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Ttulo de la obraMatemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.Ejercicios Resueltos de Pruebas de Acceso a Estudios de Grado.Castilla La Mancha 2000-2010
Esta obra es propiedad deJos Manuel Snchez MuozIngeniero de Caminos, Canales y PuertosProfesor de Matemticas
Todos los derechos reservados
E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
I.S.B.N: 978 84 7493 453 3
1 Edicin, Octubre 2011.
Matemticas Aplicadas a las CC.SS
Ejercicios Resueltos
Pruebas de Acceso a Estudios de Grado
Castilla La Mancha
2000-2010
Jos Manuel Snchez Muoz
Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
Octubre - 2011
Prlogo
Este libro se ha hecho especialmente por y para los alumnos de Segundo de Bachillerato de
la especialidad de Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, aunque por supuesto tambin
puede hacer uso de l cualquier estudioso de la materia que as lo desee. Se ha elaborado con mucho
esfuerzo y con todo el cario y mimo con el que este humilde autor ha podido.
Las matemticas son una ciencia eminentemente prctica, de ah la importancia que tiene entre-
narse con ella y crear nuevas estrategias de aprendizaje cognitivo que permitan al alumno abordar
con garantas de xito la resolucin de nuevos problemas. Por eso, y por que considero que es una
necesidad imperiosa que nuestros alumnos cuenten con suficiente material pedaggico para abordar
con xito, tanto la superacin del correspondiente curso lectivo, como la realizacin con xito de
su Prueba de Acceso a Estudios de Grado, decid poner esta coleccin de problemas a disposicin
de aquel que lo deseara. Todos los problemas resueltos que aqu aparecen son ejercicios propuestos
en la que algunos seguimos denominando Selectividad de Castilla La Mancha. Por supuesto que
pudiera ser que encontrarais errores, por lo que os agradecera que me los hicierais saber con el
fin de corregirlos para prximas actualizaciones. Si quieres realizar algn comentario, comunicar
algn error o decir algo que se te ocurra, puedes ponerte en contacto conmigo a travs de mi correo
jmanuel.sanchez@gmx.es.
Mi intencin es que este libro se actualice con los exmenes que cada ao vaya proponiendo
la Universidad de Castilla la Mancha, adems de ir engrosando poco a poco la publicacin con
material didctico terico de apoyo y problemas propuestos en sta u otras comunidades.
Este trabajo se ha llevado a cabo utilizando LATEXy su frontend Kile (versin 2.1) para la distri-
bucin de Ubuntu Linux. Para los grficos he usado Geogebra, que es un software dinmico orientado
a las matemticas, en particular a la geometra analtica (http://www.geogebra.org), haciendo uso
de la exportacin de cdigo PSTricks (http://www.tug.org/PSTricks/main.cgi?file=index) que ste
proporciona, e Inkscape para algn grfico vectorial de apoyo (http://www.inkscape.org/?lang=es),
todos ellos software Open Source. Gracias a todos los que han hecho posible estos programas y los
han compartido gratuitamente con los dems.
He hecho una clasificacin de los ejercicios por temtica, esperando que sea del agrado de todos,
dividiendo el documento en tres grandes bloques. En el primero he tratado la parte correspondiente
al lgebra, subdividida a su vez en Matrices y Determinantes, Programacin Lineal y Sistemas de
Ecuaciones. La segunda parte corresponde al Anlisis Matemtico, subdividido a su vez en Funciones
y Continuidad, Derivadas y sus aplicaciones, y por ltimo las Integrales y sus aplicaciones, aunque
esta ltima tambin es tratada en la primera seccin de esta parte. Por ltimo, la tercera parte est
dedicada a la Probabilidad y Estadstica.
As mismo, se ha procurado en la medida de lo posible resolver gran cantidad de ejercicios de
varias maneras posibles, con la finalidad de ofrecer al alumno diferentes herramientas a la hora de
atacar los problemas, y de este modo que ste elija la va con la que se sienta ms cmodo y seguro.
Espero y deseo que este libro os sirva de ayuda no slo a la hora de preparar la asignatura sino
tambin a la hora de preparar vuestra temida Prueba de Acceso a Estudios de Grado de un modo
ms ptimo y eficiente.
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En ocasiones el lector encontrar que dentro de un mismo problema intervienen varias temti-
cas. En ese caso, para clasificarlo he atendido (bajo un criterio subjetivo propio) a que temticas
tienen ms peso dentro del ejercicio en su totalidad, no slo en peso de correccin, sino tambin en
importancia para su resolucin y as posibilitar poder continuar el ejercicio adelante.
Quiero agradecer la colaboracin prestada por mi compaeros y compaeras del Grupo de Inno-
vacin Educativa Pensamiento Matemtico de la Universidad Politcnica de Madrid, del que tengo
el honor y orgullo de formar parte, en especial a Maril Lpez mi editora personal. Todos ellos
me ayudan cada da a perseguir un sueo, proponerme nuevos objetivos personales, y a comprender
que esto de la docencia es una profesin tan vocacional que, a pesar de todos los sinsabores, merece
la pena dedicarse.
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
vA mi mujer Esther,
y a mi hijo Nam.
Sois la razn de toda mi vida y mi trabajo.
A mis padres.
Por haber hecho de m, el hombre que hoy soy.
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
ndice general
1. lgebra 1
1.1. Matrices y Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Junio 2000 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Septiembre 2000 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Junio 2001 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4. Septiembre 2001 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5. Junio 2002 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.6. Septiembre 2002 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.7. Junio 2003 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.8. Septiembre 2003 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.9. Junio 2004 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.10. Septiembre 2004 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.11. Junio 2005 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.12. Septiembre 2005 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.13. Junio 2006 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.14. Septiembre 2006 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.15. Junio 2007 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.16. Septiembre 2007 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.17. Junio 2008 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.18. Septiembre 2008 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.19. Junio 2009 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.20. Septiembre 2009 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.21. Junio 2010 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.22. Septiembre 2010 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Programacin Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Junio 2000 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2. Septiembre 2000 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3. Junio 2001 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4. Septiembre 2001 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.5. Junio 2002 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.6. Septiembre 2002 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.7. Junio 2003 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.8. Septiembre 2003 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.9. Junio 2004 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.10. Septiembre 2004 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.11. Junio 2005 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.12. Septiembre 2005 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.13. Junio 2006 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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viii NDICE GENERAL
1.2.14. Septiembre 2006 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.15. Junio 2007 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.16. Septiembre 2007 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.17. Junio 2008 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.18. Septiembre 2008 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.19. Junio 2009 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.20. Septiembre 2009 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.21. Junio 2010 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.22. Septiembre 2010 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.1. Junio 2000 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.2. Septiembre 2000 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.3. Junio 2001 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.4. Septiembre 2001 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.5. Junio 2002 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.3.6. Septiembre 2002 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.7. Junio 2003 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3.8. Septiembre 2003 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.9. Junio 2004 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.10. Septiembre 2004 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.11. Junio 2005 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.12. Septiembre 2005 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3.13. Junio 2006 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.3.14. Septiembre 2006 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.3.15. Junio 2007 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.3.16. Septiembre 2007 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.3.17. Junio 2008 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.3.18. Septiembre 2008 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.3.19. Junio 2009 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.3.20. Septiembre 2009 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.3.21. Junio 2010 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.3.22. Septiembre 2010 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2. Anlisis 65
2.1. Funciones, Continuidad y Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.1. Junio 2000 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.2. Septiembre 2000 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1.3. Junio 2001 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1.4. Septiembre 2001 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.5. Junio 2002 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.6. Septiembre 2002 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.7. Junio 2003 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.8. Septiembre 2003 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.9. Septiembre 2003 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.10. Septiembre 2004 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.11. Junio 2005 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.1.12. Septiembre 2005 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.13. Junio 2006- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.14. Septiembre 2006- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
NDICE GENERAL ix
2.1.15. Junio 2007- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1.16. Septiembre 2007- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1.17. Junio 2008- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.18. Septiembre 2008- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.1.19. Junio 2009- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1.20. Septiembre 2009- Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.21. Junio 2010- Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.1.22. Septiembre 2010- Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2. Derivadas y sus Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.1. Junio 2000 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.2. Septiembre 2000 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.2.3. Junio 2001 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.4. Septiembre 2001 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.5. Septiembre 2002 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.6. Junio 2003 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.2.7. Septiembre 2003 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.2.8. Junio 2004 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2.9. Septiembre 2004 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2.10. Junio 2005 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2.11. Septiembre 2005 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2.12. Junio 2006 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.2.13. Septiembre 2006 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.2.14. Junio 2007 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.2.15. Septiembre 2007 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2.16. Junio 2008 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2.17. Septiembre 2008 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2.18. Junio 2009 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2.19. Septiembre 2009 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2.20. Junio 2010 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2.21. Septiembre 2010 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.3. Integrales y sus Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.3.1. Junio 2002 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3. Estadstica y Probabilidad 103
3.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1.1. Junio 2000 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1.2. Junio 2000 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1.3. Septiembre 2000 - Bloque 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1.4. Septiembre 2000 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1.5. Junio 2001 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1.6. Junio 2001 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.7. Septiembre 2001 - Bloque 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1.8. Septiembre 2001 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1.9. Junio 2002 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1.10. Junio 2002 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.1.11. Septiembre 2002 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.1.12. Septiembre 2002 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1.13. Junio 2003 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1.14. Junio 2003 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
x NDICE GENERAL
3.1.15. Septiembre 2003 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.16. Septiembre 2003 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.17. Junio 2004 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.18. Junio 2004 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.19. Septiembre 2004 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.1.20. Septiembre 2004 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.1.21. Junio 2005 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.22. Junio 2005 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.23. Septiembre 2005 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.24. Septiembre 2005 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.25. Junio 2006 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.26. Junio 2006 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.1.27. Septiembre 2006 - Bloque 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.1.28. Septiembre 2006 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.1.29. Junio 2007 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.1.30. Junio 2007 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.1.31. Septiembre 2007 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.1.32. Septiembre 2007 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.1.33. Junio 2008 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.1.34. Junio 2008 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.1.35. Septiembre 2008 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.1.36. Septiembre 2008 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.1.37. Junio 2009 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.1.38. Junio 2009 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.1.39. Septiembre 2009 - Bloque 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.1.40. Septiembre 2009 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1.41. Junio 2010 - Bloque 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1.42. Septiembre 2010 - Bloque 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.2. Estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2.1. Junio 2000 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2.2. Septiembre 2000 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2.3. Junio 2001 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.2.4. Septiembre 2001 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.2.5. Junio 2002 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.2.6. Septiembre 2002 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.2.7. Junio 2003 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.2.8. Septiembre 2003 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.2.9. Junio 2004 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.2.10. Septiembre 2004 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.2.11. Junio 2005 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2.12. Septiembre 2005 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2.13. Junio 2006 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2.14. Septiembre 2006 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2.15. Junio 2007 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2.16. Septiembre 2007 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.2.17. Junio 2008 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.18. Septiembre 2008 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.19. Junio 2009 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
NDICE GENERAL xi
3.2.20. Septiembre 2009 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.2.21. Junio 2010 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.2.22. Junio 2010 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2.23. Septiembre 2010 - Bloque 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2.24. Septiembre 2010 - Bloque 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A. Tablas de Integracin 143
B. Tabla de Distribucin Normal (0,1) 151
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
Captulo 1
lgebra
1.1. Matrices y Determinantes
1.1.1. Dadas las matrices A =
1 2 11 0 1
2 1 0
, B =
(2 11 2
)y C =
5 2
3 0
7 2
.
