MAT239 AYRIK MATEMATİK

Kombinatoryal Olasılık5. Bölüm

Emrah Akyar

Eskişehir Teknik ÜniversitesiFen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR

2018–2019 Öğretim Yılı

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Olaylar ve Olasılıklar

Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnekuzayı (sample space) denir.

2/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Olaylar ve Olasılıklar

Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnekuzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz.

2/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Olaylar ve Olasılıklar

Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnekuzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz.

Örneğin, yazı–tura atıldığında S = {Y ,T}

2/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Olaylar ve Olasılıklar

Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnekuzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz.

Örneğin, yazı–tura atıldığında S = {Y ,T}, zar atıldığında iseS = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olacaktır.

2/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Olaylar ve Olasılıklar

Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnekuzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz.

Örneğin, yazı–tura atıldığında S = {Y ,T}, zar atıldığında iseS = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olacaktır.

Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir.

2/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Olaylar ve Olasılıklar

Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnekuzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz.

Örneğin, yazı–tura atıldığında S = {Y ,T}, zar atıldığında iseS = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olacaktır.

Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir.

Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} ⊂ S kümesi zarın çift gelmeolayı olarak düşünülebilir.

2/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Olaylar ve Olasılıklar

Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnekuzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz.

Örneğin, yazı–tura atıldığında S = {Y ,T}, zar atıldığında iseS = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olacaktır.

Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir.

Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} ⊂ S kümesi zarın çift gelmeolayı olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, L = {4, 5, 6} ⊂ S alt kümeside zarın 3 ten büyük olma olayına karşılık gelir.

2/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Olaylar ve Olasılıklar

Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnekuzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz.

Örneğin, yazı–tura atıldığında S = {Y ,T}, zar atıldığında iseS = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olacaktır.

Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir.

Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} ⊂ S kümesi zarın çift gelmeolayı olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, L = {4, 5, 6} ⊂ S alt kümeside zarın 3 ten büyük olma olayına karşılık gelir.

İki kümenin arakesiti ise her iki olayın da ortaya çıkma olayına karşılıkgelir.

2/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Olaylar ve Olasılıklar

Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnekuzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz.

Örneğin, yazı–tura atıldığında S = {Y ,T}, zar atıldığında iseS = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olacaktır.

Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir.

Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} ⊂ S kümesi zarın çift gelmeolayı olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, L = {4, 5, 6} ⊂ S alt kümeside zarın 3 ten büyük olma olayına karşılık gelir.

İki kümenin arakesiti ise her iki olayın da ortaya çıkma olayına karşılıkgelir. Örneğin, L ∩ E = {4, 6} alt kümesi zarın hem çift hem deortalamadan daha büyük olma olayına karşılık gelir.

2/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A ∩ B = ∅ ise A veB olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir.

3/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A ∩ B = ∅ ise A veB olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. Örneğin, O = {1, 3, 5}zarın tek gelme olayı ise E ∩ O = ∅ olduğundan E ve O olayları ayrıkolaylar olur.

3/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A ∩ B = ∅ ise A veB olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. Örneğin, O = {1, 3, 5}zarın tek gelme olayı ise E ∩ O = ∅ olduğundan E ve O olayları ayrıkolaylar olur.

A ∪ B ⊂ S alt kümesi (olayı) ise A ya da B olaylarından en az birisininortaya çıkma olayına karşılık gelecektir.

3/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A ∩ B = ∅ ise A veB olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. Örneğin, O = {1, 3, 5}zarın tek gelme olayı ise E ∩ O = ∅ olduğundan E ve O olayları ayrıkolaylar olur.

A ∪ B ⊂ S alt kümesi (olayı) ise A ya da B olaylarından en az birisininortaya çıkma olayına karşılık gelecektir. Örneğin,L ∪ E = {2, 4, 5, 6} ⊂ S alt kümesi zarın çift ya da 3 ten büyük gelmeolayına karşılık gelir.

3/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

Her si ∈ S için P(si ) ≥ 0,

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

Her si ∈ S için P(si ) ≥ 0,

P(s1) + P(s2) + · · ·+ P(sk) = 1

koşullarını sağlar.

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

Her si ∈ S için P(si ) ≥ 0,

P(s1) + P(s2) + · · ·+ P(sk) = 1

koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir.

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

Her si ∈ S için P(si ) ≥ 0,

P(s1) + P(s2) + · · ·+ P(sk) = 1

koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir.

Yazı–Tura: P(Y ) = P(T ) = 12

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

Her si ∈ S için P(si ) ≥ 0,

P(s1) + P(s2) + · · ·+ P(sk) = 1

koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir.

Yazı–Tura: P(Y ) = P(T ) = 12

Zar: P(i) = 16

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

Her si ∈ S için P(si ) ≥ 0,

P(s1) + P(s2) + · · ·+ P(sk) = 1

koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir.

Yazı–Tura: P(Y ) = P(T ) = 12

Zar: P(i) = 16

Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgünolasılık uzayı denir.

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

Her si ∈ S için P(si ) ≥ 0,

P(s1) + P(s2) + · · ·+ P(sk) = 1

koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir.

Yazı–Tura: P(Y ) = P(T ) = 12

Zar: P(i) = 16

Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgünolasılık uzayı denir. Biz bu derste sadece bu tip uzaylar ile ilgileneceğiz.

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

Her si ∈ S için P(si ) ≥ 0,

P(s1) + P(s2) + · · ·+ P(sk) = 1

koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir.

Yazı–Tura: P(Y ) = P(T ) = 12

Zar: P(i) = 16

Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgünolasılık uzayı denir. Biz bu derste sadece bu tip uzaylar ile ilgileneceğiz.

Eğer havanın yağmurlu ya da yağmurlu olmaması ile ilgileniyorsak,S = {Yağmurlu,Yağmurlu değil} olur.

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney1 sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

si ∈ S için si nin ortaya çıkma olasılığı P(si ) ile gösterilir ve

Her si ∈ S için P(si ) ≥ 0,

P(s1) + P(s2) + · · ·+ P(sk) = 1

koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir.

Yazı–Tura: P(Y ) = P(T ) = 12

Zar: P(i) = 16

Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgünolasılık uzayı denir. Biz bu derste sadece bu tip uzaylar ile ilgileneceğiz.

Eğer havanın yağmurlu ya da yağmurlu olmaması ile ilgileniyorsak,S = {Yağmurlu,Yağmurlu değil} olur. Elbette bunların olasılıkları aynıolmadığı için bu uzay düzgün olasılık uzayı değildir.

1Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi

sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu

bir rassal deneydir.

4/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun.

5/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A ⊂ S olayının meydana gelmeolasılığı P(A) ile gösterilir

5/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A ⊂ S olayının meydana gelmeolasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında

P(A) =|A|

|S |=

|A|

k

ile tanımlanır.

5/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A ⊂ S olayının meydana gelmeolasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında

P(A) =|A|

|S |=

|A|

k

ile tanımlanır. Yani P(A), A daki her bir öğenin ortaya çıkma olasılıklarınıntoplamı olur.

5/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A ⊂ S olayının meydana gelmeolasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında

P(A) =|A|

|S |=

|A|

k

ile tanımlanır. Yani P(A), A daki her bir öğenin ortaya çıkma olasılıklarınıntoplamı olur. Kolayca gösterilebilir ki,

A ve B ayrık olaylar ise P(A) + P(B) = P(A ∪ B)

5/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar

S = {s1, s2, . . . , sk} kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabileceksonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A ⊂ S olayının meydana gelmeolasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında

P(A) =|A|

|S |=

|A|

k

ile tanımlanır. Yani P(A), A daki her bir öğenin ortaya çıkma olasılıklarınıntoplamı olur. Kolayca gösterilebilir ki,

A ve B ayrık olaylar ise P(A) + P(B) = P(A ∪ B),

Herhangi iki A ve B olayı için

P(A ∩ B) + P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

olur. (Alıştırma 5.1.4 ve 5.1.5)

5/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın.

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek birdeney şeklinde düşünmek de mümkündür.

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek birdeney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnekuzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir.

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek birdeney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnekuzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir.

n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını

S × S × · · · × S = Sn

ile gösterebiliriz.

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek birdeney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnekuzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir.

n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını

S × S × · · · × S = Sn

ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı kn olur.

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek birdeney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnekuzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir.

n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını

S × S × · · · × S = Sn

ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı kn olur. Ohalde (a1, a2, . . . , an) ∈ Sn sonucunun ortaya çıkma olasılığı,

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek birdeney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnekuzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir.

n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını

S × S × · · · × S = Sn

ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı kn olur. Ohalde (a1, a2, . . . , an) ∈ Sn sonucunun ortaya çıkma olasılığı,

P(a1, a2, . . . , an) =1kn

olur.

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek birdeney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnekuzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir.

n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını

S × S × · · · × S = Sn

ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı kn olur. Ohalde (a1, a2, . . . , an) ∈ Sn sonucunun ortaya çıkma olasılığı,

P(a1, a2, . . . , an) =1kn

olur.

Örneğin, iki defa yazı–tura atılsın.

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek birdeney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnekuzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir.

n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını

S × S × · · · × S = Sn

ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı kn olur. Ohalde (a1, a2, . . . , an) ∈ Sn sonucunun ortaya çıkma olasılığı,

P(a1, a2, . . . , an) =1kn

olur.

Örneğin, iki defa yazı–tura atılsın. Bu durumda S = {Y ,T} ikenS2 = S × S = {YY ,YT ,TY ,TT} olur.

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek birdeney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnekuzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir.

n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını

S × S × · · · × S = Sn

ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı kn olur. Ohalde (a1, a2, . . . , an) ∈ Sn sonucunun ortaya çıkma olasılığı,

P(a1, a2, . . . , an) =1kn

olur.

Örneğin, iki defa yazı–tura atılsın. Bu durumda S = {Y ,T} ikenS2 = S × S = {YY ,YT ,TY ,TT} olur. Böylece her bir sonucun ortaya

çıkma olasılığı14

elde edilir.

6/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilsebunlara bağımsız olaylar denir.

7/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilsebunlara bağımsız olaylar denir.

Formal olarak, P(A ∩ B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsızolaylardır.

7/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilsebunlara bağımsız olaylar denir.

