteres Determine quantas casas
binaacuterias satildeo necessaacuterias para codificar todos caracteres (princiacutepio das casas de pombos) Para k=2 bastaria uma posiccedilatildeo binaacuteria Para k=3 ou 4 precisariacuteamos 2 casas que datildeo 4
combinaccedilotildees Para k entre 5 e 8 seriam 3 No geral em n posiccedilotildees cabem 2n
combinaccedilotildees Logo para codificar k caracteres o nuacutemero de posiccedilotildees n seraacute tal que 2n-1
lt k lt 2n
9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 satildeo proprietaacuterios de carros 97 possuem bicicletas
28 tecircm motocicletas 53 satildeo donos de carros e bicicletas 14 tecircm carros e motocicletas sete possuem
bicicletas e motocicletas e dois tecircm todos os trecircs
Resp Seja E o conjunto dos Estudantes C os que tecircm carro B os que tecircm bicicleta e M os que tecircm
motocicleta Teremos
|E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28 |CCM| = 14
|BM| = 7 e |CBM| = 2
1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas
Resp Os que soacute tecircm bicicletas satildeo dados por
|B| - |C | - |B| + |C | =
= 97 - 53 - 7 + 2 = 41
2) Quantos estudantes natildeo tecircm qualquer dos trecircs
Resp Todos que tecirc algum veiacuteculo satildeo dados por
|C | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C | =
= 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136
Logo os que natildeo tecircm nada satildeo 150 ndash 136 = 14
10) Vocecirc estaacute desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opiniatildeo puacuteblica
para realizar uma pesquisa de mercado para vocecirc A empresa constatou que em sua pesquisa de 450
consumidores os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisatildeo de compra de um sabonete
Perfume 425
Faacutecil produccedilatildeo de espuma 397
Ingredientes naturais 340
Perfume e faacutecil produccedilatildeo de espuma 284
Perfume e ingredientes naturais 315
Faacutecil produccedilatildeo de espuma e ingredientes naturais 219
Todos os trecircs fatores 147
Vocecirc confiaria nesses resultados Justifique
Resp Seja C o conjunto dos consumidores
P o conjunto dos que preferem o perfume
E o conjunto dos que preferem a espuma e
N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais
Temos |C| = 450 |P| = 425 |E| = 397 e |N| = 340
|PE| = 284 |P+ = 315 |NE| = 219 e |PE+ = 147
Supondo que Perfume significa Soacute Perfume todos conjuntos seratildeo disjuntos Nesse caso teremos que
|C| E| + |P+ + |NE| + |PE+
425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127 mas |C| = 450
Mesmo supondo que Perfume significa Tambeacutem Perfume teriacuteamos
|C| = |P | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P | =
425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491
o que ainda eacute maior que 450
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lanccedilados para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes (Sugestatildeo divida as soluccedilotildees em dois casos
1Quando os dados tiverem o mesmo valor
2Quando os valores forem diferentes)
Resp Como os resultados dos dois dados satildeo independentes e cada dado tem 6 faces haacute pelo princiacutepio da
multiplicaccedilatildeo 6x6=36 possibilidades
Seguindo a sugestatildeo consideramos dois casos
a) Quando os dois dados tecircm o mesmo valor haacute 6 possibilidades
b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades Para cada par (dado1=ndado2=m) existe outro lanccedilamento
(dado1=mdado2=n) idecircntico Assim haveraacute 15 lanccedilamentos diferentes
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes Logo pelo princiacutepio da casa
do pombo apoacutes 22 lanccedilamentos um par teraacute que se repetir
OUTRA SOLUCcedilAtildeO Haacute 6 casos aditivos dependentes
1 se para o dado-1 cair 1 haveraacute 6 combinaccedilotildees possiacuteveis com o dado-2
2 se para o dado-1 cair 2 aleacutem de (21) haveraacute mais 5 combinaccedilotildees possiacuteveis
3 se cair 3 haveraacute mais 4 combinaccedilotildees novas
4 para o 4 haveraacute mais 3 combinaccedilotildees novas
5 para o 5 haacute mais 2 combinaccedilotildees
6 para o 6 haacute mais uma combinaccedilatildeo o (66)
Assim pelo princiacutepio da adiccedilatildeo temos ao todo 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaccedilotildees distintas
Parte III Relaccedilotildees
1) Podem ser definidas mais propriedades de relaccedilotildees binaacuterias em um conjunto S
eacute irreflexiva quando xS temos (xx) ]
eacute assimeacutetrica quando xyS temos [(x y) (y x) ]
a Construa uma relaccedilatildeo binaacuteria em S = 123 que eacute assimeacutetrica e anti-simeacutetrica Obtenha o fecho
transitivo desta tua relaccedilatildeo
b Analise o conjunto ltN lsquoltrsquogt os naturais com a relaccedilatildeo lsquomenor quersquo em relaccedilatildeo agraves duas
propriedades definidas aqui e as outras
a R=(12) (23) o fecho transitivo eacute (12) (23) (13)
b A relaccedilatildeo ltN lsquoltrsquogt natildeo eacute reflexiva e eacute irreflexiva pois nenhum nltn Eacute anti-simeacutetrica e assimeacutetrica
pois natildeo existe nenhum para n m com nltm e mltn Pelo mesmo motivo tambeacutem natildeo eacute simeacutetrica Eacute
transitiva pois se nltm e mlt u temos nltu
2) Seja S=a abc acb e a relaccedilatildeo de
1 Desenhe o Diagrama de Hasse desta relaccedilatildeo
ab ac
2 Encontre o fecho transitivo
(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou
muitos-para-muitos
(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou
igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva
(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva
(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva
(a) Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um
(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igual
Simeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menor
Anti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=y
Transitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute
claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)
(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o
ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5
(d) A relaccedilatildeo xlty em N
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada
uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
a perto(xy) = x mora a menos de 500m de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
eacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a
mesma pessoa
natildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de
800m logo natildeo estatildeo mais perto
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
b longe(xy) = x mora a mais de 500m de y
natildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmo
eacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy
natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva
c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
eacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
eacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairro
eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva
a c b
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
Suponhamos que f(x) tem duas inversas f1-1
(y) e f2-1
(y) Como as duas funccedilotildees satildeo diferentes existe um
y tal que f1-1
(y) f2-1
(y) Neste caso se x1= f1-1
(y) e x2 = f2-1
(y) temos que f(x1)=y e f(x2)=y jaacute que as
duas satildeo inversas de f(x) Mas neste caso f(x) natildeo eacute injetiva e portanto natildeo eacute bijetiva
CONTRADICcedilAtildeO
(b) Prove por induccedilatildeo que para todo inteiro positivo n vale que 7n-2n eacute divisiacutevel por 5
Para n=1 temos 7-2=5 OK
Supondo que 7n-2n eacute divisiacutevel por 5 existe um k tal que 7n-2n=5k
Agora 7(n+1) ndash 2(n+1)= 7n+7-(2n+2)= 7n-2n +7-2 = 5k +7-2=5(k+1) CONFIRMADO
5) A sequumlecircncia de nuacutemeros triangulares eacute 1 3 6 10 eacute baseada nos triacircngulos
1 3 6
Encontre a relaccedilatildeo de recorrecircncia e a foacutermula fechada desta sequumlecircncia Para encontrar a foacutermula fechada
use o princiacutepio expandir supor verificar
A sequecircncia seraacute 1 3(=1+2) 6(=3+3) 10(=6+4) 15(=10+5) 21(=15+6) logo a
relaccedilatildeo de recorrecircncia seraacute S(1) = 1 e S(n) = S(n-1) + n
Foacutermula fechada
Expandir S(1) = 1 S(2) = 1 + 2 S(3) = 1 + 2 + 3 S(4) = 1 + 2 + 3 + 4
Supor S(n) = i=1n i
Verificar S(1)=1 = i=11 i
Supondo verdadeiro que S(n) = i=1n i temos que
S(n+1) = S(n) + n+1 = i=1n i + n+1 = i=1n+1 i CQDO
6) Mostre por induccedilatildeo que para a sequumlecircncia de Fibonacci vale a relaccedilatildeo
F(n) lt 2n
(NB a sequumlecircncia de Fibonacci eacute dada por F(1)=1 F(2)=2 e F(n)=F(n-1) + F(n-2))
Hipoacutetese de induccedilatildeo F(1) = 1 lt 21 F(2) = 2 lt 2
2 F(n-1) lt 2
n-1 e F(n) lt 2
n
Vamos mostrar que F(n+1) = lt 2n+1
para n gt 2
Por definiccedilatildeo temos que
F(n+1) = F(n) + F(n-1) substituindo a hipoacutetese de induccedilatildeo temos que
F(n+1) lt = 2 2n-1
+ 2n-1
= 32n-1
lt 42n-1
= 2n+1
estaacute provada a conjectura
Na prova acima foi usada lsquoinduccedilatildeo completarsquo A prova por induccedilatildeo simples seria
F(n+1) = F(n) + F(n-1) pela definiccedilatildeo de F(n)
= F(n-1)+F(n-2) + F(n-1) pela hipoacutetese de induccedilatildeo
lt 2n + F(n-1) como F(n-1) = F(n) ndash F(n-2)
lt 2n + 2
n ndash F(n-2) = 2
n+1 ndash F(n-2)
Entatildeo temos F(n+1) + F(n-2) lt 2n+1
e como F(n-2) gt 0 teremos F(n+1) lt 2n+1
7) Mostre por induccedilatildeo que n3 + 2n eacute divisiacutevel por 3
n=1 1+2=3
supondo que n3+ 2n eacute divisiacutevel por 3 temos n
3+ 2n = 3k
agora (n+1)3+ 2(n+1) =
(n+1)(n2 + 2n +1)+2n+2 = n
3 + 2n
2 + n + n
2 + 2n + 1 + 2n +2 =
3k + 3n2 + 3n +3 = 3(k + n
2 + 3n + 1)
8) Prove que ldquose x e y satildeo iacutempares entatildeo x+y eacute parrdquo
a Por contraposiccedilatildeo
Se x+y eacute impar entatildeo x ou y eacute par
Pela hipoacutetese x+y = 2n + 1 Mas para que isso aconteca x e y natildeo podem ser ambos iacutempares
pois neste caso teriacuteamos x+y = 2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1) que eacute par Logo x ou y tem que ser
par
b Por contradiccedilatildeo
Para x e y impares suponha x+y impar Mas se x+y eacute iacutempar x+y = 2k+1 Nesse caso x e y natildeo
podem ser ambos iacutempares pois teriacuteamos x+y =2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1) que eacute par
9) Uma sequecircncia eacute definida por S(1) = 1 S(n)=n+S(n-1)
Encontre a forma fechada usando o princiacutepio expandir supor verificar
RESP
Expandir S(1) = 1 S(2) = 2 + 1 S(3) = 3 + S(2) = 3 + 2 + 1 S(4) = 4 + S(3) = 4 + 3 + 2 + 1
Supor S(n) = i=1n i
Verificar por induccedilatildeo S(1) = i=11 i = 1 OK
Supondo que vale S(n) = i=1n i teremos
S(n+1) = n+1 + S(n) = n+1 + i=1n i = i=1n+1 i Verificado
10) Demonstre quais das afirmaccedilotildees a seguir satildeo verdadeiras ou mostre quais satildeo falsas
a) O cubo de um nuacutemero par x eacute par
Verdadeiro Prova por absurdo Suponhamos que existe um iacutempar n = p3 em que p eacute um par Logo n =
ppp = p2p Como p eacute par existe um inteiro q tal que p=2q Mas entatildeo temos que = p
2q2 e fazendo
p2q = m temos n = 2m contradizendo a suposiccedilatildeo de que n eacute iacutempar
b) |x+y| |x| + |y|
Verdadeiro Temos 3 casos principais (1) x e y positivos (2) um deles eacute negativo e (3) ambos
negativos
(1) Neste caso |x| = x e |y| = y logo |x+y| = |x| + |y| = x+y
(2) Seja xlt 0 e y 0 neste caso x+y lt |x| + y = |x| + |y| e como para todo nuacutemero n|n| temos que
|x+y| lt ||x| + |y|| = |x| + |y|
(3) para x e y negativos teremos |x+y| |-(-x + -y)| = |(-x + -y)| |-x| + |-y| = |x| + |y|
(4) Os casos em que um deles eacute 0 podem ser enquadrados nos casos anteriores
c) 1+5+9+ + (4n-3) = n(2n-1) prove por induccedilatildeo que vale para todo inteiro positivo n
Prova
Para n=1 temos 4n-3=1 a sequecircncia teraacute um soacute termo como 1=1(21-1)= 1 OK
Supondo que vale para n para n+1 seriacutea
1+5+9+ + (4n-3)+(4(n+1)-3) = (n+1)(2(n+1)-1)
n(2n-1) + 4n+4-3 = 2n2-n + 4n +1= 2n
2 + 3n +1
A outra parte fica sendo
(n+1)(2n+2-1) = (n+1)(2n+1) = 2n2+n+ 2n+1=2n
2+3n+1 CQD
11)
Sabemos que para uma relaccedilatildeo de recorrecircncia do tipo S(n) = cS(n-1) + g(n) podemos
encontrar a foacutermula fechada pela equaccedilatildeo S(n) = cn-1
S(1) + (k=0n-2) ck g(n-k) Aplique esta equaccedilatildeo agrave
relaccedilatildeo de recorrecircncia a S(1) = 2 S(n) = 2S(n-1) + n2 + 1
a) Determine sua foacutermula fechada A equaccedilatildeo S(n) = c
n-1 S(1) + (k=0n-2) c
k g(n-k) aplicada agrave relaccedilatildeo S(1) = 2 e S(n) = 2S(n-1) + n
2 + 1
Temos que c= 2 S(1)=2 e g(n) = n2+1 logo a foacutermula seraacute
S(n) = 2n-1
2 + (k=0n-2) [2k ((n-k)
2+1)] = 2
n + (k=0n-2) [2
k ((n-k)
2+1)]
b) Calcule S(4) Para n=4 temos que S(4) = 2
4-1 2 + (k=04-2) [2
k ((4-k)
2+1)] = 2
3 2 + (k=02) [2
k ((4-k)
2+1)] = 16 + 2
0 (4
2+1) + 2
1(3
2+1) +
22(2
2+1) = 16 + 16+1 + 2(9+1) + 4(4+1) = 33 + 20 + 20 = 73
Conferindo S(1) = 2 S(2) = 4+4+1=9 S(3) = 29+9+1= 28 S(4) = 228+16+1= 73
Parte II Conjuntos e Gramaacuteticas
1) Sejam A = pqrs B = rtv e C = pstu subconjuntos de S=pqrstuvw Encontre (Obs Arsquo eacute
o complemento de A)
1) (A B)rsquo
2) Arsquo ndash (B C)
3) (B-A) A
4) R =(xy) B A tal que x precede y no alfabeto
5) R =(xy) B S tal que x divide y
1) (A B) = r logo (A B)rsquo = pqstuvw
2) tuvw ndash prstuv = w
3) tv pqrs = (tp) (tq) (tr) (ts) (vp) (vq) (vr) (vs)
4) (rs)
5) (11)(110)(33)(36)(39)(55)(510)
2) Sejam A = 24568 B = 135 e C = xx Z e 3 x lt 5 subconjuntos de S=010 Encontre
a (A B)rsquo
(A B)rsquo = (24568 135)rsquo = (5)rsquo = 01234678910
b Arsquo ndash (B C)
Arsquo ndash (B C) = 24568rsquo ndash (13534= 0137910 ndash 1345) = 07910
c (B-A) A
(135 - 24568) 24568= 13 24568 = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt
lt32gtlt34gtlt35gtlt36gtlt38gt
d R =(xy) B A tal que x divide y
R = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt lt36gtlt55gt
3)
Sejam A = letras do teu primeiro nome e B = letras do teu uacuteltimo nome
a) Encontre (A Brsquo)rsquo (BA) Obs O universo eacute L=letras do alfabeto
(ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquo
ABrsquo = U R
(BA) = [ULRICHSE]
(ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquo = A-Z exceto U e R] - A-Z exceto U L R I C H S E] = LICHSE
b) Seja l1 = das duas primeiras letras de teu primeiro nome e l2 = das duas primeira letras de teu
uacuteltimo nome Encontre (A B)(l1 l2)
l1=UL L2 = SC logo li X l2 = ltUSgt ltUCgt ltLSgt ltLCgt Nesse caso teremos
A X B ndash (l1 X l2) todos os pares de letras de ULRICH e SCHIEL exceto os 4 acima 2) Seja a gramaacutetica G = lt L Pgt com = tnt t = 01 nt= S L= t
e as produccedilotildees P = S 0S S 1
a) Quais sentenccedilas vaacutelidas satildeo produzidas por esta gramaacutetica
b) E se acrescentarmos a produccedilatildeo S S0
(a) As sentenccedilas vaacutelidas satildeo 1 01 001 0001 00001
(b) Agora temos 1 01 001 0001
e 10 100 1000
e 010 0010 00010
Ou seja todas cadeias com um lsquo1rsquo e restante lsquo0rsquos
3)
a) Qual a diferenccedila entre Decirc a cardinalidade de cada um e as possiacuteveis relaccedilotildees
ou = entre eles
RESP ||=||=0 e || = 1 = e
b) Dados os conjuntos A=a a a B=a e C= aa decirc a cardinalidade de cada um e
mostre quais afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras CA BA BC a aA A-BC
RESP |A| = 3 |B| = 1 |C| = 2
CA - falsa BA - verdadeira BC - falsa a aA - falsa A-BC - falsa
4)
