Post on 20-Jun-2015
Matemáticas Financieras a su alcance
Tabla de contenido
Unidad 1 Página
Presentación
Conceptos básicos de aritmética
Fraccionarios o quebrados
Porcentajes
Potenciación
Unidad 2
Conceptos Básicos de Matemáticas Financieras
Conceptos de Interés y tasa de Interés
Concepto de lnterés Simple
Concepto de Interés compuesto vencido
Concepto de Interés compuesto anticipado
Unidad 3
Tasas Nominales y efectivas
Concepto de tasa nominal y tasa efectiva
Tasas equivalentes
Conversión de tasas nominales a efectivas y viceversa equivalentes
Unidad 4
Tasa efectiva con rendimientos
Concepto de corrección monetaria
Cálculo de la tasa efectiva cuando los rendimientos se componen de corrección monetaria (cm) y tasa de interés
PRESENTACIÓN Con el propósito de aportar herramientas prácticas que faciliten nuestra labor diaria en la información que suministramos a nuestros clientes, se ha diseñado la presente cartilla. Contiene conceptos y casos reales sobre matemática financieras aplicada a nuestra labor.
La matemática financieras es una rama de la matemática general, que nos ayuda a calcular el valor del dinero en el tiempo. Son aplicaciones sencillas de las matemáticas para el mundo de los negocios.
El módulo de matemáticas financieras se desarrolla en 4 unidades
Unidad 1 Conceptos Básicos de aritmética.
Unidad 2 Conceptos Básicos de matemáticas financieras.
Unidad 3 Tasas nominales y efectivas.
Unidad 4 Tasa efectiva con rendimiento por corrección monetaria e intereses.
Todas las unidades contienen ejemplos resueltos y plantean ejercicios adicionales cuyas respuestas se incluyen al final de la cartilla.
Para comprender esta cartilla lo Único que usted requiere es conocimientos básicos de aritmética y muchos deseos de aprender.
Conceptos Básicos de Aritmética
Unidad 1 Conceptos Básicos de Aritmética
CONTENIDO
En esta unidad estudiaremos
Operaciones con fraccionarios
12
Cálculos con porcentajes
Potenciación Xy
ARITMÉTICA BÁSICA.
Fraccionarios o quebrados Un fraccionario se refiere a una o varias partes iguales de la unidad principal.
Si la unidad se divide en dos partes iguales, estas partes se Ilaman medios si se divide en tres partes iguales, éstas se Ilaman tercios y así sucesivamente.
Términos de una fracción
Denominador indica en cuántas partes está dividida la unidad principal.
Numerador indica cuántas de estas partes se toman.
Puede escribirse 34
ó
34
217
217
3
En el fraccionario o quebrado 3/4, el denominador 4 indica que la unidad se dividió en cuatro partes iguales, y el numerador 3, que se han tomado 3 de estas partes.
1
23
4
34
Todo quebrado puede considerarse como el cociente de una división en la cual el
numerador representa el dividendo y el denominador el divisor, así: 21/7
217
217
3
También un quebrado nos puede indicar una anotación decimal, por ejemplo si el quebrado
es 6/10, se escribe 0.6; o si es 8/25, se escribe 0.32.
Número Mixto
Es aquel que consta de un entero y un quebrado, por ejemplo:
Este número mixto se lee cinco unidades, dos tercios. 3 23
Para convertir un mixto a quebrado se efectúa la siguiente operación: se multiplica el entero por el denominador, al producto se añade el numerador y esta suma se parte por el denominador, así:
5 23
25 33
x x 5.70
Simplificación de fraccionarios complejos con decimales:
Se efectúan todas las operaciones indicadas en el numerador y denominador hasta convertir cada uno de ellos en un sólo decimal, y luego se efectúa la división de estos dos decimales.
Si la operación incluye paréntesis ( ) ó corchetes [ ], se procede a despejar primero
éstos.
Ejemplo:
1. Simplificar
(2 + 0.16 - 0.11) x 3
(0.336 + 1.5 - 0.609) / 0.4
2.045 x 3
1.227 / 0.4
6.135
3.06752
2. Simplificar
[(0,50 / 0,15) + (3 / 0,4) + 2] x 3,20
[(0,16 / 0,4) / 0,532] / 7,15
(0.33 + 7.5 + 2) x 3.20
(0.4 / 0.532) / 7.15
9,83 x 3,20
0,752 / 7,15
31,456
0,105299,58
Ejercicios propuestos de fraccionarios.
1. Reducir los siguientes números a decimales:
a. 14/5
b. 9/20
2. Convertir los siguientes números mixtos a quebrados:
a. 81 3
a. 75 9
3. Realizar la siguiente operación:
[(0.7 + 0.452) + 8] x 2
[(0.257 + 2.48] / 3
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Porcentajes
¿Qué? es un porcentaje?
Un porcentaje es una medición para la cual se ha tomado como patrón de medida de algo (un objeto, una cantidad de dinero, etc.) a la que, arbitrariamente, se le asignan
100 unidades.
Por tanto, un porcentaje es una relación que establece la proporcionalidad por
cada 100 unidades, su símbolo es %.
Con el siguiente ejemplo veremos porque el porcentaje es una relación de proporcionalidad.
La circunferencia nos representa una unidad, que en términos porcentuales es el
100%
Si dividimos la circunferencia en 4 partes iguales y sombreamos cualquiera de ellas,
esta representa 1/4 parte de nuestra circunferencia.
1/4 = 0.25 por consiguiente si deseamos saber en términos porcentuales 1/4 6 0.25 a qué cantidad equivale procedemos a efectuar una proporción, así:
Si 1 unidad equivale al 100% a cuanto equivaldrá 0.25? Esta proporción la
expresamos como una regla de tres simple:
1 Unidad0.25
100%X
0.25 Unidades x 100%
1 UnidadX 25%
La parte sombreada de la circunferencia, por tanto equivale al 25%.
Cálculos con porcentajes
Para convertir un número cualquiera en porcentaje, procedemos a multiplicarlo por
100.
Por ejemplo:
Convertir 0.3725 en términos porcentuales
0.3725 x 100 = 37.25%
Para convertir un número porcentual en decimales lo dividimos por I 00.
Por ejemplo:
convertir 25.32% en un número decimal:
25.35%0.2532
100
Ejemplo
1. cuanto asciende el 20% de un recorrido de. 300 kilómetros?
Si 300 Kilómetros
X
100%
20%
X300 Kms X 20 / 100 60 Kms
100 / 100
300 Kms X 0.20
1
2. Cuál es el 25% de un depósito de $1'350.000?
350.000 X (25 / 100) = $1'350.000 X 0.25 = $337.550
3. Una persona que debe a un banco $1'500.000 ha pactado a una tasa de Interés del
2% mensual sobre saldo, a cuánto ascienden los intereses de un mes?