Formal olarak, P(A ∩ B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsızolaylardır.

Örneğin, yine iki kez yazı–tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın turagelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun.

7/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilsebunlara bağımsız olaylar denir.

Formal olarak, P(A ∩ B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsızolaylardır.

Örneğin, yine iki kez yazı–tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın turagelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda

P(A) = P(TT ) + P(TY ) =14+

14=

12

7/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilsebunlara bağımsız olaylar denir.

Formal olarak, P(A ∩ B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsızolaylardır.

Örneğin, yine iki kez yazı–tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın turagelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda

P(A) = P(TT ) + P(TY ) =14+

14=

12

P(B) = P(TT ) + P(YT ) =14+

14=

12

7/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilsebunlara bağımsız olaylar denir.

Formal olarak, P(A ∩ B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsızolaylardır.

Örneğin, yine iki kez yazı–tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın turagelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda

P(A) = P(TT ) + P(TY ) =14+

14=

12

P(B) = P(TT ) + P(YT ) =14+

14=

12

P(A ∩ B) = P(TT ) =14

olur.

7/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilsebunlara bağımsız olaylar denir.

Formal olarak, P(A ∩ B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsızolaylardır.

Örneğin, yine iki kez yazı–tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın turagelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda

P(A) = P(TT ) + P(TY ) =14+

14=

12

P(B) = P(TT ) + P(YT ) =14+

14=

12

P(A ∩ B) = P(TT ) =14

olur.14= P(A ∩ B) = P(A)P(B) =

12·12

olduğundan A ve B (beklendiği gibi) bağımsız olaylardır.7/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Aynı anda hem yazı–tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay

S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y 2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6}

olur.

8/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Aynı anda hem yazı–tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay

S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y 2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6}

olur.

Paranın tura gelme olasılığı, P(T ) =12

olur.

8/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Aynı anda hem yazı–tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay

S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y 2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6}

olur.

Paranın tura gelme olasılığı, P(T ) =12

olur. Zarın 5 ya da 6 olma olayı K

ile gösterilirse, P(K ) =13

olur.

8/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Aynı anda hem yazı–tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay

S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y 2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6}

olur.

Paranın tura gelme olasılığı, P(T ) =12

olur. Zarın 5 ya da 6 olma olayı K

ile gösterilirse, P(K ) =13

olur.

Paranın tura ve zarın 5 ya da 6 olma olasılığı ise örnek uzayın eleman sayısı12 olduğundan ve bunlardan sadece ikisinde (T5 ve T6) para tura, zar 5

veya 6 olduğundan P(T ∩ K ) =16

olur.

8/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Bağımsız Olaylar

Aynı anda hem yazı–tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay

S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y 2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6}

olur.

Paranın tura gelme olasılığı, P(T ) =12

olur. Zarın 5 ya da 6 olma olayı K

ile gösterilirse, P(K ) =13

olur.

Paranın tura ve zarın 5 ya da 6 olma olasılığı ise örnek uzayın eleman sayısı12 olduğundan ve bunlardan sadece ikisinde (T5 ve T6) para tura, zar 5

veya 6 olduğundan P(T ∩ K ) =16

olur.

Ayrıca,

P(H ∩ K ) =16=

12·13= P(H)P(K )

olduğundan H ve K olayları bağımsız olaylardır.8/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Büyük Sayılar Kanunu

Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı–tura atıldığını düşünelim.

9/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Büyük Sayılar Kanunu

Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı–tura atıldığını düşünelim.

İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz.

9/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Büyük Sayılar Kanunu

Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı–tura atıldığını düşünelim.

İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz.Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz.

9/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Büyük Sayılar Kanunu

Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı–tura atıldığını düşünelim.

İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz.Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz.

Her bir sonucu

YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30)

şeklinde ‘Y’ ve ‘T’ karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda birkarakter dizisi gibi düşünebiliriz.

9/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Büyük Sayılar Kanunu

Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı–tura atıldığını düşünelim.

İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz.Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz.

Her bir sonucu

YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30)

şeklinde ‘Y’ ve ‘T’ karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda birkarakter dizisi gibi düşünebiliriz.

Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı–tura atıldığında yazılarınsayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder.

9/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Büyük Sayılar Kanunu

Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı–tura atıldığını düşünelim.

İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz.Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz.

Her bir sonucu

YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30)

şeklinde ‘Y’ ve ‘T’ karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda birkarakter dizisi gibi düşünebiliriz.

Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı–tura atıldığında yazılarınsayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu dahakesin olarak nasıl ifade edebiliriz?

9/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Büyük Sayılar Kanunu

Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı–tura atıldığını düşünelim.

İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz.Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz.

Her bir sonucu

YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30)

şeklinde ‘Y’ ve ‘T’ karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda birkarakter dizisi gibi düşünebiliriz.

Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı–tura atıldığında yazılarınsayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu dahakesin olarak nasıl ifade edebiliriz? Elbette bu ifade her zaman doğruolmayabilir; aşırı şanslı (ya da şanssız) bir kişi çok sayıda tura (ya da yazı)atabilir.

9/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Büyük Sayılar Kanunu

Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı–tura atıldığını düşünelim.

İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz.Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz.

Her bir sonucu

YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30)

şeklinde ‘Y’ ve ‘T’ karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda birkarakter dizisi gibi düşünebiliriz.

Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı–tura atıldığında yazılarınsayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu dahakesin olarak nasıl ifade edebiliriz? Elbette bu ifade her zaman doğruolmayabilir; aşırı şanslı (ya da şanssız) bir kişi çok sayıda tura (ya da yazı)atabilir. Ayrıca, turaların sayısının yazıların sayısına eşit olacağını da iddiaedemeyiz.

9/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Büyük Sayılar Kanunu

Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı–tura atıldığını düşünelim.

İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz.Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz.

Her bir sonucu

YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30)

şeklinde ‘Y’ ve ‘T’ karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda birkarakter dizisi gibi düşünebiliriz.

Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı–tura atıldığında yazılarınsayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu dahakesin olarak nasıl ifade edebiliriz? Elbette bu ifade her zaman doğruolmayabilir; aşırı şanslı (ya da şanssız) bir kişi çok sayıda tura (ya da yazı)atabilir. Ayrıca, turaların sayısının yazıların sayısına eşit olacağını da iddiaedemeyiz. Ancak, bunların sayısının birbirine yakın olabileceğinisöyleyebiliriz.9/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

“n defa yazı–tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olmaolasılığı n → ∞ için 1 e yaklaşır.”

10/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

“n defa yazı–tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olmaolasılığı n → ∞ için 1 e yaklaşır.”

Bu ifade %49, %49.9 ile ve %51, %50.1 ile değiştirildiğinde de doğrudur.

10/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

“n defa yazı–tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olmaolasılığı n → ∞ için 1 e yaklaşır.”

Bu ifade %49, %49.9 ile ve %51, %50.1 ile değiştirildiğinde de doğrudur.Bu durumda büyük sayılar kanununun en basit halini aşağıdaki teorem ileverebiliriz.

10/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

“n defa yazı–tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olmaolasılığı n → ∞ için 1 e yaklaşır.”

Bu ifade %49, %49.9 ile ve %51, %50.1 ile değiştirildiğinde de doğrudur.Bu durumda büyük sayılar kanununun en basit halini aşağıdaki teorem ileverebiliriz.

Teorem

ε yeterince küçük bir sayı olmak üzere n defa yazı–tura atıldığında turalarınsayısının 0.5 − ε ile 0.5 + ε arasında olma olasılığı n → ∞ iken 1 e yaklaşır.

10/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Soru

n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51arasında olsun?

11/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Soru

n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51arasında olsun?

Aşağıdaki teorem Pascal üçgeni yardımıyla bu sorunun cevabını vermektedir.

11/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Soru

n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51arasında olsun?

Aşağıdaki teorem Pascal üçgeni yardımıyla bu sorunun cevabını vermektedir.

Teorem

0 ≤ t ≤ m olsun. Bu durumda 2m kez yazı–tura atıldığında turalarınsayısının m − t den az ya da m + t den çok olma ihtimali en fazlae−t2/(m+t) olur.

11/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Soru

n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51arasında olsun?

Aşağıdaki teorem Pascal üçgeni yardımıyla bu sorunun cevabını vermektedir.

Teorem

0 ≤ t ≤ m olsun. Bu durumda 2m kez yazı–tura atıldığında turalarınsayısının m − t den az ya da m + t den çok olma ihtimali en fazlae−t2/(m+t) olur.

Dikkat ederseniz bu teorem turaların sayısının bir aralıkta olmamaihtimalinden bahsetmektedir.

11/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır:

12/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır:

n = 2m atışın %49 unun m − t olmasını istiyoruz.

12/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır:

n = 2m atışın %49 unun m − t olmasını istiyoruz. Buradan,

49100

(2m) = m − t

12/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır:

n = 2m atışın %49 unun m − t olmasını istiyoruz. Buradan,

49100

(2m) = m − t ⇒ 98m = 100m − 100t

12/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır:

n = 2m atışın %49 unun m − t olmasını istiyoruz. Buradan,

49100

(2m) = m − t ⇒ 98m = 100m − 100t ⇒ 100t = 2m

12/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır:

n = 2m atışın %49 unun m − t olmasını istiyoruz. Buradan,

49100

(2m) = m − t ⇒ 98m = 100m − 100t ⇒ 100t = 2m ⇒ t =m

50

elde edilir.

12/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır:

n = 2m atışın %49 unun m − t olmasını istiyoruz. Buradan,

49100

(2m) = m − t ⇒ 98m = 100m − 100t ⇒ 100t = 2m ⇒ t =m

50

elde edilir. O halde

−t2

m + t= −

(m50

)2

m + m50

= −m

2550

olduğundan vee−m/2550 < 0.01

olması istendiğinden m ≥ 11 744 olmalıdır.

12/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır:

n = 2m atışın %49 unun m − t olmasını istiyoruz. Buradan,

49100

(2m) = m − t ⇒ 98m = 100m − 100t ⇒ 100t = 2m ⇒ t =m

50

elde edilir. O halde

−t2

m + t= −

(m50

)2

m + m50

= −m

2550

olduğundan vee−m/2550 < 0.01

olması istendiğinden m ≥ 11 744 olmalıdır.