Dados 3 conjuntos A B e C mostre que
a) A X (B C) = (A X B) (A X C)
Parte 1 A X (B C) (A X B) (A X C)
Se ltxygt A X (B C) entatildeo x A e y (B C) Nesse caso y B e y C) Mas com x A e y B
temos que ltx ygt (A X B) e com x A e y C temos que ltx ygt (A X C) Destes dois fatos deduzimos
que lt xygt (A X B) (A X C)
Parte 2 O inverso se mostra invertendo todos os argumentos anteriores
b) (A B) C) = A (BC)
Parte 1 (A B) C) A (BC)
Se ltxygt (A B) C) entatildeo ltxygt A X B e ltxygt (A X C) Pela primeira pertinecircncia
sabemos que x A e y B Logo para valer a relaccedilatildeo soacute eacute possiacutevel se y C
Nesse caso temos x A y B e y C o que caracteriza a situaccedilatildeo ltxygt (A X (B-C)) cqd Parte 2 similar a anterior
5) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 U B S I P F sendo B o siacutembolo inicial
R = B SIPF
S +|-| λ
I ID | D
P
F DD
D 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9
1) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
RESP esta gramaacutetica reconhece nuacutemeros com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente
ou natildeo Os nuacutemeros poderatildeo comeccedilar com um ou mais diacutegitos lsquo0rsquo Em outras palavras reconhece
sequencias da forma +nnnnn ou ndashnnnn ou nnnnn
2) Mostre como ela reconhece o nuacutemero -45933
RESP para testar basta seguir em ordem inversa as regras ateacute chegar a B Ou seja temos
-45933 -459DD -459F -459PF -45DPF -4DDPF -DDDPF SDDDPF
SIDDPF SIDPF SIPF B (NB tambeacutem pode-se percorrer o caminho inverso)
3) Modifique a gramaacutetica para que ela reconheccedila nuacutemeros inteiros sem fraccedilotildees
RESPPara reconhecer soacute nuacutemeros inteiros deve-se alterar a primeira regra para BSI e excluir as
regras P e F DD
Para reconhecer tambeacutem nuacutemeros inteiros a primeira regra fica sendo BSIPF | SI
5)
Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 e nt = B EXP OP N D com as
regras de produccedilatildeo
R = 1 B EXP 2 EXP ( EXP ) OP N 3 EXP N OP N
4 OP + | - | | 5 N D | ND 6 D 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9
a) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
Define expressotildees aritmeacuteticas da forma op1 op op2 em que op eacute um dos operadores + - ou op2 eacute
um nuacutemero inteiro positivo e op1 eacute ou tambeacutem um inteiro ou outra expressatildeo da mesma forma entre
parecircntesis
b) Mostre como ela reconhece a expressatildeo (30-5)+025 Indique qual regra foi aplicada em cada
passo
-(1)- B EXP -(2)- ( EXP ) OP N -(4)- ( EXP ) + N -(5)- ( EXP ) + ND -(5)- ( EXP ) + NDD -(5)- (
EXP ) + DDD -(6)- ( EXP ) + 025 -(3)- ( N OP N ) + 025 -(5)- ( N OP D ) + 025 -(6)- ( N OP 5 ) + 025
-(5)- ( ND OP 5 ) + 025 -(5)- ( DD OP 5 ) + 025 -(5)- ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)- ( 30 - 5 ) + 025
c) Modifique a gramaacutetica para que ela
1 tambeacutem reconheccedila expressotildees entre parecircntesis agrave direita e
Alterar a regra (2) para 2 EXP N OP (EXP) | ( EXP ) OP N
2 um nuacutemero natildeo comece com 0 (zero)
Substituir as regras 5 e 6 por 5 N P | PD 6 D DF | F 7 P 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9 8 F
P | 0 |
E acrescentar aos natildeo-terminais os siacutembolos P e F
6) Considere a gramaacutetica G = lt L R gt Onde
R 0R1 | 1R0 | λ
a) A palavra 11001 pertence agrave linguagem geada por G
Natildeo pois se tentamos produzi-la pex R1R011R001100 vai faltar a produccedilatildeo do uacuteltimo lsquo1rsquo a
direita Generalizando toda regra produz um nuacutemero par de terminais logo eacute impossiacutevel produzir uma
cadeia com 5 diacutegitos
b) Qual linguagem definida por G
Cadeias de 1s e 0s tal que para cada diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da esquerda para a direita ocorre o inverso
desse diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da direita para a esquerda
7) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = lsquoarsquo lsquobrsquo lsquocrsquorsquoxrsquo lsquoyrsquo lsquozrsquo lsquorsquo lsquo lsquo e
nt = NC Nome Sobrenome N Letra com as regras de produccedilatildeo
R = 1 NC Nome acute acute Sobrenome 2 Nome N | N lsquo lsquo Nome 3 Sobrenome N | N lsquo lsquo
Nome 4 N Letra | Letra N 5 Letra lsquoarsquo | lsquobrsquo | | lsquozrsquo
c) Mostre a sequecircncia de produccedilotildees para produzir teu nome completo
1 NC Nome acute acute Sobrenome
(2) N acute acute Sobrenome
(4) Letra N acute acute Sobrenome
(4)5 vezes Letra Letra Letra Letra Letra Letra acute acute Sobrenome
(5)6 vezes ulrich acute acute Sobrenome
(3) ulrich acute acute N
Repetindo (4)5 vezes e (5)6 vezes obtemos ulrich schiel
d) Altere a gramaacutetica para produzir o nome na forma inversa sendo que soacute o uacuteltimo sobrenome aparece
antes da viacutergula
Basta alterar as regras (1) e (3) Ficaratildeo sendo
1 NC Sobrenome acute acute Nome
3 Sobrenome N
8)
a) Uma mulher tem 7 blusas 5 saias e 9 vestidos De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir
(princiacutepios da adiccedilatildeo e multiplicaccedilatildeo)
Existem duas formas de se vestir (1) blusa e saia ou (2) vestido
(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias pelo princiacutepio da multiplicaccedilatildeo haacute 35 combinaccedilotildees possiacuteveis
(2) Aqui haacute 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute ao todo 35 + 9 = 44 possibilidades
b) Queremos criar uma codificaccedilatildeo binaacuteria para um conjunto de k caracteres Determine quantas casas
binaacuterias satildeo necessaacuterias para codificar todos caracteres (princiacutepio das casas de pombos) Para k=2 bastaria uma posiccedilatildeo binaacuteria Para k=3 ou 4 precisariacuteamos 2 casas que datildeo 4
combinaccedilotildees Para k entre 5 e 8 seriam 3 No geral em n posiccedilotildees cabem 2n
combinaccedilotildees Logo para codificar k caracteres o nuacutemero de posiccedilotildees n seraacute tal que 2n-1
lt k lt 2n
9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 satildeo proprietaacuterios de carros 97 possuem bicicletas
28 tecircm motocicletas 53 satildeo donos de carros e bicicletas 14 tecircm carros e motocicletas sete possuem
bicicletas e motocicletas e dois tecircm todos os trecircs
Resp Seja E o conjunto dos Estudantes C os que tecircm carro B os que tecircm bicicleta e M os que tecircm
motocicleta Teremos
|E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28 |CCM| = 14
|BM| = 7 e |CBM| = 2
1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas
Resp Os que soacute tecircm bicicletas satildeo dados por
|B| - |C | - |B| + |C | =
= 97 - 53 - 7 + 2 = 41
2) Quantos estudantes natildeo tecircm qualquer dos trecircs
Resp Todos que tecirc algum veiacuteculo satildeo dados por
|C | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C | =
= 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136
Logo os que natildeo tecircm nada satildeo 150 ndash 136 = 14
10) Vocecirc estaacute desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opiniatildeo puacuteblica
para realizar uma pesquisa de mercado para vocecirc A empresa constatou que em sua pesquisa de 450
consumidores os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisatildeo de compra de um sabonete
Perfume 425
Faacutecil produccedilatildeo de espuma 397
Ingredientes naturais 340
Perfume e faacutecil produccedilatildeo de espuma 284
Perfume e ingredientes naturais 315
Faacutecil produccedilatildeo de espuma e ingredientes naturais 219
Todos os trecircs fatores 147
Vocecirc confiaria nesses resultados Justifique
Resp Seja C o conjunto dos consumidores
P o conjunto dos que preferem o perfume
E o conjunto dos que preferem a espuma e
N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais
Temos |C| = 450 |P| = 425 |E| = 397 e |N| = 340
|PE| = 284 |P+ = 315 |NE| = 219 e |PE+ = 147
Supondo que Perfume significa Soacute Perfume todos conjuntos seratildeo disjuntos Nesse caso teremos que
|C| E| + |P+ + |NE| + |PE+
425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127 mas |C| = 450
Mesmo supondo que Perfume significa Tambeacutem Perfume teriacuteamos
|C| = |P | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P | =
425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491
o que ainda eacute maior que 450
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lanccedilados para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes (Sugestatildeo divida as soluccedilotildees em dois casos
1Quando os dados tiverem o mesmo valor
2Quando os valores forem diferentes)
Resp Como os resultados dos dois dados satildeo independentes e cada dado tem 6 faces haacute pelo princiacutepio da
multiplicaccedilatildeo 6x6=36 possibilidades
Seguindo a sugestatildeo consideramos dois casos
a) Quando os dois dados tecircm o mesmo valor haacute 6 possibilidades
b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades Para cada par (dado1=ndado2=m) existe outro lanccedilamento
(dado1=mdado2=n) idecircntico Assim haveraacute 15 lanccedilamentos diferentes
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes Logo pelo princiacutepio da casa
do pombo apoacutes 22 lanccedilamentos um par teraacute que se repetir
OUTRA SOLUCcedilAtildeO Haacute 6 casos aditivos dependentes
1 se para o dado-1 cair 1 haveraacute 6 combinaccedilotildees possiacuteveis com o dado-2
2 se para o dado-1 cair 2 aleacutem de (21) haveraacute mais 5 combinaccedilotildees possiacuteveis
3 se cair 3 haveraacute mais 4 combinaccedilotildees novas
4 para o 4 haveraacute mais 3 combinaccedilotildees novas
5 para o 5 haacute mais 2 combinaccedilotildees
6 para o 6 haacute mais uma combinaccedilatildeo o (66)
Assim pelo princiacutepio da adiccedilatildeo temos ao todo 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaccedilotildees distintas
Parte III Relaccedilotildees
1) Podem ser definidas mais propriedades de relaccedilotildees binaacuterias em um conjunto S
eacute irreflexiva quando xS temos (xx) ]
eacute assimeacutetrica quando xyS temos [(x y) (y x) ]
a Construa uma relaccedilatildeo binaacuteria em S = 123 que eacute assimeacutetrica e anti-simeacutetrica Obtenha o fecho
transitivo desta tua relaccedilatildeo
b Analise o conjunto ltN lsquoltrsquogt os naturais com a relaccedilatildeo lsquomenor quersquo em relaccedilatildeo agraves duas
propriedades definidas aqui e as outras
a R=(12) (23) o fecho transitivo eacute (12) (23) (13)
b A relaccedilatildeo ltN lsquoltrsquogt natildeo eacute reflexiva e eacute irreflexiva pois nenhum nltn Eacute anti-simeacutetrica e assimeacutetrica
pois natildeo existe nenhum para n m com nltm e mltn Pelo mesmo motivo tambeacutem natildeo eacute simeacutetrica Eacute
transitiva pois se nltm e mlt u temos nltu
2) Seja S=a abc acb e a relaccedilatildeo de
1 Desenhe o Diagrama de Hasse desta relaccedilatildeo
ab ac
2 Encontre o fecho transitivo
(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou
muitos-para-muitos
(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou
igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva
(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva
(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva
(a) Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um
(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igual
Simeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menor
Anti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=y
Transitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute
claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)
(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o
ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5
(d) A relaccedilatildeo xlty em N
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada
uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
a perto(xy) = x mora a menos de 500m de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
eacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a
mesma pessoa
natildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de
800m logo natildeo estatildeo mais perto
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
b longe(xy) = x mora a mais de 500m de y
natildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmo
eacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy
natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva
c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
eacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
eacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairro
eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva
a c b
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
Pela hipoacutetese x+y = 2n + 1 Mas para que isso aconteca x e y natildeo podem ser ambos iacutempares
pois neste caso teriacuteamos x+y = 2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1) que eacute par Logo x ou y tem que ser
par
b Por contradiccedilatildeo
Para x e y impares suponha x+y impar Mas se x+y eacute iacutempar x+y = 2k+1 Nesse caso x e y natildeo
podem ser ambos iacutempares pois teriacuteamos x+y =2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1) que eacute par
9) Uma sequecircncia eacute definida por S(1) = 1 S(n)=n+S(n-1)
Encontre a forma fechada usando o princiacutepio expandir supor verificar
RESP
Expandir S(1) = 1 S(2) = 2 + 1 S(3) = 3 + S(2) = 3 + 2 + 1 S(4) = 4 + S(3) = 4 + 3 + 2 + 1
Supor S(n) = i=1n i
Verificar por induccedilatildeo S(1) = i=11 i = 1 OK
Supondo que vale S(n) = i=1n i teremos
S(n+1) = n+1 + S(n) = n+1 + i=1n i = i=1n+1 i Verificado
10) Demonstre quais das afirmaccedilotildees a seguir satildeo verdadeiras ou mostre quais satildeo falsas
a) O cubo de um nuacutemero par x eacute par
Verdadeiro Prova por absurdo Suponhamos que existe um iacutempar n = p3 em que p eacute um par Logo n =
ppp = p2p Como p eacute par existe um inteiro q tal que p=2q Mas entatildeo temos que = p
2q2 e fazendo
p2q = m temos n = 2m contradizendo a suposiccedilatildeo de que n eacute iacutempar
b) |x+y| |x| + |y|
Verdadeiro Temos 3 casos principais (1) x e y positivos (2) um deles eacute negativo e (3) ambos
negativos
(1) Neste caso |x| = x e |y| = y logo |x+y| = |x| + |y| = x+y
(2) Seja xlt 0 e y 0 neste caso x+y lt |x| + y = |x| + |y| e como para todo nuacutemero n|n| temos que
|x+y| lt ||x| + |y|| = |x| + |y|
(3) para x e y negativos teremos |x+y| |-(-x + -y)| = |(-x + -y)| |-x| + |-y| = |x| + |y|
(4) Os casos em que um deles eacute 0 podem ser enquadrados nos casos anteriores
c) 1+5+9+ + (4n-3) = n(2n-1) prove por induccedilatildeo que vale para todo inteiro positivo n
Prova
Para n=1 temos 4n-3=1 a sequecircncia teraacute um soacute termo como 1=1(21-1)= 1 OK
Supondo que vale para n para n+1 seriacutea
1+5+9+ + (4n-3)+(4(n+1)-3) = (n+1)(2(n+1)-1)
n(2n-1) + 4n+4-3 = 2n2-n + 4n +1= 2n
2 + 3n +1
A outra parte fica sendo
(n+1)(2n+2-1) = (n+1)(2n+1) = 2n2+n+ 2n+1=2n
2+3n+1 CQD
11)
Sabemos que para uma relaccedilatildeo de recorrecircncia do tipo S(n) = cS(n-1) + g(n) podemos
encontrar a foacutermula fechada pela equaccedilatildeo S(n) = cn-1
S(1) + (k=0n-2) ck g(n-k) Aplique esta equaccedilatildeo agrave
relaccedilatildeo de recorrecircncia a S(1) = 2 S(n) = 2S(n-1) + n2 + 1
a) Determine sua foacutermula fechada A equaccedilatildeo S(n) = c
n-1 S(1) + (k=0n-2) c
k g(n-k) aplicada agrave relaccedilatildeo S(1) = 2 e S(n) = 2S(n-1) + n
2 + 1
Temos que c= 2 S(1)=2 e g(n) = n2+1 logo a foacutermula seraacute
S(n) = 2n-1
2 + (k=0n-2) [2k ((n-k)
2+1)] = 2
