Valery Gutièrrez Lisbeth Jimènez

6º. Secretariado A

¿Qué son conjuntos? Es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. . Cada uno de los objetos de los conjuntos son un elemento o miembro del conjunto.

Los objetos de los conjuntos pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc

¿Conjuntos? ¿Qué es eso?

Un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, vacíos o unitarios. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

En este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

Es el conjunto al que no se le puede determinar cardinalidad.

Ejemplo:B= {x/x es múltiplo de 4}

M={4,8,12,16,20…}

Nota: Utiliza puntos suspensivos para indicar que el conjunto no tiene fin

Cuenta las estrellas… Haber si puedes

Ejemplo 2:

D= {x/x es un número }

J={0, 1, 2, 3,…}

Es el conjunto al

que se le puede

determinar su

cardinalidad.

Ejemplo

M={x/x es divisor de 24}

M={1,2,3,4,6,8,12,24}

¡Al fin! O ¿no?

Ejemplo 2:J={x/x es dedos de la mano}J= {pulgar, índice, meñique, medio, anular}

Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto {1, 2, ..., n}, para algún número natural n.

Es el conjunto cuya cardinalidad es cero (0) ya que carece de elementos. El símbolo del conjunto vacío es [ ] Ejemplo:

C={x/x sea habitante del sol}

C={ }Ejemplo 2:A={x/x sea habitante de Plutón}A={ }

Es el conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula. Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío

Ejemplo:

D={x/x sea vocal de la palabra

“pez”}

D={e}Ejemplo 2:F={x/x no sea vocal de la palabra semana}F={s, m, n}

Es un conjunto con un único elemento. Por ejemplo, el conjunto { 0 } es un conjunto unitario. Observe que un conjunto como, por ejemplo, { { 1, 2, 3 } } es también un conjunto unitario: el único elemento es un conjunto (que, sin embargo, no es unitario). Un conjunto es unitario si y solamente si su cardinalidad es uno.

Conjunto UniversalEl conjunto “u” es decir conjunto universo contiene a todos los conjuntos. Ejemplo:

2 8 4 6 1 3 52 9 7

A B1218

1315

11

14

20

1716

19

10

U

Es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos de estudio son los números naturales, por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números naturales N. Al conjunto universal también se le denomina conjunto referencial, universo del discurso o clase universal, según el contexto, y se denota habitualmente por U o V.

El conjunto universal es entonces el elemento absorbente de la unión y el elemento neutro de la intersección. Una vez definido un conjunto universal, puede definirse el conjunto complementario de otro, a partir de la operación de diferencia de conjuntos:

A = UB = U

Unión e intersección de conjuntos

Unión: Conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a dos o más conjuntos dados

S={2. 6,10,14,18}

T={4,8,12,16}

M={a,b,n,i,c,o}

N={b,o,l,e,t,a}S U T={2,4,6,8,10,12,14,16,18}

M U N={a,b,n,i,co,l,e,t}

La unión de dos (o más)

conjuntos es una operación

que resulta en otro conjunto

cuyos elementos son los

elementos de los conjuntos

iniciales. Por ejemplo, el

conjunto de los números

naturales es la unión del

conjunto de los números

pares positivos P y el

conjunto de los números

impares positivos I:

P = {2, 4, 6, ...}

I = {1, 3, 5, ...}

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

La unión de conjuntos se

denota por el símbolo ∪, de

modo que por ejemplo, N =

P ∪ I.

 Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A :A ∪ B = B ∪ A.Elemento neutro. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A:A ∪ ∅ = ATodas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica.En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas:Propiedad distributivaA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:A ∪ (A ∩ B) = AA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:A ∩ (A ∪ B) = A

Intersección de conjuntos

Conjunto formado

por los elementos

comunes a los

conjuntos dados.

Ejemplo: *basado en los

conjuntos dados

anteriormente*

S n T= { }

M n N={a, n}

Nota: Cuando el conjunto es vació, los subconjuntos reciben el nombre de disjuntos o ajenos.

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C. la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D :P = {2, 4, 6, 8, 10,...}C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}D = {4, 16, 36, 64, ...}La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Los diagramas de Venn son ilustraciones

usadas en la rama de la Matemática y Lógica

de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para

mostrar gráficamente la

agrupación de cosas elementos

en conjuntos, representando

cada conjunto mediante un

círculo o un óvalo. La posición

relativa en el plano de tales

círculos muestra la relación

entre los conjuntos. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

E

GF

Unión utilizando diagramas de Venn

Nota: Puedes representar gráficamente la unión, sombreando las regiones completas que corresponden al conjunto.