Yani, 2 × 11744 = 23488 veya daha fazla kez yazı–tura atılırsa, %99ihtimalle turaların sayısı atış sayısının %49 u ile %51 i arasında olur.

12/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Şimdi teoremin kanıtını verelim.

13/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Şimdi teoremin kanıtını verelim.

Kanıt.

n defa yazı–tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını Ak ilegösterelim.

13/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Şimdi teoremin kanıtını verelim.

Kanıt.

n defa yazı–tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını Ak ilegösterelim. Ak nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki stringifadede k karakterin “T”, n − k karakterin ise “Y” olma sayısına eşittir.

13/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Şimdi teoremin kanıtını verelim.

Kanıt.

n defa yazı–tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını Ak ilegösterelim. Ak nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki stringifadede k karakterin “T”, n − k karakterin ise “Y” olma sayısına eşittir.Buradan, Ak kümesinin eleman sayısı

(nk

)olur.

13/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Şimdi teoremin kanıtını verelim.

Kanıt.

n defa yazı–tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını Ak ilegösterelim. Ak nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki stringifadede k karakterin “T”, n − k karakterin ise “Y” olma sayısına eşittir.Buradan, Ak kümesinin eleman sayısı

(nk

)olur. Tüm mümkün sonuçların

sayısı da 2n olduğundan Ak olayının meydana gelme olasılığı

P(Ak) =

(nk

)

2n

olur.

13/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Şimdi teoremin kanıtını verelim.

Kanıt.

n defa yazı–tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını Ak ilegösterelim. Ak nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki stringifadede k karakterin “T”, n − k karakterin ise “Y” olma sayısına eşittir.Buradan, Ak kümesinin eleman sayısı

(nk

)olur. Tüm mümkün sonuçların

sayısı da 2n olduğundan Ak olayının meydana gelme olasılığı

P(Ak) =

(nk

)

2n

olur.k = 1, 2, . . . , n için Ak olayları ayrık olaylar olduğundan n = 2m atıştaturaların sayısının m − t den az ve m + t den çok olma olasılığı

122m

[(2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2m

m − t − 1

)

+

(2m

m + t + 1

)

+ · · ·+

(2m

2m − 1

)

+

(2m2m

)]

olur.13/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

0 ≤ k ≤ m ve c =(2m

k

)/(2mm

)olmak üzere

(2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2mk − 1

)

<c

222m

olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2).

14/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

0 ≤ k ≤ m ve c =(2m

k

)/(2mm

)olmak üzere

(2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2mk − 1

)

<c

222m

olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). k = m − t alırsak,

(2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2m

m − t − 1

)

< 22m−1

( 2mm−t

)

(2mm

)

elde ederiz.

14/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

0 ≤ k ≤ m ve c =(2m

k

)/(2mm

)olmak üzere

(2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2mk − 1

)

<c

222m

olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). k = m − t alırsak,

(2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2m

m − t − 1

)

< 22m−1

( 2mm−t

)

(2mm

)

elde ederiz. 3. Dersimizde Pascal üçgeninin n. satırının ortadaki elemanıylabu elemandan t kadar solda (veya sağda) olan elamanların oranı içinverdiğimiz değerlendirmeyi kullanırsak,

14/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

0 ≤ k ≤ m ve c =(2m

k

)/(2mm

)olmak üzere

(2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2mk − 1

)

<c

222m

olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). k = m − t alırsak,

(2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2m

m − t − 1

)

< 22m−1

( 2mm−t

)

(2mm

)

elde ederiz. 3. Dersimizde Pascal üçgeninin n. satırının ortadaki elemanıylabu elemandan t kadar solda (veya sağda) olan elamanların oranı içinverdiğimiz değerlendirmeyi kullanırsak,

( 2mm−t

)

(2mm

) < e−t2/(m+1)

yazabiliriz.

14/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Buradan,(

2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2m

m − t − 1

)

< 22m−1e−t2/(m+1)

olur.

15/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Buradan,(

2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2m

m − t − 1

)

< 22m−1e−t2/(m+1)

olur. Pascal üçgeni simetrik olduğundan(

2mm + t + 1

)

+ · · ·+

(2m

2m − 1

)

+

(2m2m

)

< 22me−t2/(m+1)

olur.

15/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu

Buradan,(

2m0

)

+

(2m1

)

+ · · ·+

(2m

m − t − 1

)

< 22m−1e−t2/(m+1)

olur. Pascal üçgeni simetrik olduğundan(

2mm + t + 1

)

+ · · ·+

(2m

2m − 1

)

+

(2m2m

)

< 22me−t2/(m+1)

olur.

O halde turaların sayısının m − t den az ve m + t den çok olma olasılığı

e−t2/(m+t)

den küçük olur.

15/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7).

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

1 “Her p > 0 tam sayısı için np nin basamakları toplamı n olacak şekildebir n > 1 tam sayısı vardır.”

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

1 “Her p > 0 tam sayısı için np nin basamakları toplamı n olacak şekildebir n > 1 tam sayısı vardır.”p = 1 için n = 2 alınabilir. 21 = 2

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

1 “Her p > 0 tam sayısı için np nin basamakları toplamı n olacak şekildebir n > 1 tam sayısı vardır.”p = 1 için n = 2 alınabilir. 21 = 2p = 2 için n = 9 alınabilir. 92 = 81 8 + 1 = 9

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

1 “Her p > 0 tam sayısı için np nin basamakları toplamı n olacak şekildebir n > 1 tam sayısı vardır.”p = 1 için n = 2 alınabilir. 21 = 2p = 2 için n = 9 alınabilir. 92 = 81 8 + 1 = 9p = 3 için n = 8 alınabilir. 83 = 512 5 + 1 + 2 = 8

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

1 “Her p > 0 tam sayısı için np nin basamakları toplamı n olacak şekildebir n > 1 tam sayısı vardır.”p = 1 için n = 2 alınabilir. 21 = 2p = 2 için n = 9 alınabilir. 92 = 81 8 + 1 = 9p = 3 için n = 8 alınabilir. 83 = 512 5 + 1 + 2 = 8p = 4 için n = 7 alınabilir. 74 = 2401 2 + 4 + 0 + 1 = 7

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

1 “Her p > 0 tam sayısı için np nin basamakları toplamı n olacak şekildebir n > 1 tam sayısı vardır.”p = 1 için n = 2 alınabilir. 21 = 2p = 2 için n = 9 alınabilir. 92 = 81 8 + 1 = 9p = 3 için n = 8 alınabilir. 83 = 512 5 + 1 + 2 = 8p = 4 için n = 7 alınabilir. 74 = 2401 2 + 4 + 0 + 1 = 7p = 5 için n = 28 alınabilir. 285 = 17210368

1 + 7 + 2 + 1 + 0 + 3 + 6 + 8 = 28

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

1 “Her p > 0 tam sayısı için np nin basamakları toplamı n olacak şekildebir n > 1 tam sayısı vardır.”p = 1 için n = 2 alınabilir. 21 = 2p = 2 için n = 9 alınabilir. 92 = 81 8 + 1 = 9p = 3 için n = 8 alınabilir. 83 = 512 5 + 1 + 2 = 8p = 4 için n = 7 alınabilir. 74 = 2401 2 + 4 + 0 + 1 = 7p = 5 için n = 28 alınabilir. 285 = 17210368

1 + 7 + 2 + 1 + 0 + 3 + 6 + 8 = 28...p = 104 için doğru

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

1 “Her p > 0 tam sayısı için np nin basamakları toplamı n olacak şekildebir n > 1 tam sayısı vardır.”p = 1 için n = 2 alınabilir. 21 = 2p = 2 için n = 9 alınabilir. 92 = 81 8 + 1 = 9p = 3 için n = 8 alınabilir. 83 = 512 5 + 1 + 2 = 8p = 4 için n = 7 alınabilir. 74 = 2401 2 + 4 + 0 + 1 = 7p = 5 için n = 28 alınabilir. 285 = 17210368

1 + 7 + 2 + 1 + 0 + 3 + 6 + 8 = 28...p = 104 için doğrup = 105 için doğru değil!

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılariçin geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder.

Örneğin, “her tek sayı asal sayıdır” ifadesi sadece ilk üç tek sayı içingeçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır:

1 “Her p > 0 tam sayısı için np nin basamakları toplamı n olacak şekildebir n > 1 tam sayısı vardır.”p = 1 için n = 2 alınabilir. 21 = 2p = 2 için n = 9 alınabilir. 92 = 81 8 + 1 = 9p = 3 için n = 8 alınabilir. 83 = 512 5 + 1 + 2 = 8p = 4 için n = 7 alınabilir. 74 = 2401 2 + 4 + 0 + 1 = 7p = 5 için n = 28 alınabilir. 285 = 17210368

1 + 7 + 2 + 1 + 0 + 3 + 6 + 8 = 28...p = 104 için doğrup = 105 için doğru değil!p = 106 için doğru

16/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil!

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!3 “n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n2|

(2n−1n−1

)− 1.”

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!3 “n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n2|

(2n−1n−1

)− 1.”

n = 3 için 9|9

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!3 “n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n2|

(2n−1n−1

)− 1.”

n = 3 için 9|9n = 5 için 25|125

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!3 “n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n2|

(2n−1n−1

)− 1.”

n = 3 için 9|9n = 5 için 25|125n = 7 için 49|1715

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!3 “n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n2|

(2n−1n−1

)− 1.”

n = 3 için 9|9n = 5 için 25|125n = 7 için 49|1715n = 11 için 121|352715

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!3 “n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n2|

(2n−1n−1

)− 1.”

n = 3 için 9|9n = 5 için 25|125n = 7 için 49|1715n = 11 için 121|352715...

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!3 “n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n2|

(2n−1n−1

)− 1.”

n = 3 için 9|9n = 5 için 25|125n = 7 için 49|1715n = 11 için 121|352715...n = 168432 için doğru değil! (bu sayıya kadar doğru)

n = 168432 sayısı asal değildir.

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!3 “n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n2|

(2n−1n−1

)− 1.”

n = 3 için 9|9n = 5 için 25|125n = 7 için 49|1715n = 11 için 121|352715...n = 168432 için doğru değil! (bu sayıya kadar doğru)

n = 168432 sayısı asal değildir. Ancak n2|(2n−1n−1

)− 1.