n + (k=0n-2) [2
k ((n-k)
2+1)]
b) Calcule S(4) Para n=4 temos que S(4) = 2
4-1 2 + (k=04-2) [2
k ((4-k)
2+1)] = 2
3 2 + (k=02) [2
k ((4-k)
2+1)] = 16 + 2
0 (4
2+1) + 2
1(3
2+1) +
22(2
2+1) = 16 + 16+1 + 2(9+1) + 4(4+1) = 33 + 20 + 20 = 73
Conferindo S(1) = 2 S(2) = 4+4+1=9 S(3) = 29+9+1= 28 S(4) = 228+16+1= 73
Parte II Conjuntos e Gramaacuteticas
1) Sejam A = pqrs B = rtv e C = pstu subconjuntos de S=pqrstuvw Encontre (Obs Arsquo eacute
o complemento de A)
1) (A B)rsquo
2) Arsquo ndash (B C)
3) (B-A) A
4) R =(xy) B A tal que x precede y no alfabeto
5) R =(xy) B S tal que x divide y
1) (A B) = r logo (A B)rsquo = pqstuvw
2) tuvw ndash prstuv = w
3) tv pqrs = (tp) (tq) (tr) (ts) (vp) (vq) (vr) (vs)
4) (rs)
5) (11)(110)(33)(36)(39)(55)(510)
2) Sejam A = 24568 B = 135 e C = xx Z e 3 x lt 5 subconjuntos de S=010 Encontre
a (A B)rsquo
(A B)rsquo = (24568 135)rsquo = (5)rsquo = 01234678910
b Arsquo ndash (B C)
Arsquo ndash (B C) = 24568rsquo ndash (13534= 0137910 ndash 1345) = 07910
c (B-A) A
(135 - 24568) 24568= 13 24568 = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt
lt32gtlt34gtlt35gtlt36gtlt38gt
d R =(xy) B A tal que x divide y
R = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt lt36gtlt55gt
3)
Sejam A = letras do teu primeiro nome e B = letras do teu uacuteltimo nome
a) Encontre (A Brsquo)rsquo (BA) Obs O universo eacute L=letras do alfabeto
(ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquo
ABrsquo = U R
(BA) = [ULRICHSE]
(ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquo = A-Z exceto U e R] - A-Z exceto U L R I C H S E] = LICHSE
b) Seja l1 = das duas primeiras letras de teu primeiro nome e l2 = das duas primeira letras de teu
uacuteltimo nome Encontre (A B)(l1 l2)
l1=UL L2 = SC logo li X l2 = ltUSgt ltUCgt ltLSgt ltLCgt Nesse caso teremos
A X B ndash (l1 X l2) todos os pares de letras de ULRICH e SCHIEL exceto os 4 acima 2) Seja a gramaacutetica G = lt L Pgt com = tnt t = 01 nt= S L= t
e as produccedilotildees P = S 0S S 1
a) Quais sentenccedilas vaacutelidas satildeo produzidas por esta gramaacutetica
b) E se acrescentarmos a produccedilatildeo S S0
(a) As sentenccedilas vaacutelidas satildeo 1 01 001 0001 00001
(b) Agora temos 1 01 001 0001
e 10 100 1000
e 010 0010 00010
Ou seja todas cadeias com um lsquo1rsquo e restante lsquo0rsquos
3)
a) Qual a diferenccedila entre Decirc a cardinalidade de cada um e as possiacuteveis relaccedilotildees
ou = entre eles
RESP ||=||=0 e || = 1 = e
b) Dados os conjuntos A=a a a B=a e C= aa decirc a cardinalidade de cada um e
mostre quais afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras CA BA BC a aA A-BC
RESP |A| = 3 |B| = 1 |C| = 2
CA - falsa BA - verdadeira BC - falsa a aA - falsa A-BC - falsa
4)
Dados 3 conjuntos A B e C mostre que
a) A X (B C) = (A X B) (A X C)
Parte 1 A X (B C) (A X B) (A X C)
Se ltxygt A X (B C) entatildeo x A e y (B C) Nesse caso y B e y C) Mas com x A e y B
temos que ltx ygt (A X B) e com x A e y C temos que ltx ygt (A X C) Destes dois fatos deduzimos
que lt xygt (A X B) (A X C)
Parte 2 O inverso se mostra invertendo todos os argumentos anteriores
b) (A B) C) = A (BC)
Parte 1 (A B) C) A (BC)
Se ltxygt (A B) C) entatildeo ltxygt A X B e ltxygt (A X C) Pela primeira pertinecircncia
sabemos que x A e y B Logo para valer a relaccedilatildeo soacute eacute possiacutevel se y C
Nesse caso temos x A y B e y C o que caracteriza a situaccedilatildeo ltxygt (A X (B-C)) cqd Parte 2 similar a anterior
5) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 U B S I P F sendo B o siacutembolo inicial
R = B SIPF
S +|-| λ
I ID | D
P
F DD
D 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9
1) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
RESP esta gramaacutetica reconhece nuacutemeros com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente
ou natildeo Os nuacutemeros poderatildeo comeccedilar com um ou mais diacutegitos lsquo0rsquo Em outras palavras reconhece
sequencias da forma +nnnnn ou ndashnnnn ou nnnnn
2) Mostre como ela reconhece o nuacutemero -45933
RESP para testar basta seguir em ordem inversa as regras ateacute chegar a B Ou seja temos
-45933 -459DD -459F -459PF -45DPF -4DDPF -DDDPF SDDDPF
SIDDPF SIDPF SIPF B (NB tambeacutem pode-se percorrer o caminho inverso)
3) Modifique a gramaacutetica para que ela reconheccedila nuacutemeros inteiros sem fraccedilotildees
RESPPara reconhecer soacute nuacutemeros inteiros deve-se alterar a primeira regra para BSI e excluir as
regras P e F DD
Para reconhecer tambeacutem nuacutemeros inteiros a primeira regra fica sendo BSIPF | SI
5)
Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 e nt = B EXP OP N D com as
regras de produccedilatildeo
R = 1 B EXP 2 EXP ( EXP ) OP N 3 EXP N OP N
4 OP + | - | | 5 N D | ND 6 D 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9
a) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
Define expressotildees aritmeacuteticas da forma op1 op op2 em que op eacute um dos operadores + - ou op2 eacute
um nuacutemero inteiro positivo e op1 eacute ou tambeacutem um inteiro ou outra expressatildeo da mesma forma entre
parecircntesis
b) Mostre como ela reconhece a expressatildeo (30-5)+025 Indique qual regra foi aplicada em cada
passo
-(1)- B EXP -(2)- ( EXP ) OP N -(4)- ( EXP ) + N -(5)- ( EXP ) + ND -(5)- ( EXP ) + NDD -(5)- (
EXP ) + DDD -(6)- ( EXP ) + 025 -(3)- ( N OP N ) + 025 -(5)- ( N OP D ) + 025 -(6)- ( N OP 5 ) + 025
-(5)- ( ND OP 5 ) + 025 -(5)- ( DD OP 5 ) + 025 -(5)- ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)- ( 30 - 5 ) + 025
c) Modifique a gramaacutetica para que ela
1 tambeacutem reconheccedila expressotildees entre parecircntesis agrave direita e
Alterar a regra (2) para 2 EXP N OP (EXP) | ( EXP ) OP N
2 um nuacutemero natildeo comece com 0 (zero)
Substituir as regras 5 e 6 por 5 N P | PD 6 D DF | F 7 P 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9 8 F
P | 0 |
E acrescentar aos natildeo-terminais os siacutembolos P e F
6) Considere a gramaacutetica G = lt L R gt Onde
R 0R1 | 1R0 | λ
a) A palavra 11001 pertence agrave linguagem geada por G
Natildeo pois se tentamos produzi-la pex R1R011R001100 vai faltar a produccedilatildeo do uacuteltimo lsquo1rsquo a
direita Generalizando toda regra produz um nuacutemero par de terminais logo eacute impossiacutevel produzir uma
cadeia com 5 diacutegitos
b) Qual linguagem definida por G
Cadeias de 1s e 0s tal que para cada diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da esquerda para a direita ocorre o inverso
desse diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da direita para a esquerda
7) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = lsquoarsquo lsquobrsquo lsquocrsquorsquoxrsquo lsquoyrsquo lsquozrsquo lsquorsquo lsquo lsquo e
nt = NC Nome Sobrenome N Letra com as regras de produccedilatildeo
R = 1 NC Nome acute acute Sobrenome 2 Nome N | N lsquo lsquo Nome 3 Sobrenome N | N lsquo lsquo
Nome 4 N Letra | Letra N 5 Letra lsquoarsquo | lsquobrsquo | | lsquozrsquo
c) Mostre a sequecircncia de produccedilotildees para produzir teu nome completo
1 NC Nome acute acute Sobrenome
(2) N acute acute Sobrenome
(4) Letra N acute acute Sobrenome
(4)5 vezes Letra Letra Letra Letra Letra Letra acute acute Sobrenome
(5)6 vezes ulrich acute acute Sobrenome
(3) ulrich acute acute N
Repetindo (4)5 vezes e (5)6 vezes obtemos ulrich schiel
d) Altere a gramaacutetica para produzir o nome na forma inversa sendo que soacute o uacuteltimo sobrenome aparece
antes da viacutergula
Basta alterar as regras (1) e (3) Ficaratildeo sendo
1 NC Sobrenome acute acute Nome
3 Sobrenome N
8)
a) Uma mulher tem 7 blusas 5 saias e 9 vestidos De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir
(princiacutepios da adiccedilatildeo e multiplicaccedilatildeo)
Existem duas formas de se vestir (1) blusa e saia ou (2) vestido
(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias pelo princiacutepio da multiplicaccedilatildeo haacute 35 combinaccedilotildees possiacuteveis
(2) Aqui haacute 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute ao todo 35 + 9 = 44 possibilidades
b) Queremos criar uma codificaccedilatildeo binaacuteria para um conjunto de k caracteres Determine quantas casas
binaacuterias satildeo necessaacuterias para codificar todos caracteres (princiacutepio das casas de pombos) Para k=2 bastaria uma posiccedilatildeo binaacuteria Para k=3 ou 4 precisariacuteamos 2 casas que datildeo 4
combinaccedilotildees Para k entre 5 e 8 seriam 3 No geral em n posiccedilotildees cabem 2n
combinaccedilotildees Logo para codificar k caracteres o nuacutemero de posiccedilotildees n seraacute tal que 2n-1
lt k lt 2n
9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 satildeo proprietaacuterios de carros 97 possuem bicicletas
28 tecircm motocicletas 53 satildeo donos de carros e bicicletas 14 tecircm carros e motocicletas sete possuem
bicicletas e motocicletas e dois tecircm todos os trecircs
Resp Seja E o conjunto dos Estudantes C os que tecircm carro B os que tecircm bicicleta e M os que tecircm
motocicleta Teremos
|E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28 |CCM| = 14
|BM| = 7 e |CBM| = 2
1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas
Resp Os que soacute tecircm bicicletas satildeo dados por
|B| - |C | - |B| + |C | =
= 97 - 53 - 7 + 2 = 41
2) Quantos estudantes natildeo tecircm qualquer dos trecircs
Resp Todos que tecirc algum veiacuteculo satildeo dados por
|C | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C | =
= 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136
Logo os que natildeo tecircm nada satildeo 150 ndash 136 = 14
10) Vocecirc estaacute desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opiniatildeo puacuteblica
para realizar uma pesquisa de mercado para vocecirc A empresa constatou que em sua pesquisa de 450
consumidores os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisatildeo de compra de um sabonete
Perfume 425
Faacutecil produccedilatildeo de espuma 397
Ingredientes naturais 340
Perfume e faacutecil produccedilatildeo de espuma 284
Perfume e ingredientes naturais 315
Faacutecil produccedilatildeo de espuma e ingredientes naturais 219
Todos os trecircs fatores 147
Vocecirc confiaria nesses resultados Justifique
Resp Seja C o conjunto dos consumidores
P o conjunto dos que preferem o perfume
E o conjunto dos que preferem a espuma e
N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais
Temos |C| = 450 |P| = 425 |E| = 397 e |N| = 340
|PE| = 284 |P+ = 315 |NE| = 219 e |PE+ = 147
Supondo que Perfume significa Soacute Perfume todos conjuntos seratildeo disjuntos Nesse caso teremos que
|C| E| + |P+ + |NE| + |PE+
425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127 mas |C| = 450
Mesmo supondo que Perfume significa Tambeacutem Perfume teriacuteamos
|C| = |P | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P | =
425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491
o que ainda eacute maior que 450
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lanccedilados para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes (Sugestatildeo divida as soluccedilotildees em dois casos
1Quando os dados tiverem o mesmo valor
2Quando os valores forem diferentes)
Resp Como os resultados dos dois dados satildeo independentes e cada dado tem 6 faces haacute pelo princiacutepio da
multiplicaccedilatildeo 6x6=36 possibilidades
Seguindo a sugestatildeo consideramos dois casos
a) Quando os dois dados tecircm o mesmo valor haacute 6 possibilidades
b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades Para cada par (dado1=ndado2=m) existe outro lanccedilamento
(dado1=mdado2=n) idecircntico Assim haveraacute 15 lanccedilamentos diferentes
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes Logo pelo princiacutepio da casa
do pombo apoacutes 22 lanccedilamentos um par teraacute que se repetir
OUTRA SOLUCcedilAtildeO Haacute 6 casos aditivos dependentes
1 se para o dado-1 cair 1 haveraacute 6 combinaccedilotildees possiacuteveis com o dado-2
2 se para o dado-1 cair 2 aleacutem de (21) haveraacute mais 5 combinaccedilotildees possiacuteveis
3 se cair 3 haveraacute mais 4 combinaccedilotildees novas
4 para o 4 haveraacute mais 3 combinaccedilotildees novas
5 para o 5 haacute mais 2 combinaccedilotildees
6 para o 6 haacute mais uma combinaccedilatildeo o (66)
Assim pelo princiacutepio da adiccedilatildeo temos ao todo 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaccedilotildees distintas
Parte III Relaccedilotildees
1) Podem ser definidas mais propriedades de relaccedilotildees binaacuterias em um conjunto S
eacute irreflexiva quando xS temos (xx) ]
eacute assimeacutetrica quando xyS temos [(x y) (y x) ]
a Construa uma relaccedilatildeo binaacuteria em S = 123 que eacute assimeacutetrica e anti-simeacutetrica Obtenha o fecho
transitivo desta tua relaccedilatildeo
b Analise o conjunto ltN lsquoltrsquogt os naturais com a relaccedilatildeo lsquomenor quersquo em relaccedilatildeo agraves duas
propriedades definidas aqui e as outras
a R=(12) (23) o fecho transitivo eacute (12) (23) (13)
b A relaccedilatildeo ltN lsquoltrsquogt natildeo eacute reflexiva e eacute irreflexiva pois nenhum nltn Eacute anti-simeacutetrica e assimeacutetrica
pois natildeo existe nenhum para n m com nltm e mltn Pelo mesmo motivo tambeacutem natildeo eacute simeacutetrica Eacute
transitiva pois se nltm e mlt u temos nltu
2) Seja S=a abc acb e a relaccedilatildeo de
1 Desenhe o Diagrama de Hasse desta relaccedilatildeo
ab ac
2 Encontre o fecho transitivo
(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou
muitos-para-muitos
(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou
igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva
(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva
(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva
(a) Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um
(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igual
Simeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menor
Anti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=y
Transitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute
claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)
(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o
ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5
(d) A relaccedilatildeo xlty em N
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada
uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
a perto(xy) = x mora a menos de 500m de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
eacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a
mesma pessoa
natildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de
800m logo natildeo estatildeo mais perto
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
b longe(xy) = x mora a mais de 500m de y
natildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmo
eacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy
natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva
c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
eacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
eacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairro
eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva
a c b
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
Parte II Conjuntos e Gramaacuteticas
1) Sejam A = pqrs B = rtv e C = pstu subconjuntos de S=pqrstuvw Encontre (Obs Arsquo eacute
