Post on 07-Jul-2015
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Enseñanza de laMatemática Discreta
Diego de Pereda Sebastián
¿Qué es la Matemática Discreta?
Estudio de los conjuntos discretos:– Finitos o infinitos numerables
Trata gran cantidad de temas:– Teoría de conjuntos– Combinatoria y nociones de probabilidad– Teoría de grafos– Etc.
Fuerte relación con el mundo real– Gran importancia en la informática
Estado actual de la Educación Matemática Universitaria
Estudio desde un punto de vista demasiado formal y abstracto
Mala fama de la Matemática Aplicada– Tímidamente aplicada
Desde la teoría a la posible aplicación– Alternativa. Construir a partir del mundo real:
Lotka-Volterra para ecuaciones diferenciales Cubo de Rubik para Álgebra Juegos de azar y acertijos para Probabilidad
Motivación de la Investigación
Fuerte frustración por parte de los alumnos de la carrera de Matemáticas– Falta de elección– Sin variedad en los métodos educativos
Alejada del ser humano (No imperfecta) Estudio demasiado formal y abstracto Estudio pormenorizado, pero poco global Sin incentivar el pensamiento matemático
Falta de pensamiento crítico e ideas propias
Metodología de la Investigación
Grupo heterogéneo (12 personas)– Estudios secundarios superados
Evaluación– Preguntas previas sobre su concepción y relación
con las Matemáticas– Pregunta inicial trivial para ‘entrar en calor’– Seis problemas de distintos ámbitos de la
Matemática Discreta
Problemas elegidos
Varios tipos de cuestiones básicas intercaladas:– Conteo de posibilidades– Probabilidad condicionada
Ambos tipos bastante relacionados– La probabilidad consiste en el conteo del número de
los casos favorables entre los posibles Evaluación:
– Dependencia de los sucesos aleatorios– Diferencias en la obtención de los datos
Estrategia
Uso de la estrategia esgrimida por Platón en su obra ‘Menón, o de la virtud’– Si la respuesta es incorrecta, se realizan preguntas
que provoquen que el entrevistado se de cuenta de su error inicial y pueda rectificarlo
Métodos de conseguirlo:– Sentido lógico de la respuesta– Sobredimensionar o simplificar el problema inicial– Visualización del problema
Probabilidad: Problema 1
Evaluar: Cuestiones básicas de probabilidad
¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados salgan un 1 y un 5?
¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado azul y otro rojo, salga un 1 en el azul y un 5 en el rojo?
Estrategia: Paso a paso
Probabilidad 1: Resultados
2 / 3 61 / 3 6
( 2 )
2 / 3 61 / 3 6
( 5 )
1 / 3 61 / 3 6
( 5 )
R e s u l t a d o sE x t r a ñ o s
( 3 )
R e s u l t a d o sE x t r a ñ o s
( 3 )
P r o b l e m a 1
Preguntar paso a paso,qué posibilidades haysi tiras un dado antes y otro después
Probabilidad: Problema 2 (I)
Evaluar: Obtención de los datos
Se encuentran dos viejos amigos:– ¡Cuánto tiempo! Lo mismo hasta tienes hijos.– Sí, dos.– ¿Alguno es niña?– Sí
¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos niñas?
Probabilidad: Problema 2 (y II)
Otros dos viejos amigos que se encuentran:– ¡Cuánto tiempo! Lo mismo hasta tienes hijos.– Sí, dos.– ¿El mayor es una niña?– Sí
¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos niñas?
Estrategia: Desglosar posibilidades
Probabilidad 2: Resultados
1 / 31 / 2( 1 )
1 - > 1 / 3 2 - > 1 / 2( 8 ) ( 4 d u d o s o s )
1 - > 1 / 2 2 - > 1 / 2( 3 )
A A , O O , A O , O AE q u i p r o b a b l e s
1 - > O O 2 - > O O , O A( 1 1 )
1 / 2 ó 1 / 41 / 2
( 1 1 )
P r o b l e m a 2
Posibilidades con dos hijos. ¿Equiprobables?Casos descartados
Probabilidad de que sean dos hijas
Probabilidad: Problema 3
Evaluar: Obtención de los datos Problema:
– Estás en un concurso de televisión y tienes que elegir entre 3 puertas (A, B y C), sabiendo que detrás de una de ellas hay un coche, pero nada tras el resto. Eliges una de ellas (la A). El presentador abre otra distinta (la B), sabiendo que no hay nada detrás. Te deja cambiar de puerta.
– ¿Cambias? ¿Qué probabilidades tienes de ganar? Estrategias: Sentido lógico, sobredimensionar
y analogía con un problema conocido
Probabilidad 3: Resultados
S í . 2 / 3( 2 )
1 / 31 / 2
A r r e g l a( 1 )
1 / 21 / 2( 1 )
1 / 31 / 2
D e b e r í a( 1 )
1 / 31 / 2
D e b e r í a( 1 )
1 / 29 9 / 1 0 0
( 2 )
1 / 2N o s a b e
( 1 )
1 / 21 / 2
-( 3 )
1 / 29 9 / 1 0 0
( 1 )
1 / 31 / 2
D e b e r í a( 1 )
9 9 / 1 0 0( 1 )
1 / 31 / 3N o( 1 )
1 / 31 / 2
C a m b i a( 5 )
1 / 29 9 / 1 0 0
( 1 )
1 / 21 / 2
-( 1 )
9 9 / 1 0 0( 1 )
1 / 31 / 3N o( 1 )
1 / 29 9 / 1 0 0
( 1 )
1 / 31 / 2N o( 1 )
1 / 31 / 3
-( 3 )
D a i g u a l . 1 / 2( 1 0 )
P r o b l e m a 3
Antes de abrirSi no puedes cambiar¿Cambia?