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

2

41, 41 + 2 · 1︸ ︷︷ ︸

43

, 43 + 2 · 2︸ ︷︷ ︸

47

, 47 + 2 · 3︸ ︷︷ ︸

53

, 53 + 2 · 4︸ ︷︷ ︸

61

, . . . asal sayıdır.

n = 40 için doğru değil! 1601 + 2 · 40 = 1681 asal sayı değil!3 “n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n2|

(2n−1n−1

)− 1.”

n = 3 için 9|9n = 5 için 25|125n = 7 için 49|1715n = 11 için 121|352715...n = 168432 için doğru değil! (bu sayıya kadar doğru)

n = 168432 sayısı asal değildir. Ancak n2|(2n−1n−1

)− 1.

4 Alıştırma: “Bir çemberin üzerinde n + 1 farklı nokta işaretleyip, bunoktaları ikişer ikişer birleştirin, ortaya çıkan şekil çemberi 2n parçayaayırır.” n = 1, 2, 3, 4, 5 için kontrol ediniz.

17/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginçtesadüflerin olabileceğini ifade eder.

18/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginçtesadüflerin olabileceğini ifade eder.

Örneğin bir arkadaşımız

Yıl başında doğmuş iki kişi tanıyorum. İkisi de hem doğum günlerihem de yılbaşı için bir tek hediye almaktan şikayetçiler...

derse, bu gerçekten ilginçtir.

18/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginçtesadüflerin olabileceğini ifade eder.

Örneğin bir arkadaşımız

Yıl başında doğmuş iki kişi tanıyorum. İkisi de hem doğum günlerihem de yılbaşı için bir tek hediye almaktan şikayetçiler...

derse, bu gerçekten ilginçtir. Acaba yıl başında doğanların sayısı diğergünlerde doğanların sayısından daha mı fazladır?

18/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginçtesadüflerin olabileceğini ifade eder.

Örneğin bir arkadaşımız

Yıl başında doğmuş iki kişi tanıyorum. İkisi de hem doğum günlerihem de yılbaşı için bir tek hediye almaktan şikayetçiler...

derse, bu gerçekten ilginçtir. Acaba yıl başında doğanların sayısı diğergünlerde doğanların sayısından daha mı fazladır?

Elbette hayır!

18/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu

Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginçtesadüflerin olabileceğini ifade eder.

Örneğin bir arkadaşımız

Yıl başında doğmuş iki kişi tanıyorum. İkisi de hem doğum günlerihem de yılbaşı için bir tek hediye almaktan şikayetçiler...

derse, bu gerçekten ilginçtir. Acaba yıl başında doğanların sayısı diğergünlerde doğanların sayısından daha mı fazladır?

Elbette hayır! Bu arkadaşımızın tanıdığı kişi sayısı 400 olsun. Kişilerin yılbaşında doğmuş olma olasılığı 1/365 (artık yılları saymıyoruz) olduğunagöre, bir ya da iki kişinin yıl başında doğmuş olması gayet mümkündür.Ancak, durumun ilginç olması ve bu kişilerin sadece bir hediye almaktanşikayetçi olmaları onları hatırlanır kılmaktadır.

18/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Sekreter Problemi

Önce problemin ifadesini verelim:

19/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Sekreter Problemi

Önce problemin ifadesini verelim:Bir şirketin sekreter pozisyonu için aşağıdaki koşullarla bir eleman alınmakisteniyor.

19/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Sekreter Problemi

Önce problemin ifadesini verelim:Bir şirketin sekreter pozisyonu için aşağıdaki koşullarla bir eleman alınmakisteniyor.

100 aday başvurusu var ve bu adaylarla birer görüşme yapılacak.

19/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Sekreter Problemi

Önce problemin ifadesini verelim:Bir şirketin sekreter pozisyonu için aşağıdaki koşullarla bir eleman alınmakisteniyor.

100 aday başvurusu var ve bu adaylarla birer görüşme yapılacak.

Ancak, adaylarla hangi sıra ile görüşüleceği belli değil. Adaylar, rastgelebir sıra ile teker teker çağrılacak ve tüm adaylara eşit davranılacak.

19/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Sekreter Problemi

Önce problemin ifadesini verelim:Bir şirketin sekreter pozisyonu için aşağıdaki koşullarla bir eleman alınmakisteniyor.

100 aday başvurusu var ve bu adaylarla birer görüşme yapılacak.

Ancak, adaylarla hangi sıra ile görüşüleceği belli değil. Adaylar, rastgelebir sıra ile teker teker çağrılacak ve tüm adaylara eşit davranılacak.

Görüşülen her adaya herhangi bir sınır dahilinde olmaksızın bir notverilecek. Adayın kabul edilip edilmediği o ana kadar görüşülenadaylara verilen notlara göre belirlenip adaya hemen söylenecek.

19/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Sekreter Problemi

Önce problemin ifadesini verelim:Bir şirketin sekreter pozisyonu için aşağıdaki koşullarla bir eleman alınmakisteniyor.

100 aday başvurusu var ve bu adaylarla birer görüşme yapılacak.

Ancak, adaylarla hangi sıra ile görüşüleceği belli değil. Adaylar, rastgelebir sıra ile teker teker çağrılacak ve tüm adaylara eşit davranılacak.

Görüşülen her adaya herhangi bir sınır dahilinde olmaksızın bir notverilecek. Adayın kabul edilip edilmediği o ana kadar görüşülenadaylara verilen notlara göre belirlenip adaya hemen söylenecek.

Gönderilen bir adayın tekrar çağrılması mümkün değil.

19/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Sekreter Problemi

Önce problemin ifadesini verelim:Bir şirketin sekreter pozisyonu için aşağıdaki koşullarla bir eleman alınmakisteniyor.

100 aday başvurusu var ve bu adaylarla birer görüşme yapılacak.

Ancak, adaylarla hangi sıra ile görüşüleceği belli değil. Adaylar, rastgelebir sıra ile teker teker çağrılacak ve tüm adaylara eşit davranılacak.

Görüşülen her adaya herhangi bir sınır dahilinde olmaksızın bir notverilecek. Adayın kabul edilip edilmediği o ana kadar görüşülenadaylara verilen notlara göre belirlenip adaya hemen söylenecek.

Gönderilen bir adayın tekrar çağrılması mümkün değil.

Soru

Bu şartlar altında “nasıl bir yöntem izlenmeli ki en yüksek olasılık ile en iyiaday seçilsin?”

19/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

20/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

1. Yöntem Belki de akla gelen ilk yöntem adaylar arasından rastgele birini

seçmektir.

20/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

1. Yöntem Belki de akla gelen ilk yöntem adaylar arasından rastgele birini

seçmektir. Bu durumda en iyi adayı seçme olasılığı1

100olur.

20/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

1. Yöntem Belki de akla gelen ilk yöntem adaylar arasından rastgele birini

seçmektir. Bu durumda en iyi adayı seçme olasılığı1

100olur.

20/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

1. Yöntem Belki de akla gelen ilk yöntem adaylar arasından rastgele birini

seçmektir. Bu durumda en iyi adayı seçme olasılığı1

100olur.

2. Yöntem Doğru bir karar verebilmek için birkaç aday ile görüşme yapıp,daha sonra bu adaylardan daha iyi olan ilk adayı işe almak dabir başka yöntemdir.

20/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

1. Yöntem Belki de akla gelen ilk yöntem adaylar arasından rastgele birini

seçmektir. Bu durumda en iyi adayı seçme olasılığı1

100olur.

2. Yöntem Doğru bir karar verebilmek için birkaç aday ile görüşme yapıp,daha sonra bu adaylardan daha iyi olan ilk adayı işe almak dabir başka yöntemdir. “Peki birkaç aday tam olarak kaçkişidir?”

20/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

1. Yöntem Belki de akla gelen ilk yöntem adaylar arasından rastgele birini

seçmektir. Bu durumda en iyi adayı seçme olasılığı1

100olur.

2. Yöntem Doğru bir karar verebilmek için birkaç aday ile görüşme yapıp,daha sonra bu adaylardan daha iyi olan ilk adayı işe almak dabir başka yöntemdir. “Peki birkaç aday tam olarak kaçkişidir?”

Önce adayların yarısıyla yani 50 tanesi ile görüşülüp, hiçbiriişe alınmayıp her birine birer not verildikten sonra 51. kişidenitibaren ilk 50 kişiden daha iyi not alan birisi olursa o aday işealınsın.

20/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

1. Yöntem Belki de akla gelen ilk yöntem adaylar arasından rastgele birini

seçmektir. Bu durumda en iyi adayı seçme olasılığı1

100olur.

2. Yöntem Doğru bir karar verebilmek için birkaç aday ile görüşme yapıp,daha sonra bu adaylardan daha iyi olan ilk adayı işe almak dabir başka yöntemdir. “Peki birkaç aday tam olarak kaçkişidir?”

Önce adayların yarısıyla yani 50 tanesi ile görüşülüp, hiçbiriişe alınmayıp her birine birer not verildikten sonra 51. kişidenitibaren ilk 50 kişiden daha iyi not alan birisi olursa o aday işealınsın. Bu yöntemle en iyi adayı işe alma olasılığınıhesaplayalım.

20/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yöntem ile en iyi adayı seçme olasılığı P(S) ile gösterilsin.

21/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yöntem ile en iyi adayı seçme olasılığı P(S) ile gösterilsin. P(Si ),(i = 1, 2, . . . , 100) ise i . adayın doğru aday olma ve i . aday doğru aday ikenbu yöntemle i . adayın seçilme olasılığı olsun.

21/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yöntem ile en iyi adayı seçme olasılığı P(S) ile gösterilsin. P(Si ),(i = 1, 2, . . . , 100) ise i . adayın doğru aday olma ve i . aday doğru aday ikenbu yöntemle i . adayın seçilme olasılığı olsun.

Bu durumda

P(S) =100∑

i=1

P(Si )

olur.

21/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yöntem ile en iyi adayı seçme olasılığı P(S) ile gösterilsin. P(Si ),(i = 1, 2, . . . , 100) ise i . adayın doğru aday olma ve i . aday doğru aday ikenbu yöntemle i . adayın seçilme olasılığı olsun.

Bu durumda

P(S) =100∑

i=1

P(Si )

olur.