o complemento de A)
1) (A B)rsquo
2) Arsquo ndash (B C)
3) (B-A) A
4) R =(xy) B A tal que x precede y no alfabeto
5) R =(xy) B S tal que x divide y
1) (A B) = r logo (A B)rsquo = pqstuvw
2) tuvw ndash prstuv = w
3) tv pqrs = (tp) (tq) (tr) (ts) (vp) (vq) (vr) (vs)
4) (rs)
5) (11)(110)(33)(36)(39)(55)(510)
2) Sejam A = 24568 B = 135 e C = xx Z e 3 x lt 5 subconjuntos de S=010 Encontre
a (A B)rsquo
(A B)rsquo = (24568 135)rsquo = (5)rsquo = 01234678910
b Arsquo ndash (B C)
Arsquo ndash (B C) = 24568rsquo ndash (13534= 0137910 ndash 1345) = 07910
c (B-A) A
(135 - 24568) 24568= 13 24568 = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt
lt32gtlt34gtlt35gtlt36gtlt38gt
d R =(xy) B A tal que x divide y
R = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt lt36gtlt55gt
3)
Sejam A = letras do teu primeiro nome e B = letras do teu uacuteltimo nome
a) Encontre (A Brsquo)rsquo (BA) Obs O universo eacute L=letras do alfabeto
(ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquo
ABrsquo = U R
(BA) = [ULRICHSE]
(ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquo = A-Z exceto U e R] - A-Z exceto U L R I C H S E] = LICHSE
b) Seja l1 = das duas primeiras letras de teu primeiro nome e l2 = das duas primeira letras de teu
uacuteltimo nome Encontre (A B)(l1 l2)
l1=UL L2 = SC logo li X l2 = ltUSgt ltUCgt ltLSgt ltLCgt Nesse caso teremos
A X B ndash (l1 X l2) todos os pares de letras de ULRICH e SCHIEL exceto os 4 acima 2) Seja a gramaacutetica G = lt L Pgt com = tnt t = 01 nt= S L= t
e as produccedilotildees P = S 0S S 1
a) Quais sentenccedilas vaacutelidas satildeo produzidas por esta gramaacutetica
b) E se acrescentarmos a produccedilatildeo S S0
(a) As sentenccedilas vaacutelidas satildeo 1 01 001 0001 00001
(b) Agora temos 1 01 001 0001
e 10 100 1000
e 010 0010 00010
Ou seja todas cadeias com um lsquo1rsquo e restante lsquo0rsquos
3)
a) Qual a diferenccedila entre Decirc a cardinalidade de cada um e as possiacuteveis relaccedilotildees
ou = entre eles
RESP ||=||=0 e || = 1 = e
b) Dados os conjuntos A=a a a B=a e C= aa decirc a cardinalidade de cada um e
mostre quais afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras CA BA BC a aA A-BC
RESP |A| = 3 |B| = 1 |C| = 2
CA - falsa BA - verdadeira BC - falsa a aA - falsa A-BC - falsa
4)
Dados 3 conjuntos A B e C mostre que
a) A X (B C) = (A X B) (A X C)
Parte 1 A X (B C) (A X B) (A X C)
Se ltxygt A X (B C) entatildeo x A e y (B C) Nesse caso y B e y C) Mas com x A e y B
temos que ltx ygt (A X B) e com x A e y C temos que ltx ygt (A X C) Destes dois fatos deduzimos
que lt xygt (A X B) (A X C)
Parte 2 O inverso se mostra invertendo todos os argumentos anteriores
b) (A B) C) = A (BC)
Parte 1 (A B) C) A (BC)
Se ltxygt (A B) C) entatildeo ltxygt A X B e ltxygt (A X C) Pela primeira pertinecircncia
sabemos que x A e y B Logo para valer a relaccedilatildeo soacute eacute possiacutevel se y C
Nesse caso temos x A y B e y C o que caracteriza a situaccedilatildeo ltxygt (A X (B-C)) cqd Parte 2 similar a anterior
5) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 U B S I P F sendo B o siacutembolo inicial
R = B SIPF
S +|-| λ
I ID | D
P
F DD
D 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9
1) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
RESP esta gramaacutetica reconhece nuacutemeros com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente
ou natildeo Os nuacutemeros poderatildeo comeccedilar com um ou mais diacutegitos lsquo0rsquo Em outras palavras reconhece
sequencias da forma +nnnnn ou ndashnnnn ou nnnnn
2) Mostre como ela reconhece o nuacutemero -45933
RESP para testar basta seguir em ordem inversa as regras ateacute chegar a B Ou seja temos
-45933 -459DD -459F -459PF -45DPF -4DDPF -DDDPF SDDDPF
SIDDPF SIDPF SIPF B (NB tambeacutem pode-se percorrer o caminho inverso)
3) Modifique a gramaacutetica para que ela reconheccedila nuacutemeros inteiros sem fraccedilotildees
RESPPara reconhecer soacute nuacutemeros inteiros deve-se alterar a primeira regra para BSI e excluir as
regras P e F DD
Para reconhecer tambeacutem nuacutemeros inteiros a primeira regra fica sendo BSIPF | SI
5)
Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 e nt = B EXP OP N D com as
regras de produccedilatildeo
R = 1 B EXP 2 EXP ( EXP ) OP N 3 EXP N OP N
4 OP + | - | | 5 N D | ND 6 D 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9
a) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
Define expressotildees aritmeacuteticas da forma op1 op op2 em que op eacute um dos operadores + - ou op2 eacute
um nuacutemero inteiro positivo e op1 eacute ou tambeacutem um inteiro ou outra expressatildeo da mesma forma entre
parecircntesis
b) Mostre como ela reconhece a expressatildeo (30-5)+025 Indique qual regra foi aplicada em cada
passo
-(1)- B EXP -(2)- ( EXP ) OP N -(4)- ( EXP ) + N -(5)- ( EXP ) + ND -(5)- ( EXP ) + NDD -(5)- (
EXP ) + DDD -(6)- ( EXP ) + 025 -(3)- ( N OP N ) + 025 -(5)- ( N OP D ) + 025 -(6)- ( N OP 5 ) + 025
-(5)- ( ND OP 5 ) + 025 -(5)- ( DD OP 5 ) + 025 -(5)- ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)- ( 30 - 5 ) + 025
c) Modifique a gramaacutetica para que ela
1 tambeacutem reconheccedila expressotildees entre parecircntesis agrave direita e
Alterar a regra (2) para 2 EXP N OP (EXP) | ( EXP ) OP N
2 um nuacutemero natildeo comece com 0 (zero)
Substituir as regras 5 e 6 por 5 N P | PD 6 D DF | F 7 P 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9 8 F
P | 0 |
E acrescentar aos natildeo-terminais os siacutembolos P e F
6) Considere a gramaacutetica G = lt L R gt Onde
R 0R1 | 1R0 | λ
a) A palavra 11001 pertence agrave linguagem geada por G
Natildeo pois se tentamos produzi-la pex R1R011R001100 vai faltar a produccedilatildeo do uacuteltimo lsquo1rsquo a
direita Generalizando toda regra produz um nuacutemero par de terminais logo eacute impossiacutevel produzir uma
cadeia com 5 diacutegitos
b) Qual linguagem definida por G
Cadeias de 1s e 0s tal que para cada diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da esquerda para a direita ocorre o inverso
desse diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da direita para a esquerda
7) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = lsquoarsquo lsquobrsquo lsquocrsquorsquoxrsquo lsquoyrsquo lsquozrsquo lsquorsquo lsquo lsquo e
nt = NC Nome Sobrenome N Letra com as regras de produccedilatildeo
R = 1 NC Nome acute acute Sobrenome 2 Nome N | N lsquo lsquo Nome 3 Sobrenome N | N lsquo lsquo
Nome 4 N Letra | Letra N 5 Letra lsquoarsquo | lsquobrsquo | | lsquozrsquo
c) Mostre a sequecircncia de produccedilotildees para produzir teu nome completo
1 NC Nome acute acute Sobrenome
(2) N acute acute Sobrenome
(4) Letra N acute acute Sobrenome
(4)5 vezes Letra Letra Letra Letra Letra Letra acute acute Sobrenome
(5)6 vezes ulrich acute acute Sobrenome
(3) ulrich acute acute N
Repetindo (4)5 vezes e (5)6 vezes obtemos ulrich schiel
d) Altere a gramaacutetica para produzir o nome na forma inversa sendo que soacute o uacuteltimo sobrenome aparece
antes da viacutergula
Basta alterar as regras (1) e (3) Ficaratildeo sendo
1 NC Sobrenome acute acute Nome
3 Sobrenome N
8)
a) Uma mulher tem 7 blusas 5 saias e 9 vestidos De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir
(princiacutepios da adiccedilatildeo e multiplicaccedilatildeo)
Existem duas formas de se vestir (1) blusa e saia ou (2) vestido
(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias pelo princiacutepio da multiplicaccedilatildeo haacute 35 combinaccedilotildees possiacuteveis
(2) Aqui haacute 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute ao todo 35 + 9 = 44 possibilidades
b) Queremos criar uma codificaccedilatildeo binaacuteria para um conjunto de k caracteres Determine quantas casas
binaacuterias satildeo necessaacuterias para codificar todos caracteres (princiacutepio das casas de pombos) Para k=2 bastaria uma posiccedilatildeo binaacuteria Para k=3 ou 4 precisariacuteamos 2 casas que datildeo 4
combinaccedilotildees Para k entre 5 e 8 seriam 3 No geral em n posiccedilotildees cabem 2n
combinaccedilotildees Logo para codificar k caracteres o nuacutemero de posiccedilotildees n seraacute tal que 2n-1
lt k lt 2n
9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 satildeo proprietaacuterios de carros 97 possuem bicicletas
28 tecircm motocicletas 53 satildeo donos de carros e bicicletas 14 tecircm carros e motocicletas sete possuem
bicicletas e motocicletas e dois tecircm todos os trecircs
Resp Seja E o conjunto dos Estudantes C os que tecircm carro B os que tecircm bicicleta e M os que tecircm
motocicleta Teremos
|E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28 |CCM| = 14
|BM| = 7 e |CBM| = 2
1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas
Resp Os que soacute tecircm bicicletas satildeo dados por
|B| - |C | - |B| + |C | =
= 97 - 53 - 7 + 2 = 41
2) Quantos estudantes natildeo tecircm qualquer dos trecircs
Resp Todos que tecirc algum veiacuteculo satildeo dados por
|C | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C | =
= 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136
Logo os que natildeo tecircm nada satildeo 150 ndash 136 = 14
10) Vocecirc estaacute desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opiniatildeo puacuteblica
para realizar uma pesquisa de mercado para vocecirc A empresa constatou que em sua pesquisa de 450
consumidores os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisatildeo de compra de um sabonete
Perfume 425
Faacutecil produccedilatildeo de espuma 397
Ingredientes naturais 340
Perfume e faacutecil produccedilatildeo de espuma 284
Perfume e ingredientes naturais 315
Faacutecil produccedilatildeo de espuma e ingredientes naturais 219
Todos os trecircs fatores 147
Vocecirc confiaria nesses resultados Justifique
Resp Seja C o conjunto dos consumidores
P o conjunto dos que preferem o perfume
E o conjunto dos que preferem a espuma e
N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais
Temos |C| = 450 |P| = 425 |E| = 397 e |N| = 340
|PE| = 284 |P+ = 315 |NE| = 219 e |PE+ = 147
Supondo que Perfume significa Soacute Perfume todos conjuntos seratildeo disjuntos Nesse caso teremos que
|C| E| + |P+ + |NE| + |PE+
425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127 mas |C| = 450
Mesmo supondo que Perfume significa Tambeacutem Perfume teriacuteamos
|C| = |P | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P | =
425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491
o que ainda eacute maior que 450
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lanccedilados para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes (Sugestatildeo divida as soluccedilotildees em dois casos
1Quando os dados tiverem o mesmo valor
2Quando os valores forem diferentes)
Resp Como os resultados dos dois dados satildeo independentes e cada dado tem 6 faces haacute pelo princiacutepio da
multiplicaccedilatildeo 6x6=36 possibilidades
Seguindo a sugestatildeo consideramos dois casos
a) Quando os dois dados tecircm o mesmo valor haacute 6 possibilidades
b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades Para cada par (dado1=ndado2=m) existe outro lanccedilamento
(dado1=mdado2=n) idecircntico Assim haveraacute 15 lanccedilamentos diferentes
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes Logo pelo princiacutepio da casa
do pombo apoacutes 22 lanccedilamentos um par teraacute que se repetir
OUTRA SOLUCcedilAtildeO Haacute 6 casos aditivos dependentes
1 se para o dado-1 cair 1 haveraacute 6 combinaccedilotildees possiacuteveis com o dado-2
2 se para o dado-1 cair 2 aleacutem de (21) haveraacute mais 5 combinaccedilotildees possiacuteveis
3 se cair 3 haveraacute mais 4 combinaccedilotildees novas
4 para o 4 haveraacute mais 3 combinaccedilotildees novas
5 para o 5 haacute mais 2 combinaccedilotildees
6 para o 6 haacute mais uma combinaccedilatildeo o (66)
Assim pelo princiacutepio da adiccedilatildeo temos ao todo 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaccedilotildees distintas
Parte III Relaccedilotildees
1) Podem ser definidas mais propriedades de relaccedilotildees binaacuterias em um conjunto S
eacute irreflexiva quando xS temos (xx) ]
eacute assimeacutetrica quando xyS temos [(x y) (y x) ]
a Construa uma relaccedilatildeo binaacuteria em S = 123 que eacute assimeacutetrica e anti-simeacutetrica Obtenha o fecho
transitivo desta tua relaccedilatildeo
b Analise o conjunto ltN lsquoltrsquogt os naturais com a relaccedilatildeo lsquomenor quersquo em relaccedilatildeo agraves duas
propriedades definidas aqui e as outras
a R=(12) (23) o fecho transitivo eacute (12) (23) (13)
b A relaccedilatildeo ltN lsquoltrsquogt natildeo eacute reflexiva e eacute irreflexiva pois nenhum nltn Eacute anti-simeacutetrica e assimeacutetrica
pois natildeo existe nenhum para n m com nltm e mltn Pelo mesmo motivo tambeacutem natildeo eacute simeacutetrica Eacute
transitiva pois se nltm e mlt u temos nltu
2) Seja S=a abc acb e a relaccedilatildeo de
1 Desenhe o Diagrama de Hasse desta relaccedilatildeo
ab ac
2 Encontre o fecho transitivo
(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou
muitos-para-muitos
(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou
igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva
(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva
(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva
(a) Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um
(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igual
Simeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menor
Anti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=y
Transitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute
claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)
(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o
ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5
(d) A relaccedilatildeo xlty em N
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada
uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
a perto(xy) = x mora a menos de 500m de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
eacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a
mesma pessoa
natildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de
800m logo natildeo estatildeo mais perto
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
b longe(xy) = x mora a mais de 500m de y
natildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmo
eacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy
natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva
c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
eacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
eacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairro
eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva
a c b
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
RESP ||=||=0 e || = 1 = e
b) Dados os conjuntos A=a a a B=a e C= aa decirc a cardinalidade de cada um e
mostre quais afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras CA BA BC a aA A-BC
RESP |A| = 3 |B| = 1 |C| = 2
CA - falsa BA - verdadeira BC - falsa a aA - falsa A-BC - falsa
4)
Dados 3 conjuntos A B e C mostre que
a) A X (B C) = (A X B) (A X C)
Parte 1 A X (B C) (A X B) (A X C)
Se ltxygt A X (B C) entatildeo x A e y (B C) Nesse caso y B e y C) Mas com x A e y B