Se pide:
1o) Calcular la matriz inversa de A y la matriz inversa de B.
2o) Hallar una matriz X tal que A X B = C.
(Junio 2000 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
1o) Veamos la matriz inversa de A:
|A| =
1 2 11 0 1
2 1 0
= 4 1 1 = 2; AT =
1 1 2
2 0 1
1 1 0
; Adj AT =
1 1 22 2 21 3 2
A1 = Adj AT
|A| =1
2
1 1 22 2 21 3 2
Veamos ahora la matriz inversa de B:
|B| = 2 11 2
= 4 1 = 3; BT =(
2 11 2
); Adj BT =
(2 1
1 2
)
B1 = Adj BT
|B| =1
3
(2 1
1 2
)
Otra manera de hallar la matriz inversa es mediante la aplicacin del Mtodo de Gauss, que
consiste en llevar a cabo cambios en las filas de la matriz original y de la matriz identidad, hasta
obtener de forma correspondiente la matriz identidad y la matriz inversa, es decir:
(A|I) (...) (I|A1)
1
2 1. lgebra
De este modo veamos como obtenemos A1:
(A|I) =
1 2 1 1 0 01 0 1 0 1 0
2 1 0 0 0 1
F2 F1
F3 F2
1 0 1 0 1 0
2 1 0 0 0 1
1 2 1 1 0 0
F3 2F2
1 0 1 0 1 0
2 1 0 0 0 1
3 0 1 1 0 2
F1 + F3
2 0 0 1 1 22 1 0 0 0 1
3 0 1 1 0 2
F2 + F1
2 0 0 1 1 20 1 0 1 1 13 0 1 1 0 2
F3 3
2F1
2 0 0 1 1 20 1 0 1 1 10 0 1 1
2 3
21
F1 (2)F3 (1)
1 0 0 12
12
1
0 1 0 1 1 10 0 1 1
2
3
21
= (I|A1)
Igualmente para B1:
(B|I) =(
2 1 1 01 2 0 1
) F2 + 1
2F1
(2 1 1 00 3
2
1
21
) F1 + 2
3F2
(
2 0 43
2
3
0 32
1
21
){
F1 2F2 3
2
}(
1 0 23
1
3
0 1 13
2
3
)= (I|B1)
2o) Si resolvemos la ecuacin matricial resulta X = A1 C B1.
X =1
2
1 1 22 2 21 3 2
5 2
3 0
7 2
1
3
(2 1
1 2
)=
1 12 3
1 2
1.1.2. Dadas las matricesA =
1 1 11 2 1
0 1 2
,B =
1 2 2
1 1 1
2 0 2
y C =
0 0 4
2 8 64 2 0
.
Calcular una matriz X tal que X A = 2B + C.
(Septiembre 2000 - Bloque 3 - Repertorio A)
- Solucin:
Si resolvemos la ecuacin matricial resulta X = (2B + C) A1.
A1 =Adj AT
|A| =1
6
3 3 32 2 01 1 3
X =
2
1 2 2
1 1 1
2 0 2
+
0 0 4
2 8 64 2 0
1
6
3 3 32 2 01 1 3
=
1 1 3
2 2 00 0 2
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.1. Matrices y Determinantes 3
1.1.3. Determina una matriz X tal que A+ 2 X B = C, siendo
A =
(1 2 10 3 1
); B =
1 1 12 0 1
1 1 1
; C =
(1 2 3
8 1 1
)
(Junio 2001 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
Si resolvemos la ecuacin matricial, resulta X = 12(C A) B1.
B1 =Adj BT
|B| =1
4
1 2 13 2 12 0 2
X =1
2
((1 2 3
8 1 1
)(1 2 10 3 1
)) 14
1 2 13 2 12 0 2
=
(1 1 10 1 2
)
1.1.4. Los precios, en euros, de las entradas a un parque temtico para Adultos
(AD) y Nios y Jubilados (NJ) en Temporada Alta (TA), Temporada Media
(TM) y Temporada Baja (TB) vienen dados por la matriz P . El nmero de
asistentes, en miles, a dicho parque a lo largo de un ao viene dado por la
matriz N .
P =
(AD TA AD TM AD TBNJ TA NJ TM NJ TB
)=
(25 20 14
20 15 7
);
N =
TA AD TANJTM AD TM NJTB AD TB NJ
=
500 600
350 300
125 100
;
Se pide:
a) Obtener, si es posible, las matrices R1 = P N y R2 = N P .b) A cuntos euros asciende la recaudacin total correspondiente a los nios
y jubilados? Y la correspondiente a la Temporada Baja?.
c) Qu elemento de R1 o de R2 nos proporciona informacin sobre la recau-
dacin total correspondiente a los adultos?.
d) A cuntos euros asciende la recaudacin total?
(Septiembre 2001 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
a)
R1 =
(25 20 14
20 15 7
)
500 600
350 300
125 100
=
(21250 22400
16125 17200
)
R2 =
500 600
350 300
125 100
(25 20 14
20 15 7
)=
24500 19000 11200
14750 11500 700
5125 4000 2450
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
4 1. lgebra
b) La recaudacin total de nios y jubilados corresponde al elemento r22 de la matriz R1, es
decir 20 600 + 15 300 + 7 100 = 17200 euros.La recaudacin correspondiente a Nios y Jubilados en Temporada Baja es 7 100 = 700 euros.La recaudacin correspondiente a la Temporada Baja, en total, es el elemento r33 de la matriz
R2. Asciende a 125 14 + 100 7 = 2450 euros.c) El elemento r11 de la matriz R1 nos proporciona informacin sobre la recaudacin total
correspondiente a los adultos que asciende por lo tanto a 21250 euros.
d) La recaudacin total es 21250+17200=38450 euros (que resulta de la suma total de la de
Adultos y la de Nios y Jubilados).
Tambin se podra haber obtenido sumando la recaudacin por temporadas: TA+TM +TB =
24500 + 11500 + 2450 = 38450.
En ambos casos es la suma de los elementos de la diagonal principal de las matrices R1 o R2,
respectivamente.
1.1.5. En una clnica dental colocan tres tipos de prtesis, P1, P2 y P3, en dos modelos
diferentes, M1 y M2. El nmero de prtesis que tienen ya construidas viene
dado en la matriz A. El precio, en euros, de cada prtesis viene dado en la
matriz B.
P =
P1 M1 P1 M2P2 M1 P2 M2P3 M1 P3 M2
=
11 21
16 12
9 14
;
N =
(M1 P1 M1 P2 M1 P3M2 P1 M2 P2 M2 P3
)=
(150 160 240
210 190 220
);
a) Obtener, si es posible, las matrices C = A B y D = B A.b) Qu informacin proporcionan los elementos c12 de la matriz C y el
elemento d22 de D?.
c) Qu elemento de C o de D proporciona el valor total de todas las prtesis
del tipo P2?.
(Junio 2002 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
a) Veamos las matrices C y D.