Önce P(Si ) yani i . adayın doğru aday olma ve i . adayın doğru aday iken buyöntemle onun seçilme olasılığını bulalım.

21/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yöntem ile en iyi adayı seçme olasılığı P(S) ile gösterilsin. P(Si ),(i = 1, 2, . . . , 100) ise i . adayın doğru aday olma ve i . aday doğru aday ikenbu yöntemle i . adayın seçilme olasılığı olsun.

Bu durumda

P(S) =100∑

i=1

P(Si )

olur.

Önce P(Si ) yani i . adayın doğru aday olma ve i . adayın doğru aday iken buyöntemle onun seçilme olasılığını bulalım. Elbette i = 1, 2, . . . , 100 için i .

adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

21/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yöntem ile en iyi adayı seçme olasılığı P(S) ile gösterilsin. P(Si ),(i = 1, 2, . . . , 100) ise i . adayın doğru aday olma ve i . aday doğru aday ikenbu yöntemle i . adayın seçilme olasılığı olsun.

Bu durumda

P(S) =100∑

i=1

P(Si )

olur.

Önce P(Si ) yani i . adayın doğru aday olma ve i . adayın doğru aday iken buyöntemle onun seçilme olasılığını bulalım. Elbette i = 1, 2, . . . , 100 için i .

adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur. Peki bu yöntem ile bu adayın

seçilme olasılığı nedir?

21/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yönteme göre,

i = 1, 2, . . . , 49, 50 için bu olasılık

22/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yönteme göre,

i = 1, 2, . . . , 49, 50 için bu olasılık 0 dır.

22/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yönteme göre,

i = 1, 2, . . . , 49, 50 için bu olasılık 0 dır.51. adayın doğru aday olma ve 51. aday doğru aday iken 51. adayın buyöntemle seçilme olasılığını hesaplayalım.

22/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yönteme göre,

i = 1, 2, . . . , 49, 50 için bu olasılık 0 dır.51. adayın doğru aday olma ve 51. aday doğru aday iken 51. adayın buyöntemle seçilme olasılığını hesaplayalım.

Yine 51. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

22/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yönteme göre,

i = 1, 2, . . . , 49, 50 için bu olasılık 0 dır.51. adayın doğru aday olma ve 51. aday doğru aday iken 51. adayın buyöntemle seçilme olasılığını hesaplayalım.

Yine 51. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

51. aday doğru aday iken 51. adayın seçilme olasılığı ilk 50 adayınseçilmeme olasılığına eşittir.

22/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yönteme göre,

i = 1, 2, . . . , 49, 50 için bu olasılık 0 dır.51. adayın doğru aday olma ve 51. aday doğru aday iken 51. adayın buyöntemle seçilme olasılığını hesaplayalım.

Yine 51. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

51. aday doğru aday iken 51. adayın seçilme olasılığı ilk 50 adayınseçilmeme olasılığına eşittir.Yöntem gereği ilk 50 aday zaten seçilmediğinden 51. aday doğru adayiken 51. adayın seçilme olasılığı 1 olur.

22/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu yönteme göre,

i = 1, 2, . . . , 49, 50 için bu olasılık 0 dır.51. adayın doğru aday olma ve 51. aday doğru aday iken 51. adayın buyöntemle seçilme olasılığını hesaplayalım.

Yine 51. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

51. aday doğru aday iken 51. adayın seçilme olasılığı ilk 50 adayınseçilmeme olasılığına eşittir.Yöntem gereği ilk 50 aday zaten seçilmediğinden 51. aday doğru adayiken 51. adayın seçilme olasılığı 1 olur.

O halde

P(S51) =1

100· 1

bulunur.

22/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

52. adayın doğru aday olma ve 52. aday doğru aday iken bu yöntemle52. adayın seçilme olasılığı hesaplanacak olursa,

23/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

52. adayın doğru aday olma ve 52. aday doğru aday iken bu yöntemle52. adayın seçilme olasılığı hesaplanacak olursa, benzer şekilde

1100

olasılıkla 52. aday doğru aday olabilir.

23/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

52. adayın doğru aday olma ve 52. aday doğru aday iken bu yöntemle52. adayın seçilme olasılığı hesaplanacak olursa, benzer şekilde

1100

olasılıkla 52. aday doğru aday olabilir.

52. aday doğru aday iken 52. adayın seçilmesi için ya ilk 50 (bu zatenmümkün değil) ya da 51. adayın seçilmemesi gerekir.

23/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

52. adayın doğru aday olma ve 52. aday doğru aday iken bu yöntemle52. adayın seçilme olasılığı hesaplanacak olursa, benzer şekilde

1100

olasılıkla 52. aday doğru aday olabilir.

52. aday doğru aday iken 52. adayın seçilmesi için ya ilk 50 (bu zatenmümkün değil) ya da 51. adayın seçilmemesi gerekir.

İlk 51 adayından birinin seçilmesi151

olasılık ile mümkündür.

23/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

52. adayın doğru aday olma ve 52. aday doğru aday iken bu yöntemle52. adayın seçilme olasılığı hesaplanacak olursa, benzer şekilde

1100

olasılıkla 52. aday doğru aday olabilir.

52. aday doğru aday iken 52. adayın seçilmesi için ya ilk 50 (bu zatenmümkün değil) ya da 51. adayın seçilmemesi gerekir.

İlk 51 adayından birinin seçilmesi151

olasılık ile mümkündür. O halde

ilk 51 adayın seçilmeme olasılığı (yani 52. adayın seçilme olasılığı)

1 −151

=5051

olacaktır.

23/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

52. adayın doğru aday olma ve 52. aday doğru aday iken bu yöntemle52. adayın seçilme olasılığı hesaplanacak olursa, benzer şekilde

1100

olasılıkla 52. aday doğru aday olabilir.

52. aday doğru aday iken 52. adayın seçilmesi için ya ilk 50 (bu zatenmümkün değil) ya da 51. adayın seçilmemesi gerekir.

İlk 51 adayından birinin seçilmesi151

olasılık ile mümkündür. O halde

ilk 51 adayın seçilmeme olasılığı (yani 52. adayın seçilme olasılığı)

1 −151

=5051

olacaktır.

Böylece,

P(S52) =1

100·5051

elde edilir.

23/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

53. adayın doğru aday olma ve 53. aday doğru aday iken bu yöntemle53. adayın seçilme olasılığı da benzer şekilde hesaplanabilir.

24/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

53. adayın doğru aday olma ve 53. aday doğru aday iken bu yöntemle53. adayın seçilme olasılığı da benzer şekilde hesaplanabilir.

Yine 53. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

24/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

53. adayın doğru aday olma ve 53. aday doğru aday iken bu yöntemle53. adayın seçilme olasılığı da benzer şekilde hesaplanabilir.

Yine 53. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

53. adayın seçilmesi için 51. ve 52. adayların seçilmemesi gerekir.

24/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

53. adayın doğru aday olma ve 53. aday doğru aday iken bu yöntemle53. adayın seçilme olasılığı da benzer şekilde hesaplanabilir.

Yine 53. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

53. adayın seçilmesi için 51. ve 52. adayların seçilmemesi gerekir.

İlk 52 aday içerisinden 51. veya 52. adayların seçilme olasılığı252

olduğundan

24/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

53. adayın doğru aday olma ve 53. aday doğru aday iken bu yöntemle53. adayın seçilme olasılığı da benzer şekilde hesaplanabilir.

Yine 53. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

53. adayın seçilmesi için 51. ve 52. adayların seçilmemesi gerekir.

İlk 52 aday içerisinden 51. veya 52. adayların seçilme olasılığı252

olduğundan

53. adayı seçme olasılığı 1 −252

=5052

elde edilir.

24/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

53. adayın doğru aday olma ve 53. aday doğru aday iken bu yöntemle53. adayın seçilme olasılığı da benzer şekilde hesaplanabilir.

Yine 53. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

53. adayın seçilmesi için 51. ve 52. adayların seçilmemesi gerekir.

İlk 52 aday içerisinden 51. veya 52. adayların seçilme olasılığı252

olduğundan

53. adayı seçme olasılığı 1 −252

=5052

elde edilir.

Buradan

P(S53) =1

100·5052

bulunur.

24/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

53. adayın doğru aday olma ve 53. aday doğru aday iken bu yöntemle53. adayın seçilme olasılığı da benzer şekilde hesaplanabilir.

Yine 53. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

53. adayın seçilmesi için 51. ve 52. adayların seçilmemesi gerekir.

İlk 52 aday içerisinden 51. veya 52. adayların seçilme olasılığı252

olduğundan

53. adayı seçme olasılığı 1 −252

=5052

elde edilir.

Buradan

P(S53) =1

100·5052

bulunur....

24/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

100. adayın doğru aday olma ve 100. adayın seçilme olasılığını bulalım.

25/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

100. adayın doğru aday olma ve 100. adayın seçilme olasılığını bulalım.

Yine 100. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

25/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

100. adayın doğru aday olma ve 100. adayın seçilme olasılığını bulalım.

Yine 100. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

Şimdi 100. aday doğru aday iken 100. adayı seçme olasılığını bulalım.

25/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

100. adayın doğru aday olma ve 100. adayın seçilme olasılığını bulalım.

Yine 100. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

Şimdi 100. aday doğru aday iken 100. adayı seçme olasılığını bulalım.100. adayın seçilebilmesi için 51., 52., . . . , 99. adayların seçilmemişolması gerekir.

25/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

100. adayın doğru aday olma ve 100. adayın seçilme olasılığını bulalım.

Yine 100. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

Şimdi 100. aday doğru aday iken 100. adayı seçme olasılığını bulalım.100. adayın seçilebilmesi için 51., 52., . . . , 99. adayların seçilmemişolması gerekir.

Bu adaylardan birini seçme olasılığı99 − 51 + 1

99=

4999

olduğuna göre,

100. adayı seçme olasılığı 1 −4999

=5099

elde edilir.

25/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

100. adayın doğru aday olma ve 100. adayın seçilme olasılığını bulalım.

Yine 100. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

Şimdi 100. aday doğru aday iken 100. adayı seçme olasılığını bulalım.100. adayın seçilebilmesi için 51., 52., . . . , 99. adayların seçilmemişolması gerekir.