Interés = $ 1'500.000 X (2 /100) = $1'500.000 X 0.20 = $30.000
4. Un préstamo fue pactado con una tasa de Interés trimestral del 8% sobre saldos. El
último pago efectuado por concepto de intereses ascendió a $200.000. Cuál fue el
saldo de la obligación durante ese trimestre?
Saldo = $200.000 / 0.08 = $2'500.000
Ejercicios propuestos de porcentajes
1. Expresar en forma decimal los siguientes porcentajes
a) 26%
b) 18.5%
c) 1.0%
d) 1.4%
e) 250.0%
2. Calcular cual es el 36% de:
a)$ 250.000
b) 5"600.000
c) 89.5
d) 100
e) 500
3. Calcular a cuánto asciende la totalidad de un depósito si el 67% equivale a:
a) 500.000
b) 10.5
c) 25
d) 4"000.000
4. Expresar en forma porcentual los siguientes números:
a) 0.253
b) 0.0843
c) 2.5
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Potenciación
Si tenemos 4x 4x4 = 64 y decimos 64 es la tercera potencia de 4.
También decimos que elevar 3 a la cuarta potencia, significa repetir 3 cuatro veces
como factor, 3 x 3 x 3 x 3 = 81, y entonces 81 es la cuarta potencia de 3.
Esta operación de elevar un número a una potencia se denomina Potenciación
Generalmente No decimos 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 si no 56, y lo expresamos: 5 elevado
a la sexta potencia 6 5 elevado a la 6.
Se denomina Exponente la potencia a la cual se eleva un número y Base el número al
cual estamos aplicando la potenciación.
56
Base
Exponente
Recuerde que 54
no es 5 x 4, sino 5 x 5 x 5 x 5
Las calculadoras ofrecen la función de potenciación, generalmente, mediante teclas similares a las mostradas a continuación:
Xy
ó Yx
El procedimiento para su manejo es el siguiente:
Primero, teclee la base
Segundo, oprima la tecla potenciación
Tercero, teclee el exponente y luego la tecla "igual a" (=)
Ejemplos
1. Calcule el valor de 1,3512
1,35 = 36,6412
2. Calcule el valor de la siguiente expresión:
[4/5]5
[4/5] = 0,805 5
= 0,328
3. Calcule el valor de la siguiente expresión,
281/2
28 = 281/2 0.50
= 5,29
Ejercicios propuestos de potenciación
Calcule:
3. (2 )
1. (3 x 5)2
2. (2 x 0.5 x 1/5)1/2 5
4. (1 + 0.03)30/365
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Unidad 2 Conceptos Básicos de Matemáticas
Financieras
CONTENIDO
En esta unidad estudiaremos
El concepto de interés y tasa de
interés I,i
El concepto de interés simple Is
El concepto de interés compuesto
vencido Icv
El concepto de interés compuesto
anticipado Ica
CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Concepto de interés y tasa de interés
El dinero
Es un activo que posee una característica muy especial tiene la capacidad de generar más dinero en la medida que transcurre el tiempo.
El interés
Por tanto es el precio del dinero prestado o del crédito obtenido que produce una suma determinada a un porcentaje y en un tiempo dado.
Generalmente, y para efectos de abreviar, simbolizamos al
Interés con la letra "I" y siempre su resultado se expresa en
pesos ($).
La tasa de interés
Es el valor relativo o porcentual del interés.
Generalmente la tasa de Interés se expresa con la letra "i" y
en términos porcentuales "%".
Para efecto de los ejercicios a desarrollarse, en adelante utilizaremos los
siguientes conceptos Básicos:
Capital
Es el dinero que se invierte o se pide prestado hoy, lo
simbolizaremos así: C
Monto
Es el valor futuro de un capital que se invierte o se pide prestado.
Hoy en un tiempo determinado. Lo simbolizaremos así: M
Tiempo
Es el lapso de tiempo en días, meses, trimestres, años, etc., de una inversión o de un préstamo obtenido. Lo simbolizamos con
la letra t
Ejercicio:
Un cliente consignó en una cuenta de ahorros $50.000, al término de un año recibió
$68.000. Cual fue el Interés recibido y a que tasa de interés corresponda?
C= $50.000
M= $68.000
T= 1 año
I=?
i=?
Si el monto recibido al año fue de $68.000 y el capital que ahorró el cliente fue de
$50.000, la diferencia nos arroja el Interés que en el año generó el capital.
I = M - C
I = $ 68.000 - $50.000
I= $ 18.000
Por una regla de tres simple determinamos la tasa de interés que equivale al capital
ahorrado y al monto devengado al final del año, así:
$18.000 x 100%
$50.000 100%
$18.000 i
$50.000
Si,
i = = 36%
i = 36%
Del ejemplo anterior se deduce que la tasa de retorno es el valor de recuperación de
una inversión, medida en términos porcentuales.
Ejemplo
Un comerciante adquirió para su negocio un equipo que costó $4'000.000 y recibe
por esa inversión $140.000 mensuales Cual será la tasa de retorno de su inversión?
$140.000 i
Si, $4'000.000 100%
$140.000 x 100%
I = $140.000 Mensuales
i = ?
$4'000.000
C = $4'000.000
i = = 3.5%
Tasa de retorno = 3.5%
Ejemplo
1. Un ahorrador colocó en una cuenta de ahorros $3'200.000 . Al cabo de 12 meses
recibió al cancelar su cuenta $3'722.000 . ¿Qué interés ganó? y ¿a qué tasa le
pagaron su ahorro?
C = 3'200.000
M= 3'722.000
t = 12 meses
I = ?
i = ?
I= $ 3'722.000 - 3'200.000= $ 522.000
$522.000 i
Si, $3'200.000 100%
$522.000 x 100%$3'200.000
i = =16.31%
2. Un industrial adquirió equipos por $26'300.000 y espera recibir por la producción de
los nuevos equipos $540.000 mensuales. Cual será la tasa de retorno mensual?
$540.000 i
Si, $326'300.000 100%
$540.000 x 100%$26'300.000
i = = 2.05%
Tasa interna de retomo mensual = 2.05%
Ejercicios propuestos de interés y tasa de interés
1. Una persona invirtió en un Certificado a Término $1'500.000, al finalizar el plazo
pactado recibió $1.740.000.
¿Cuál fué el interés recibido y a qué tasa de interés le pagaron en los 6
meses?
2. El propietario de una papelería adquirió una fotocopiadora por $2';000.000 y espera
percibir por $2.700.000 y espera percibir por ingresos de fotocopias $70.000
mensuales.
¿Cuál será su tasa de retomo mensual?
Ver respuestas en la última página
Concepto de interés simple.