C = A B =
11 21
16 12
9 14
(150 160 240
210 190 220
)=
6060 5750 7260
4920 4840 6480
4290 4100 5240
D = B A =(150 160 240
210 190 220
)
11 21
16 12
9 14
=
(6370 8430
7330 9770
)
b)El elemento c12 = 11 160+ 21 190 = 5750 no proporciona ninguna informacin vlida, puesmultiplica el nmero de prtesis P1 con los precios de las prtesis P2.
Sin embargo el elemento d22 = 210 21+190 12+220 14 = 9770 nos da el precio de las prtesisP1, P2 y P3 del modelo M2.
c) El elemento c22 = 16 160+ 14 190 = 4840 nos da el precio de todas las prtesis del tipo P2.
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.1. Matrices y Determinantes 5
1.1.6. Dadas las matrices:
A =
(1 4
2 3
); B =
(1 0
1 1
); C =
(2 0
4 1
)
Calcular una matriz X que verifique AX = BX + C.
(Septiembre 2002 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
Lo primero que hacemos es resolver la ecuacin matricial dada.
BX AX = C X(B A) = C X = C(B A)1
X = (2 0
4 1
)(
0 41 2
)1=
(2 04 1
)(
1
21
14
0
)=
(1 2 7
44
)
1.1.7. Dadas las matrices:
A =
2 0 10 2 1
1 1 1
; B =
2 1
0 1
0 2
; C =
0 0
1 0
0 0
1) Hallar la matriz inversa de A.
2) Resuelve la ecuacin matricial A X B = C.3) Calcular la matriz X.
(Junio 2003 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) Veamos la inversa de A.
|A| =
2 0 10 2 1
1 1 1
= 4 + 2 2 = 4 AT =
2 0 1
0 2 1
1 1 1
Adj AT =
1 1 21 3 22 2 4
A1 =Adj AT
|A| =1
4
1 1 21 3 22 2 4
Otro mtodo para hallar la matriz inversa es aplicando el Mtodo de Gauss, que consiste en
realizar cambios por filas en la matriz y en la identidad hasta obtener de forma correspondiente la
matriz identidad y la matriz inversa a la dada, es decir:
(A|I) (...) (I|A1)
De este modo veamos como obtenemos A1:
(A|I) =
2 0 1 1 0 00 2 1 0 1 0
1 1 1 0 0 1
F3 F1
2 F2
2
2 0 1 1 0 00 2 1 0 1 0
0 0 1 12
12
1
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
6 1. lgebra
F2 F3F1 + F3
2 0 0 12
12
1
0 2 0 12
3
21
0 0 1 12
12
1
F1 2
F2 2
1 0 0 14
14
1
2
0 1 0 14
3
4 1
2
0 0 1 12
12
1
= (I|A1)
2) Despejamos X de la ecuacin matricial, teniendo siempre la precaucin de ver que el producto
de matrices no es conmutativo, resultando X = A1 (C +B).
X =1
4
1 1 21 3 22 2 4
2 1
1 1
0 2
= 1
4
1 4
5 0
6 4
3) Como podemos observar la matriz X no es una matriz cuadrada, luego no tiene determinante
y por lo tanto es imposible que tenga inversa.
1.1.8. Dadas las matrices:
A =
1 0 1
0 1 0
1 2 2
; B =
1 1 23 3 34 5 5
1) Hallar la matriz inversa de A.
2) Resuelve la ecuacin matricial X A = A+B.3) Calcular la matriz X.
(Septiembre 2003 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) Veamos la inversa de A.
|A| =
1 0 1
0 1 0
1 2 2
= 3 AT =
1 0 10 1 11 0 2
Adj AT =
2 2 10 3 0
1 2 1
A1 =Adj AT
|A| =1
3
2 2 10 3 0
1 2 1
2) Despejamos X de la ecuacin matricial, teniendo siempre la precaucin de ver que el producto
de matrices no es conmutativo, resultando X = (A+B) A1.3)
X =
0 1 33 2 33 4 3
1
3
2 2 10 3 0
1 2 1
=
1 1 1
1 2 21 0 2
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.1. Matrices y Determinantes 7
1.1.9. 1) Resuelve la ecuacin matricial X A+ AT = X B, siendo AT la matriztranspuesta de A.
2) Hallar la matriz X sabiendo que
A =
1 0 0
0 1 1
1 0 1
; B =
3
20 1
1
21 1
32
1 1
(Junio 2004 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) X AX B = AT X (AB) = AT X = AT (AB)12)
X =
1 0 10 1 00 1 1
1
20 1
12
0 01
21 0
1
=
1 0 10 1 00 1 1
0 2 00 1 11 1 0
=
1 1 0
0 1 1
1 1 0
1.1.10. 1) Resuelve la ecuacin matricial X A+X AT = C, siendo AT la matriztranspuesta de A.
2) Hallar la matriz X sabiendo que
A =
1 1 00 1 2
1 1 0
; C =
(0 1 13 0 1
)
(Septiembre 2004 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) X (A+AT ) = C X = C (A+AT )12)
A+AT =
1 1 00 1 2
1 1 0
+
1 0 11 1 10 2 0
=
2 1 11 2 11 1 0
(A+AT )1 = 1
2
1 1 11 1 1
1 1 3
X =
(0 1 13 0 1
) 12
1 1 11 1 1
1 1 3
=
(1 0 2
2 1 0
)
1.1.11. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin A X A = I A X.2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
1 1 0
0 1 2
1 0 1
; I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(Junio 2005 - Bloque 1 - Repertorio A)
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
8 1. lgebra
- Solucin:
1)
2A X = I +A A X = I +A2
X = A1 I +A2
2)
I +A
2=
1
2
2 1 0
0 2 2
1 0 2
; A1 = 1
3
1 1 22 1 21 1 1
X =1
3
1 1 22 1 21 1 1
1
2
2 1 0
0 2 2
1 0 2
= 1
6
4 1 22 4 21 1 4
1.1.12. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin A X + A1 X = I siendo A1 lamatriz inversa de A.
2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
1 0 1
0 1 1
0 1 0
; I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(Septiembre 2005 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) (A+A1) X = I X = (A+A1)1 I X = (A+A1)1.2)
A1 =Adj AT
|A| =
1 1 10 0 1
0 1 1
; A+A1 =
2 1 20 1 2
0 2 1
X = (A+A1)1 =1
10
5 3 40 2 4
0 4 2
1.1.13. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin A X X = B X + C.2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
1 1 0
1 0 1
1 1 1
; B =
2 0 0
1 1 20 0 1
; C =
2 2 02 4 31 2 3
(Junio 2006 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) (A I B) X = C X = (A I B)1 C.2)
A I B =
2 1 02 2 11 1 1
(A I B)1 = 1
5
3 1 11 2 24 3 2
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.1. Matrices y Determinantes 9
X =1
5
3 1 11 2 24 3 2
2 2 02 4 31 2 3
=
1 0 0
0 2 0
0 0 3
1.1.14. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin X A2 B = X.2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
1 1 0
0 1 11 1 1
; B =
0 2 11 1 31 2 4
;
(Septiembre 2006 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) X (A2 I) = B X = B (A2 I)1.2)
A2 = A A =
1 1 0
0 1 11 1 1
1 1 0
0 1 11 1 1
=
1 2 11 0 22 1 0
; A2 I =
0 2 11 1 22 1 1
(A2 I)1 = 19
2 1 44 2 11 5 2
; X =
0 2 11 1 31 2 4
1
9
2 1 44 2 11 5 2
= 1
9
7 1 4
3 12 3
2 17 14
1.1.15. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin 2X A X = C B X.2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
2 1 0
1 2 1
1 1 2
; B =
1 1 0
0 1 0
1 2 1
; C =
0 0 1
1 1 21 3 3
(Junio 2007 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) (2I A+B) X = C X = (2I A+B)1 C.2)
2I A+B =
1 0 0
1 1 12 1 1
; (2I A+ B)1 = 1
2
2 0 0
1 1 13 1 1
X =1
2
2 0 0
1 1 13 1 1
0 0 1
1 1 21 3 3
=
0 0 1
1 1 0
0 2 1
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
10 1. lgebra
1.1.16. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin X1 A+A = B.2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
1 0 10 1 0
0 0 1
; B =
1 1 0
0 1 1
1 0 1
;
(Septiembre 2007 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) X1 = (B A) A1 X = (B A)1 A.2)
B A =
1 1 0
0 1 1
1 0 1
1 0 10 1 0
0 0 1
=
0 1 1
0 0 1
1 0 0
(B A)1 =
0 0 1
1 1 00 1 0
X =
0 0 1
1 1 00 1 0
1 0 10 1 0
0 0 1
=
0 0 1
1 1 10 1 0
1.1.17. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin 2X B = A X.2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
1 0 1
2 1 0
1 3 1
; B =
1 23 34 3
;
(Junio 2008 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) (2I A) X = B X = (2I A)1 B.2)
2I A =
1 0 12 1 01 3 1
; (2I A)1 = 1
4
1 3 1
2 2 2
5 3 1
X = 14
1 3 1
2 2 2
5 3 1
1 23 34 3
=
1 11 10 1
1.1.18. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin X AX = B.2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
1 1 20 1 3
1 1 1
; B =
(0 1 81 2 10
);
(Septiembre 2008 - Bloque 1 - Repertorio A)
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.1. Matrices y Determinantes 11
- Solucin:
1) X (A I) = B X = B (A I)1.2)
A I =