Ejemplo:

A U B248

6 7

5

0 1

3

Operaciones con diagramas de Venn: La operaciones de unión, intersección, diferencia, complemento, etc. permiten representarse e interpretarse a través de los diagramas de Venn, permitiendo mayor comprensión de las mismas, por ejemplo: Dados los Conjuntos: A = { 3, 5, 7, 9} B = { 1, 2, 3, 4, 5} C = {4, 5, 6, 7, 8} La operación de unión entre los conjuntos A y B es: (A u B)

Unión e intersección entre tres conjuntos

para A u B u C:

Y la intersección entre los tres conjuntos A n B n C es:

La Intersección entre conjuntos, mediante diagramas de Venn se representa resaltando la zona en común, es decir la parte solapada en donde tienen elementos en común. Tomando los mismos conjuntos A, B, y C:A n B:

Diferencia de conjuntos

La diferencia de conjuntos se obtiene resaltando únicamente los elementos del primer conjunto, sin considerar los elementos que puedan tener en común con el otro conjunto (es decir sin considerar la intersección entre los conjuntos). 

10

20

30

40

50

15

5

X Y

Ejemplo:

X-Y={ 30, 40, 50}

Y-X={5,15}

Siguiendo con los conjuntos A, B y C, veamos las siguientes operaciónes de diferencia:A - B :

B - A :

En la Diferencia Simétrica de Conjuntos se consideran todos los elementos que hacen parte de los elementos que se estén operando, excluyendo (sin tener en cuenta) los que hacen parte de la intersección. Por ejemplo, considerando los mismos conjuntos A, B, y C:

Es la unión de los conjuntos A-B con B-A. Observa el ejemplo: A

B

A B={ }

B A { }

Es otro conjunto que contiene todos los elementos

que no están en el conjunto original. Para poder

definirlo es necesario especificar qué tipo de

elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es

el conjunto universal complementario se denota por

una barra vertical o por el superíndice «∁», por lo que

se tiene: P∁ = C, y también C = P.. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:P = {2, 3, 5, 7, ...}C = {1, 4, 6, 8, 9,...}A su vez, el conjunto C es el

complementario de P.

Ejemplo: Es la diferencia entre el conjunto universal y A.Ejemplo:

U={x/x es día de la semana}S={lunes, martes, miércoles, jueves,

viernes}Sc= {sábado, domingo}

Ejemplo 2:U= {x/x a, b, c, d, e, f, g, h}D= { c, a, f, e}Dc= { b, d, g, h}

El producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B

= {a, b}, su producto cartesiano es:A × B = {(1, a), (1, b), (2, a),

(2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4,

b)}El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto

A cada pareja se le llama par ordenado, porque el primer miembro pertenece a A y el segundo pertenece a B

Ejemplo:a b c

d

123

A

B

A X B={(1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d)}

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

Plano cartesiano

Se puede representar gráficamente el producto cartesiano, utilizando un plano cartesiano.

0 1 2 3 4

g

h

B

AA= {1, 2, 3, 4}B= {g, h}A X B={ (1,g), (1,h), (2,g), (2,h), (3,g), (3,h), (4,g), (4,h)}

Observa que a cada par ordenado le corresponde un solo punto en el plano cartesiano. La recta horizontal muestra los elementos de A y la recta vertical muestra los elementos de B.

Hoja de trabajo

1. Utiliza los siguientes conjuntos para realizar la operación que se te indica.

A={ 10, 20, 30, 40, 50} V= { v, a, s, o}B={2, 4, 6, 8, 10} W={a, e, i, o, u}C={1, 2, 3, 6, 9, 18} X={e, i}

a)A U B= {3, 6, 9, 12} g) b)C n B= { }c)A U C= { 10, 20, 30, 40, 50, 1, 2, 3, 6, 9. 13}d)B n C={ }e)A n B = { }f ) V U X= {v, a, s, o, e, i}g) V n X= { }

2. Utiliza los conjuntos para efectuar cada operaciòn.

L={3, 6, 9, 12, 15} P={ a, e, i, o ,u}M={1, 3, 5, 7, 9} Q={y, a, t, e}N={ 6, 7, 8, 9, 10} R={m, a, n, g, o}

2.1 2.2L – M Q - PN – L R - PM – N Q - R

3. Encuentra la diferencia simètrica de cada par de conjuntos.

3. 1 3.2P={11, 13, 15, 17, 19, 21} S={ma, pa, che}D={ 12, 15, 18, 21, 24} Q={a, fi, che}

P – D= { 13, 19, 17, 11}S – Q= { ma, pa}D – P= { 12, 18, 24}Q – S= { a, fi}P D ={ 13, 19, 17, 11} U { 12, 18, 24}Q S = {ma, pa} U { a, fi}

4. Encuentra el producto cartesiano. Luego presentarlo en la gráfica. Recuerda escribir en cada recta los elementos que corresponden.