Interés simple
Es el valor que gana una suma de dinero en determinado tiempo, cuando sólo el capital o principal devenga intereses. Dicho de otra manera , es el que se obtiene del capital pero sin que los intereses se capitalicen.
El interés simple es igual al capital multiplicado por la tasa de Interés y por el tiempo de la inversión . Es decir :
I = C x i x tS
De la cual se pueden despejar cualquiera de sus variables:
i x tC = IS
C x ti =
IS
C x tt =
IS
Ejemplos
1. ¿Cual será el Interés simple producido por un capital de $ 1'700.000 a una tasa del
24% durante un año y cuál será su monto ?
Is = ?
M = ?
C =$1'700.000
i = 24% + 24/1 00 = 0. 24
t= 1 año
I = C x i x t
I =$1'700.OOOxO.24 x 1
I = $ 408. 000
I= M-C
M = C+l
M = $ 1 "700.000+ 408. 000
M = $ 2'1 08. 000
2. El señor Ramírez prestó al señor Gómez $500.000. Al cabo de un año el señor
Gómez le devolvió al señor Ramírez $525.000., ¿A qué tasa de Interés simple se
hizo el préstamo y cuál fue el Interés ganado por el señor Ramírez?
Is = ?
C = $ 500. 000 i = ?
t = 1 año
M= $525.000
C x ti =
IS Is = $25.000
pero Is = $525.000 - $500.000
$500.000 x 1i =
$25.000= 0,05 = 5%
i= 5%
3. El sr. Guillermo prestó a el Sr. Francisco $600.000. Al cabo de cierto tiempo el Sr.
Francisco devolvió a don Guillermo $675.000. La tasa pactada por ellos fue del
36%. Averigüe el tiempo acordado en la operación.
I = $675.000 - $600.000 = $75.000
C = $600.000
i = 36%= 0,36
t = ?
M = $675.000
$600.000 x0,36t =
$75.000C x i
Is=
$216.000 $75.000
=
t = 0,3472 x 12 = 4,1664
t = 4,1664 meses aproximadamente
Haciendo la prueba obtendremos que
I = C x i x t
I = 600.000 x 0.36 x 4,1664 / 12=$ 74.995,20
Lo que da aproximadamente el Interés obtenido por don Guillermo.
De los ejemplos anteriores podemos observar que:
Se entenderá que la tasa dada i, es anual , mientras no se especifique otra cosa
Siempre la tasa de Interés debe expresarse en términos del tiempo de la inversión o
viceversa. Es decir, siempre se debe expresar el tiempo, t, en términos de la tasa de
interés.
De ahí que cuando la tasa de interés está expresada anualmente y el tiempo de la
inversión, sea diferente a un año, debemos expresar , t, en términos de año Por tanto
la fórmula de interés simple queda así:
Is = C x i x t/360 lnterés Comercial
Is = C x i x t/365 lnterés real año 365 días.
Es conveniente siempre expresar la tasa "i" en términos decimales, es decir i/1 00.
Ejemplos
1. Teniendo en cuenta un año de 365 días, ¿Cuál será el interés simple de un dinero
prestado de $100.000 a una tasa de interés del 24% en 60 días?
C= $1 00.000
Is = ?
i= 24%
t= 60 días
Is = C x i x t/365
Is = $1 00.000 x 0.24 x 60 / 365
ls=$3.945, 21
2. ¿Cuál será el interés simple de un préstamo de $100.000 a una tasa de Interés del
24% en 4 meses?
C= $100. 000
IS = ?
i= 24%
t= 4 meses
Como |||||el tiempo, t,está dado en meses, a t lo dividimos en 12 meses que tiene un
año, por tanto la fórmula se expresa así.
Is = $100,000 x 0.24 x 4/12
Is = $ 8.000
Recordemos que:
Cuando la tasa i, no se especifica, se entenderá que es anual.
Pero hay ocasiones en que i, puede expresarse mensualmente o de
otra manera. Observemos los siguientes ejemplos :
Ejemplos
1.
C = $200.000
i = 3% anual
t = 8 meses
I = C x i x t
I = $ 4.000
2.
C = $200.000
i = 3% bimensual
t = 8 meses
I = C x I X t
I = $200.000 x 0.03 x 8/2
I = $ 24.000
Ejercicios propuestos de interés simple
1. Una persona tiene tres alternativas para invertir $5'400.000, a Interés simple
comercial (años de 365 días):
ALTERNATIVA (a) ALTERNATIVA (b) ALTERNATIVA (c)
C=$5.400.000 C=$5.400.000 C=$5.400.000
i=4% mensual i=36% i= 6% bimestral
t=9 meses t=12 meses t=10 meses
Is =? Is =? Is =?
De acuerdo con las diferentes alternativas propuestas, elija cual es la mejor de ellas.
Cuál será el interés simple comercial ganado por una suma de $2'750.000, si la tasa
es del 36%, invertidos a:
a) 90 días
b) 5 meses
c) 2 años
Concepto de interés compuesto vencido
Interés compuesto Es aquel que resulta cuando los intereses , que gana el capital
en un periodo se suman a éste, para conformar un nuevo capital Es decir el Interés compuesto es aquel que resulta cuando los intereses se capitalizan y ganan nuevos intereses.
La mayoría de las instituciones financieras en Colombia utilizan intereses compuestos tanto para las captaciones como para las colocaciones. gvfn v
La diferencia entre Interés. simple y compuesto radica en que mientras en el simple, los intereses se llevan a una nueva cuenta independiente del capital inmodificable, en los compuestos , los intereses producidos en un periodo se agregan al capital, conformando un nuevo saldo sobre el cual se liquidarán los intereses del periodo siguiente.
Ejemplo
1. Un deposito de $1'000.000 a un plazo de un año con una tasa del 10%
semestral, donde el total a favor del cliente sólo se entrega al final del periodo (año), evolucionará así , si los intereses se causan en forma simple:
Periodo (semestre)
Saldo inicial intereses del periodo
Saldo final
0 1'000.000
I 100.000 100.000 100.000
2 100.000 100.000 100.000
La cantidad total de dinero que se devolverá al cliente al cabo del año será
$1'200.000, de los cuales $200.000 corresponden a intereses y $1'000.000
al capital inicialmente invertido.
2. El mismo depósito con la modalidad de intereses COMPUESTOS
evolucionará así:
Periodo (semestre)
Saldo inicial intereses del periodo
Saldo final
0 1'000.000
1 1'000.000 100.000 1'100.000
2 1'100.000 110.000 1'210.000
La cantidad total de dinero que se devolverá al cliente al cabo del año será
$1'210.000, de los cuales $210.000 corresponden a intereses y 1'000.000 al
capital inicial invertido.