0 1 20 0 3
1 1 2
; (A I)1 = 1
3
3 0 33 2 00 1 0
X =
(0 1 81 2 10
) 13
3 0 33 2 00 1 0
=
(1 2 0
1 2 1
)
1.1.19. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin 2X + A X = I.2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
1 0 1
0 0 2
1 1 1
; I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
;
(Junio 2009 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) (2I +A) X = I X = (2I + A)1 I = (2I +A)1.2)
2I +A =
3 0 1
0 2 2
1 1 1
; X = (2I +A)1 = 1
2
0 1 22 2 61 3 6
1.1.20. 1) Despeja la matriz X en la ecuacin A2 + A X = B.2) Halla la matriz X sabiendo que
A =
1 1 0
0 1 1
1 0 1
; B =
0 2 0
1 0 0
1 0 0
;
(Septiembre 2009 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1) A X = B A2 X = A1 (B A2).2)
A1 =1
2
1 1 11 1 11 1 1
; B A2 =
0 2 0
1 0 0
1 0 0
1 2 1
1 1 2
2 1 1
=
1 0 10 1 21 1 1
X =1
2
1 1 11 1 11 1 1
1 0 10 1 21 1 1
=
1 0 00 0 10 1 1
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
12 1. lgebra
1.1.21. Dada la ecuacin matricial 3 X A X = B 2 A X, se pide:a) Resuelve matricialmente la ecuacin. (0,75 puntos)
b) Si A =
(2 1
1 2
)y B =
(3 4 59 4 1
), calcula la matriz X. (1,75 puntos)
(Junio 2010 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
a) (3I +A) X = B X = (3I +A)1 B.b)
3I +A =
(5 1
1 5
); (3I +A)1 =
1
24
(5 11 5
)
X =1
24
(5 11 5
)(
3 4 59 4 1
)=
(1 1 12 1 0
)
1.1.22. Dada la ecuacin matricial I +A X A2 X = B, se pide:a) Resuelve matricialmente la ecuacin. (0,75 puntos)
b) Si A =
(1 2
1 1
), calcula la matriz AA2. (0,5 puntos)
c) Siendo A la matriz anterior, B =
(3 47 11
), e I =
(1 0
0 1
), calcula la
matriz X. (1,25 puntos)
(Septiembre 2010 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
a) (AA2) X = B I X = (AA2)1 (B I).b)
AA2 =(
1 2
1 1
)(
1 2
1 1
)(
1 2
1 1
)=
(2 21 2
)
c)
X =
(2 21 2
)1(4 47 10
)=
1
3
(1 1
1 1
)(4 47 10
)=
(1 2
3 4
)
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.2. Programacin Lineal 13
1.2. Programacin Lineal
1.2.1. Las 18 chicas y los 24 chicos de 2o de Bachillerato de un centro docente
organizan un viaje. Para financiarlo deciden trabajar por las tardes en una
empresa encuestadora que contrata equipos de dos tipos:
- Tipo A: Dos chicas y cuatro chicos.
- Tipo B: Tres chicas y tres chicos.
La empresa abona por una tarde de trabajo 3000 ptas al equipo del tipo A y
5000 ptas al equipo del tipo B.
Se pide:
1. Dibujar la regin factible.
2. Como les conviene distribuirse para obtener la mayor cantidad posible de
dinero?
3. Si la empresa abonara por una tarde de trabajo 4000 ptas al equipo del
tipo A y 4000 ptas al equipo del tipo B, cmo les convendra entonces hacer
la distribucin?
(Junio 2000 - Bloque 3 - Repertorio A)
- Solucin:
1. Nos encontramos frente a un problema de Programacin Lineal.
Planteamiento:
Equipos Chicas Chicos Dinero
Tipo A x 2x 4x 3000x
Tipo B y 3y 3y 5000y
Personas 18 24
Restricciones:
2x+ 3y 18; 4x+ 3y 24; x 0; y 0Regin Factible:
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 71
Regin Factible
2x+ 3y = 18
4x+ 3y = 24b
A
b
B
b
Cb
O
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
14 1. lgebra
2. Para la resolucin de este apartado, el objetivo es maximizar los ingresos:
D(x, y) = 3000x+ 5000y
El mximo de la funcin objetivo se encuentra en alguno de los vrtices de la regin factible.
Estos vrtices son O(0, 0), A(0, 6), B(interseccin de las rectas 2x+3y = 18 y 4x+3y = 24) y
C(6, 0). Para obtener las coordenadas del punto B, basta resolver el sistema de dos ecuaciones
con dos incgnitas y obtenemos las coordenadas (3,4).
Para ver en donde se maximizan los ingresos basta sustituir estas coordenadas en la funcin
objetivo D(x, y).
O(0, 0) D(0, 0) = 0.A(0, 6) D(0, 6) = 3000 0 + 5000 6 = 30000 ptas.B(3, 4) D(3, 4) = 3000 3 + 5000 4 = 29000 ptas.C(6, 0) D(6, 0) = 3000 6 + 5000 0 = 18000 ptas.Por lo tanto se maximizan los beneficios en el punto A, es decir formando 6 equipos del Tipo
B.
3. En este apartado, la funcin objetivo ser D(x, y) = 4000x+ 4000y.
Veamos donde se produce el mximo:
O(0, 0) D(0, 0) = 0.A(0, 6) D(0, 6) = 4000 0 + 4000 6 = 24000 ptas.B(3, 4) D(3, 4) = 4000 3 + 4000 4 = 28000 ptas.C(6, 0) D(6, 0) = 4000 6 + 4000 0 = 24000 ptas.Por lo tanto el mximo se alcanza en el punto B, es decir con una configuracin de 3 equipos
del Tipo A, y 4 equipos del Tipo B.
1.2.2. Una fbrica envasa al da durante la campaa de Navidad 180 kg de turrn.
Produce tabletas medianas y grandes de peso neto 200 g y 300 g, respecti-
vamente. Se deben fabricar un nmero de tabletas medianas no superior al
triple de tabletas grandes. El beneficio es de 110 ptas por tableta mediana y
150 ptas por tableta grande.
Se pide:
1. Representar la regin factible.
2. Cuntas tabletas de cada clase deben producirse al da para que el bene-
ficio sea mximo?
(Septiembre 2000 - Bloque 1 - Repertorio A)
- Solucin:
1. Vemos que la Funcin Objetivo es D(x, y) = 110x + 150y, que deberemos maximizar en los
vrtices de la Regin Factible.
Tenemos una serie de restricciones:
0, 2x+ 0, 3y = 180; x 3y; x 0; y 0
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.2. Programacin Lineal 15
Debemos considerar la primera restriccin como una igualdad, ya que el enunciado indica que
se envasan 180 kg, no ms de 180 kg, ni menos de 180 kg.
La regin factible est formada por los puntos del segmento AB representado en la siguiente
figura.
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900
0, 2x+ 0, 3y = 180x 3y = 0
b
A
b
B
Los extremos del segmento son los puntos A(0, 600) y B (interseccin de las rectas 0, 2x +
0, 3y = 180 y x = 3y). Para obtener las coordenadas de B, basta resolver el sistema de dos
ecuaciones con dos incgnitas, y obtenemos B(600, 200).
2. El mximo beneficio se da en alguno de los extremos del segmento AB. Veamos en que punto
se produce:
A(0, 600) D(0, 600) = 110 0 + 150 600 = 90000 ptas.B(600, 200) D(3, 4) = 110 600 + 150 200 = 96000 ptas.Por lo tanto el mximo beneficio se produce en el punto que equivale a una produccin de 600
tabletas medianas y 200 grandes.
1.2.3. Una tienda de golosinas dispone de dos tipos de bolsas para cumpleaos con
el siguiente contenido:
- Tipo I: 2 chicles, 3 piruletas, 8 caramelos y 1 bolsa de patatas fritas.
- Tipo II: 4 chicles, 4 piruletas, 5 caramelos y 2 bolsas de patatas fritas.
En un determinado da, el nmero de chicles de que dispone la tienda para
envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades y el nmero
de piruletas no puede superar las 300 unidades. Adems, por problemas de
envase, el nmero de bolsas del Tipo II no puede ser superior a 40.
El beneficio por venta es: 150 pesetas por cada bolsa del Tipo I y 225 por
cada bolsa del Tipo II.
Halla el nmero de bolsas de cada tipo que deberan venderse en ese da para
que el beneficio obtenido sea el mayor posible.
(Junio 2001 - Bloque 2 - Repertorio B)
- Solucin:
Con los datos especificados en el enuncido formamos la siguiente tabla:
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
16 1. lgebra
Bolsas Chicle Piruletas Caramelos Patatas f. Beneficios
Tipo I x 2x 3x 8x x 150x
Tipo II y 4y 4y 5y 2y 225y
Disponible 240 300
Nuestro objetivo por lo tanto deber ser maximizar los beneficios expresados por la funcin:
F (x, y) = 150x+ 225y
.
Tenemos las siguiente restricciones:
2x+ 4y 240; 3x+ 4y 300; y 40; x 0; y 0Estas restricciones generan la regin factible especificada en la siguiente figura.
