LOS NÚMEROS REALES

Ver también:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/indice.htm

LOS NÚMEROS RACIONALES

RECUERDA: Los números racionales, son aquellos que

se pueden expresar en forma de fracción. Además, cada

fracción puede venir expresado por un número decimal,

y viceversa.

Ejemplos:

º

100 42 710 ; 1,4;

10 30 56 16

0,6 ; 1,53 ;10 30

453134,5770 ;

9900

= = =

= =

=

)

Ver también: OPERACIONES CON NÚMEROS

COMO CONVERTIR UNA FRACCIÓN EN UN NÚMERO DECIMAL

Para convertir una fracción en un número decimal, basta

con que efectuemos la división entre el numerador y el

denominador.

Ejemplos:

42"efectuando al división 42 : 30 obtenemos" 1,4

30

2"efectuando al división 2 : 3 obtenemos" 0, 666... 0,6

3

COMO CONVERTIR UNA FRACCIÓN EN UN NÚMERO DECIMAL

Ejemplos: »4 1 173041,3; 0,1; 17,321

3 9 999= = =

) )

Los números que se obtienen al convertir una fracción en

decimal, pueden ser:

Ejemplos:3 1050 999999999

0,75; 42; 9,99999999 104 25 100000000

DECIMAL EXACTO.- Si tiene un número finito o nulo de cifras decimales o

infinitos 9

PERIÓDICO PURO.- Cuando tiene infinitas cifras repetidas (periodo) a

partir de la coma decimal.

Ejemplos: º16 453131,53; 4,5770

30 9900= =

)

PERIÓDICO MIXTO.- Cuando tiene infinitas cifras repetidas (periodo),

pero a partir alguna posición posterior a la coma decimal.

CONVERSIÓN DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN

Para convertir un DECIMAL EXACTO D, en fracción. Si

tiene n cifras decimales, se efectúan las operaciones:

Ejemplo:

10

10

n

n

D

0,27 100 27 12,3 10 1230,27 ;12,3

100 100 10 10

CONVERSIÓN DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN

Ejemplo:

ºº º17,67 100 17,67 1750

17,67100 1 99× -

= =-

Para convertir un DECIMAL PERIÓDICO PURO D, en

fracción. Si el periodo tiene n cifras decimales, se efectúan

las operaciones:

10

10 1

n

n

D D

CONVERSIÓN DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN

Ejemplo:

»» »( )( )

» »1,23456 1000 1,23456 100 123456,456 123,456 1233331,23456

1000 1 100 99900 99900

× - × -= = =

- ×

Para convertir un DECIMAL PERIÓDICO MIXTO D,

en fracción. Si periodo tiene n cifras decimales, a partir

de la posición m decimal, se efectúan las operaciones:

10 10

10 1 10

n m

n m

D D

LOS NÚMEROS IRRACIONALES

¿Existen números que no se puedan poner como fracción?

Si que existen, pues por ejemplo pensemos en 2, si

suponemos que existe una fracción a/b, con a y b primos

entre sí, tal que:

2 = a/b => 2 = a² / b ²

Pero a² / b ² 2, ya que a² b ² son primos entre sí, por

serlo a y b.

Por tanto 2, no se puede poner en forma de fracción.

LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Los números IRRACIONALES, son aquellos que no se

pueden poner en forma de fracción, o si vienen expresados en

forma decimal, son no periódicos y tienen infinitas cifras

decimales, como por ejemplo:

0,10100100010000100000 …; 3,141592635 …

Algunos números irracionales son muy utilizados, como por

ejemplo: , ó eVer también:

ttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros0.htm

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES A RACIONALES

Para poder operar con números irracionales, solemos

utilizar números racionales aproximados, y el número de

decimales que utilizamos dependerá del grado de

aproximación que queramos obtener.

Ejemplo:

Para calcular el área aproximada en cm ² de un círculo de

radio r = 1 cm. tomando = 3,14, obtenemos:

ÁREA = .r² = 3,14 cm ²

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES A RACIONALES

TRUNCAR un número a n cifras decimales (“puede ser

cero”), consiste en elliminar las cifras decimales a partir

del lugar decimal n.

REDONDEAR un número a n cifras decimales (“puede

ser cero”), consiste en sustituirlo por el número más

próximo de n cifras decimales (“por arriba o por abajo”).

Ejemplo: El número a = 12,32678 TRUNCADO a 3 cifras

decimales, será a = 12,326, mientras que redondeado a tres

cifras será a = 12,327

LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales (), está formado por

los racionales (), y los irracionales (), .

Además, (naturales) (enteros)

( significa inclusión).

Construcción del número de oro.

Construcción del número PI.

LOS NÚMEROS REALES

En ocasiones utilizamos un número aproximado a, en vez

del número exacto A. Produciendose los siguientes errores:

ERROR ABSOLUTO: = | A – a |;

ERROR RELATIVO: = / A

Como estos errores pueden tener muchas o infinitas cifras

decimales, solemos utilizar cotas de error a y a tales que

a > y a > . Ejemplo: Si utilizamos 3,14 en vez de = 3,141592… , se

cumplirá: = | – 3,14 | = 0,001592… < 0,01 = a .

= / A = 0,001592… / = 0,0005069…< 0,001 = a

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.

Para representar en la recta los números reales, lee el

documento: “Representación de los números reales”

Ejemplo: REPRESENTA UNA FRACCIÓN EN LA RECTA REAL

Ver también:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros1.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros2.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros3.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros4.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros5.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros6.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros7.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros8.htm

INTERVALOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

Un INTERVALO de números reales y extremos a y b, es

un conjunto formado por todos los números reales,

comprendidos entre los números a y b.

INTERVALO ABIERTO (a,b) = { x : a < x < b }

INTERVALO CERRADO [a,b] = {x : a x b}

INTERVALOS SEMIABIERTO O SEMICERRADO:

[a,b) = {x : a x < b}

o

(a,b] = {x : a < x b}

INTERVALOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

Ejemplos:

Hoja de cálculo de construcción de intervalos.

REPRESENTA EL ENTORNO DE UN PUNTO

OPERACIONES CON INTERVALOS.

La UNIÓN de los intervalos I y J es un conjunto que

contiene todos los elementos de I o todos los elementos de J.

La intersección de los intervalos I y J es un conjunto que

contiene todos los elementos comunes de I y de J.

OPERACIONES CON INTERVALOS.

Dados los siguientes intervalos:

Observa, que por ejemplo:

R S = [-3,0];

Q R = [-7,3];

( P I ) T = (2,2’5)

REPRESENTA UNIÓN E INTERSECCIÓN D

E INTERVALOS

ORDENACIÓN. VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA EN R.

Dados dos números reales a y b, decimos:

a es MAYOR que b (a>b), cuando, b – a > 0.

a es MENOR que b (a<b), cuando, b – a < 0.

Ejemplo: el número = 3,1415 … es menor 3,14, ya

que – 3,14 > 0.El valor ABSOLUTO “| |” de un

número real a es:

Ejemplo: |-9| = 9; |7,1| = 7,1; |-101| = 101; |0| = 0.

si a < 0

si a 0

aa

a

Dados dos números reales a y b, denominamos distancia

entre a y b a: d(a,b) = |b-a|

Ejemplo: d( -1’2 , 2 ) = | 2 – (-1’2) | = 3’2.

ENLACES RELACIONADOS CON EL TEMA.

Hoja de cálculo de construcción de intervalos.

Construcción del número de oro.

Construcción del número PI.

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de GAUSS del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/m

atematicas.htm)

En la siguiente diapósitiva