Deducción de la formula de interés compuesto vencido
Para efectos de entender mejor el Último ejemplo y de conceptualizar la fórmula de Interés compuesto procederemos a deducirla:
Sea:
C el capital invertido a interés compuesto durante t años, a una tasa i.
Al cabo del primer año, cada peso ganó i, es decir I+i y el capital c se habrá
convertido en: C(I+i)
Al cabo del segundo año, el nuevo capital C ( 1+i ) se habrá convertido en
C(l +i) (1 +i), por tanto el capital C queda C (1+i)2
.
Al cabo del tercer año, el nuevo capital C (1+i)2
habrá quedado convertido
en C C (1+i)2
(1+i), es decir: C (1+i)3
.
De tal manera podemos generalizar que el capital invertido a interés compuesto es:
M = C (1+i)n
Finalmente sabemos que I= M-C, reemplazando Monto tendremos que Ic = C (1+i) - Cn
factorizando:
Ic = C [(1+i) - 1]n
De donde lc Interés compuesto
C Capital inicial
i Tasa de Interés compuesta.
n Número de periodos de capitalización.
Ejemplo
1. Un capital de $720.000 colocado a una tasa del 24% convertible o capitalizable
anualmente, durante 4 años ¿qué monto producirá? y ¿a qué interés corresponde?
C = $720.000
i = 24% =0.24
t = 4 años
n =4
M =?
I = ?
M = C (1+i)n
M = $720.000 (1+0,24)4
M = $1'702.233,90
I = M - C
I = $1'702.233,90 - $720.000
I = $982.233,90
2. Un capital de $1'500.000 invertido a una tasa de Interés del 36%, ¿cuánto
devengaría de intereses en 90 días, tomando el año de 365 días?
C = $1'500.000
i = 36%
t = 90 días
n = 90/365
I = ?
I = C[(1+i) -1]n
I = $1'500.000 [(1+0,36) -1]90/365
I = $1'500.000 [0.0787663]
I = $118.149, 57
3. Un capital invertido de $2'000.000 a una tasa de Interés del 30%, ¿qué monto
recibirá al cabo de 30 días y a qué Interés corresponde?. Supóngase año de 365 días.
C= $2'000.000
t= 30 días
i= 30%
n= 30/365
M=?
I=?
M=C(1+1)exp.n
M= 2'000.000 (1 + 0.30)exp.30/365=2-000.0000 (1.0217984)
M= $2'043.596,74
I=M-C= 2'043.596,74 - 2'000.000= $43.596,74
Observemos que:
Hemos visto hasta el momento que las capitalizaciones se han efectuado al finalizar cada periodo.
Que estas capitalizaciones se pueden pactar diariamente, por meses, bimestres, semestres, etc. según se acuerde.
Recordemos que:
Para efectuar operaciones de potenciación con fraccionarios debemos elevar la base
con la tecla XY o yx
de la calculadora y luego digitar el exponente.
Si queremos guardar nuestro exponente en memoria oprimimos la tecla de memoria.
M ó M+
Si queremos ejecutar una operación con el dato almacenado en la memoria, la Ilamamos oprimiendo la tecla
Aplicabilidad de los intereses compuestos vencidos en una
corporación de ahorro y vivienda.
La aplicabilidad del interés compuesto vencido en una Corporación de Ahorro y Vivienda es amplia, ya que tanto para las captaciones como para las colocaciones el sistema de abono en cuenta de ahorros o de certificados en cualquiera de sus modalidades se efectúa por periodo vencido, al igual que para efectos de créditos de obligaciones hipotecarias otorgadas a nuestros clientes.
En la Unidad 4 veremos las diferentes aplicaciones del concepto de Interés vencido
para efectos de liquidación tanto de la corrección monetaria como de los intereses.
Ejercicios propuestos de interés compuesto vencido.
1. Elabore una tabla que muestre la evolución de una cuenta de ahorros que rinde el
12% mes vencido, cuando en ella se deposita $4'000.000 que permanecen durante
6 meses.
a) con intereses simples
b) con intereses compuestos vencidos.
2. Calcule cuál es el Interés compuesto vencido que devenga una inversión de
$850.000 a una tasa del 27,5 para 90 días (suponga año de 365 días).
3. Calcular los intereses producidos en 3 años por $1'500.000 que rentan al 35% .
a) con intereses simples
b) con intereses compuestos vencidos.
Ver respuestas en la última hoja
Concepto de interés compuesto anticipado.
Hasta el momento hemos visto que los intereses se liquidan finalizando el periodo de capitalización pactado.
Pues bien, cuando se pacta que los intereses o rendimientos de una inversión u obligación se paguen al principio del período se denomina INTERESES ANTICIPADOS.
Ejemplo
El 17 de marzo se liquidó una obligación de $1'500.000. El contrato del
empréstito suscrito con el cliente establece que la tasa de Interés será del 24%
anual, cobrado por mes anticipado, lo que equivale a una tasa del 2% mensual.
Se desea saber a cuánto ascienden los intereses del primer mes del crédito y cuándo deben ser cancelados.
C = $1'500.0000
i = 24% anual o 2% mensual, mes anticipado.
r = ? (del primer periodo) = I1
T1 =
$1'500.000 X 0.02
T1 =
$30.000 correspondientes al periodo comprendido entre el 17 de
marzo y el 17 de abril.
Por tratarse de intereses anticipados éstos se deben pagar al comienzo del
periodo, es decir el 17 de marzo.
Del ejemplo anterior observemos que.
Si la obligación se hubiese pactado con intereses del 24% mes vencido, los intereses
a pagar serian también $30.000, pero sólo tendrían que pagarse al final del periodo,
es decir, el 17 de abril.
El valor de los intereses, dado un saldo y una tasa de interés, es igual sin importar que sean vencido anticipados, sin embargo su ubicación en diferentes momentos del tiempo producen resultados financieros muy diferentes, tal como lo veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Supongamos un crédito de $100 con una tasa de Interés del 25% anual
anticipado.
El día inicial del crédito se calculan los intereses de todo el año:
I= $1 00 X 0.25 = $25. Los cuales se descuentan al cliente del
desembolso. Por tanto lo que se le entrega es:
DESEMBOLSO = $100 - 25 = $75
Al cabo del año el prestatario tendrá que cancelar sólo los $100 de capital,
por cuanto los intereses ya habían sido pagados durante el primer día.
El ejemplo anterior nos permite entender lo que sucede cuando los intereses deben ser pagados por anticipado:
En primer lugar, se recibe en préstamo menos dinero que el monto ofrecido, por cuanto se descuentan de antemano los intereses.
En segundo lugar, los intereses comparados con el desembolso efectivo de dinero,
representan un porcentaje mayor. En el ejemplo anterior, $25 de Interés en un crédito de
$100 representaría una tasa de Interés del 25% , pero comparada con un desembolso
de $75 significa una tasa del 33.33% ($25/75).