20
40
60
20 40 60 80 100
Regin Factible 2x+ 4y = 240
3x+ 4y = 300
y = 40b
Ab
B
b
C
b
Db
O
Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible. Por
lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A(0, 40), B de coordenadas la solucin del
sistema de ecuaciones x + 2y = 120 e y = 40, es decir B(40, 40), C de coordenadas la solucin del
sistema de ecuaciones x+ 2y = 120 y 3x+ 4y = 300, es decir C(60, 30), D(100, 0) y O(0, 0).
Sustituyendo las coordenadas de los puntos anteriores en la funcin objetivo obtenemos los
beneficios mximos posibles.
O(0, 0) F (0, 0) = 150 0 + 225 0 = 0 ptas.A(0, 40) F (0, 40) = 150 0 + 225 40 = 9000 ptas.B(40, 40) F (40, 40) = 150 40 + 225 40 = 15000 ptas.C(60, 30) F (60, 30) = 150 60 + 225 30 = 15750 ptas.D(100, 0) F (100, 0) = 150 100 + 225 0 = 15000 ptas.Por lo tanto el beneficio obtenido es mximo si se venden 60 bolsas de Tipo I y 30 del Tipo II.
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.2. Programacin Lineal 17
1.2.4. Un Ciber-caf realiza dos ofertas entre sus clientes habituales:
- Oferta I: 1 refresco, 3 bizcochos y 20 minutos de conexin a Internet.
- Oferta II: 1 refresco, 2 bizcochos y 30 minutos de conexin a Internet.
Las caractersticas del local limitan a 50 horas diarias el tiempo mximo de
conexin a Internet. Al no disponer de almacn, slo se puede acumular un
mximo de 100 refrescos y 240 bizcochos. Un cliente que opte por la Oferta
I produce un beneficio de 500 pesetas y si opta por la Oferta II, el beneficio
es de 450 pesetas.
Halla el nmero de clientes que deberan elegir cada una de las ofertas para
que el beneficio total fuese lo mayor posible.
(Septiembre 2001 - Bloque 1 - Repertorio B)
- Solucin:
Con los datos especificados en el enuncido formamos la siguiente tabla:
Cantidad Refrescos Bizcochos Tiempo-Net Beneficio
Oferta I x x 3x 20x 500x
Oferta II y y 2y 30y 450y
Disponibilidades 100 240 5060=3000
Deseamos maximizar los beneficios, es decir maximizar la funcin objetivo:
F (x, y) = 500x+ 450y
Tenemos las siguientes restricciones:
x+ y 100; 3x+ 2y 240; 20x+ 30y 3000; x 0; y 0Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.
20
40
60
80
100
20 40 60 80 100
Regin Factible x+ y = 100
3x+ 2y = 240
20x+ 30y = 3000
b
A
b
B
b
Cb
O
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
18 1. lgebra
Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible. Por
lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A(0, 100), B de coordenadas la solucin del
sistema de ecuaciones x+ y = 100 y 3x+ 2y = 2400, es decir B(40, 60), y C(80, 0) .
Sustituyendo las coordenadas de los puntos anteriores en la funcin objetivo obtenemos los
beneficios mximos posibles.
O(0, 0) F (0, 0) = 500 0 + 450 0 = 0 ptas.A(0, 100) F (0, 100) = 500 0 + 450 100 = 45000 ptas.B(40, 60) F (40, 60) = 500 40 + 450 60 = 47000 ptas.C(80, 0) F (80, 0) = 500 80 + 450 0 = 40000 ptas.Por lo tanto, el mximo beneficio se obtiene cuando se eligen 40 ofertas de Tipo I y 60 del Tipo
II.
1.2.5. En el ltimo Saln Internacional del automvil celebrado en Espaa, un pe-
queo fabricante present sus modelos Caaper (precio por unidad: 16.000
euros) y Ena (precio por unidad: 15.000 euros). El coste de produccin por
unidad es, respectivamente, 10.400 y 9.750 euros. Para la fabricacin de una
unidad del primer modelo se necesitan 3 m2 de un determinado producto
textil y 7,5 kg de pintura especial, mientras que para la fabricacin de una
unidad del segundo modelo se necesitan 4 m2 de producto textil y 7 kg de
pintura. Mensualmente existen en el almacn 96 m2 de producto textil y 195
kg de pintura.
a) Representa la regin factible.
b) Halla cuntas unidades de cada modelo interesa fabricar mensualmente
para que las ventas de las mismas produzcan el mximo beneficio.
c) Calcula dicho beneficio.
(Junio 2002 - Bloque 3 - Repertorio A)
- Solucin:
Con los datos especificados en el enuncido formamos la siguiente tabla:
Modelo Cantidad Prod. Textil Pintura Beneficio
Caaper x 3x 7, 5x 5600x
Ena y 4y 7y 5250y
Existencias 96 195
Deseamos maximizar los beneficios, es decir maximizar la funcin objetivo:
F (x, y) = (16000 10400)x+ (15000 9750)y = 5600x+ 5250y
Tenemos las siguientes restricciones:
3x+ 4y 96; 7, 5x+ 7y 195; x 0; y 0Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.2. Programacin Lineal 19
5
10
15
20
25
5 10 15 20 25
Regin Factible
3x+ 4y = 96
7, 5x+ 7y = 195bA
b
B
b
Cb
O
Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible. Por
lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A(0, 24), B de coordenadas la solucin del
sistema de ecuaciones 3x+ 4y = 96 y 7, 5x+ 7y = 195, es decir B(12, 15), y C(26, 0) .
Sustituyendo las coordenadas de los puntos anteriores en la funcin objetivo obtenemos los
beneficios mximos posibles.
O(0, 0) F (0, 0) = 5600 0 + 5250 0 = 0 euros.A(0, 24) F (0, 24) = 5600 0 + 5250 24 = 126000 euros.B(12, 15) F (12, 15) = 5600 12 + 5250 15 = 145950 euros.C(26, 0) F (26, 0) = 5600 26 + 5250 0 = 145600 euros.Por lo tanto, el mximo beneficio se obtiene cuando se fabrican 12 automviles del modelo
Caaper y 15 del modelo Ena.
1.2.6. Un fabricante de llaveros decide aplicar durante un da los siguientes criterios
para la produccin y venta de sus artculos: El doble del nmero de llaveros
dorados (x) fabricados debe ser mayor o igual que el nmero de llaveros pla-
teados (y). En cambio, si este ltimo nmero se aumentase en 30, la cantidad
obtenida sera mayor que el doble del nmero de llaveros dorados. El nmero
de llaveros plateados no puede ser mayor de 40. La venta de un llavero dorado
da un beneficio de 0,8 euros y la de uno plateado 0,65 euros.
a) Representa la regin factible.
b) Halla los valores de x e y para que el beneficio sea el mayor posible.
c) Calcula el benfico mximo.
(Septiembre 2002 - Bloque 3 - Repertorio A)
- Solucin:
Este problema se resuelve mediante programacin lineal. Antes de nada veamos las restricciones
de nuestro problema especificadas en el enunciado. Tenemos: 2x y 2x y 0; y + 30 2x2x y 30; y 40; x 0; y 0;
La funcin objetivo a maximizar ser F (x, y) = 0, 8x+ 0, 65y.
Estas restricciones generan la regin sombreada en la siguiente figura:
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
20 1. lgebra
5
10
15
20
25
30
35
40
5 10 15 20 25 30 35
Regin Factible
y = 2x
2x y = 30
y = 40
b
O
b
Bb
C
b
D
Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible. Por
lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A de coordenadas la solucin del sistema de
ecuaciones y = 40 y 2x y = 0, es decir A(20, 40), B de coordenadas la solucin del sistema deecuaciones y = 40 y 2x y = 30, es decir B(35, 40), y C(15, 0) .
Sustituyendo las coordenadas de los puntos anteriores en la funcin objetivo obtenemos los
beneficios mximos posibles.
O(0, 0) F (0, 0) = 0, 8 0 + 0, 65 0 = 0 euros.A(20, 40) F (20, 40) = 0, 8 20 + 0, 65 40 = 42 euros.B(35, 40) F (35, 40) = 0, 8 35 + 0, 65 40 = 54 euros.C(15, 0) F (15, 0) = 0, 8 15 + 0, 65 0 = 12 euros.Por lo tanto, el mximo beneficio se obtiene cuando se fabrican 35 llaveros dorados y 40 plateados.
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1.2. Programacin Lineal 21
1.2.7. Una empresa de productos de papelera dispone de 270 metros cuadrados de
cartn y de 432 metros de cinta de goma para la fabricacin de dos tipos
de carpetas: tamao folio y tamao cuartilla. Para una del primer tipo se
necesitan 0,20 metros cuadrados de cartn y 30 centmetros de cinta de goma
y se vende a 1,40 euros la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se
necesitan 0,15 metros cuadrados de cartn y 27 centmetros de cinta de goma
y se vende a 1,10 euros la unidad.
a) Representa la regin factible.
b) Cuntas carpetas de cada tipo interesa fabricar para que el beneficio que
se obtiene con su venta sea lo ms grande posible?
c) Calcula ese beneficio mximo.