Bu adaylardan birini seçme olasılığı99 − 51 + 1

99=

4999

olduğuna göre,

100. adayı seçme olasılığı 1 −4999

=5099

elde edilir.

Buradan

P(S100) =1

100·5099

olur.

Böylece,

P(S) =100∑

i=1

P(Si )

25/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

100. adayın doğru aday olma ve 100. adayın seçilme olasılığını bulalım.

Yine 100. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

Şimdi 100. aday doğru aday iken 100. adayı seçme olasılığını bulalım.100. adayın seçilebilmesi için 51., 52., . . . , 99. adayların seçilmemişolması gerekir.

Bu adaylardan birini seçme olasılığı99 − 51 + 1

99=

4999

olduğuna göre,

100. adayı seçme olasılığı 1 −4999

=5099

elde edilir.

Buradan

P(S100) =1

100·5099

olur.

Böylece,

P(S) =100∑

i=1

P(Si ) =1

100

(

1 +5051

+5052

+ · · ·+5099

)

≈ 0.3490860897

olur.

25/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

100. adayın doğru aday olma ve 100. adayın seçilme olasılığını bulalım.

Yine 100. adayın doğru aday olma olasılığı1

100olur.

Şimdi 100. aday doğru aday iken 100. adayı seçme olasılığını bulalım.100. adayın seçilebilmesi için 51., 52., . . . , 99. adayların seçilmemişolması gerekir.

Bu adaylardan birini seçme olasılığı99 − 51 + 1

99=

4999

olduğuna göre,

100. adayı seçme olasılığı 1 −4999

=5099

elde edilir.

Buradan

P(S100) =1

100·5099

olur.

Böylece,

P(S) =100∑

i=1

P(Si ) =1

100

(

1 +5051

+5052

+ · · ·+5099

)

≈ 0.3490860897

olur. O halde bu yöntem kullanılırsa, yaklaşık yüzde 35 olasılıkla en iyi adayseçilebilir.25/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Acaba yukarıdaki yöntem en iyi yöntem midir?

26/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Acaba yukarıdaki yöntem en iyi yöntem midir? Önce adayların yarısıyla değilde, daha fazlasıyla ya da daha azıyla görüşülseydi daha iyi bir sonuç eldeedebilir miydi?

26/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Acaba yukarıdaki yöntem en iyi yöntem midir? Önce adayların yarısıyla değilde, daha fazlasıyla ya da daha azıyla görüşülseydi daha iyi bir sonuç eldeedebilir miydi?

Aşağıdaki yöntem problemi genelleyerek bu soruya cevap vermektedir.

26/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Acaba yukarıdaki yöntem en iyi yöntem midir? Önce adayların yarısıyla değilde, daha fazlasıyla ya da daha azıyla görüşülseydi daha iyi bir sonuç eldeedebilir miydi?

Aşağıdaki yöntem problemi genelleyerek bu soruya cevap vermektedir.

100 aday yerine n tane aday olduğunu kabul edelim ve önce bunların 50tanesi ile değil, m tanesi ile görüşülüp sadece notları kaydedilip hiçbirisiseçilmesin.

26/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Acaba yukarıdaki yöntem en iyi yöntem midir? Önce adayların yarısıyla değilde, daha fazlasıyla ya da daha azıyla görüşülseydi daha iyi bir sonuç eldeedebilir miydi?

Aşağıdaki yöntem problemi genelleyerek bu soruya cevap vermektedir.

100 aday yerine n tane aday olduğunu kabul edelim ve önce bunların 50tanesi ile değil, m tanesi ile görüşülüp sadece notları kaydedilip hiçbirisiseçilmesin. (m + 1). adaydan itibaren ilk m adaydan daha iyi olan ilk adayseçilsin.

26/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Acaba yukarıdaki yöntem en iyi yöntem midir? Önce adayların yarısıyla değilde, daha fazlasıyla ya da daha azıyla görüşülseydi daha iyi bir sonuç eldeedebilir miydi?

Aşağıdaki yöntem problemi genelleyerek bu soruya cevap vermektedir.

100 aday yerine n tane aday olduğunu kabul edelim ve önce bunların 50tanesi ile değil, m tanesi ile görüşülüp sadece notları kaydedilip hiçbirisiseçilmesin. (m + 1). adaydan itibaren ilk m adaydan daha iyi olan ilk adayseçilsin. Bu yönteme göre en iyi sonuç verecek m sayısını belirlemeyeçalışalım.

26/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Acaba yukarıdaki yöntem en iyi yöntem midir? Önce adayların yarısıyla değilde, daha fazlasıyla ya da daha azıyla görüşülseydi daha iyi bir sonuç eldeedebilir miydi?

Aşağıdaki yöntem problemi genelleyerek bu soruya cevap vermektedir.

100 aday yerine n tane aday olduğunu kabul edelim ve önce bunların 50tanesi ile değil, m tanesi ile görüşülüp sadece notları kaydedilip hiçbirisiseçilmesin. (m + 1). adaydan itibaren ilk m adaydan daha iyi olan ilk adayseçilsin. Bu yönteme göre en iyi sonuç verecek m sayısını belirlemeyeçalışalım.

Bu yöntem ile en iyi adayın seçilme olasılığı P(S(n,m)),

26/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Acaba yukarıdaki yöntem en iyi yöntem midir? Önce adayların yarısıyla değilde, daha fazlasıyla ya da daha azıyla görüşülseydi daha iyi bir sonuç eldeedebilir miydi?

Aşağıdaki yöntem problemi genelleyerek bu soruya cevap vermektedir.

100 aday yerine n tane aday olduğunu kabul edelim ve önce bunların 50tanesi ile değil, m tanesi ile görüşülüp sadece notları kaydedilip hiçbirisiseçilmesin. (m + 1). adaydan itibaren ilk m adaydan daha iyi olan ilk adayseçilsin. Bu yönteme göre en iyi sonuç verecek m sayısını belirlemeyeçalışalım.

Bu yöntem ile en iyi adayın seçilme olasılığı P(S(n,m)), i . adayın en iyiaday olma ve i . adayın bu yöntem ile seçilme olasılığı ise P(Si (n,m)) ilegösterilsin.

26/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

O zaman yukarıdaki hesaplamalara benzer şekilde

27/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

O zaman yukarıdaki hesaplamalara benzer şekilde

P(S(n,m)) =n∑

i=1

P(Si (n,m))

27/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

O zaman yukarıdaki hesaplamalara benzer şekilde

P(S(n,m)) =n∑

i=1

P(Si (n,m))

=n∑

i=m+1

P(Si (n,m))

27/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

O zaman yukarıdaki hesaplamalara benzer şekilde

P(S(n,m)) =n∑

i=1

P(Si (n,m))

=n∑

i=m+1

P(Si (n,m))

=1n

(

1 +m

m + 1+

m

m + 2+ · · ·+

m

n − 1

)

27/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

O zaman yukarıdaki hesaplamalara benzer şekilde

P(S(n,m)) =n∑

i=1

P(Si (n,m))

=n∑

i=m+1

P(Si (n,m))

=1n

(

1 +m

m + 1+

m

m + 2+ · · ·+

m

n − 1

)

=m

n

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

bulunur.

27/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

En yüksek olasılığın elde edileceği m sayısı arandığından

P(S(n,m)) > P(S(n,m − 1)) (1)

veP(S(n,m)) > P(S(n,m + 1)) (2)

olmalıdır.

28/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

En yüksek olasılığın elde edileceği m sayısı arandığından

P(S(n,m)) > P(S(n,m − 1)) (1)

veP(S(n,m)) > P(S(n,m + 1)) (2)

olmalıdır. Bu eşitsizlikleri kullanarak m sayısını bulmaya çalışalım.

28/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

En yüksek olasılığın elde edileceği m sayısı arandığından

P(S(n,m)) > P(S(n,m − 1)) (1)

veP(S(n,m)) > P(S(n,m + 1)) (2)

olmalıdır. Bu eşitsizlikleri kullanarak m sayısını bulmaya çalışalım.(1) eşitsizliğinden

m

n

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

>m − 1n

(1

m − 1+

1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

yazılabilir.

28/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

En yüksek olasılığın elde edileceği m sayısı arandığından

P(S(n,m)) > P(S(n,m − 1)) (1)

veP(S(n,m)) > P(S(n,m + 1)) (2)

olmalıdır. Bu eşitsizlikleri kullanarak m sayısını bulmaya çalışalım.(1) eşitsizliğinden

m

n

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

>m − 1n

(1

m − 1+

1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

yazılabilir. Her iki taraftan n sadeleştirilirse,

m

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

> (m − 1)

(1

m − 1+

1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

olur.28/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Eşitsizliğin sağındaki ilk çarpma işlemi yapılırsa,

m

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

>m − 1m − 1

+ (m − 1)

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

= 1 + (m − 1)

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

bulunur.

29/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Eşitsizliğin sağındaki ilk çarpma işlemi yapılırsa,

m

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

>m − 1m − 1

+ (m − 1)

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

= 1 + (m − 1)

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

bulunur. İfadeler eşitsizliğin bir tarafında toplanırsa,

0 > 1 + (m − 1)

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

−m

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

elde edilir.

29/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Eşitsizliğin sağındaki ilk çarpma işlemi yapılırsa,

m

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

>m − 1m − 1

+ (m − 1)

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

= 1 + (m − 1)

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

bulunur. İfadeler eşitsizliğin bir tarafında toplanırsa,

0 > 1 + (m − 1)

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

−m

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

elde edilir. Gerekli sadeleştirilmeler yapılırsa,

1 <

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

(3)

sonucuna ulaşılır.29/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Benzer şekilde (2) eşitsizliği ile başlanarak

1 >

(1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

(4)

sonucu da elde edilebilir.

30/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Benzer şekilde (2) eşitsizliği ile başlanarak

1 >

(1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

(4)

sonucu da elde edilebilir.

(3) ve (4) eşitsizliklerinden(

1m + 1

+1

m + 2+ · · ·+

1n − 1

)

< 1 <

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

(5)

bulunur.

30/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Benzer şekilde (2) eşitsizliği ile başlanarak

1 >

(1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

)

(4)

sonucu da elde edilebilir.

(3) ve (4) eşitsizliklerinden(

1m + 1

+1

m + 2+ · · ·+

1n − 1

)

< 1 <

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

(5)

bulunur.