La relación entre los intereses cobrados por anticipado y la tasa de Interés que efectivamente se cobra en un periodo dado es de:
ief = i A
i A1 - donde
ief = TASA de Interés efectiva
iA = TASA de Interés anticipada
Para los datos del ejemplo anterior tendríamos:
ief = 0.251 - 0.25
= 33.33%
Ahora bien, así como para calcular el interés compuesto vencido vimos que se calcula con la
fórmula I = C[(1 + i1 - 1] existe una fórmula para calcular los intereses compuestos
anticipados de un capital o inversión dado:
En donde:
I = [ ]1
(1+i)A C 1 - n
IA = Interés anticipado
C = Capital inicial
i = Tasa de Interés anticipada
n = Número de periodos de capitalización.
Ejemplo
1. ¿Cuál es el Interés ganado de $100, en un año a una tasa de Interés
anticipada del 24%?
C = $100
i = 24% anticipado
n = 1
IA = ?
[ ]11.24
I = [ ]1
(1+i)A C 1 - n = 100 1 -
IA = $19.35
2. Con base en el ejemplo 1, calcule cuál seria el interés ganado, si la misma tasa fuera vencida.
[ ](1.24)I = [ ]V C (1+i) n = 100 - 1- 1
lV = $24
Ejercicios propuestos de interés compuesto anticipado
1. Calcular fa tasa mensual de interés que efectivamente se cobra en
un préstamo otorgado al 36% mes anticipado.
2. Supongamos un crédito por $1'800.000 con una tasa de Interés
anual anticipada del 27%, el cual se efectúa el 3 de abril
a. ¿A cuánto ascienden los intereses correspondientes al año?
b. ¿En qué fecha se deben pagar?
3. ¿Cuál es el Interés pagado en un inversión de $800.000 en un año
a una tasa de interés del 23% anticipado?
Ver respuestas en la última página
Unidad 3 Tasas Nominales y Efectivas
CONTENIDO
En esta unidad estudiaremos
Concepto de Tasa Nominal y efectiva i no
Conceptos de Tasas Equivalentes t eq
Conversiones de Tasas: Nominales a
Efectivas y Efectivas a Nominales i no
TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS
Concepto de tasa nominal y tasa efectiva
Tasa nominal
Es aquella que se pacta para una determinada operación o forma contractual. En otras palabras es aquella que se pacta de "nombre".
Tasa efectiva
Es aquella que realmente se paga al término de la operación.
Cuando los intereses se liquidan por períodos de capitalización inferiores a 1 año, es decir semestrales, mensuales o diarios, al igual que cuando se deben pagar en forma anticipada, surge una diferencia financiera entre la
tasa que aparentemente se cobra o paga (TASA NOMINAL) y la que realmente se paga o cobra (TASA EFECTIVA).
Ejemplo
1. ¿Cuál será la tasa efectiva de una inversión de $1.000, en un año, a una
tasa del 12% capitalizable mensualmente?
C = $1.000
i = 12% capitalizable mensualmente
t = 1 año
Sabiendo que M = C(1 + i)n procedemos a determinar cuántos
periodos de capitalización se efectúan en el año (n):
n = 12 X I = 12, efectivamente si la capitalización pactada es
mensual y la inversión es a 1 año (12 meses), se efectúan 12
capitalizaciones.
La tasa de Interés mensual es:
0.12i = 12% =
12anual = 0.01 (1%)
i= 12% = 0 12/12 anual = 0 01 (1 %)
M= $1000 (1+0.01)12
M= $1.126,83
I = $1.126,83 - $ 1.000
I = $126,83
Si el Interés liquidado al final de la inversión fue de $126,83 determinar
con regla de tres, cuál fue la tasa real o efectiva liquidada.
iSi, $1.000 100%
ef126,83
i ef =$1.000
126,83 x 100%
ief = 12.68%
2. ¿Cuál será la tasa efectiva de una inversión de $1.000, en un año, a
una tasa de interés del 12% capitalizable anualmente?
C= $1.000
i= 12% capitalizable anualmente
t= 1 año
1
0.12i = = 0.12
i= 0.12/1=0.12
n= 1 x 1
M= $1.000 (1 + 0.12)1
M= $1.120
I= $1.120 - 1.000
I= $120
XSi, $1.000 100%
ief120
i ef =$1.000
120 x 100%
ief = 12%
De los ejemplos anteriores OBSERVAMOS QUE:
En el ejemplo 1, se pactó una tasa del 12%, pero como ésta se capitaliza
mensualmente, la tasa real que fue liquidada corresponde al 12.68%
En el ejemplo 2, se pactó una tasa del 12% capitalizable anualmente y por tanto
la tasa real o efectiva que se liquida es la misma.
Por tanto podemos decir que: toda tasa NOMINAL es INFERIOR A LA EFECTIVA si y solamente si, los periodos de capitalización son inferiores a un
año. Al igual que si la TASA NOMINAL es pactada con capitalización anual, la
TASA EFECTIVA es la misma a la pactada.
Tasas equivalentes
De los ejemplos anteriores podemos decir también que de una Tasa NOMINAL dada
podemos calcular a qué tasa efectiva corresponde, es decir cuál es la tasa EQUIVALENTE.
Dos tasas anuales distintas de Interés con periodos de conversión o capitalización
diferentes, se Ilaman EQUIVALENTES, si al final del año resultan con el mismo
monto compuesto.
Ejemplo
CASO A CASO B
C= $1.000
i= 4% capitalizable trimestralmente
M = ?
4
0.04i = 4% = = 0.01
n= 1 x 4 = 4
C= $1.000
i = 4.06% capitalizable anualmente
M= ?
i = = 0.04061
0.0406
n= 1 x 1
M= C[(1 + i)n]
M = 1.000[(1 + 0.01)4]
M= $1040, 60
M= C[(i + i)n]
M = 1.000[(1 + 0.0406)1]
M= $ 1040, 60
Conversión de tasas nominales a efectivas y
viceversa.
Como lo hemos visto debido a la forma de capitalización que se pacte o el tipo de tasa ya sea vencida o anticipada, se ocasiona una diferencia financiera entre la tasa que se pacta y la que realmente se liquida.
También hemos estudiado como dos tasas diferentes pueden ser equivalentes si al finalizar el año el monto recibido en el mismo.
Pues bien, en el siguiente cuadro se establecerán las diferentes fórmulas para convertir tasas, nominales, ya sea que se pacten intereses anticipados o vencidos.