temos que ltx ygt (A X B) e com x A e y C temos que ltx ygt (A X C) Destes dois fatos deduzimos
que lt xygt (A X B) (A X C)
Parte 2 O inverso se mostra invertendo todos os argumentos anteriores
b) (A B) C) = A (BC)
Parte 1 (A B) C) A (BC)
Se ltxygt (A B) C) entatildeo ltxygt A X B e ltxygt (A X C) Pela primeira pertinecircncia
sabemos que x A e y B Logo para valer a relaccedilatildeo soacute eacute possiacutevel se y C
Nesse caso temos x A y B e y C o que caracteriza a situaccedilatildeo ltxygt (A X (B-C)) cqd Parte 2 similar a anterior
5) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 U B S I P F sendo B o siacutembolo inicial
R = B SIPF
S +|-| λ
I ID | D
P
F DD
D 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9
1) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
RESP esta gramaacutetica reconhece nuacutemeros com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente
ou natildeo Os nuacutemeros poderatildeo comeccedilar com um ou mais diacutegitos lsquo0rsquo Em outras palavras reconhece
sequencias da forma +nnnnn ou ndashnnnn ou nnnnn
2) Mostre como ela reconhece o nuacutemero -45933
RESP para testar basta seguir em ordem inversa as regras ateacute chegar a B Ou seja temos
-45933 -459DD -459F -459PF -45DPF -4DDPF -DDDPF SDDDPF
SIDDPF SIDPF SIPF B (NB tambeacutem pode-se percorrer o caminho inverso)
3) Modifique a gramaacutetica para que ela reconheccedila nuacutemeros inteiros sem fraccedilotildees
RESPPara reconhecer soacute nuacutemeros inteiros deve-se alterar a primeira regra para BSI e excluir as
regras P e F DD
Para reconhecer tambeacutem nuacutemeros inteiros a primeira regra fica sendo BSIPF | SI
5)
Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 e nt = B EXP OP N D com as
regras de produccedilatildeo
R = 1 B EXP 2 EXP ( EXP ) OP N 3 EXP N OP N
4 OP + | - | | 5 N D | ND 6 D 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9
a) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define
Define expressotildees aritmeacuteticas da forma op1 op op2 em que op eacute um dos operadores + - ou op2 eacute
um nuacutemero inteiro positivo e op1 eacute ou tambeacutem um inteiro ou outra expressatildeo da mesma forma entre
parecircntesis
b) Mostre como ela reconhece a expressatildeo (30-5)+025 Indique qual regra foi aplicada em cada
passo
-(1)- B EXP -(2)- ( EXP ) OP N -(4)- ( EXP ) + N -(5)- ( EXP ) + ND -(5)- ( EXP ) + NDD -(5)- (
EXP ) + DDD -(6)- ( EXP ) + 025 -(3)- ( N OP N ) + 025 -(5)- ( N OP D ) + 025 -(6)- ( N OP 5 ) + 025
-(5)- ( ND OP 5 ) + 025 -(5)- ( DD OP 5 ) + 025 -(5)- ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)- ( 30 - 5 ) + 025
c) Modifique a gramaacutetica para que ela
1 tambeacutem reconheccedila expressotildees entre parecircntesis agrave direita e
Alterar a regra (2) para 2 EXP N OP (EXP) | ( EXP ) OP N
2 um nuacutemero natildeo comece com 0 (zero)
Substituir as regras 5 e 6 por 5 N P | PD 6 D DF | F 7 P 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9 8 F
P | 0 |
E acrescentar aos natildeo-terminais os siacutembolos P e F
6) Considere a gramaacutetica G = lt L R gt Onde
R 0R1 | 1R0 | λ
a) A palavra 11001 pertence agrave linguagem geada por G
Natildeo pois se tentamos produzi-la pex R1R011R001100 vai faltar a produccedilatildeo do uacuteltimo lsquo1rsquo a
direita Generalizando toda regra produz um nuacutemero par de terminais logo eacute impossiacutevel produzir uma
cadeia com 5 diacutegitos
b) Qual linguagem definida por G
Cadeias de 1s e 0s tal que para cada diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da esquerda para a direita ocorre o inverso
desse diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da direita para a esquerda
7) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = lsquoarsquo lsquobrsquo lsquocrsquorsquoxrsquo lsquoyrsquo lsquozrsquo lsquorsquo lsquo lsquo e
nt = NC Nome Sobrenome N Letra com as regras de produccedilatildeo
R = 1 NC Nome acute acute Sobrenome 2 Nome N | N lsquo lsquo Nome 3 Sobrenome N | N lsquo lsquo
Nome 4 N Letra | Letra N 5 Letra lsquoarsquo | lsquobrsquo | | lsquozrsquo
c) Mostre a sequecircncia de produccedilotildees para produzir teu nome completo
1 NC Nome acute acute Sobrenome
(2) N acute acute Sobrenome
(4) Letra N acute acute Sobrenome
(4)5 vezes Letra Letra Letra Letra Letra Letra acute acute Sobrenome
(5)6 vezes ulrich acute acute Sobrenome
(3) ulrich acute acute N
Repetindo (4)5 vezes e (5)6 vezes obtemos ulrich schiel
d) Altere a gramaacutetica para produzir o nome na forma inversa sendo que soacute o uacuteltimo sobrenome aparece
antes da viacutergula
Basta alterar as regras (1) e (3) Ficaratildeo sendo
1 NC Sobrenome acute acute Nome
3 Sobrenome N
8)
a) Uma mulher tem 7 blusas 5 saias e 9 vestidos De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir
(princiacutepios da adiccedilatildeo e multiplicaccedilatildeo)
Existem duas formas de se vestir (1) blusa e saia ou (2) vestido
(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias pelo princiacutepio da multiplicaccedilatildeo haacute 35 combinaccedilotildees possiacuteveis
(2) Aqui haacute 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute ao todo 35 + 9 = 44 possibilidades
b) Queremos criar uma codificaccedilatildeo binaacuteria para um conjunto de k caracteres Determine quantas casas
binaacuterias satildeo necessaacuterias para codificar todos caracteres (princiacutepio das casas de pombos) Para k=2 bastaria uma posiccedilatildeo binaacuteria Para k=3 ou 4 precisariacuteamos 2 casas que datildeo 4
combinaccedilotildees Para k entre 5 e 8 seriam 3 No geral em n posiccedilotildees cabem 2n
combinaccedilotildees Logo para codificar k caracteres o nuacutemero de posiccedilotildees n seraacute tal que 2n-1
lt k lt 2n
9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 satildeo proprietaacuterios de carros 97 possuem bicicletas
28 tecircm motocicletas 53 satildeo donos de carros e bicicletas 14 tecircm carros e motocicletas sete possuem
bicicletas e motocicletas e dois tecircm todos os trecircs
Resp Seja E o conjunto dos Estudantes C os que tecircm carro B os que tecircm bicicleta e M os que tecircm
motocicleta Teremos
|E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28 |CCM| = 14
|BM| = 7 e |CBM| = 2
1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas
Resp Os que soacute tecircm bicicletas satildeo dados por
|B| - |C | - |B| + |C | =
= 97 - 53 - 7 + 2 = 41
2) Quantos estudantes natildeo tecircm qualquer dos trecircs
Resp Todos que tecirc algum veiacuteculo satildeo dados por
|C | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C | =
= 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136
Logo os que natildeo tecircm nada satildeo 150 ndash 136 = 14
10) Vocecirc estaacute desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opiniatildeo puacuteblica
para realizar uma pesquisa de mercado para vocecirc A empresa constatou que em sua pesquisa de 450
consumidores os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisatildeo de compra de um sabonete
Perfume 425
Faacutecil produccedilatildeo de espuma 397
Ingredientes naturais 340
Perfume e faacutecil produccedilatildeo de espuma 284
Perfume e ingredientes naturais 315
Faacutecil produccedilatildeo de espuma e ingredientes naturais 219
Todos os trecircs fatores 147
Vocecirc confiaria nesses resultados Justifique
Resp Seja C o conjunto dos consumidores
P o conjunto dos que preferem o perfume
E o conjunto dos que preferem a espuma e
N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais
Temos |C| = 450 |P| = 425 |E| = 397 e |N| = 340
|PE| = 284 |P+ = 315 |NE| = 219 e |PE+ = 147
Supondo que Perfume significa Soacute Perfume todos conjuntos seratildeo disjuntos Nesse caso teremos que
|C| E| + |P+ + |NE| + |PE+
425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127 mas |C| = 450
Mesmo supondo que Perfume significa Tambeacutem Perfume teriacuteamos
|C| = |P | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P | =
425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491
o que ainda eacute maior que 450
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lanccedilados para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes (Sugestatildeo divida as soluccedilotildees em dois casos
1Quando os dados tiverem o mesmo valor
2Quando os valores forem diferentes)
Resp Como os resultados dos dois dados satildeo independentes e cada dado tem 6 faces haacute pelo princiacutepio da
multiplicaccedilatildeo 6x6=36 possibilidades
Seguindo a sugestatildeo consideramos dois casos
a) Quando os dois dados tecircm o mesmo valor haacute 6 possibilidades
b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades Para cada par (dado1=ndado2=m) existe outro lanccedilamento
(dado1=mdado2=n) idecircntico Assim haveraacute 15 lanccedilamentos diferentes
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes Logo pelo princiacutepio da casa
do pombo apoacutes 22 lanccedilamentos um par teraacute que se repetir
OUTRA SOLUCcedilAtildeO Haacute 6 casos aditivos dependentes
1 se para o dado-1 cair 1 haveraacute 6 combinaccedilotildees possiacuteveis com o dado-2
2 se para o dado-1 cair 2 aleacutem de (21) haveraacute mais 5 combinaccedilotildees possiacuteveis
3 se cair 3 haveraacute mais 4 combinaccedilotildees novas
4 para o 4 haveraacute mais 3 combinaccedilotildees novas
5 para o 5 haacute mais 2 combinaccedilotildees
6 para o 6 haacute mais uma combinaccedilatildeo o (66)
Assim pelo princiacutepio da adiccedilatildeo temos ao todo 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaccedilotildees distintas
Parte III Relaccedilotildees
1) Podem ser definidas mais propriedades de relaccedilotildees binaacuterias em um conjunto S
eacute irreflexiva quando xS temos (xx) ]
eacute assimeacutetrica quando xyS temos [(x y) (y x) ]
a Construa uma relaccedilatildeo binaacuteria em S = 123 que eacute assimeacutetrica e anti-simeacutetrica Obtenha o fecho
transitivo desta tua relaccedilatildeo
b Analise o conjunto ltN lsquoltrsquogt os naturais com a relaccedilatildeo lsquomenor quersquo em relaccedilatildeo agraves duas
propriedades definidas aqui e as outras
a R=(12) (23) o fecho transitivo eacute (12) (23) (13)
b A relaccedilatildeo ltN lsquoltrsquogt natildeo eacute reflexiva e eacute irreflexiva pois nenhum nltn Eacute anti-simeacutetrica e assimeacutetrica
pois natildeo existe nenhum para n m com nltm e mltn Pelo mesmo motivo tambeacutem natildeo eacute simeacutetrica Eacute
transitiva pois se nltm e mlt u temos nltu
2) Seja S=a abc acb e a relaccedilatildeo de
1 Desenhe o Diagrama de Hasse desta relaccedilatildeo
ab ac
2 Encontre o fecho transitivo
(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou
muitos-para-muitos
(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou
igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva
(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva
(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva
(a) Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um
(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igual
Simeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menor
Anti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=y
Transitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute
claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)
(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o
ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5
(d) A relaccedilatildeo xlty em N
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada
uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
a perto(xy) = x mora a menos de 500m de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
eacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a
mesma pessoa
natildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de
800m logo natildeo estatildeo mais perto
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
b longe(xy) = x mora a mais de 500m de y
natildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmo
eacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy
natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva
c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
eacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
eacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairro
eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva
a c b
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
Define expressotildees aritmeacuteticas da forma op1 op op2 em que op eacute um dos operadores + - ou op2 eacute
um nuacutemero inteiro positivo e op1 eacute ou tambeacutem um inteiro ou outra expressatildeo da mesma forma entre
parecircntesis
b) Mostre como ela reconhece a expressatildeo (30-5)+025 Indique qual regra foi aplicada em cada
passo
-(1)- B EXP -(2)- ( EXP ) OP N -(4)- ( EXP ) + N -(5)- ( EXP ) + ND -(5)- ( EXP ) + NDD -(5)- (
EXP ) + DDD -(6)- ( EXP ) + 025 -(3)- ( N OP N ) + 025 -(5)- ( N OP D ) + 025 -(6)- ( N OP 5 ) + 025
-(5)- ( ND OP 5 ) + 025 -(5)- ( DD OP 5 ) + 025 -(5)- ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)- ( 30 - 5 ) + 025
c) Modifique a gramaacutetica para que ela
1 tambeacutem reconheccedila expressotildees entre parecircntesis agrave direita e
Alterar a regra (2) para 2 EXP N OP (EXP) | ( EXP ) OP N
2 um nuacutemero natildeo comece com 0 (zero)
Substituir as regras 5 e 6 por 5 N P | PD 6 D DF | F 7 P 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9 8 F
P | 0 |
E acrescentar aos natildeo-terminais os siacutembolos P e F
6) Considere a gramaacutetica G = lt L R gt Onde
R 0R1 | 1R0 | λ
a) A palavra 11001 pertence agrave linguagem geada por G
Natildeo pois se tentamos produzi-la pex R1R011R001100 vai faltar a produccedilatildeo do uacuteltimo lsquo1rsquo a
direita Generalizando toda regra produz um nuacutemero par de terminais logo eacute impossiacutevel produzir uma
cadeia com 5 diacutegitos
b) Qual linguagem definida por G
Cadeias de 1s e 0s tal que para cada diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da esquerda para a direita ocorre o inverso
desse diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da direita para a esquerda
7) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde
= nt t sendo t = lsquoarsquo lsquobrsquo lsquocrsquorsquoxrsquo lsquoyrsquo lsquozrsquo lsquorsquo lsquo lsquo e
nt = NC Nome Sobrenome N Letra com as regras de produccedilatildeo
R = 1 NC Nome acute acute Sobrenome 2 Nome N | N lsquo lsquo Nome 3 Sobrenome N | N lsquo lsquo
Nome 4 N Letra | Letra N 5 Letra lsquoarsquo | lsquobrsquo | | lsquozrsquo
c) Mostre a sequecircncia de produccedilotildees para produzir teu nome completo
1 NC Nome acute acute Sobrenome
(2) N acute acute Sobrenome
(4) Letra N acute acute Sobrenome
(4)5 vezes Letra Letra Letra Letra Letra Letra acute acute Sobrenome
(5)6 vezes ulrich acute acute Sobrenome
(3) ulrich acute acute N
Repetindo (4)5 vezes e (5)6 vezes obtemos ulrich schiel
d) Altere a gramaacutetica para produzir o nome na forma inversa sendo que soacute o uacuteltimo sobrenome aparece
antes da viacutergula
Basta alterar as regras (1) e (3) Ficaratildeo sendo
1 NC Sobrenome acute acute Nome
3 Sobrenome N
8)
a) Uma mulher tem 7 blusas 5 saias e 9 vestidos De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir
(princiacutepios da adiccedilatildeo e multiplicaccedilatildeo)
Existem duas formas de se vestir (1) blusa e saia ou (2) vestido
