Post on 02-Jun-2015
LONGITUD DE ARCO UTILIZANDO COORDENADAS POLARES
CALCULO VECTORIAL
LONGITUD DE ARCO EN FORMA POLAR
Sea f una funciΓ³n cuya derivada es continua en el intervalo πΌ β€ π β€π½. La longitud de la grΓ‘fica de π = π(π), desde π = πΌ hasta π = π½es:
π = πΌ
π½
π π 2 + πβ² π 2 ππ = πΌ
π½
π2 +ππ
ππ
2
ππ
HALLAR LA LONGITUD DE LA
CURVA π = π
EN EL INTERVALO: 0 β€ π β€ 2π
SOLUCION:
PRIMERO DERIVEMOS LA FUNCION:
π = π π = π πβ² = πβ² π = 0
NOTA: βaβ SE CONSIDERA CERO (0) PORQUE ES UNA CONSTANTEβ¦
SUSTITUIMOS LOS DATOS:
π = πΌ
π½
π π 2 + πβ² π 2 ππ = πΌ
π½
π2 +ππ
ππ
2
ππ
π = 0
2π
π2 + 02 ππ = 0
2π
π2 ππ = 0
2π
π ππ = π 0
2π
ππ
= π π2π
0= π 2π β 0 = 2ππ
Y POR LO TANTO LA LONGITUD DE ARCO PARA ESA FUNCION ES:
β΄ π = 2ππ
HALLAR LA LONGITUD DE LA
CURVA π = 1+ π ππ π
EN EL INTERVALO: 0 β€ π β€ 2π
SOLUCION:
PRIMERO NECESITAMOS DERIVAR LA FUNCION βrβ CON RESPECTO AL PARAMETRO βπβ:
π = 1 + π ππ π
πβ² =ππ
ππ= π π = πππ π
Y ACOMODAMOS LOS DATOS PARA ENCONTRAR LA SOLUCION:
π = πΌ
π½
π π 2 + πβ² π 2 ππ = πΌ
π½
π2 +ππ
ππ
2
ππ π
= 0
2π
1 + sen π 2 + cos π 2 ππ
= 0
2π
1 + 2 sen π + sen2 π + cos2 π ππ
= 0
2π
1 + 2 sen π + sen2 π + 1 β π ππ2 π ππ
= 0
2π
2 + 2 senπ ππ
= 0
2π
2 1 + senπ ππ = 2 0
2π
1 + sen π ππ
= 2 0
2π
1 + senπ ππ
π’ = π ππ π
ππ’ = cos π ππ
ππ =ππ’
cos π=
ππ’
1 β π ππ2π=
ππ’
1 β π’2
= 2 0
2π
1 + senπ ππ = 2 0
2π
1 + π’ππ’
1 β π’2
= 2 0
2π
1 + π’ππ’
1 β π’ 1 + π’= 2
0
2π ππ’
1 β π’
= 2 0
2π ππ’
1 β π’12
= 2 0
2π
1 β π’ β12 ππ’
= β 2 0
2π
1 β π’ β12 βππ’ = β 2
1 β π’ β12+1
β12+ 1
= β 21 β π’
12
12
= β2 2 1 β π’2π
0
= β2 2 1 β π ππ 2π β 1 β π ππ 0
= β2 2 1 β π ππ 2π β 1 β π ππ 0 = 0
COMO VEMOS EL RESULTADO ES CERO PERO EN REALIDAD NO LO ES, ASI QUE, SI GRAFICAMOS ESA
FUNCION, TAL VEZ SERIA MEJOR CAMBIAR LOS LIMITES DE INTEGRACION PARA SABER CUAL ES LA
LONGITUD DE ARCO
GRAFICA DE LA FUNCION
π = 1 + π ππ π
EN EL INTERVALO: 0 β€ π β€ 2π
COMO VEMOS AHΓ, EL GIRO DE LA GRAFICA COMIENZA DESDE 270Β° HASTA 630Β°, ASI QUE SE CAMBIARAN LOS LIMITES, ES
DECIR, QUE DE 0 HASTA 2π SE CAMBIARA DE 3π
2HASTA
5π
2, Y EN
LA INTEGRAL SE MULTIPLICARA POR 2 YA QUE SI NO LO HACEMOS, ESTARIAMOS OBTENIENDO LA MITAD DE LA FUNCION Y EN EL EJERCICIO NO PIDE ESO, PIDE QUE EL RESULTADO SEA COMPLETOβ¦
ASI QUE, VOLVIENDO:
2 0
2π ππ’
1 β π’β 2 2
3π2
5π2 ππ’
1 β π’
= β4 2 1 β π’
5π23π2
= β4 2 1 β π ππ π
5π23π2
= β4 2 1 β π ππ5π
2β 1 β π ππ
3π
2
= β4 2 1 β 1 β 1 β β1 = β4 2 0 β 2
= β4 2 β 2 = 8
ASI QUE LA LONGITU DE ARCO PARA ESA FUNCION ES:
β΄ π = 8
BIBLIOGRAFIAS
LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, βCΓ‘lculo de varias variables. MatemΓ‘ticas 3β, 1ra EdiciΓ³n, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 pΓ‘gs.
Swokowski, Earl, βCΓ‘lculo con geometrΓa analΓticaβ, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da EdiciΓ³n, Estados Unidos de AmΓ©rica,
1097
SOFTWARE
GRAPH
WOLFRAM-ALPHA
DERIVE