(Junio 2003 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
a) Con los datos especificados en el enuncido formamos la siguiente tabla:
Carpeta Cantidad Cartn Goma Beneficio*
T.Folio x 0, 20x 0, 30x 1, 40x
T.Cuartilla y 0, 15y 0, 27y 1, 10y
Existencias 270 m2 432 m
Deseamos maximizar los beneficios, es decir maximizar la funcin objetivo F (x, y) = 1, 40x +
1, 10y. Tenemos las siguientes restricciones:
0, 20x+ 0, 15y 270; 0, 30x+ 0, 27y 432; x 0; y 0;Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
200 400 600 800 1000 1200 1400
Regin Factible
0, 2x+ 0, 15y = 270
0, 3x+ 0, 27y = 432
b
A
b
B
b
Cb
O
b) Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible, cuyas
coordenadas son A(0, 1400), B de coordenadas la solucin del sistema de ecuaciones 0, 20x+0, 15y =
270 y 0, 30x+ 0, 27y = 432, es decir B(900, 60), y C(1350, 0) .
Para determinar en qu vrtice se da el mximo puede recurrirse al trazado de las rectas de
nivel, cuya ecuacin es 1, 40x+ 1, 10y = k.
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
22 1. lgebra
Si trazamos una cualquiera de ellas, por ejemplo, 1, 40x+ 1, 10y = 1000 y se traslada hacia la
derecha (as aumenta su nivel, en el sentido del vector (1,40, 1,10), el ltimo punto de contacto de
la regin factible con esas rectas da el mximo de la funcin objetivo.
En este caso, y como puede observarse en la figura, ese punto es B. Por tanto, habr que fabricar
900 carpetas de tamao folio y 600 de tamao cuartilla.
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
200 400 600 800 1000 1200 1400
aumenta
0, 2x+ 0, 15y = 270
0, 3x+ 0, 27y = 432
1, 4x+ 1, 1y = 1000
b
A
b
B
b
Cb
O
c) El beneficio en cada uno de los vrtices se obtiene evaluando la funcin objetivo en cada uno
de ellos; as se obtiene:
O(0, 0) F (0, 0) = 1, 40 0 + 1, 10 0 = 0 euros.A(0, 1600) F (0, 1600) = 1, 40 0 + 1, 10 1600 = 1760 euros.B(900, 600) F (900, 600) = 1, 40 900 + 1, 10 600 = 1920 euros.C(1350, 0) F (1350, 0) = 1, 40 1350 + 1, 10 0 = 1890 euros.Por lo tanto, el mximo beneficio es de 1920 euros y se consigue fabricando 900 carpetas de
tamao folio y 600 de tamao cuartilla.
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.2. Programacin Lineal 23
1.2.8. Una fbrica de mesas de jardn est especializada en dos modelos: ovalado y
octogonal. Para la fabricacin de una mesa del primer tipo se necesita 1 hora
de trabajo y 2 kilos de material plstico. Para la fabricacin de una mesa del
segundo tipo se necesitan 3 horas de trabajo y 3 kilos de material plstico.
Diariamente la fbrica dispone de obreros para realizar como mximo 36
horas de trabajo y de un mximo de 60 kilos de material plstico. Adems,
el nmero de mesas ovaladas no puede ser menor de 9 unidades. Por la venta
de una mesa del primer tipo se obtiene 19 euros y por una del segundo tipo,
30 euros.
a) Representa la regin factible.
b) Halla cuntas mesas de cada tipo deben fabricarse diariamente para que
con su venta se obtenga un beneficio mximo.
c) Calcula ese beneficio mximo.
(Septiembre 2003 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
a) Con los datos especificados en el enuncido formamos la siguiente tabla:
No. Mesas Horas kg Plstico Beneficio
M.Ovaladas x x 2x 19x
M. Octogonales y 3y 3y 30y
Disponibilidades 36 60
Deseamos maximizar los beneficios, es decir maximizar la funcin objetivo B(x, y) = 19x+30y.
Tenemos las siguientes restricciones:
x+ 3y 36; 2x+ 3y 60; x 9; x 9; y 0;Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.
5
10
15
5 10 15 20 25 30
Regin Factible
x+ 3y = 36
2x+ 3y = 60
x = 9
b
A
b
B
b
C
b
D
b) Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible,
cuyas coordenadas son A(9, 0), B de coordenadas la solucin del sistema de ecuaciones x+3y = 36
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
24 1. lgebra
y x = 9, es decir B(9, 9), C de coordenadas la solucin del sistema de ecuaciones x + 3y = 36 y
2x+ 3y = 60, es decir C(24, 4) y D(30, 0).
El beneficio en cada uno de los vrtices se obtiene evaluando la funcin objetivo en cada uno de
ellos; as se obtiene:
A(9, 0) B(0, 0) = 19 9 + 30 0 = 171 euros.B(9, 9) B(9, 9) = 19 9 + 30 9 = 441 euros.C(24, 4) B(24, 4) = 19 24 + 30 4 = 456 euros.D(30, 0) B(30, 0) = 19 30 + 30 0 = 570 euros.Por lo tanto el beneficio mximo se obtiene para una configuracin de ventas de 30 unidades de
mesas ovaladas.
c) En este caso, el mximo beneficio es de 570 euros.
1.2.9. Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos A y B. El modelo A requie-
re, para su elaboracin, 20 cm2 de papel, 120 cm2 de lmina de madera y 1
enganche metlico. El modelo B requiere: 60 cm2 de papel, 80 cm2 de lmina
de madera y 1 enganche metlico. El coste de produccin de cada modelo es
1,20 euros el A y 1,30 euros el B. El precio de venta es de 1,80 euros cada
uno, independientemente del modelo. Teniendo en cuenta que las existencias
son de 3000 cm2 de papel, 7200 cm2 de lmina de madera y 70 enganches.
a) Representa la regin factible.
b) Determina el nmero de abanicos de cada modelo que ha de hacer para
obtener un beneficio mximo.
c) Calcula cul es ese beneficio.
(Junio 2004 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
Con los datos especificados en el enuncido, y suponiendo que se hacen x abanicos del modelo A, e
y del modelo B, formamos la siguiente tabla:
Abanico Cantidad Papel Madera Enganches Beneficio
Modelo A x 20x 120x x 0, 60x
Modelo B y 60y 80y y 0, 50y
Existencias 3000 cm2 7200 cm2 70
La funcin objetivo a maximizar ser F (x, y) = 0, 60x+ 0, 50y.
Las restricciones del problema vienen dadas por las existencias y por la no negatividad de las
cantidades:
20x+ 60y 3000; 120x+ 80y 7200; x+ y 70; x 0; y 0;a) Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.2. Programacin Lineal 25
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50 60
Regin Factible
20x+ 60y = 3000
120x+ 80y = 7200
x+ y = 70
b
A
b
B
b
C
b
Db
O
b) Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible.
Por lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A(0, 50), B de coordenadas la solucin
del sistema de ecuaciones 20x+ 60y = 3000 y x+ y = 70, es decir B(30, 40), C de coordenadas la
solucin del sistema de ecuaciones 120x+ 80y = 7200 y x+ y = 70, es decir C(40, 30), y D(60, 0).
Sustituyendo las coordenadas de los puntos anteriores en la funcin objetivo obtenemos los
beneficios mximos posibles.
O(0, 0) F (0, 0) = 0, 60 0 + 0, 50 0 = 0 euros.A(0, 50) F (0, 50) = 0, 60 0 + 0, 50 50 = 25 euros.B(30, 40) F (30, 40) = 0, 60 30 + 0, 50 40 = 38 euros.C(40, 30) F (40, 30) = 0, 60 40 + 0, 50 30 = 39 euros.D(60, 0) F (60, 0) = 0, 60 60 + 0, 50 0 = 36 euros.c) Por lo tanto, el mximo beneficio es de 39 euros y se consigue fabricando 40 abanicos del
Modelo A y 30 del Modelo B.
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
26 1. lgebra
1.2.10. Un concesionario de motos necesita vender diariamente entre 1 y 5 unidades
del Modelo X y ms de una unidad del Modelo Y. Por cuestiones de estra-
tegia comercial, la suma del nmero de unidades que se deben vender del
Modelo X y del doble de unidades de Y debe ser como mximo 13. Adems
la diferencia entre el nmero de unidades de Y y de X no puede ser mayor
que 2. La venta de una moto del Modelo X le reporta un beneficio de 1000
euros y la venta de una del Modelo Y, 1100 euros.
a) Representa la regin factible.
b) Determina el nmero de motos que debe vender de cada modelo para
que el beneficio sea lo ms grande posible.
c) Calcula cul es ese beneficio mximo.
(Septiembre 2004 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
Con los datos especificados en el enunciado, consideramos que se venden x motos del Modelo X,
e y del Modelo Y, con las siguientes restricciones:
x+ 2y 13; y x 2; 1 x 5; y 1;La funcin objetivo a maximizar ser B(x, y) = 1000x+ 1100y.
a)Estas restricciones generan la regin factible (sombreada) en la siguiente figura.
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6
Regin Factible
x+ 2y = 13x y = 2
x = 1
x = 5
y = 1b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
b) Como ya sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible. Por
lo tanto la funcin objetivo se maximiza en los puntos A(1, 1), B(1, 3), C(3, 5), D(5, 4), y E(5, 1).
Sustituyendo las coordenadas de los puntos anteriores en la funcin objetivo obtenemos los
beneficios mximos posibles.
A(1, 1) B(1, 1) = 1000 1 + 1100 1 = 2100 euros.B(1, 3) B(1, 3) = 1000 1 + 1100 3 = 4300 euros.C(3, 5) B(3, 5) = 1000 3 + 1100 5 = 8500 euros.D(5, 4) B(5, 4) = 1000 5 + 1100 4 = 9400 euros.E(5, 1) B(5, 1) = 1000 5 + 1100 1 = 6100 euros.