(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias pelo princiacutepio da multiplicaccedilatildeo haacute 35 combinaccedilotildees possiacuteveis
(2) Aqui haacute 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute ao todo 35 + 9 = 44 possibilidades
b) Queremos criar uma codificaccedilatildeo binaacuteria para um conjunto de k caracteres Determine quantas casas
binaacuterias satildeo necessaacuterias para codificar todos caracteres (princiacutepio das casas de pombos) Para k=2 bastaria uma posiccedilatildeo binaacuteria Para k=3 ou 4 precisariacuteamos 2 casas que datildeo 4
combinaccedilotildees Para k entre 5 e 8 seriam 3 No geral em n posiccedilotildees cabem 2n
combinaccedilotildees Logo para codificar k caracteres o nuacutemero de posiccedilotildees n seraacute tal que 2n-1
lt k lt 2n
9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 satildeo proprietaacuterios de carros 97 possuem bicicletas
28 tecircm motocicletas 53 satildeo donos de carros e bicicletas 14 tecircm carros e motocicletas sete possuem
bicicletas e motocicletas e dois tecircm todos os trecircs
Resp Seja E o conjunto dos Estudantes C os que tecircm carro B os que tecircm bicicleta e M os que tecircm
motocicleta Teremos
|E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28 |CCM| = 14
|BM| = 7 e |CBM| = 2
1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas
Resp Os que soacute tecircm bicicletas satildeo dados por
|B| - |C | - |B| + |C | =
= 97 - 53 - 7 + 2 = 41
2) Quantos estudantes natildeo tecircm qualquer dos trecircs
Resp Todos que tecirc algum veiacuteculo satildeo dados por
|C | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C | =
= 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136
Logo os que natildeo tecircm nada satildeo 150 ndash 136 = 14
10) Vocecirc estaacute desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opiniatildeo puacuteblica
para realizar uma pesquisa de mercado para vocecirc A empresa constatou que em sua pesquisa de 450
consumidores os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisatildeo de compra de um sabonete
Perfume 425
Faacutecil produccedilatildeo de espuma 397
Ingredientes naturais 340
Perfume e faacutecil produccedilatildeo de espuma 284
Perfume e ingredientes naturais 315
Faacutecil produccedilatildeo de espuma e ingredientes naturais 219
Todos os trecircs fatores 147
Vocecirc confiaria nesses resultados Justifique
Resp Seja C o conjunto dos consumidores
P o conjunto dos que preferem o perfume
E o conjunto dos que preferem a espuma e
N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais
Temos |C| = 450 |P| = 425 |E| = 397 e |N| = 340
|PE| = 284 |P+ = 315 |NE| = 219 e |PE+ = 147
Supondo que Perfume significa Soacute Perfume todos conjuntos seratildeo disjuntos Nesse caso teremos que
|C| E| + |P+ + |NE| + |PE+
425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127 mas |C| = 450
Mesmo supondo que Perfume significa Tambeacutem Perfume teriacuteamos
|C| = |P | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P | =
425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491
o que ainda eacute maior que 450
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lanccedilados para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes (Sugestatildeo divida as soluccedilotildees em dois casos
1Quando os dados tiverem o mesmo valor
2Quando os valores forem diferentes)
Resp Como os resultados dos dois dados satildeo independentes e cada dado tem 6 faces haacute pelo princiacutepio da
multiplicaccedilatildeo 6x6=36 possibilidades
Seguindo a sugestatildeo consideramos dois casos
a) Quando os dois dados tecircm o mesmo valor haacute 6 possibilidades
b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades Para cada par (dado1=ndado2=m) existe outro lanccedilamento
(dado1=mdado2=n) idecircntico Assim haveraacute 15 lanccedilamentos diferentes
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes Logo pelo princiacutepio da casa
do pombo apoacutes 22 lanccedilamentos um par teraacute que se repetir
OUTRA SOLUCcedilAtildeO Haacute 6 casos aditivos dependentes
1 se para o dado-1 cair 1 haveraacute 6 combinaccedilotildees possiacuteveis com o dado-2
2 se para o dado-1 cair 2 aleacutem de (21) haveraacute mais 5 combinaccedilotildees possiacuteveis
3 se cair 3 haveraacute mais 4 combinaccedilotildees novas
4 para o 4 haveraacute mais 3 combinaccedilotildees novas
5 para o 5 haacute mais 2 combinaccedilotildees
6 para o 6 haacute mais uma combinaccedilatildeo o (66)
Assim pelo princiacutepio da adiccedilatildeo temos ao todo 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaccedilotildees distintas
Parte III Relaccedilotildees
1) Podem ser definidas mais propriedades de relaccedilotildees binaacuterias em um conjunto S
eacute irreflexiva quando xS temos (xx) ]
eacute assimeacutetrica quando xyS temos [(x y) (y x) ]
a Construa uma relaccedilatildeo binaacuteria em S = 123 que eacute assimeacutetrica e anti-simeacutetrica Obtenha o fecho
transitivo desta tua relaccedilatildeo
b Analise o conjunto ltN lsquoltrsquogt os naturais com a relaccedilatildeo lsquomenor quersquo em relaccedilatildeo agraves duas
propriedades definidas aqui e as outras
a R=(12) (23) o fecho transitivo eacute (12) (23) (13)
b A relaccedilatildeo ltN lsquoltrsquogt natildeo eacute reflexiva e eacute irreflexiva pois nenhum nltn Eacute anti-simeacutetrica e assimeacutetrica
pois natildeo existe nenhum para n m com nltm e mltn Pelo mesmo motivo tambeacutem natildeo eacute simeacutetrica Eacute
transitiva pois se nltm e mlt u temos nltu
2) Seja S=a abc acb e a relaccedilatildeo de
1 Desenhe o Diagrama de Hasse desta relaccedilatildeo
ab ac
2 Encontre o fecho transitivo
(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou
muitos-para-muitos
(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou
igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva
(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva
(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva
(a) Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um
(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igual
Simeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menor
Anti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=y
Transitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute
claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)
(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o
ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5
(d) A relaccedilatildeo xlty em N
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada
uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
a perto(xy) = x mora a menos de 500m de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
eacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a
mesma pessoa
natildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de
800m logo natildeo estatildeo mais perto
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
b longe(xy) = x mora a mais de 500m de y
natildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmo
eacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy
natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva
c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
eacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
eacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairro
eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva
a c b
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias pelo princiacutepio da multiplicaccedilatildeo haacute 35 combinaccedilotildees possiacuteveis
(2) Aqui haacute 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute ao todo 35 + 9 = 44 possibilidades
b) Queremos criar uma codificaccedilatildeo binaacuteria para um conjunto de k caracteres Determine quantas casas
binaacuterias satildeo necessaacuterias para codificar todos caracteres (princiacutepio das casas de pombos) Para k=2 bastaria uma posiccedilatildeo binaacuteria Para k=3 ou 4 precisariacuteamos 2 casas que datildeo 4
combinaccedilotildees Para k entre 5 e 8 seriam 3 No geral em n posiccedilotildees cabem 2n
combinaccedilotildees Logo para codificar k caracteres o nuacutemero de posiccedilotildees n seraacute tal que 2n-1
lt k lt 2n
9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 satildeo proprietaacuterios de carros 97 possuem bicicletas
28 tecircm motocicletas 53 satildeo donos de carros e bicicletas 14 tecircm carros e motocicletas sete possuem
bicicletas e motocicletas e dois tecircm todos os trecircs
Resp Seja E o conjunto dos Estudantes C os que tecircm carro B os que tecircm bicicleta e M os que tecircm
motocicleta Teremos
|E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28 |CCM| = 14
|BM| = 7 e |CBM| = 2
1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas
Resp Os que soacute tecircm bicicletas satildeo dados por
|B| - |C | - |B| + |C | =
= 97 - 53 - 7 + 2 = 41
2) Quantos estudantes natildeo tecircm qualquer dos trecircs
Resp Todos que tecirc algum veiacuteculo satildeo dados por
|C | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C | =
= 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136
Logo os que natildeo tecircm nada satildeo 150 ndash 136 = 14
10) Vocecirc estaacute desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opiniatildeo puacuteblica
para realizar uma pesquisa de mercado para vocecirc A empresa constatou que em sua pesquisa de 450
consumidores os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisatildeo de compra de um sabonete
Perfume 425
Faacutecil produccedilatildeo de espuma 397
Ingredientes naturais 340
Perfume e faacutecil produccedilatildeo de espuma 284
Perfume e ingredientes naturais 315
Faacutecil produccedilatildeo de espuma e ingredientes naturais 219
Todos os trecircs fatores 147
Vocecirc confiaria nesses resultados Justifique
Resp Seja C o conjunto dos consumidores
P o conjunto dos que preferem o perfume
E o conjunto dos que preferem a espuma e
N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais
Temos |C| = 450 |P| = 425 |E| = 397 e |N| = 340
|PE| = 284 |P+ = 315 |NE| = 219 e |PE+ = 147
Supondo que Perfume significa Soacute Perfume todos conjuntos seratildeo disjuntos Nesse caso teremos que
|C| E| + |P+ + |NE| + |PE+
425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127 mas |C| = 450
Mesmo supondo que Perfume significa Tambeacutem Perfume teriacuteamos
|C| = |P | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P | =
425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491
o que ainda eacute maior que 450
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lanccedilados para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes (Sugestatildeo divida as soluccedilotildees em dois casos
1Quando os dados tiverem o mesmo valor
2Quando os valores forem diferentes)
Resp Como os resultados dos dois dados satildeo independentes e cada dado tem 6 faces haacute pelo princiacutepio da
multiplicaccedilatildeo 6x6=36 possibilidades
Seguindo a sugestatildeo consideramos dois casos
a) Quando os dois dados tecircm o mesmo valor haacute 6 possibilidades
b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades Para cada par (dado1=ndado2=m) existe outro lanccedilamento
(dado1=mdado2=n) idecircntico Assim haveraacute 15 lanccedilamentos diferentes
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes Logo pelo princiacutepio da casa
do pombo apoacutes 22 lanccedilamentos um par teraacute que se repetir
OUTRA SOLUCcedilAtildeO Haacute 6 casos aditivos dependentes
1 se para o dado-1 cair 1 haveraacute 6 combinaccedilotildees possiacuteveis com o dado-2
2 se para o dado-1 cair 2 aleacutem de (21) haveraacute mais 5 combinaccedilotildees possiacuteveis
3 se cair 3 haveraacute mais 4 combinaccedilotildees novas
4 para o 4 haveraacute mais 3 combinaccedilotildees novas
5 para o 5 haacute mais 2 combinaccedilotildees
6 para o 6 haacute mais uma combinaccedilatildeo o (66)
Assim pelo princiacutepio da adiccedilatildeo temos ao todo 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaccedilotildees distintas
Parte III Relaccedilotildees
1) Podem ser definidas mais propriedades de relaccedilotildees binaacuterias em um conjunto S
eacute irreflexiva quando xS temos (xx) ]
eacute assimeacutetrica quando xyS temos [(x y) (y x) ]
a Construa uma relaccedilatildeo binaacuteria em S = 123 que eacute assimeacutetrica e anti-simeacutetrica Obtenha o fecho
transitivo desta tua relaccedilatildeo
b Analise o conjunto ltN lsquoltrsquogt os naturais com a relaccedilatildeo lsquomenor quersquo em relaccedilatildeo agraves duas
propriedades definidas aqui e as outras
a R=(12) (23) o fecho transitivo eacute (12) (23) (13)
b A relaccedilatildeo ltN lsquoltrsquogt natildeo eacute reflexiva e eacute irreflexiva pois nenhum nltn Eacute anti-simeacutetrica e assimeacutetrica
pois natildeo existe nenhum para n m com nltm e mltn Pelo mesmo motivo tambeacutem natildeo eacute simeacutetrica Eacute
transitiva pois se nltm e mlt u temos nltu
2) Seja S=a abc acb e a relaccedilatildeo de
1 Desenhe o Diagrama de Hasse desta relaccedilatildeo
ab ac
2 Encontre o fecho transitivo
(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou
muitos-para-muitos
(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou
igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva
(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva
(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva
(a) Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um
(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igual
Simeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menor
Anti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=y
Transitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute
claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)
(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o
ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5
(d) A relaccedilatildeo xlty em N
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada
uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
a perto(xy) = x mora a menos de 500m de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
eacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a
mesma pessoa
natildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de
800m logo natildeo estatildeo mais perto
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
b longe(xy) = x mora a mais de 500m de y
natildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmo
eacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy
natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva
c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
eacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
eacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairro
eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva
a c b
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491
o que ainda eacute maior que 450
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lanccedilados para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes (Sugestatildeo divida as soluccedilotildees em dois casos
1Quando os dados tiverem o mesmo valor
2Quando os valores forem diferentes)
Resp Como os resultados dos dois dados satildeo independentes e cada dado tem 6 faces haacute pelo princiacutepio da
multiplicaccedilatildeo 6x6=36 possibilidades
Seguindo a sugestatildeo consideramos dois casos
a) Quando os dois dados tecircm o mesmo valor haacute 6 possibilidades
