Post on 01-Feb-2016
description
1
2
Menghitung luas daerah
dengan menggunakan integral
3
Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa
kurva dapat ditentukan dengan menghitung
integral tertentu.
4
Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x)
kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva
y = f(x) terletak di atas atau pada kurva
y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi
kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a
Dan x = b adalah sebagai berikut:
5
X
Y
O
y1 =f(x)
x = a x = b
Luasnya ?
L = b
a
dxxgxf )()(
y2 =g(x)
; f(x) > g(x)
6
Contoh 1:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi
kurva y = 3x2 + 6x , sumbu X, dan
garis-garis x = 0 dan x = 2
7
Penyelesaian: Sketsalah terlebih dahulu
grafik y = 3x2 + 6x
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0
x = 0 atau x = -2
sehingga titik potong dengan sumbu X
adalah di (0,0) dan (-2,0)
8
Sketsa grafik y = 3x2 + 6x
X
Y
O
y = 3x2 + 6x
x =2
L=?
-2
9
X
Y
O
y = 3x2 + 6x
-2 x =2
L=?
L = 2
0
2 )63( dxxx
luassatuan 200)2.32( 23
2
0
23 3 x x
10
Contoh 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x3, sumbu Y, garis
y = 8 adalah…
11
X
Y
O
y = x3
Penyelesaian:Sketsa grafik fungsi y = x3 dan garis y = 8
y = 8
12
X
Y
O
y = x3 y = 8
d
c
xdyL 8
0
31
dyy
31
y x
8
034
341y
8
0
34
4
3y
13
8
0
31
dyy8
0
34
4
3y
)08(4
334
34
34
8.4
3 3
4.32.
4
3
16.4
3
412
Jadi, luasnya adalah luassatuan 12
14
Contoh 3:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x2, sumbu X, dan garis
y = x + 6 adalah…
15
Penyelesaian:Sketsa grafik y = x2 dan garis y = x + 6
X
Y
–6
6 y = x2 y =
x +
6
16
X
Y
–6
6 y = x2 y =
x +
6
batas atas ditentukan oleh perpotongan kedua grafik
?
17
Titik potong antara y = x2 dan y = x + 6x2 = x + 6
X
Y
–6
6 y = x2 y =
x +
6
x2 – x – 6 = 0(x – 3)(x + 2) = 0
18
X
Y
–6
6 y = x2 y =
x + 6
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3
y = 9 (3,9)
3
9
x = -2 y = 4 (-2,4)
-2
19
X
Y
–6
6 y = x2 y =
x + 6
3
9
Jadi batas-batas pengintegralannya
adalah x1 = 0 dan x2 = 3
-2
20
X
Y
–6
6 y = x2 y =
x + 6
3
9
-2
L = 3
0
2 )6( dxxx3
0
3312
21 )6x( xx
3312
21 3.3.63. )0.0.60.( 3
312
21
21
L = 3312
21 3.3.63. )0.0.60.( 3
312
21
09184 21
2113
satuan luas
2113
Jadi, luasnya adalah
Pembahasan soalLUAS DAERAH
(INTEGRAL)
22
23
Soal 1:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah…
24
Penyelesaian: Sketsa grafik kurva y = x2 - 6x + 8
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → x2 - 6x + 8 = 0
→ (x - 2)(x - 4) = 0 → x1 = 2 dan x2 = 4
Sehingga titik potong dengan sumbu X
di (2,0) dan (4,0)
25
Titik potong dengan sumbu X di (2,0) dan (4,0)
X
Y
O
y = x2 – 6x + 8
2 4L=?
L = 4
2
2 )86( dxxx
)4.84.34.( 2331
4
2
2331 )83x(- xx
)2.82.32.( 2331
26
)2.82.32.()4.84.34.( 233123
31
)1612()3248( 38
364
)4()16( 38
364
)20()( 38
364
)()( 360
356 3
4
Jadi, luasnya adalah luassatuan 34
L =
27
Soal 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
Kurva y = x3 – 1, sumbu X, garis
x = -1 dan x = 2 adalah…
28
Penyelesaian:Sketsa grafik y = x3 – 1 diperoleh dengan menggeser grafik y = x3 sejauh 1 satuan ke bawah
29
X
Y
O
y = x3
y = x3 – 1
–1 x = –1
x = 2 1
L =
1
1
3 )1( dxx
–1 2
2
1
3 )1( dxx
1
1
441 )x( x
2
1
441 )x( x
30
L =
1
1
3 )1( dxx 2
1
3 )1( dxx
1
1
441 )x( x
2
1
441 )x( x
)1()1( 41
41 )1()24( 4
1
31
)1()1( 41
41 )1()24( 4
1
2 )2( 43
4322
434
Jadi, luasnya adalah 4¾ satuan luas
32
Contoh 3:
Luas daerah yang dibatasi oleh
grafik fungsi y = 2 – x2, dan garis
y = x adalah…
33
Penyelesaian:Karena kedua titik batas pengintegralanbelum diketahui, maka kita harus menentukannya, dengan cara menentukan titik potong kedua grafik fungsi
34
Penyelesaian:Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2
dan y = x sebagai berikut;2 – x2 = xx2 + x – 2 = 0(x + 2)(x – 1) = 0 x1 = -2 dan x2 = 1
Luas daerah yang dimaksud sepertigambar berikut:
35
Luas daerah yang dimaksud sepertigambar berikut:
X
Y
–2
2
y = 2 - x2
y =
x
1
36
X
Y
–2
2
y = 2 - x2
y =
x
1
L =
1
2
2 )2( dxxx1
2
2213
31 )(2x
xx
)1.1.1.2( 2213
31 2
213
31 )2.()2.()2.(2
37
L = )1.1.1.2( 2213
31 2
213
31 )2.()2.()2.(2
)2( 21
31 2)4( 3
8 21
38
3162
21
398
214
Jadi, luasnya adalah
214 satuan luas