Post on 16-Jan-2017
MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/201427 November 2013
Latihan (Kuliah yang Lalu)Latihan (Kuliah yang Lalu)
1 Tentukan )10(2xd
1. Tentukan
2 i l h
).10(dx
1
35 dx2. Hitunglah 0
3 .5 dxx
1ax
3. Buktikan bahwa monoton.
Tentukan inversnya
,1,11
aaay x
Tentukan inversnya.
11/27/2013 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
6 5 Pertumbuhan dan Peluruhan Ekponensial6.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Ekponensial
‐Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danberkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.
6 6 F i T i i I6.6 Fungsi Trigonometri Invers
‐Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).
11/27/2013 3(c) Hendra Gunawan
6.5 PERTUMBUHAN DAN PELURUHANMA1101 MATEMATIKA 1A
EKSPONENSIAL‐Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.
11/27/2013 4(c) Hendra Gunawan
Pertumbuhan EksponensialPertumbuhan Eksponensial
Misalkan suatu populasi bertambah sebesar ∆yp p ydalam waktu ∆t, dan pertambahan populasi tsbsebanding dengan banyaknya penduduk padawaktu itu dan dengan lebar selang waktu, yakni
∆y = k y ∆t.
dengan y = y(t) menyatakan jumlah populasi padasaat t, dan k konstanta. Jadi,
kyxy
dtdy
tlim
0
11/27/2013dtk
ydy .
5(c) Hendra Gunawan
I t lk k d kit l hIntegralkan kedua ruas, kita peroleh
Ckty lnktCkt Aeey
y
Misalkan diketahui jumlah populasi awal y(0) = y0. Maka y = Ae0 = A sehinggaMaka y0 = Ae = A, sehingga
y = y0 ekt.
Nilai k dapat ditentukan apabila kita mempunyaiinformasi tambahan, misalnya y(10) = 2y0 (waktumelipat ganda = 10 satuan waktu).11/27/2013 6(c) Hendra Gunawan
ContohContoh
Misalkan suatu koloni bakteri berkembang biakdengan laju sebanding dengan banyaknya bak‐teri pada saat itu. Bila pada awal pengamatanterdapat 10.000 bakteri dan setelah 10 hariterdapat 24.000 bakteri, berapa banyaknyabakteri setelah 25 hari?
Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyaJawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyabakteri pada saat t. Maka (seperti tadi)
kdy11/27/2013
ktAeykydtdy
7(c) Hendra Gunawan
P d t t 0 dik t h i 10 000 J diPada saat t = 0, diketahui y = 10.000. Jadi
10.000 = A.e0 = A,
sehingga y = 10.000ekt.
Pada saat t = 10, diketahui y = 24.000. JadiPada saat t 10, diketahui y 24.000. Jadi
24.000 = 10.000e10k,
hi 4210ksehingga
4,2ln104,210
ke k
Pada saat t =25,.4,2ln10
1k,
11/27/2013 8(c) Hendra Gunawan
.)4,2(000.10000.10 5,24,2ln)5,2( ey
Peluruhan EksponensialPeluruhan Eksponensial
Mirip dengan pertumbuhan eksponensial yangMirip dengan pertumbuhan eksponensial yang terjadi pada suatu populasi, peluruhan ekspo‐nensial terjadi pada zat radioaktifnensial terjadi pada zat radioaktif.
Zat radioaktif meluruh dengan laju sebandingdengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itudengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu.
Jika y = y(t) menyatakan banyaknya zat yang i d ktersisa pada saat t, maka
)0(; kAeykydy kt
11/27/2013 9(c) Hendra Gunawan
)0(; kAeykydt
Hukum Pendinginan NewtonHukum Pendinginan Newton
Jika suatu benda dimasukkan ke dalam ruanganJika suatu benda dimasukkan ke dalam ruangandengan suhu tetap T1, maka ‐‐menurut Newton‐‐benda tsb akan mengalami pendinginan denganbenda tsb akan mengalami pendinginan denganlaju sebanding dengan selisih suhunya (T) dengansuhu ruangan (T1) yaknisuhu ruangan (T1), yakni
1( ).dT k T Td
Jadi kita peroleh
1( )dt
1 .ktT T Ae
11/27/2013 (c) Hendra Gunawan 10
LatihanLatihan
Misalkan suatu zat radioaktif meluruh denganlaju sebanding dengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu. Diketahui pada awal peng‐amatan terdapat 20 gram dan setelah 1 tahuntersisa 15 gram. Tentukan waktu paruh zat tsb.
Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyazat pada saat t Makazat pada saat t. Maka …
11/27/2013 11(c) Hendra Gunawan
6.6 FUNGSI TRIGONOMETRI INVERSMA1101 MATEMATIKA 1A
‐Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).( g y g )
11/27/2013 12(c) Hendra Gunawan
Fungsi Trigonometri InversFungsi Trigonometri InversFungsi y = sin x naik pada [‐π/2, π/2], karena itumempunyai invers x = sin‐1 y pada [‐1, 1].
x = sin‐1 y, ‐1 ≤ y ≤ 1 j.h.j. y = sin x, ‐π/2 ≤ x ≤ π/2.y y j j y
Fungsi y = cos x turun pada [0 π] karena ituFungsi y = cos x turun pada [0, π], karena itumempunyai invers x = cos‐1 y pada [‐1, 1].
1 1 ≤ ≤ 1 j h j 0 ≤ ≤x = cos‐1 y, ‐1 ≤ y ≤ 1 j.h.j. y = cos x, 0 ≤ x ≤ π.
11/27/2013 13(c) Hendra Gunawan
Fungsi Trigonometri InversFungsi Trigonometri InversFungsi y = tan x naik pada (‐π/2, π/2), karena itumempunyai invers x = sin‐1 y pada (‐∞, ∞).
x = tan‐1 y, ‐∞< x <∞ j.h.j. y = tan x, ‐π/2 < x < π/2.y j j y
Fungsi y = sec x 1 1 pada [0 π] – {π/2} karena ituFungsi y = sec x 1‐1 pada [0, π] – {π/2}, karena itumempunyai invers x = sec‐1 y pada {y : |y| ≥ 1}.
1 | |≥ 1 j h j 0 ≤ ≤ /2x = sec‐1 y, |y|≥ 1 j.h.j. y = sec x, 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2.
11/27/2013 14(c) Hendra Gunawan
Grafik Fungsi Trigonometri InversGrafik Fungsi Trigonometri Invers
y y = sin‐1 x
1
y y = sin x
1
11 x
y = sin x
‐1
1‐1 x
11/27/2013 (c) Hendra Gunawan 15
ContohContoh
11 4
)2(sin 211
3)(cos 2
11
4)1(tan 1
.)1(sec4
1
11/27/2013 16(c) Hendra Gunawan
Beberapa KesamaanBeberapa Kesamaan
1 2sin(cos ) 1x x 1 2
sin(cos ) 1
cos(sin ) 1
x x
x x
1 2
cos(sin ) 1
sec(tan ) 1
x x
x x 1 2tan(sec ) 1x x
( : 1; : 1)jika x jika x
11/27/2013 17(c) Hendra Gunawan
ContohContoh
1 1 12 2 21 i (2 ) 2 i ( ) ( )1 1 12 2 23 3 3
2
1.sin(2cos ) 2sin(cos )cos(cos )
2 4 5
223
2 4 52 1 ( ) . .3 9
.1)cos(sin
)sin(sin)tan(sin.221
11 x
xxx
1)cos(sin 2xx
11/27/2013 18(c) Hendra Gunawan
Turunan Fungsi Trigonometri InversTurunan Fungsi Trigonometri Invers
11,1sin2
1 xxdd
1111
1
2
dxdx
11,1
cos2
1
xx
xdx
,1
1tan 21
x
xx
dxd
1||,1sec
1
1
xxdxdx
11/27/2013 19(c) Hendra Gunawan
1||,1||
sec2
xxx
xdx
Bukti bahwa 1 1sin xdBukti bahwa
Misal y = sin‐1 x Maka x = sin y Turunkan kedua
21sin
xx
dx Misal y = sin x. Maka x = sin y. Turunkan keduaruas secara implisit terhadap x, diperoleh
1 (d /d )1 = cos y.(dy/dx).
Jadi11dy .
11
cos1
2xydxdy
11/27/2013 (c) Hendra Gunawan 20
Integral yang Menghasilkan FungsiTrigonometri Invers
DxCxdxx
cossin1
1 11
2
Cxdx
x
tan11
12
Cd
Cxdxx
||1
tan1
1
2
Cxdxxx
||sec1
1
2
11/27/2013 21(c) Hendra Gunawan
ContohContoh
Hitung11
dxHitung
b
.11
2
dxx
111 1 11 (1) ( 1)dJawab: 11 1 1
2 11
1 tan tan (1) tan ( 1)1
dx xx
( ) .4 4 2
11/27/2013 22(c) Hendra Gunawan
LatihanLatihanSeseorang yang tingginya ~1,60 mb d d b l h
θ
berdiri di tepi atas tebing, melihatke laut yang berada ~18,40 m dibawahnya Pada saat itu terdapatbawahnya. Pada saat itu terdapatperahu yang menjauhi tebingdengan laju 5 m/det. Bila θg jmenyatakan besar sudut pandang‐nya (terhadap garis horisontal), b k h b l j b hberapakah besarnya laju perubahanθ terhadap waktu, pada saatperahu tsb berjarak 50 m dariperahu tsb berjarak 50 m daritebing?11/27/2013 23(c) Hendra Gunawan