b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades Para cada par (dado1=ndado2=m) existe outro lanccedilamento
(dado1=mdado2=n) idecircntico Assim haveraacute 15 lanccedilamentos diferentes
Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes Logo pelo princiacutepio da casa
do pombo apoacutes 22 lanccedilamentos um par teraacute que se repetir
OUTRA SOLUCcedilAtildeO Haacute 6 casos aditivos dependentes
1 se para o dado-1 cair 1 haveraacute 6 combinaccedilotildees possiacuteveis com o dado-2
2 se para o dado-1 cair 2 aleacutem de (21) haveraacute mais 5 combinaccedilotildees possiacuteveis
3 se cair 3 haveraacute mais 4 combinaccedilotildees novas
4 para o 4 haveraacute mais 3 combinaccedilotildees novas
5 para o 5 haacute mais 2 combinaccedilotildees
6 para o 6 haacute mais uma combinaccedilatildeo o (66)
Assim pelo princiacutepio da adiccedilatildeo temos ao todo 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaccedilotildees distintas
Parte III Relaccedilotildees
1) Podem ser definidas mais propriedades de relaccedilotildees binaacuterias em um conjunto S
eacute irreflexiva quando xS temos (xx) ]
eacute assimeacutetrica quando xyS temos [(x y) (y x) ]
a Construa uma relaccedilatildeo binaacuteria em S = 123 que eacute assimeacutetrica e anti-simeacutetrica Obtenha o fecho
transitivo desta tua relaccedilatildeo
b Analise o conjunto ltN lsquoltrsquogt os naturais com a relaccedilatildeo lsquomenor quersquo em relaccedilatildeo agraves duas
propriedades definidas aqui e as outras
a R=(12) (23) o fecho transitivo eacute (12) (23) (13)
b A relaccedilatildeo ltN lsquoltrsquogt natildeo eacute reflexiva e eacute irreflexiva pois nenhum nltn Eacute anti-simeacutetrica e assimeacutetrica
pois natildeo existe nenhum para n m com nltm e mltn Pelo mesmo motivo tambeacutem natildeo eacute simeacutetrica Eacute
transitiva pois se nltm e mlt u temos nltu
2) Seja S=a abc acb e a relaccedilatildeo de
1 Desenhe o Diagrama de Hasse desta relaccedilatildeo
ab ac
2 Encontre o fecho transitivo
(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou
muitos-para-muitos
(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou
igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva
(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva
(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva
(a) Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um
(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igual
Simeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menor
Anti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=y
Transitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute
claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)
(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o
ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5
(d) A relaccedilatildeo xlty em N
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada
uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
a perto(xy) = x mora a menos de 500m de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
eacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a
mesma pessoa
natildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de
800m logo natildeo estatildeo mais perto
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
b longe(xy) = x mora a mais de 500m de y
natildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmo
eacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy
natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva
c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
eacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
eacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairro
eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva
a c b
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
2 Encontre o fecho transitivo
(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou
muitos-para-muitos
(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou
igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva
(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva
(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva
(a) Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um
(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igual
Simeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menor
Anti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=y
Transitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute
claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)
(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o
ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5
(d) A relaccedilatildeo xlty em N
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada
uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
a perto(xy) = x mora a menos de 500m de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
eacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a
mesma pessoa
natildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de
800m logo natildeo estatildeo mais perto
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
b longe(xy) = x mora a mais de 500m de y
natildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmo
eacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy
natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva
c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de y
eacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
eacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
eacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairro
eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva
a c b
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)
eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivas
eacute simeacutetrica pelo mesmo motivo
natildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeo
natildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(xz)
natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva
5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)
Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os
fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquo
Fecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)
Fecho simeacutetrico de = (da)(db)
Fecho transitivo de = (cd)(cc)
rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)
Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)
6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoas
i) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)
ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr)
iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq)
3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva
Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
filho(pq) eacute anti-simeacutetrica
irm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitiva
parente(pq) eacute reflexiva e transitiva
4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que
se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq)
Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definir
desc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))
5) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)
min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico
6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada
nesta particcedilatildeo
Como ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento
de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para
cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que
vale desc(pmaxi)
A relaccedilatildeo seraacute
mesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)
7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontre
a) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes x
R = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)
b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de Rrsquo
Rrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)
Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)
c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
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7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois
para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)
8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca)
1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e
justifique para cada caso
Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva
pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute
irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)
2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo
rsquo = (cc) (dd)
rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)
3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da
relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeo
Reduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)
Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)
Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees
filho-de(FP) filha-de(FP)
a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoa
b) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da
pessoa lsquoJoatildeorsquo
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre
conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionais
Rrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo e
Rrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas
para os atributos em Arsquo
(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)
(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)
filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))
(c)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)
PROF(NomeP Disc)
Obtenha os dados
1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo
R1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)
R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)
RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo
R2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos
matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matricula
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
A partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores
determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2
R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE]
3)
Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando
estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente
e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterio
Crie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000
b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine
quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos
Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos
Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e
VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)
a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV Funccedilotildees
1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)
a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia
b) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma
dessas funccedilotildees
c) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf
(a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)
Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y x
Transitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos
f(x)=f(z) o que implica em x z
(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2
Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3
(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma parte
para g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt
(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x
2+2)
2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e
U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees
f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e
g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10)
a Defina a funccedilatildeo g o f
g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)
b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas
f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de f
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
g natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de
algum valor de T por g
g o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute
sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S
3)
c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto
imagem f(S) para S=Z S=N e S=R
S=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916
S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916
S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R
d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo
(x+y)(yz) seria
O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a
respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo
(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)
RESPOSTA
A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))
4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas
reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa
a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1
f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)
f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8
natildeo estatildeo em f(Z)
Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la
sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante
Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 +
1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1
DN tal que f-1
(y)= (y-1)
b) fZ Q dada por f(x) = 1x
x
y
+
z
x+y
+
yz
res
x
y +
+
res
sen
sen
z2
2x
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
f natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos
que
f eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1y
f natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos
nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-
0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1x
c) fN N N dada por f(x) = (xx2)
f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy
2)
f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo
soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos
DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx
2) e f
-1 D N com f
-1(xx
2)=x
d) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2
Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3
natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos
P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1
P 0 N tal que f-1
(z) = (0 z)
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
Parte V Estruturas algeacutebricas
1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou
isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inverso
f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo
diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 =
ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V
Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e)
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado
a) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)
Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0
Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) =
(F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo
Forma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0
Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo =
V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1
(F) = 0
3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0
i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0
ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x
logo y = x