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1.2. Programacin Lineal 27
El beneficio se maximiza para una configuracin de ventas de 5 unidades del Modelo X, y 4
unidades del Modelo Y. c) Por lo tanto, en esta ltima configuracin, el mximo beneficio es de
9400 euros.
1.2.11. Un taller pirotcnico fabrica cohetes sencillos que luego vende a 2,70 euros
el paquete de 10 y cohetes de colores que vende a 3,60 el paquete de 10. Por
problemas de mecanizacin no pueden fabricar al da ms de 400 cohetes
sencillos ni ms de 300 cohetes de colores, ni ms de 500 cohetes sumando
los de las dos clases. Se supone que se vende toda la produccin.
a) Representa la regin factible.
b) Cuntos cohetes de cada clase convendr fabricar y vender para que el
beneficio sea mximo?
c) Calcula ese beneficio mximo.
(Junio 2005 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
a) La regin factible viene determinada por las restricciones, que son:
10x 400; 10y 300; 10x+ 10y 500; x 0; y 0;A continuacin representamos la regin factible que aparece sombreada en la siguiente figura.
10
20
30
10 20 30 40
Regin Factible
10x = 400
10y = 300
x+ y = 50
Rectas de Nivel2, 70x+ 3, 60y = k
b
Ab
B
b
C
b
Db
O
b) La funcin objetivo es f(x, y) = 2, 70x+ 3, 60y, que se desea maximizar.
Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Grficamente puede deter-
minarse trazando las rectas de nivel, cuya ecuacin es 2, 70x+ 3, 60y = k, donde k indica el nivel
que alcanza la funcin. El nivel aumenta cuando las rectas se desplazan paralelamente siguiendo la
direccin del vector (2,70; 3,60). El valor mximo de k se consigue en el punto B, pues es el mayor
desplazamiento que puede darse a las rectas de nivel dentro de la regin factible.
Las coordenadas de B son (20, 30). Por tanto habr que fabricar 20 paquetes sencillos y 30 de
colores: 200 cohetes sencillos y 300 de colores.
c) Los ingresos mximos sern f(20, 30) = 162 euros.
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
28 1. lgebra
1.2.12. Una empresa de autobuses de diversos tipos y capacidades dispone, en un
determinado da, de un mximo de 7 conductores y de 6 conductoras. Reci-
be el encargo de transportar a los 528 alumnos de un centro docente con el
fin de realizar una excursin de un da de duracin. Si un conductor maneja
un autobs de 44 plazas, entonces las conductoras deben manejar obliga-
toriamente los de 66 plazas. Por el contrario, si una conductora maneja un
autobs de 24 plazas, entonces los conductores deben manejar obligatoria-
mente los de 72 plazas. La cantidad que cobra la empresa es de 500 euros al
da por conductor, independientemente de si es hombre o mujer.
a) Representa la regin factible.
b) Determina el nmero de conductores y el nmero de conductoras para
que el beneficio empresarial sea mximo.
c) Calcula ese beneficio mximo
(Septiembre 2005 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
Consideramos x como el nmero de conductores hombres, e y el de conductoras mujeres. a) La
regin factible viene determinada por las restricciones, que son:
44x+ 66y 528; 72x+ 24y 528; x 7; y 6; x 0; y 0;A continuacin representamos las regin factible que aparece sombreada en la siguiente figura.
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 71
Regin Factible
44x+ 66y = 528
72x+ 24y = 528
x = 7
y = 6b
Ab
B
b
C
b
D
b
Eb
O
b) La funcin objetivo es B(x, y) = 500x + 500y, que se desea maximizar. Como sabemos,
la solucin ptima se da en alguno de los vrtices de la regin factible. Por lo tanto la funcin
objetivo se maximiza en los puntos A(0, 6), B, que resulta de la interseccin de las rectas 2x+3y =
24 (44x + 66y = 528) e y = 6, es decir B(3, 6), C, que resulta de la interseccin de las rectas
2x + 3y = 24 y 3x + y = 22 (72x + 24y = 528), es decir C(6, 4), D, que resulta de la interseccin
de las rectas 3x+ y = 22 e x = 7, es decir D(7, 1), y E(7, 0) . Sustituyendo las coordenadas de los
puntos anteriores en la funcin objetivo obtenemos los beneficios mximos posibles.
O(0, 0) B(0, 0) = 500 0 + 500 0 = 0 euros.
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1.2. Programacin Lineal 29
A(0, 6) B(0, 6) = 500 0 + 500 6 = 3000 euros.B(3, 6) B(3, 6) = 500 3 + 500 6 = 4500 euros.C(6, 4) B(6, 4) = 500 6 + 500 4 = 5000 euros.D(7, 1) B(7, 1) = 500 7 + 500 1 = 4000 euros.E(7, 0) B(7, 0) = 500 7 + 500 0 = 3500 euros.Por lo tanto el mximo beneficio se consigue con una configuracin de 6 conductores hombres,
y 4 conductoras mujeres.
c) Con esta ltima configuracin el beneficio mximo es de 5000 euros.
1.2.13. En una tienda de artculos deportivos se pueden adquirir, entre otros pro-
ductos, raquetas de bdminton y raquetas de tenis. El beneficio por la venta
de cada raqueta es de 20 y 25 euros, respectivamente. Por cuestiones de
estrategia comercial, se decide vender al da, como mximo, 6 raquetas de
bdminton y 5 de tenis. Considerando que el nmero total de raquetas ven-
didas no puede ser mayor que 7.
a) Representa la regin factible.
b) Halla el nmero de raquetas que debe venderse de cada clase para que el
beneficio sea mximo.
c) Calcula ese beneficio mximo.
(Junio 2006 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
Si se venden x raquetas de bdminton e y de tenis, el objetivo es maximizar B(x, y) = 20x+25y.
Restringido por: x 6; y 5; x+ y 7; x 0; y 0;a) La regin factible es la zona sombreada en la siguiente figura.
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7
Regin Factible
x = 6
y = 5
x+ y = 7
b
Ab
B
b
C
b
Db
O
b) Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Las coordenadas de estos
vrtices son O(0, 0); A(0, 5); B(2, 5); C(6, 1); D(6, 0);
El beneficio para cada una de esas posibles ventas es:
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
Resueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
cJos Manuel Snchez Muoz
30 1. lgebra
B(0, 0) = 0; B(0, 5) = 125; B(2, 5) = 165; B(6, 1) = 145; B(6, 0) = 120;
El beneficio mximo se obtiene vendiendo 2 raquetas de bdminton y 5 de tenis.
c) Ese beneficio mximo asciende a 165 euros.
1.2.14. Un establecimiento de electrodomsticos decide ofrecer a sus clientes habi-
tuales lavadoras a 200 euros la unidad y frigorficos a 250 euros la unidad.
Para atender esta oferta, se dispone de 10 lavadoras y 7 frigorficos. Consi-
derando que el doble del nmero de lavadoras que se vendan ms el triple
del nmero de frigorficos no puede ser mayor que 29.
a) Representa la regin factible. b) Determina cuntas unidades de cada
uno de los electrodomsticos citados deben venderse para que el beneficio
sea mximo.
c) Calcula ese beneficio mximo.
(Septiembre 2006 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
Consideremos x al nmero de lavadoras vendidas, e y al nmero de frigorficos vendidos. Ten-
dremos que la funcin objetivo a maximizar ser por lo tanto F (x, y) = 200x+ 250y.
Las restricciones que se especifican en el enunciado son:
2x+ 3y 29; x 10; y 7; x 0; y 0;a) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en
la siguiente figura.
2
4
6
2 4 6 8 10
Regin Factible
x = 10
y = 7
2x+ 3y = 29
b
Ab
B
b
C
b
Db
O
b) Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Las coordenadas de estos
vrtices son O(0, 0); A(0, 7); B es la solucin del sistema 2x+ 3y = 29 e y = 7, es decir B(4, 7); C
es la solucin del sistema 2x+ 3y = 29 e x = 10, es decir C(10, 3); y D(10, 0);
El beneficio para cada una de esas posibles ventas es:
O(0, 0) F (0, 0) = 200 0 + 250 0 = 0 euros.A(0, 7) F (0, 7) = 200 0 + 250 7 = 1750 euros.B(4, 7) F (4, 7) = 200 4 + 250 7 = 2550 euros.C(10, 3) F (10, 3) = 200 10 + 250 3 = 2750 euros.D(10, 0) F (10, 0) = 200 10 + 250 0 = 2000 euros.
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.2. Programacin Lineal 31
El beneficio mximo se obtiene vendiendo 10 lavadoras y 3 frigorficos.
c) Ese beneficio mximo asciende a 2750 euros.
1.2.15. Una persona tiene 1500 euros para invertir en dos tipos de acciones A y B.
El tipo A tiene un inters simple anual del 9% y el tipo B del 5%. Decide
invertir como mximo 900 euros en acciones A y como mnimo 300 euros en
acciones del tipo B y adems decide invertir en A por lo menos tanto como
en B.
a) Dibuja la regin factible.
b) Cmo debe invertir los 1500 euros para que los beneficios anuales sean
los mximos posibles?
c) Calcula esos beneficios anuales mximos.