Fórmulas de conversión de tasas nominales a efectivas y de efectivas a nominales
TASA DE INTERÉS ANTICIPADA VENCIDA
Nominal (ino) [ ]( 1 + i )
1nef
1/n1 -
[ ]( 1 + i )n ef
1/n - 1
Efectiva (ief) [ ]( 1 - )
1i
n
- 1non
[ ]in
+ 1 - 1non
Donde:
ief es tasa de Interés efectiva
ino es tasa de Interés nominal
n es número de periodos de conversión o capitalización
Ejemplo
1. ¿A qué tasa nominal capitalizable trimestralmente y por anticipado
equivale una tasa efectiva del 22,77% ?
Ino Anticipada = [ ]( 1 + i )
1nef
1/n1 -
Ino Anticipada = [ ](1+0.2277)
14 1/41 -
lno Anticipada = 20%
Es decir una tasa efectiva del 22.77% equivale a una tasa nominal
del 20% capitalizable trimestralmente por anticipado.
2. qué tasa nominal capitalizable semestralmente y por periodo vencido
equivale a una tasa efectiva del 26.56%?
Ino Vencida = [ ]( 1 + i )n ef1/n - 1
Ino Vencida =
[ ](1+0.2656) - 12 1/2
Ino Vencida = 25%
Es decir una tasa efectiva del 26.56% equivale a una tasa nominal
vencida capitalizable semestralmente del 25%.
3. ¿A qué tasa efectiva equivale una tasa nominal del 33% capitalizable bimestralmente por anticipado?
lef Anticipada = [ ]( 1 - )
1i
n
- 1non
lef Anticipada = [ ]11-0.33
6
- 16
lef Anticipada = 40.41%
Por lo tanto, una tasa nominal del 33% capitalizable bimestralmente
por anticipado equivale a una tasa efectiva del 40.41 %.
4. ¿A qué tasa de Interés efectiva equivale una tasa nominal del 37%
capitalizable mensualmente por periodo vencido?
ief Vencida = [ ]in
+ 1 - 1non
ief Vencida = [ ]0.3712
+ 1 - 112
ief Vencida = 43,97%
Es decir una tasa nominal del 37% vencida capitalizable mensualmente equivale a una tasa efectiva del 43.97%.
5. ¿A qué tasa de Interés efectiva equivale una tasa nominal del 29%
vencida, capitalizable anualmente?
ief Vencida = [ ]in
+ 1 - 1non
ief Vencida = [ ]0.291
+ 1 - 11
ief Vencida = 29%
Por consiguiente, una tasa nominal vencida del 29% capitalizable anualmente equivale al 29%, es decir a la misma tasa.
En la tabla de tasas efectivas de la pagina siguiente,
determine las mismas tasas de los ejemplos vistos
anteriormente.
TASA DE INTERÉS EFECTIVO
Anticipado Vencido INTERES
NOMINAL
ANUAL MES BIMESTRE TRIMESTRE SEMESTRE AÑO MES BIMESTRE TRIMESTRE SEMESTRE AÑO
5% 5.14 5.15 5.16 5.19 5.26 5.12 5.11 5.09 5.06 5
6% 6.2 6.22 6.23 6.28 6.38 6.17 6.15 6.14 6.09 6
7% 7.27 7.29 7.32 7.39 7.53 7.23 7.21 7.19 7.12 7
8% 8.36 8.39 8.42 8.51 8.7 8.3 8.27 8.24 8.16 8
9% 9.45 9.49 9.53 9.65 9.89 9.38 9.34 9.31 9.2 9
10% 10.56 10.61 1066 10.8 11.11 10.47 10.43 10.38 10.25 10
11% 11.68 11.74 11.8 11.98 12.36 11.57 11.52 11.46 11.3 11
12% 12.82 12.89 12.96 13.17 13.64 12.68 12.62 12.55 12.36 12
13% 13.96 14.05 14.13 14.39 14.94 13.8 13.72 13.65 13.42 13
14% 15.12 15.22 15.32 15.62 16.28 14.93 14.84 14.75 14.49 14
15% 16.29 16.41 16.52 16.87 17.65 16.08 15.97 15.87 15.56 15
16% 17.48 17.61 14.74 18.15 19.05 17.23 17.11 16.99 16.64 16
17% 18.67 18.82 18.97 19.94 20.48 18.39 18.25 18.11 17.72 17
18% 19.89 20.05 20.22 20.76 21.95 19.56 19.41 19.25 18.81 18
19% 21.11 21.3 21.49 22.1 23.46 20.75 20.57 20.4 19.9 19
20% 22.35 22.56 22.77 23.46 25 21.94 21.74 21.55 21 20
21% 23.6 23.83 24.07 24.84 26.58 23.14 22.93 22.71 22.1 21
22% 24.86 25.12 25.39 26.25 28.23 24.53 24.12 23.88 23.21 22
23% 26.14 26.43 26.73 27.68 27.87 25.59 25.32 25.06 24.32 23
24% 27.43 27.75 28.08 31.58 26.82 26.53 26.25 25.44 24
25% 28.74 29.09 24.45 30.61 33.33 28.07 27.75 27.44 26.56 25
26% 30.06 30.45 30.84 32.12 35.14 29.33 28.98 28.65 27.69 26
27% 31.4 31.82 32.25 33.65 36.99 30.6 30.23 29.86 28.82 27
28% 32.75 33.21 33.68 35.21 38.89 31.89 31.48 31.08 29.96 28
29% 34.12 34.61 35.13 36.79 40.85 33.18 32.74 32.31 31.1 29
30% 35.5 36.04 36.59 38.41 42.86 39.49 34.01 33.55 32.25 30
31% 36.9 37.48 38.08 40.05 44.93 35.81 35.29 34.79 33.4 31
32% 38.31 38.94 39.59 41.72 47.06 37.14 36.58 36.05 3454 32
33% 39.74 40.41 41.12 43.43 49.25 38.48 37.88 37.31 35.72 33
34% 41.19 41.91 42.66 45.16 51.52 39.83 39.2 35.59 36.89 34
35% 42.65 43.42 44.23 46.92 53.85 41.2 40.52 39.87 38.06 35
36% 44.12 44.95 45.83 48.72 56.25 42.58 41.85 41.16 39.24 36
37% 45.62 46.51 47.44 50.55 58.73 43.97 43.2 42.46 40.42 37
38% 47.13 48.08 49.08 52.42 61.29 45.37 44.55 43.77 41.61 38
39% 48.66 49.67 50.73 54.32 63.93 46.78 45.91 45.08 42.8 39
40% 50.2 51.28 52.42 56.25 66.67 48.21 47.29 46.41 44 40
41% 51.77 52.91 54.12 58.22 69.49 49.65 48.68 47.77 45.2 41
42% 53.35 54.56 55.85 60.23 72.41 51.11 50.07 49.09 46.41 42
43% 54.94 56.23 57.6 62.28 75.44 52.57 51.48 50.44 47.62 43
44% 56.56 57.93 59.38 64.37 78.57 54.05 52.9 51.81 48.84 44
45% 58.19 59.64 61.19 66.49 81.82 55.55 54.33 53.18 50.06 45
46% 59.85 61.38 63.01 68.66 85.19 57.05 55.77 54.56 51.29 46
47% 61.52 63.14 64.87 70.87 88.68 58.57 57.22 55.95 52.52 47
48% 63.21 64.92 66.75 73.13 92.31 60.1 58.69 57.35 53.76 48
Ejercicios propuestos de tasas nominales y efectivas.