4. 1 L={rosa, clavel, crisantemo}C={Blanco, amarillo}L X C=

B={m, n}V={a, e, i, o, u}

5. Sean los conjuntos

U= { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}E= { 1, 2, 3, 4, 5, 6}F= { 2, 4, 6, 8, 10}G= { 3, 6, 9}H= { 0, 3, 10}

a) Halla la unión de conjuntos E, F, G, H y represéntalos por extensión.

b) Represéntala en un diagrama de Venn

6. A partir del conjunto universoU= {àguila, murcièlago, guacamaya, lobo, puma}y las proposición es e= {e es un animal que vuela y f= x es un mamífero, encuentra

a)La representaciòn por extensiòn de los conjuntos E y Fb) La representaci``on por extensiòn del conjunto E n F.

c) La representaciòn de diagrama de Venn del conjunto E n F.

7. Con el conjunto U= { x/x <20, con x un nùmero natural }, halla:

a) Los conjuntos A y B, si A= {x/x es un mùltiplo de 3} y a la vez B= {x/x es un nùmero par}

b) La diferencia A-B y represèntalas por diagrama de Venn.

8. El guardarropa de una chica llevaba a un viaje corto esta compuesto por tres blusas, una roja, una azul y una estampada. Y dos pantalones, unos jeans y un tipo de pescador

a) Forma el grupo universo (ropa) y dos conjuntos, B (blusas) y P (pantalones), con estas prendas.

b) Encuentra el producto de B X Pc) Encuentra el producto de P X B

9. Dados los conjuntos:A= { 3, 6, 9, 12}B= { 25, 36, 49}C={ 4, 8, 12, 16}D {4, 5, 6, 7, 12}

Escribe en forma enumerativa, el resultado de los siguientes operaciones.

1. A U C 2. C n D 3. C n B4. C n B 5. A U B U C 6. A n B n C7. A n B U C 8. C U D U B

10. Dado los conjuntosC= {a, b, c, d}D= { c, d, e, f}E= {d, h, i, j, k}Representa en diagramas de Venn estas operaciones

1.C – D2.E – C3.D –C4.D – E5.C – E6.E - D

Conclusiones• La distribución de

los elementos de un conjunto y su subdivisión formando nuevos conjuntos.

• El reconocimiento entre la unión y la intersección de conjuntos que contiene cada agrupación de números, objetos, etc.

• También observamos la ejemplificación de los elementos y conjuntos en las actividades diarias que se realizan los seres humanos.

• La diferencias teóricas entre diferencias simétrica y diferencia entre conjuntos, tanto como la diferencia en la realización de ejercicios y ejemplos.

• El proceso que lleva el plano cartesiano, primero pasa a ser producto cartesiano para luego poder ser graficado.

Conclusions

• The distribution of the elements of a set and its subdivision forming new sets.

• Recognition between the union and intersection of sets containing each grouping of numbers, objects, etc..

• Also note the exemplification of the elements and sets in daily activities that humans perform

• The theoretical difference between symmetrical and difference differences between sets, as well as the difference in the exercises and examples.

• The process leading the Cartesian plane, becomes first cartesian product and then to be plotted.

Recomendaciones:

•Se explicara más a fondo del tema.•Se realizaran más ejercicios prácticos relacionados con las actividades diarias para que sea más fácil su comprensión.•Que la práctica llevara también más teoría para facilitar la compresión sobre los diferentes subtemas en los cuales se desglosa el tema central y que se llevaràn a cabo ejemplos en la aplicación de dichos temas en la vida diaria.•La realización de diversas charlas para discutir sobre la mejor manera manifestar las dudas u opiniones que tengamos sobre el tema hablado.•Crear un apoyo en el cual la persona que necesita aprender el tema tenga suporte en el cual se pueda guiar en caso de dudas que cree a través de la comprensión que realiza al leer los diferentes temas de conjuntos.

Recomendacions

•It further explain the subject.•Will there be more practical exercises related to daily activities to make it easier to understand.•They also take more practice theory to facilitate understanding on various subtopics in which the central theme is broken down and that will take place in the application examples of such issues in everyday life.•Conducting several talks to discuss the best way to express doubts or opinions on the subject have spoken.•Create a support in which the person who needs to have support on learning the subject in which they can guide questions if you think through the understanding that makes reading the different topics sets.

Summary:

•Sets: It is a collection of objects that contain a set.•Universal Sets: It is all the sets. •Union and intersection of sets: •Union: It is containing in two sets.•Intersection: It is containing only the common elements.•Union using Venn diagrams: It is when we use graphics to represent the sets.

• Sets Difference: are the elements that contain the first set but do not contain the second.

• Symmetric difference of sets: It is the element that only contain A or B depending which is the first.

• Complement set of a set: It is the same elements that have Universal set and A.

•

• Cartesian product: It is a ordered pair that belongs A and B.

• Cartesian plane: It is a graphic that ilustrate the cartesian product.

Bibliografìa

• Libro: Matemàtica Activa•Editores: Daniel Garcia, Javier Fraile y Carmen Gònzales.•Editorial Piedra Santa•Ediciòn 2007

•Libro Matemàtica Interactiva 6•Editor : Enrique Ortiz Sobalvarro•Editorial EDESSA