Bu son eşitsizlik yardımıyla farklı n değerlerine karşılık aranan m sayısıbelirlenebilir mi?

30/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Örneğin, 5 aday varsa yani n = 5 ise

31/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Örneğin, 5 aday varsa yani n = 5 ise

13+

14< 1 <

12+

13+

14

olduğundan m = 2 olur.

31/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Örneğin, 5 aday varsa yani n = 5 ise

13+

14< 1 <

12+

13+

14

olduğundan m = 2 olur. Yani ilk iki aday ile görüşüp bu adaylardan daha iyiolan ilk aday işe alınmalıdır.

31/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Örneğin, 5 aday varsa yani n = 5 ise

13+

14< 1 <

12+

13+

14

olduğundan m = 2 olur. Yani ilk iki aday ile görüşüp bu adaylardan daha iyiolan ilk aday işe alınmalıdır.Eğer n = 8 ise

14+

15+

16+

17< 1 <

13+

14+

15+

16+

17

olduğundan m = 3 olur.

31/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Örneğin, 5 aday varsa yani n = 5 ise

13+

14< 1 <

12+

13+

14

olduğundan m = 2 olur. Yani ilk iki aday ile görüşüp bu adaylardan daha iyiolan ilk aday işe alınmalıdır.Eğer n = 8 ise

14+

15+

16+

17< 1 <

13+

14+

15+

16+

17

olduğundan m = 3 olur.Peki ya 100 aday varsa?

31/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Örneğin, 5 aday varsa yani n = 5 ise

13+

14< 1 <

12+

13+

14

olduğundan m = 2 olur. Yani ilk iki aday ile görüşüp bu adaylardan daha iyiolan ilk aday işe alınmalıdır.Eğer n = 8 ise

14+

15+

16+

17< 1 <

13+

14+

15+

16+

17

olduğundan m = 3 olur.Peki ya 100 aday varsa? Bu durumda elle hesap yapmak neredeyseimkansızdır.

31/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Örneğin, 5 aday varsa yani n = 5 ise

13+

14< 1 <

12+

13+

14

olduğundan m = 2 olur. Yani ilk iki aday ile görüşüp bu adaylardan daha iyiolan ilk aday işe alınmalıdır.Eğer n = 8 ise

14+

15+

16+

17< 1 <

13+

14+

15+

16+

17

olduğundan m = 3 olur.Peki ya 100 aday varsa? Bu durumda elle hesap yapmak neredeyseimkansızdır.

f (n,m) =

(1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

)

fonksiyonunu tanımlayıp m nin bazı değerleri için f (100,m) değerleribilgisayar yardımıyla listeleyelim:

31/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

m f (100,m)...

35 1.05916752736 1.03059609937 1.00281832138 0.975791293839 0.9494755043...

Yukarıdaki tablodan 1 e en yakın değer m = 37 için elde edildiğindenm = 37 alınmalıdır.

32/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

0

1

2

3

4

5

f(100,m)

20 40 60 80

m

Şekil: f (100,m) fonksiyonunun grafiği33/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

n değerleri büyüdükçe aranan m değerinin n nin yüzde 37 sine karşılıkgeldiği gözlemlenebilir.

34/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

n değerleri büyüdükçe aranan m değerinin n nin yüzde 37 sine karşılıkgeldiği gözlemlenebilir. Şimdi bunun nedenini açıklayalım.

34/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

n değerleri büyüdükçe aranan m değerinin n nin yüzde 37 sine karşılıkgeldiği gözlemlenebilir. Şimdi bunun nedenini açıklayalım.

m m + 1 m + 2 n − 2 n − 1 n

Şekil: f (x) =1x

fonksiyonunun P bölüntüsüne göre üst toplamı

34/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

f (x) =1x

fonksiyonunun P = {m,m + 1, . . . , n − 1, n} bölüntüsüne göre

üst toplamı

35/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

f (x) =1x

fonksiyonunun P = {m,m + 1, . . . , n − 1, n} bölüntüsüne göre

üst toplamı

U(f ,P) =1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

olur (bakınız şekil 3).

35/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

f (x) =1x

fonksiyonunun P = {m,m + 1, . . . , n − 1, n} bölüntüsüne göre

üst toplamı

U(f ,P) =1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

olur (bakınız şekil 3).∫ n

m

1xdx ≤ U(f ,P)

olduğundan

35/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

f (x) =1x

fonksiyonunun P = {m,m + 1, . . . , n − 1, n} bölüntüsüne göre

üst toplamı

U(f ,P) =1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

olur (bakınız şekil 3).∫ n

m

1xdx ≤ U(f ,P)

olduğundan integral hesaplanırsa,

lnn

m≤

1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

bulunur.

35/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

m m + 1 m + 2 n − 3 n − 2 n − 1

Şekil: f (x) =1x

fonksiyonunun P ′ bölüntüsüne göre alt toplamı

36/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

f (x) =1x

fonksiyonunun P ′ = {m,m + 1, . . . , n − 1} bölüntüsüne göre alt

toplamı ise

37/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

f (x) =1x

fonksiyonunun P ′ = {m,m + 1, . . . , n − 1} bölüntüsüne göre alt

toplamı ise

L(f ,P ′) =1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

olur (bakınız şekil 4)

37/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

f (x) =1x

fonksiyonunun P ′ = {m,m + 1, . . . , n − 1} bölüntüsüne göre alt

toplamı ise

L(f ,P ′) =1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

olur (bakınız şekil 4) ve

∫ n−1

m

1xdx ≥ L(f ,P)

olduğundan

37/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

f (x) =1x

fonksiyonunun P ′ = {m,m + 1, . . . , n − 1} bölüntüsüne göre alt

toplamı ise

L(f ,P ′) =1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

olur (bakınız şekil 4) ve

∫ n−1

m

1xdx ≥ L(f ,P)

olduğundan integral alınırsa,

lnn − 1m

≥1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·+1

n − 1

elde edilir.

37/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu eşitsizlikler birleştirilirse,

1m + 1

+1

m + 2+ · · ·+

1n − 1

≤ lnn − 1m

< lnn

m

<1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

bulunur.

38/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu eşitsizlikler birleştirilirse,

1m + 1

+1

m + 2+ · · ·+

1n − 1

≤ lnn − 1m

< lnn

m

<1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

bulunur.

n ve m nin yeterince büyük değerleri içinn − 1m

≈n

molduğundan ve (5)

eşitsizliğinden

lnn

m≈ 1

olmalıdır.

38/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu eşitsizlikler birleştirilirse,

1m + 1

+1

m + 2+ · · ·+

1n − 1

≤ lnn − 1m

< lnn

m

<1m

+1

m + 1+ · · ·+

1n − 1

bulunur.

n ve m nin yeterince büyük değerleri içinn − 1m

≈n

molduğundan ve (5)

eşitsizliğinden

lnn

m≈ 1

olmalıdır. Buradann

m≈ e ⇒ m ≈

n

e≈ 0.3679n

sonucuna ulaşılır.

38/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu m değeri P(S(n,m)) ifadesinde yerine yazılır ve (5) eşitsizliğikullanılırsa,

39/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu m değeri P(S(n,m)) ifadesinde yerine yazılır ve (5) eşitsizliğikullanılırsa,

P(S(n,m)) =m

n

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·1

n − 1

)

39/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu m değeri P(S(n,m)) ifadesinde yerine yazılır ve (5) eşitsizliğikullanılırsa,

P(S(n,m)) =m

n

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·1

n − 1

)

≈1n·n

e· 1 =

1e≈ 0.3678794412

elde edilir.

39/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Sekreter Problemi

Bu m değeri P(S(n,m)) ifadesinde yerine yazılır ve (5) eşitsizliğikullanılırsa,

P(S(n,m)) =m

n

(1m

+1

m + 1+

1m + 2

+ · · ·1

n − 1

)

≈1n·n

e· 1 =

1e≈ 0.3678794412

elde edilir.

O halde bu yöntem ile yaklaşık yüzde 37 ihtimalle doğru adayınseçilebileceği sonucu ortaya çıkar.

39/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırmalar

Alıştırma

4 zar aynı anda atıldığında zarlardan en az birisi “6” gelirse oyuncukaybetmektedir. Buna göre oyuncunun kaybetmeme olasılığı nedir?

40/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırmalar

Alıştırma

4 zar aynı anda atıldığında zarlardan en az birisi “6” gelirse oyuncukaybetmektedir. Buna göre oyuncunun kaybetmeme olasılığı nedir?

I. Yol Oyuncunun kaybetmemesi için zarların dördünün de “6” hariçdiğer 5 rakamdan herhangi biri olması gerektiğinden cevap

54

64=

6251296

[= 0.4822530864]

olur.

40/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim.

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim. Bu durumda |S | = 64 olur.

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim. Bu durumda |S | = 64 olur.

ci ile (i = 1, 2, 3, 4) i . zarın “6” olduğu sonuçların kümesinigösterelim.

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim. Bu durumda |S | = 64 olur.

ci ile (i = 1, 2, 3, 4) i . zarın “6” olduğu sonuçların kümesinigösterelim. O zaman |ci | =

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim. Bu durumda |S | = 64 olur.

ci ile (i = 1, 2, 3, 4) i . zarın “6” olduğu sonuçların kümesinigösterelim. O zaman |ci | = 63 olur.

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim. Bu durumda |S | = 64 olur.

ci ile (i = 1, 2, 3, 4) i . zarın “6” olduğu sonuçların kümesinigösterelim. O zaman |ci | = 63 olur.

cij (i , j = 1, 2, 3, 4 i 6= j) ise i . ve j . zarların “6” olduğusonuçların kümesi ise |cij | =

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim. Bu durumda |S | = 64 olur.

ci ile (i = 1, 2, 3, 4) i . zarın “6” olduğu sonuçların kümesinigösterelim. O zaman |ci | = 63 olur.

cij (i , j = 1, 2, 3, 4 i 6= j) ise i . ve j . zarların “6” olduğusonuçların kümesi ise |cij | = 62 olur.

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim. Bu durumda |S | = 64 olur.

ci ile (i = 1, 2, 3, 4) i . zarın “6” olduğu sonuçların kümesinigösterelim. O zaman |ci | = 63 olur.

cij (i , j = 1, 2, 3, 4 i 6= j) ise i . ve j . zarların “6” olduğusonuçların kümesi ise |cij | = 62 olur.