1. Calcule a que tasa nominal vencida capitalizable trimestralmente
equivale una tasa efectiva del 66.75%.
2. Calcule a qué tasa efectiva equivale una tasa nominal del 40%
capitalizable semestralmente y por periodo vencido.
3. Calcule a qué tasa nominal anticipada capitalizable mensualmente
equivale una tasa efectiva del 15,22%.
4. Calcule a qué tasa efectiva equivale una tasa del 48% anticipada
capitalizable bimestralmente.
5. Cuál es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal vencida,
capitalizable anualmente del 48%.
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Unidad 4 Tasa Efectiva con Rendimientos
CONTENIDO
En esta unidad estudiaremos
Concepto de correción monetaria C.M
Cálculos de redimientos compuestos
de corrección monetaria e intereses TEA
Ejercicios aplicados a:
Cuentas de Ahorro
Certificados de Ahorro en Valor Constante
Certificados de depósito a término
Ejs
TASA EFECTIVA CON RENDIMIENTOS
Concepto de corrección monetaria
Los efectos económicos producidos por desequilibrios de los mercados, de la producción y de los medios de pago, sumados a otros factores, generan el fenómeno inflacionario, alza generalizada y permanente en los niveles de los precios de los productos y servicios que se producen , lo cual conduce a un deterioro de los ingresos de las personas, como consecuencia de la pérdida del poder adquisitivo de la moneda.
La, corrección monetaria en un mecanismo que permite evitar que los ahorros e inversiones de los clientes de las corporaciones de ahorro y vivienda pierdan valor.
Mensualmente, el ente rector del sector financiera, y por tanto de las corporaciones de ahorro y vivienda, determine según lo ordenado la variación de la tasa de corrección monetaria.
Con base a esa variación se pueden efectuar cálculos comerciales sobre los rendimientos que pueden generar los diferentes sistemas de capitación y de colocación , teniendo en cuenta además de la corrección monetaria , las tasas de Interés que están vigentes.
Calculo de la tasa efectiva cuando los
rendimientos se componen de corrección
monetaria (cm) y tasa de interés.
La corrección monetaria es un tipo especial de Interés
La corrección monetaria siempre se expresa en términos de tasa efectiva .
Los intereses que manejan las corporaciones de ahorro y vivienda siempre se expresan en términos de tasa efectivas .
La corrección monetaria siempre se liquida y abona d[a vencido sobre saldo.
Los intereses se liquidan sobre el capital mis la corrección monetaria, es decir se liquidan sobre el capital reajustado por la corrección monetaria.
Por lo tanto se debe observar que se pagan intereses sobre intereses.
Recordemos la fórmula de interés compuesto vencido que estudiamos en la
unidad tres.
[ ](1 + i) -1I = C n
Utilizando esta fórmula podemos decir que cada peso de capital va a ganar CM e intereses,
por lo tanto:
[ ]= (1+CM) (I+i) - 1n/365
EFECTIVATASA
ANUAL
n/365
Ejemplo
Si la corrección monetaria en un determinado mes está en el 23.77%
y la tasa de Interés que se pacta es del 4%. ¿Cuál es la tasa efectiva
total incluida la corrección monetaria e intereses que se ganarían en un ario?
TEA = [(1+CM)n/365
(1+i) n/365
-1]
TEA = [1+0.2377) ( 1+ 0.04 1]
TEA = 28.72 %
Donde TEA: tasa efectiva anual .
Observemos que:
Cualquier persona desprevenida diría en el ejemplo anterior, que la tasa efectiva total
que se gana sería : 23.77% +4% es decir 27.77%. Lo cual no es cierto como vimos
en el ejemplo.
No se pueden sumar las tasas, ya que se están liquidando intereses sobre intereses, es decir se liquidan intereses compuestos.
Tanto la tasa de corrección monetaria como la de intereses están expresadas en términos anuales.
Así como se efectúa el cálculo de la tasa efectiva anual, podemos efectuar cálculos según el número de días que se desee, así:
TEndías = [ (1+CM)n/365
(1+i )n/365
-1]
Que seria lo mismo que calcular en primer lugar la tasa efectiva anual con CM de Interés y luego hallar la efectiva para el número de días que se necesite calcular.
Ejemplo
Calcular cuál es la tasa efectiva para 90 días si la CM es del 23.77%
y la tasa de Interés es del 3.5%.
TE = [( 1+0.2377) ( 1+0.035)- 1 ]
TEA = 28.1 0%
Calculemos la tasa de Interés para los 90 días:
TE = 90 días = (1+0.2810)90/365
-1
TE 90 días = 6.30%
Es importante observar que para efectos de calcular la tasa efectiva para determinado número de días se tiene en cuenta año de 365 días ya que tanto la corrección monetaria como los intereses se causan día corrido.
Ejercicios aplicados a la información comercial
de los rendimientos de los productos básicos de la
corporación
Ejemplo
1. UN cliente se acerca a una oficina a preguntar cuanto ganaría por rendimiento una cuenta de ahorros al valor constante en un trimestre
dejando $12'000.000 fijos en la cuenta, suponiendo lo siguiente:
C. M= 25.60%
i = i %
Número de días del trimestre = 92
T. E.A: [(l +0.2560) ( 1 +0,01)-l ]
T.-E.A-. 26.86%
I = 12'000. 000 [(l +O. 2686)92/365
-1]
I= $741.622,50
La cuenta ganaría aproximadamente, sin tener en cuenta las variaciones de la corrección monetaria durante el trimestre,
aproximadamente $741.622,50 por corrección monetaria e
intereses.
2. Si un cliente deja en su cuenta de ahorros sumadiario digital fijos
$250.000, cuánto ganaría por intereses en un mes? suponiendo
que:
i = 8%
número d[as del mes = 30
i = $250.000 [(l+ 0.08)30/365
-1]
I= $ 1.586,40
3. Un cliente se acerca a una oficina y pregunta cuánto ganaría en un
Certificado de ahorro de valor - constante por $1'600.000 a 6
meses. Suponiendo que:
CM = 24%
i= 4%
número de días del semestre = 182
T.E.A.=[(1+0.24) (1+ 0.04) -1]
T.E.A.=28,96%
I = 1'600.000 [ (1+0.2896)182/365
-1]
I = $ 216.335,98
Aproximadamente, sin tener en cuenta las variaciones de la corrección monetaria en el semestre correspondiente.