(Junio 2007 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
Consideremos x al valor invertido de acciones del tipo A, e y al valor invertido de acciones
del tipo B. Tendremos que la funcin objetivo de beneficio neto a maximizar ser por lo tanto
B(x, y) = 0, 09x+ 0, 05y.
Las restricciones que se especifican en el enunciado son:
x 900; y 300; x+ y 1500;a) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en
la siguiente figura.
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
200 400 600 800 1000200
Regin Factible
x = 900
y = 300
x+ y = 1500
b
A
b
B
b
C
b
D
b) Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Las coordenadas de estos
vrtices son A(0, 300), B(0, 1500), C(900, 600), y D(900, 300).
El beneficio despus de un ao para cada una de esas posibles inversiones es:
A(0, 300) B(0, 300) = 0, 09 0 + 0, 05 300 = 15 euros.B(0, 1500) B(0, 1500) = 0, 09 0 + 0, 05 1500 = 75 euros.C(900, 600) B(900, 600) = 0, 09 900 + 0, 05 600 = 111 euros.
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32 1. lgebra
D(900, 300) B(900, 300) = 0, 09 900 + 0, 05 300 = 96 euros.El beneficio mximo se obtiene invirtiendo 900 euros en acciones del tipo A, y 600 euros en
acciones del tipo B.
c) Despus de un ao, la inversin le reporta al inversor unos beneficios de 111 euros.
1.2.16. Una fbrica de lmparas produce dos modelos A y B. El modelo A necesita
dos horas de trabajo de chapa y 1 una hora de pintura. El modelo B necesita
una hora de chapa y 2 de pintura. Semanalmente se emplean como mximo
80 horas en trabajos de chapa y 100 horas en trabajos de pintura. Cada
unidad del modelo A se vende a 75 euros y cada unidad del modelo B a 80
euros.
a) Dibuja la regin factible.
b) Determina el nmero de lmparas de cada tipo que interesa producir
para que el beneficio obtenido con su venta sea lo mayor posible.
c) Calcula el beneficio mximo.
(Septiembre 2007 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
Consideremos x al nmero de unidades vendidas del Modelo A, e y al nmero de unidades
vendidas del Modelo B. Tendremos que la funcin objetivo de beneficio a maximizar ser por lo
tanto F (x, y) = 75x+ 80y.
Las restricciones que se especifican en el enunciado son:
2x+ y 80; x+ 2y 100; x 0; y 0;a) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en
la siguiente figura.
10
20
30
40
50
10 20 30 4010
Regin Factible
2x+ y = 80
x+ 2y = 100
b
A
b
B
b
Cb
O
b) Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Las coordenadas de
cJos Manuel Snchez Muoz Matemticas Aplicadas a las CC.SS. EjerciciosResueltos de PAEG. Castilla La Mancha 2000-2010
1.2. Programacin Lineal 33
estos vrtices son O(0, 0), A(0, 50), B, que resulta de la interseccin de las rectas 2x + y = 80 y
x+ 2y = 100, es decir B(20, 40), y C(40, 0).
El beneficio en estos vrtices resulta:
O(0, 0) F (0, 0) = 75 0 + 80 0 = 0 euros.A(0, 50) F (0, 50) = 75 0 + 80 50 = 4000 euros.B(20, 40) F (20, 40) = 75 20 + 80 40 = 4700 euros.C(40, 0) F (40, 0) = 75 40 + 80 0 = 3000 euros.El beneficio mximo se obtiene vendiendo 20 unidades del Modelo A, y 40 unidades del Modelo
B.
c) En este ltimo caso el beneficio mximo asciende a 4700 euros.
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34 1. lgebra
1.2.17. Una compaa de telefona mvil quiere celebrar una jornada de Consumo
razonable y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 cntimos de euro por
cada mensaje SMS y 25 cntimos de euro por cada minuto de conversacin
incluyendo el coste de establecimiento de llamada. Impone las condiciones:
a) El nmero de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el nmero
de mensajes aumentado en 3, ni ser menor que el nmero de mensajes dis-
minuido en 3.
b) Sumando el quntuplo del nmero de mensajes con el nmero de llamadas
no puede obtenerse ms de 27.
1. Dibuja la regin factible.
2. Determina el nmero de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea
mximo.
3. Cul es ese beneficio mximo?
(Junio 2008 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
Consideremos x al nmero de SMS, e y al nmero minutos de llamadas. Tendremos que la
funcin objetivo de beneficio a maximizar ser por lo tanto F (x, y) = 0, 15x+ 0, 25y.
Las restricciones que se especifican en el enunciado son:
y x 3; y x+ 3; 5x+ y 27; x 0; y 0;1) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en
la siguiente figura.
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6
Regin Factible
y = x 3
y = x+ 3
5x+ y = 27
b
A
b
B
b C
b
Db
O
2) Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Las coordenadas de estos
vrtices son O(0, 0), A(0, 3), B, que resulta de la interseccin de las rectas y = x+3 y 5x+ y = 27,
es decir B(4, 7), C, que resulta de la interseccin de las rectas y = x 3 y 5x + y = 27, es decirC(5, 2), y D(3, 0).
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1.2. Programacin Lineal 35
El beneficio en estos vrtices resulta:
O(0, 0) F (0, 0) = 0, 15 0 + 0, 25 0 = 0 euros.A(0, 3) F (0, 3) = 0, 15 0 + 0, 25 3 = 0, 75 euros.B(4, 7) F (4, 7) = 0, 15 4 + 0, 25 7 = 2, 35 euros.C(5, 2) F (5, 2) = 0, 15 5 + 0, 25 2 = 1, 25 euros.D(3, 0) F (3, 0) = 0, 15 3 + 0, 25 0 = 0, 45 euros.El beneficio mximo se obtiene con una configuracin de 4 mensajes SMS y 7 minutos de llamadas
por cliente y da.
3) En este ltimo caso el beneficio mximo asciende a 2,35 euros por cliente y da.
1.2.18. Un camin para el transporte de electrodomsticos cobra 25 euros por cada
frigorfico de 0,6 m2 de base y 22 euros por cada lavavajillas de 0,5 m2 de
base. El camin dispone de 9 m2 como mximo para este tipo de carga. Por
necesidades de demanda el nmero de lavavajillas no puede superar al 60%
del nmero de frigorficos. Se deben transportar como mnimo 5 frigorficos.
a) Dibuja la regin factible.
b) Determina el nmero de electrodomsticos de cada clase para que el
beneficio obtenido con el transporte sea lo ms grande posible.
c) Calcula el beneficio mximo.
(Septiembre 2008 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
Consideremos x al nmero frigorficos, e y al nmero de lavavajillas. Tendremos que la funcin
objetivo de beneficio a maximizar ser por lo tanto F (x, y) = 25x+ 22y.
Las restricciones que se especifican en el enunciado son:
0, 6x+ 0, 5y 9; y 0, 6x; x 5; x 0; y 0;a) Las restricciones anteriormente descritas definen la regin factible que aparece sombreada en
la siguiente figura.
2
4
6
8
2 4 6 8 10 12 14
Regin Factible
0, 6x+ 0, 5y = 9
y = 0.6xx = 5
b
A
b
B
b
C
b
D
b) Como sabemos, la solucin ptima se da en alguno de los vrtices. Las coordenadas de estos
vrtices son A(5, 0), B, que resulta de la interseccin de las rectas y = 0, 6x y x = 5, es decir B(5, 3),
C, que resulta de la interseccin de las rectas y = 0, 6x y 0, 6x + 0, 5y = 9, es decir C(10, 6), y
D(15, 0).
El beneficio en estos vrtices resulta:
A(0, 3) F (0, 3) = 25 0 + 22 3 = 66 euros.
Matemticas Aplicadas a las CC.SS. Ejercicios
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cJos Manuel Snchez Muoz
36 1. lgebra
B(5, 3) F (5, 3) = 25 5 + 22 3 = 191 euros.C(10, 6) F (10, 6) = 25 10 + 22 6 = 382 euros.D(15, 0) F (15, 0) = 25 15 + 22 0 = 375 euros.El beneficio mximo por transporte se obtiene con una configuracin de 10 frigorficos y 6
lavavajillas.
c) En este ltimo caso el beneficio mximo asciende a 382 euros.
1.2.19. Una confitera realiza una oferta a sus clientes travs de dos tipos de lotes A
y B. El lote A lleva 3 tabletas de turrn y 5 cajas de bombones. El lote B est
compuesto por 5 tabletas de turrn y 3 cajas de bombones. Por cuestiones
de estrategia comercial, el nmero de lotes del tipo B debe ser menor que
el nmero de lotes del tipo A incrementado en 4. El nmero de tabletas
de turrn disponibles en el almacn para esta oferta es 52 y el de cajas de
bombones, 60. La venta de un lote del tipo A reporta una ganancia de 6,5
euros y uno del tipo B, 8,5 euros.
a) Dibuja la regin factible.
b) Determina el nmero de lotes de cada tipo que debe vender para que la
ganancia sea lo mayor posible.
c) Calcula esa ganancia mxima.
(Junio 2009 - Bloque 2 - Repertorio A)
- Solucin:
a) Con los datos especificados en el enuncido formamos la siguiente tabla:
Cantidad Turrn Bombones Beneficio
Lote A x 3x 5x 6, 5x
Lote B y 5y 3y 8, 5y
Disponibilidades 52 60