Benzer şekilde cijk aynı anda i ., j . ve k . zarların “6” olduğusonuçların kümesi ise |cijk | = 6 olur.

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim. Bu durumda |S | = 64 olur.

ci ile (i = 1, 2, 3, 4) i . zarın “6” olduğu sonuçların kümesinigösterelim. O zaman |ci | = 63 olur.

cij (i , j = 1, 2, 3, 4 i 6= j) ise i . ve j . zarların “6” olduğusonuçların kümesi ise |cij | = 62 olur.

Benzer şekilde cijk aynı anda i ., j . ve k . zarların “6” olduğusonuçların kümesi ise |cijk | = 6 olur.

Tüm zarların “6” olduğu sonuçların kümesi c1234 ilegösterilirse |c1234| = 1 olur.

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

II. Yol 4 Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçlarınkümesini S ile gösterelim. Bu durumda |S | = 64 olur.

ci ile (i = 1, 2, 3, 4) i . zarın “6” olduğu sonuçların kümesinigösterelim. O zaman |ci | = 63 olur.

cij (i , j = 1, 2, 3, 4 i 6= j) ise i . ve j . zarların “6” olduğusonuçların kümesi ise |cij | = 62 olur.

Benzer şekilde cijk aynı anda i ., j . ve k . zarların “6” olduğusonuçların kümesi ise |cijk | = 6 olur.

Tüm zarların “6” olduğu sonuçların kümesi c1234 ilegösterilirse |c1234| = 1 olur.

Böylece içerme–dışlama prensibinden∣∣C1 C2 C3 C4

∣∣ = 64 − (4 · 63) + (6 · 62)− (4 · 6) + 1 = 625

olduğundan cevap62564

=6251296

bulunur.

41/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

Küpün 8 köşesi olduğuna göre oluşturulabilecek tümüçgenlerin sayısı

(83

)= 56 olur.

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

Küpün 8 köşesi olduğuna göre oluşturulabilecek tümüçgenlerin sayısı

(83

)= 56 olur. Üçgenlerin eşkenar üçgen

olabilmesi için seçilen üçgenin her bir kenarının küpünayrı bir yüzünde ve o yüzün köşegeni olması gerekir.

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

Küpün 8 köşesi olduğuna göre oluşturulabilecek tümüçgenlerin sayısı

(83

)= 56 olur. Üçgenlerin eşkenar üçgen

olabilmesi için seçilen üçgenin her bir kenarının küpünayrı bir yüzünde ve o yüzün köşegeni olması gerekir.Küpün her bir köşesi 3 farklı yüzün köşegenine aittir.

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

Küpün 8 köşesi olduğuna göre oluşturulabilecek tümüçgenlerin sayısı

(83

)= 56 olur. Üçgenlerin eşkenar üçgen

olabilmesi için seçilen üçgenin her bir kenarının küpünayrı bir yüzünde ve o yüzün köşegeni olması gerekir.Küpün her bir köşesi 3 farklı yüzün köşegenine aittir.Eşkenar üçgen oluşturmak için bir köşeden çıkan bu 3köşegenin 2 sinin kullanılması gereklidir.

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

Küpün 8 köşesi olduğuna göre oluşturulabilecek tümüçgenlerin sayısı

(83

)= 56 olur. Üçgenlerin eşkenar üçgen

olabilmesi için seçilen üçgenin her bir kenarının küpünayrı bir yüzünde ve o yüzün köşegeni olması gerekir.Küpün her bir köşesi 3 farklı yüzün köşegenine aittir.Eşkenar üçgen oluşturmak için bir köşeden çıkan bu 3köşegenin 2 sinin kullanılması gereklidir. Bu işlem(32

)= 3 farklı şekilde yapılabilir.

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

Küpün 8 köşesi olduğuna göre oluşturulabilecek tümüçgenlerin sayısı

(83

)= 56 olur. Üçgenlerin eşkenar üçgen

olabilmesi için seçilen üçgenin her bir kenarının küpünayrı bir yüzünde ve o yüzün köşegeni olması gerekir.Küpün her bir köşesi 3 farklı yüzün köşegenine aittir.Eşkenar üçgen oluşturmak için bir köşeden çıkan bu 3köşegenin 2 sinin kullanılması gereklidir. Bu işlem(32

)= 3 farklı şekilde yapılabilir. 8 tane köşemiz

olduğundan 3 × 8 eşkenar üçgen seçebiliriz.

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

Küpün 8 köşesi olduğuna göre oluşturulabilecek tümüçgenlerin sayısı

(83

)= 56 olur. Üçgenlerin eşkenar üçgen

olabilmesi için seçilen üçgenin her bir kenarının küpünayrı bir yüzünde ve o yüzün köşegeni olması gerekir.Küpün her bir köşesi 3 farklı yüzün köşegenine aittir.Eşkenar üçgen oluşturmak için bir köşeden çıkan bu 3köşegenin 2 sinin kullanılması gereklidir. Bu işlem(32

)= 3 farklı şekilde yapılabilir. 8 tane köşemiz

olduğundan 3 × 8 eşkenar üçgen seçebiliriz. Ancak, budurumda her bir üçgeni 3 kez saymış oluruz. O halde

eşkenar üçgenlerin sayısı3 × 8

3= 8 olmalıdır.

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Bir küpün rastgele seçilen 3 farklı köşesinin ikişer ikişer birleştirilmesiyleoluşturulan üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir?

Küpün 8 köşesi olduğuna göre oluşturulabilecek tümüçgenlerin sayısı

(83

)= 56 olur. Üçgenlerin eşkenar üçgen

olabilmesi için seçilen üçgenin her bir kenarının küpünayrı bir yüzünde ve o yüzün köşegeni olması gerekir.Küpün her bir köşesi 3 farklı yüzün köşegenine aittir.Eşkenar üçgen oluşturmak için bir köşeden çıkan bu 3köşegenin 2 sinin kullanılması gereklidir. Bu işlem(32

)= 3 farklı şekilde yapılabilir. 8 tane köşemiz

olduğundan 3 × 8 eşkenar üçgen seçebiliriz. Ancak, budurumda her bir üçgeni 3 kez saymış oluruz. O halde

eşkenar üçgenlerin sayısı3 × 8

3= 8 olmalıdır. Böylece

istenen cevap856

elde edilir.

42/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Özdeş olmayan n top rastgele olarak k kutuya (n ≤ k) dağıtılırsa, herkutuda en fazla 1 top bulunma olasılığı nedir?

43/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Özdeş olmayan n top rastgele olarak k kutuya (n ≤ k) dağıtılırsa, herkutuda en fazla 1 top bulunma olasılığı nedir?

Bu soruyu doğum günü problemi gibi düşünebiliriz (k tane gün n taneöğrenci).

43/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Özdeş olmayan n top rastgele olarak k kutuya (n ≤ k) dağıtılırsa, herkutuda en fazla 1 top bulunma olasılığı nedir?

Bu soruyu doğum günü problemi gibi düşünebiliriz (k tane gün n taneöğrenci). Hiç bir koşul olmaksızın n tane farklı top k tane kutuyak · k · · · k︸ ︷︷ ︸

n tane

= kn farklı biçimde dağıtılabilir.

43/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Özdeş olmayan n top rastgele olarak k kutuya (n ≤ k) dağıtılırsa, herkutuda en fazla 1 top bulunma olasılığı nedir?

Bu soruyu doğum günü problemi gibi düşünebiliriz (k tane gün n taneöğrenci). Hiç bir koşul olmaksızın n tane farklı top k tane kutuyak · k · · · k︸ ︷︷ ︸

n tane

= kn farklı biçimde dağıtılabilir. Şimdi n tane topu bir kutuda iki

tane olmayacak şekilde dağıtalım:

43/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Özdeş olmayan n top rastgele olarak k kutuya (n ≤ k) dağıtılırsa, herkutuda en fazla 1 top bulunma olasılığı nedir?

Bu soruyu doğum günü problemi gibi düşünebiliriz (k tane gün n taneöğrenci). Hiç bir koşul olmaksızın n tane farklı top k tane kutuyak · k · · · k︸ ︷︷ ︸

n tane

= kn farklı biçimde dağıtılabilir. Şimdi n tane topu bir kutuda iki

tane olmayacak şekilde dağıtalım: İlk topu k kutudan herhangi birine, ikincitopu kalan k − 1 kutudan herhangi birine,

43/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Özdeş olmayan n top rastgele olarak k kutuya (n ≤ k) dağıtılırsa, herkutuda en fazla 1 top bulunma olasılığı nedir?

Bu soruyu doğum günü problemi gibi düşünebiliriz (k tane gün n taneöğrenci). Hiç bir koşul olmaksızın n tane farklı top k tane kutuyak · k · · · k︸ ︷︷ ︸

n tane

= kn farklı biçimde dağıtılabilir. Şimdi n tane topu bir kutuda iki

tane olmayacak şekilde dağıtalım: İlk topu k kutudan herhangi birine, ikincitopu kalan k − 1 kutudan herhangi birine, ve böyle devam edecek olursak,n. topu kalan k − n + 1 kutudan herhangi birine koyarsak hiç bir kutuda ikitop olmaz.

43/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

Kombinatoryal Olasılık Alıştırmalar

Alıştırma

Özdeş olmayan n top rastgele olarak k kutuya (n ≤ k) dağıtılırsa, herkutuda en fazla 1 top bulunma olasılığı nedir?

Bu soruyu doğum günü problemi gibi düşünebiliriz (k tane gün n taneöğrenci). Hiç bir koşul olmaksızın n tane farklı top k tane kutuyak · k · · · k︸ ︷︷ ︸

n tane

= kn farklı biçimde dağıtılabilir. Şimdi n tane topu bir kutuda iki

tane olmayacak şekilde dağıtalım: İlk topu k kutudan herhangi birine, ikincitopu kalan k − 1 kutudan herhangi birine, ve böyle devam edecek olursak,n. topu kalan k − n + 1 kutudan herhangi birine koyarsak hiç bir kutuda ikitop olmaz. Böylece cevap

k · (k − 1) · · · (k − n + 1)kn

olur.

43/43 AYRIK MATEMATİK (2018–2019) ESKİŞEHİR TEKNİK ÜNİVERSİTESİ