No cambiar nuncaCambiar siempre¿Suma 1 (100%)?
100 puertasAdivina el número que he pensado
Conteo: Problema 4
Evaluar: Aplicar fórmula sin pensar
Problema:– En una carretera en obras pones un cono naranja
cada 100 metros. La carretera tiene 2,5 kilómetros.– ¿Cuántos conos necesitas?
Estrategia: Simplificar el problema y visualizar la solución
Conteo 4: Resultados
2 6 ( 5 )
3 ( 1 )
3 ( 4 ) 2 ( 2 )
2 ( 6 )
5 ( 7 )
2 5 ( 7 )
P r o b l e m a 4
¿Y en una carretera de 500 metros?
¿Y en una de 200 metros?
¿En qué puntos habrá cono?Dibuja la carretera y los conos
Conteo: Problema 5
Evaluar: Crear y evaluar reglas generales
Problema:– En un congreso hay 10 personas. Si todos se dan la
mano con todos.– ¿Cuántos apretones de manos se dan?
Estrategia: Simplificar el problema, poniendo en duda la regla utilizada
Conteo 5: Resultados
4 5 ó9 + 8 + . . . + 1
( 3 )
1 - 3 - 6A r r e g l a
( 1 )
1 0 !( 1 )
1 - 3 - 6A r r e g l a
( 3 )
1 0 0A r r e g l a
( 1 )
1 - 3 - 6N o s a b e
( 1 )
9 0( 4 )
1 0 0A r r e g l a
( 1 )
1 0 0N o s a b e
( 1 )
1 - 3 - 6N o s a b e
( 2 )
8 1( 2 )
1 0 0N o s a b e
( 2 )
1 - 3 - 6N o s a b e
( 2 )
1 0 0( 2 )
P r o b l e m a 5
¿Con 2 personas?¿Con 3? ¿Con 4?Regla general
Si hay 100 personas que se han dado la mano, ¿cuántos apretones nuevos hay al llegar una más?Regla general
Conteo: Problema 6
Evaluar: Asumir falsas hipótesis Problema:
– En una habitación a oscuras, hay 20 bolas iguales salvo el color: 10 son rojas y 10 azules. Tú quieres coger dos del mismo color, te da igual cuál. Vas a entrar en la habitación sin ver nada y coger las bolas.
– ¿Cuál es el número mínimo de bolas que necesitas sacar para tener dos bolas del mismo color?
Estrategia: Paso a paso
Conteo 6: Resultados
3( 3 )
3( 2 )
S í( 2 )
6( 2 )
3( 1 )
S í( 1 )
1 0( 1 )
3( 4 )
S í( 4 )
1 1( 4 )
3( 2 )
S í( 2 )
1 2( 2 )
P r o b l e m a 6
¿Estás seguro?
Ve sacando las bolas una a una y preguntándote si tienes dos del mismo color.
Análisis: Respuestas iniciales
Malos resultados– 5/12 (42%) como mejor respuesta– 23% de respuestas correctas
31% en problemas de conteo 15% en problemas de probabilidad
Errores generales:– Multiplicación de probabilidades– No considerar todos los casos– Sucesos dependientes o independientes– Forma de obtención de los datos
Análisis: Rectificaciones
Gran índice de rectificación– 84% de respuestas finales correctas (23% inicial)
De un 31% a un 92% en problemas de conteo [88%] De un 15% a un 76% en problemas de probabilidad [72%]
– Mayor rectificación en problemas tangibles– Grandes dudas sobre el resultado en problemas de
probabilidad condicionada (obtención de los datos) Respuesta correcta pero insegura Respuesta inicial, a pesar de las Matemáticas
Análisis: Estrategias (I)
Problemas de Probabilidad
Problema 1: Dados– Desglose de casos
Problema 2: Niño-niña– Desglose en casos
Problema 3: Concurso– Sentido lógico (no funciona)– Sobredimensionar (ligeramente)– Sobredimensionar + Analogía con un problema real
Análisis Estrategias (y II)
Problemas de Conteo
Problema 4: Conos en la carretera– Simplificar (no funciona)– Visualización
Problema 5: Apretones de mano– Simplificar + Sentido lógico
Problema 6: Bolas de colores– Desglose de casos
Conclusiones (I)
Fuertes deficiencias en tareas básicas– Respuestas rápidamente elegidas, pero difícilmente
modificables– No considerar todas las posibilidades– Aplicar directamente una regla sin comprobar si
funciona en casos sencillos– No visualizar el problema, sino atacarlo como si de
algo abstracto se tratara– No tener en cuenta la forma de obtener la
información del problema
Conclusiones (y II)
Estrategias– El desglose por casos ayuda a obtener la respuesta
correcta, pero no siempre al entendimiento– Sobredimensionar o simplificar por sí solos no
consiguen su efecto, pero acompañados (sentido lógico, visualización, ...) consiguen convencer
Escasa enseñanza de Matemática Discreta– Conocimientos para aplicar fórmulas, pero falta de
entrenamiento del pensamiento matemático– Imposibilidad de afrontar problemas nuevos
THE END
Diego de Pereda Sebastián