b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo
vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt
lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo
seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na
Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S
Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois
sup(23) = 5 e sup(24) = 5
Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela
x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12 1 3 1 3 2 1 5 1 5 12 2 3 1 5 12 3 2 2 2 5 2 1 5 12 3 5 3 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
5)
Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ou
exclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo
1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebrica
Associativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) +
(yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
(xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) =
xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) =
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo +
z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo=
(xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) z
Soluccedilatildeo tabelar
x y z y z x (y z) x y (x y) z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
_______________________________________________________
______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1
Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y x
Neutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutro
Inverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso
Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo
2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacutetica
Tabelar
x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemaacutetico
6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gt
e) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)
pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a
multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro
(1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da
multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute
simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo
f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5
Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de
nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute
simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4
Associativo
Tambeacutem eacute grupo comutativo
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7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que
preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y)
x y
Tabela
1 -1 i -i
1 1 -1 i -iacute
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si
2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser
formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)
8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de
com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vazia
x y = a cadeia com as letras comuns a x e y
x +y = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x
e S = ltP(S) lsquo Sgt
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabela
x = a e i ae ai ei aei
h(x)= 1 2 3 12 13 23 123
Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetora
b) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L
i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquo
ii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=
((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1
(23 = ldquoeirdquo
9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole
L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com
3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia
inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y
sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y e
xrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x
e PS = ltP(S) Sgt
b
c d
a b
c d
a
b c
d
a
b
c
d
a
b c
d
a
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
a) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina
este isomorfismo
Seja h lt3 -gt P(S) dada por
X ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo
h(x) 1 2 3 12 23 13 123
E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo
b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas
maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o
resultado de volta para 3
Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo)
ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquo
Indireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) =
(( )) (1231)) =( ) ((12323)) =
( ) (23) = () (23) = 3
c) E temos que h-1
(3) = ldquoirdquo
10) Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passo
a) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =
yx e tambeacutem x1=xrsquo
xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yx
x1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo
b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo
x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz
(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a
absorccedilatildeo)
11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que
a Comutativa mas natildeo associativa
(xy) = (x+y)2
eacute comutativa pois (x+y)2
= (y+x)2
e
natildeo eacute associativa pois pex
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)
2 = 12
2
((1+(2 +3)
2)2
= (1+ 52)2
= 262
b Forma soacute um semi grupo
(nm)=n
Eacute associativa pois
((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = x
Mas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y
Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x
c ltZ gt forma soacute um monoacuteide
(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os
inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1
= 1
12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou
nenhum desses a S = R (os reais) e xy = (x+y)
2
Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)
2 = 26
2
(12)3=(1+2)2+3)
2=(9+3)
2 =12
2
Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo
b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)
= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)
Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4
Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente
pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)z
Neutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em S
Inverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4
logo nunca 4x=1
Concluindo eacute um monoacuteide
c S = N (os naturais) e xy = min(xy)
min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativa
min(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativa
natildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutro
Conclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo
d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2)
((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e
(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa
(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa
Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute
possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e
consequentemente natildeo tem inverso
Conclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo
e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x)
Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
f(gh)(x)
Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativa
Logo eacute um grupo comutativo
13) Mostre que
a) ltR + gt eacute um corpo comutativo
Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja
ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt
aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso
1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo
b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativo
Pela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo
natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0
14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees
homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso
a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0
eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute
injetiva nem sobrejetiva
b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo
c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = x
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute
isomorfismo
d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1x
Eacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso
Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1y
Eacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x
pertence agrave imagem f(R-0)
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a
soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex
para x=1 e y=2 teriacuteamos
(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo
e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero par
Eacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2m
Eacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = p
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y)
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)
Tambeacutem f-1
(x)+ f-1
(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1
(x+y)
Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo
f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)
Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeo
Para ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)
Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem
isomorfismo
13) Defina a estrutura algeacutebrica de
1) lt ||gt com
o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings
Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck
Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer a
Natildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo
pode existir b tal que a||b=
Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide
2) lt Z6 +66gt com
Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6
Analisemos cada operaccedilatildeo
lt Z6 +gt
eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r
se x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r
Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r
Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que eacute o 0 pois x+60=x
Tem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-x
Logo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativo
lt Z6 gt
Pelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativo
Tem neutro que eacute o 1 pois x1=x
lt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeo
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
Logo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na
multiplicaccedilatildeo 3) ltZ5 +5 5 gt com
Z5 = 01234
x +5 y = (x+y) mod 5 e x 5 y = (xy) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacute
Como a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees
moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeo
O neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1
Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1
Em 5 5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com
xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0
A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode
ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremos
x5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 =
((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)
Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo
4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e
y e sup(xy) eacute o supremo de x e y
Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z
Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo
Analogamente vale para sup(xy)
Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso
teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()
Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo
tem inverso
Comutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)
Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel
14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1
1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas
+ 0 1 a b 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt
Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B
e ltP(12) ldquo 12gt
Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das
operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale
h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)
h(xrsquo) = h(x)rdquo
Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
x = 1 2 3 5
h(x)= 1 2 12
E h(sup) = h(inf) =
Para ser isomorfismo deve valer
1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo
2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)
3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)
4 h(xrsquo) = h(x)rdquo
Podemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo
1 2 1 2 1 5 [12 12
1 3 1 3 2
1 5 1 5 12
2 3 1 5 12 3 2 2
2 5 2 1 1 5 12
3 5 3 2 2 5 12 2 1 1
Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos
16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e
que tipo de aacutelgebra eacute
1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2
Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)
2 = (4+3)
2 = 49 e ((1+(1+3)
2) 2
= (1+16)2 =17
2= 289
Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um
nuacutemero inteiro
Eacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)
2
Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais
2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias
Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))
Tem neutro a cadeia vazia pois x || = x
Natildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0
Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquo
Logo eacute um monoide natildeo-comutativo
17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N)
Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
pq V V V V F N V N N
p V F N
p F V N
Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o
as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para
analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeo
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1
pq V F N
V V F N
F F F F
N N F N
Observando a matriz
Vecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetrica
O elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou
primeira coluna
Natildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos
valores em V
Distributiva um exemplo
V(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N
Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um
valor N)
x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que
N N = N N = N V
18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo
= (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) =
(( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo=
( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo =
(((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =
((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)
c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute
com NAND e a soacute com NOR
Para x=1 y=0 e z = 0 teremos
Original (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1
NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =
(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1=
(((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =
((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1
NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) =
((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1