5. ¿Cuál será la tasa efectiva a 3 meses correspondiente para hacer
inversión en un Certificado de ahorro de Valor Constante si la CM es
de 25% y la tasa de interés es del 3%, suponiendo un trimestre de
90 días?
T. E.A = [ ( 1+0.25) ( 1+0.03) - 11
T.E.A= 28,75%
T. E.90 días [(1+0. 2875)90/365
-1]
T. E90 días = [ 1. 0642924 -1 ]
T- E90 días = 6.43%
6. Qué rendimientos mensuales, aproximados, devengaría un Certificado de Ahorro de Valor Constante de rentabilidad por
$3'000.000 a seis meses. Suponiendo que:
C:M =23.77%
i =4%
meses de 30 días
T.E.A = [( i+0.2377) ( 1 + 0.04)-11
T.E.A = 28.72 %
I por meses de 30 días = 3'000.000 [(1+0.2872)30/365
-1
I por mes de 30 días = $62.903,10
Aproximadamente, sin tener en cuenta las variaciones de la corrección Monetaria durante los 6 meses de la inversión,
devengaría mensualmente por rendimientos $62.903,10.
7. Un cliente se acerca a preguntar a una oficina ¿Cuánto ganaría por
$8'000.000 a 3 meses en un Certificado de Deposito a Termino en
pesos?. Suponiendo que:
i = 29%
número de días de los tres meses = 91
I = 8'000.000 [(1+0.29)91/365
-1
I = $524.357,76
Ejercicios propuestos de tasa efectiva con rendimientos porcorrección monetaria e intereses.
1. Calcular cuál es la tasa efectiva anual si la corrección monetaria es
del 25.60% y la tasa de interés es del 6%.
2. Calcular cuál es la tasa efectiva para 90 días, si la CM es del
25.60% y la tasa de Interés es del 6%.
3. Un cliente se acerca a una oficina para informarse cuánto
devengarían $900.000 en un Certificado de Ahorro de Valor
Constante, a 3 meses (91 días), suponiendo una CM=25.65% y
una tasa de Interés del 2%.
4. Cuánto devengaría mensualmente por rendimiento en C.A.V.C. de
rentabilidad por $1'200.000 a tres meses. Suponiendo C.M. del
24%, tasa de Interés del 3% y meses de 30 días.
5. Cuánto ganaría en intereses un Certificado de deposito a termino de
$15'000.000 en tres meses (91 días) a una tasa pactada del
31%?
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FÓRMULAS VISTAS EN EL MODULO DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Formula Variables
Interés Simple
M = C+ix t Is = Interés simple
C = Capital
i = Tasa de interés simple
t = Tiempo
Monto Compuesto Vencido
Ic = C (1+i)n
M = Monto
C = Capital
i = Tasa de interés vencida
n = Número de períodos capitalización
Interés Compuesto Vencido
Ic = C [(1+i)n-1]
Ic = Interés compuesto vencido
C = Capital
i = Tasa de interés vencida
n = Número de periodos de capitalización
Equivalencia Tasa de Interés Efectiva
1 -ief =
i A
IA
ief = Tasa de interés efectiva
iA = Tasa de interés anticipada
Interés Anticipado
[ ]C(1 + i)n
iA = 1- 1
IA = Interés anticipado
C = Capital
i = Tasa de interés anticipada
n = Número de periodos de capitalización
Conversión de una Tasa Efectiva a una Tasa Nominal Anticipada
[ ]n(1 + )i 1/nef
ino = 1- 1
ino = Tasa de interés nominal anticipada
n = Número de periodos de capitalización
ief = Tasa de interés efectiva
Conversión de una Tasa Efectiva a una Tasa Nominal Vencida.
[ ]n (1 + ) -1i 1/nefino =
ino = Tasa de interés nominal vencida
n = Número de periodos de capitalización
ief = Tasa de interés efectiva
Conversión de una Tasa Nominal Anticipada a una Tasa Efectiva.
[ ]in1- 1no
n
ief = 1 -
ief = Tasa efectiva
ino = Tasa nominal anticipada
n = Número de períodos de capitalización
Conversión de una Tasa Nominal Vencida a Tasa Efectiva.
[ ]in
+ 1 - 1non
ief =
ief = Tasa efectiva
ino = Tasa nominal vencida
n = Número de períodos de capitalización
Tasa Efectiva con Corrección Monetaria.
T.E. = [(1+C.M.)n/365
(1+i)n/365
-1)
T.E. = Tasa efectiva
C.M. = Corrección monetaria
n = Número días de capitalización
i = Tasa de interés vencida
2. Porcentajes
1. a) 0.26
b) 0.185
c) 0.01
d) 0.014
e) 2.5
2. a) $90.000
b) 2'016.000
c) 32.22
d) 36
e) 180
3. a) 746.268.66
b) 15.67
c) 37.31
d) 5.970.140.25
4. a) 25.3%
b) 8.43%
c) 250%
3. Potenciación
1. 225
2. 0.008
3. 97.66
4. 1.0024324
4. Interés y tasa de interés
1. I=$240.000
i=16%
2. Tasa de retorno mensual: 2.59%
5. Interés simple:
1. Desde el punto de vista de Interés devengados la alternativa A y B son la misma. En la alternativa C gana meses interés.
2. a) $247.500
b) $412.500
c) $1'980.000
6.Interés Compuesto Vencido
1. a)
Mes Saldo capital Interés mes Interés Acumulado
1. 4'000.000 40.000 40.000
2. 4'000.000 40.000 80.000
3. 4'000.000 40.000 120.000
4. 4'000.000 40.000 160.000
5. 4'000.000 40.000 200.000
6. 4'000.000 40.000 240.000
b)
Mes Capital comienzo/mes Interés mes Capital fin de mes
1. 4'000.000 40.000 4'040.000
2. 4'040.000 40.400 4'080.400
3. 4'080.000 40.804 4'121.204
4. 4'121.204 41.212 4'162.416
5. 4'162.416 41.624 4'204.040
6. 4'204.040 42.040 4'246.081
2.
$52.474.91
3.
a) 1'575.000
b) 2'190. 562,50
7. lnterés compuesto anticipado.
1. 3.09%
2. a) $486.000
b) El 3 de abril
3. $149.593, 50
8. Tasas de nominales y efectivas.
1. 1. 54.54%
2. 2. 44%
3. 3.114%
4. 4. 64.92%
5. 48%
9. Tasa efectiva con rendimientos por corrección monetaria e interés..
1 33.14%
2 7.31%
3 $57.429, 56
4 $24.376,13
5 $ 1'044.595