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Metodo de Newton-RaphsonMas sobre el Metodo de Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson para RaıcesComplejas
J. Armando Lara R.
Ingenierıa ElectronicaInstituto Tecnologico de Lazaro Cardenas
Invierno 2011-2012
Armando Lara Analisis Numerico
Metodo de Newton-RaphsonMas sobre el Metodo de Newton-Raphson
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1 Metodo de Newton-RaphsonIntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
2 Mas sobre el Metodo de Newton-Raphson
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Introduccion
A continuacion se presenta un desarrollo del metodo deNewton-Raphson para varias variables, aplicable parapolinomios con raıces complejas.
Notese que si se quiere obtener raıces complejas, el puntoinicial en las iteraciones, debe estar en el plano complejo.
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Introduccion
A continuacion se presenta un desarrollo del metodo deNewton-Raphson para varias variables, aplicable parapolinomios con raıces complejas.
Notese que si se quiere obtener raıces complejas, el puntoinicial en las iteraciones, debe estar en el plano complejo.
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2 Mas sobre el Metodo de Newton-Raphson
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Desarrollo del Metodo
Sea F : Ω ∈ Rn → Rn un campo vectorial. Y las coordenadas deF , fi : Ω ∈ Rn → Rn con i = 1, 2, ..., n campos escalares.Ademas, x = (x1, x2, ..., xn)t.
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Desarrollo del Metodo
La diferencial total para un campo escalar fi esta dado por:
dfi(x) =∂f(x)
∂x1dx1 +
∂f(x)
∂x2dx2 + · · ·+ ∂f(x)
∂xndxn
en otra forma
dfi(x) =(∂f(x)∂x1
∂f(x)∂x2
. . . ∂f(x)∂xn
)·
x1
x2
. . .xn
dfi(x) = ∇fi(x) · dx
Podemos aproximar dfi(x(k)) con ∆x(k) apropiado, con lo
anterior obtenemos
∆fi(x(k)) = ∇fi(x(k)) · ∇x(k)
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Desarrollo del Metodo
Si se tiene un sistema de n ecuaciones con n incognitas,
f1(x) = 0, f2(x) = 0, . . . , fn(x) = 0
este sistema se puede interpretar como el cero de un campovectorial F ,
F (x) =
f1(x)f2(x). . .
fn(x)
=
00. . .0
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Desarrollo del Metodo
Para resolver el problema, considere x(k) y x(k+1) dosestimaciones de la solucion de F (x) = 0. En donde x(k+1) es lamejor estimacion. Ahora considere el incremento de F parax = x(k):
∆F (x(k)) = F (x(k+1))− F (x(k))
∆F (x(k)) =
f1(x(k+1))
f2(x(k+1)). . .
fn(x(k+1))
−f1(x(k))
f2(x(k)). . .
fn(x(k))
∆F (x(k)) =
f1(x(k+1))− f1(x(k))
f2(x(k+1))− f2(x(k)). . .
fn(x(k+1))− fn(x(k))
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Desarrollo del Metodo
∆F (x(k)) =
∇f1(x(k)) ·∆x(k)
∇f2(x(k)) ·∆x(k)
. . .
∇fn(x(k)) ·∆x(k)
=
∇f1(x(k))
∇f2(x(k)). . .
∇fn(x(k))
·∆x(k)
J(x(k)) =
∇f1(x(k))
∇f2(x(k)). . .
∇fn(x(k))
En donde J es la matriz jacobiana (un arreglo de gradientes delos campos escalares fi, con i = 1, 2, ..., n)del campo vectorial F .
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Desarrollo del Metodo
Ademas, podemos hacer F (x(k+1)) ≈ 0 por ser x(k+1) la mejorestimacion del cero de F . Entonces,
∆F (x(k)) = −F (x(k))
−F (x(k)) = J(x(k)) ·∆x(k)
y por consiguiente obtenemos:
∆x(k) = −[J(x(k))
]· F (x(k))
siempre que J(x(k)) sea no singular. Finalmente
x(k+1) = x(k) + ∆x(k)
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2 Mas sobre el Metodo de Newton-Raphson
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Ejemplo de Raıces Reales y Complejas de una EcuacionPolinomial.
Dada la ecuacion z3 − 3 = 0, donde z ∈ C. Encuentre todas lassoluciones de la ecuacion. Para resolver la ecuacion hacemosz = x + y · i, con i2 = −1, obteniendo:
(x + y · i)3 − 3 = 0
Resolviendo el producto notable y agrupando terminos seobtiene
(x3 − 3xy2 − 3) + (3x2y − y2) · i = 0
Haciendo r = (x, y)t con P (x, y) = x3 − 3xy2 − 3 yQ(x, y) = 3x2y − y2, se tiene que
F (r) =
(P (r)Q(r)
)=
(00
)= 0
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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo
Ejemplo de Raıces Reales y Complejas de una EcuacionPolinomial.
Con la matriz jacobiana
J(r) =
(3x2 − 3t2 −6xy
6xy 3x2 − 3y2
)Si r(0) = (1,5, 0)t, aplicando el algoritmo, este se detiene enN = 4 y la raız real es la parte real del vectorr(4) = (1,44224957, 0)t; z1 = 1,44224957.Con r(0) = (−0,5, 1,0)t, el algoritmo se detiene en N = 5, y lasolucion es dada por r(5) = (−0,72112479, 1,24902477)t en dondez2,3 = −0,72112479± 1,24902477 raıces complejas conjugadas.
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Mas sobre el Metodo de Newton-Raphson
El metodo de Newton se puede aplicar a raıces complejas;para ello hay que dar un punto de partida en el planocomplejo. De hecho, la aplicacion del metodo de Newton araıces complejas ha sido muy fructıfero en el campo de losfractales.
Las fronteras entre las zonas de convergencia y divergenciaexhiben un comportamiento fractal, caracterizado porpatrones que se repiten indefinidamente cuando sedisminuye la escala de observacion.
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El metodo de Newton se puede aplicar a raıces complejas;para ello hay que dar un punto de partida en el planocomplejo. De hecho, la aplicacion del metodo de Newton araıces complejas ha sido muy fructıfero en el campo de losfractales.
Las fronteras entre las zonas de convergencia y divergenciaexhiben un comportamiento fractal, caracterizado porpatrones que se repiten indefinidamente cuando sedisminuye la escala de observacion.
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Zona de convergencia en el plano de c de la ecuacion iterativazn+1 = z2
n + c, comenzando con z0 = 0.
Conjunto de Mandelbrot. Los lımites de la figura son -2.25 y0.75 en el eje x, y -1.5 y 1.5 en el eje y.
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Conjunto de Mandelbrot coloreando las zonas de divergenciasegun la velocidad de divergencia.
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Zonas de convergencia segun el punto de partida z0, para lasolucion de la ecuacion z6 − 1 = 0 por el metodo deNewton-Raphson, coloreadas segun el numero de iteracionesnecesario para la convergencia. La zona azul celeste correspondea la convergencia y la rojiza es la que diverge mas rapido. Loslımites de la figura son -1 y 1 en ambos ejes. Los brazoscorresponden a cada una de las seis raıces de la ecuacion.
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