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Lois de paroi d’ordre élevé pour lesécoulements fluides dans un canal rugueux:
approche unifiée et nouveaux résultats
Didier Bresch Vuk Milišic
Département Modèles et Algorithmes DéterministesLaboratoire Jean Kuntzmann
Informatique et Mathématiques Appliquées de GrenobleFrance
1er fevrier 2007
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Avant propos
Cardiatis R©: conception et commercialisation de stents métalliquesmulti-couche Image 3D
Nouvelle technologieOn contrôle
- Le nombre de couches- Leur connectivité
Les expériences in vivo sur les cochons-nains:
pas de thrombus → 6 moisImages Dissections
Phénomène multi-echelle qui repose sur:- l’hémodynamique- les réactions chimiques entre le sang et les tissus des parois
Etude théorique & numerique de l’hémodynamique
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Description du problème
Les propriétés géometriques du problème- Diamètre de l’artère fémorale: ∅A = 6mm- Epaisseur totale du stent: ε = 0.25mm- Epaisseur d’une spire métallique: ε = 0.04mm- Diamètre d’un globule rouge: ∅RC = 0.008mm
ε
∅A=
0.256
∼ 4%
Stent ∼ paroi rugueuse périodique dans géométrie cylindriquerectiligneLe sang dans l’artère
- Ecoulement permanent établi:profil de Poiseuille
- Plus perturbation périodique du au pouls:perturbation par le profil de Womersley
Première étape: Etude du profil de Poiseuille rugueux
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Objectifs et références-On veut
comprendre la dynamique des écoulements dans conduitsrugueux =⇒ Correcteurs couche limiteéviter de discrétisation coûteuse de la paroi =⇒ Lois de paroiinclure les echelles microscopiques dans l’écoulement dePoiseuille macro =⇒ Aspects multi-échelles
Donc développements asymptotiquesadaptés pour les frontières rugueuses.
-Travaux de référence
W. Jäger, et A. Mikelic,On the roughness-induced effective boundary condition for anincompressible viscous flowJ. Diff. Equa. 2001
Y. Achdou, P. Le Tallec, F. Valentin, et O. Pironneau,Constructing wall laws with domain decomposition or asymptoticexpansion techniquesComput. Methods Appl. Mech. Eng. 1998
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Plan de l’exposé
1 Problème simplifié et outils existants
2 Approche unifiée
3 Approximations d’ordre élevé
4 Loi de paroi multi-échelle et implicite
5 Les conditions sur l’entrée et la sortie du canal
6 Validation numérique
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Le problème simplifié
Ecoulement: laminaire a priori
NavierStokes Poisson
Stokes
+
Plaques
Le problème simplifié
−∆u = C, ∀x ∈ Ωε,
u = 0, ∀x ∈ Γε ∪ Γ1,
u est x1 − periodique
u est la composante axialede la vitesse
x2
Ωε
x2 = 0
x2 = 1 Γ1
Γε
x1
x1 = 0 x1 = LC représente la composante axiale de −∇p du problème deStokes
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Notations & Méthodologie
x2
Ω0
Γ1
Γ0x1
x2
Ωε
x2 = 0
x2 = 1
Z +
P
y2
y1
n
τ
Γ
Γ1
P0Γε
x1
x1 = 0 x1 = L
Γin Γout
Construction d’un Correcteur Couche Limite Complet (CCLC):
approximation sur Ωε
Dérivation d’une Loi de Paroi (LP):
approximation sur Ω0
Ω0 domaine lisse, Γ0 interface fictive, x var. lente, y var. rapide
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
La théorie de Jäger et Mikelic IL’approximation par couche limite
Le profil de Poiseuille
u0 =
C2
(1− x2) x2, ∀x ∈ Ω0,
0, ∀x ∈ Ωε \ Ω0
Saut du gradient dans la direction normale à Γ0
Le correcteur couche limite (CCL) s’en charge
−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,[∂β
∂y2
]= 1, ∀y ∈ Γ,
β = 0, ∀y ∈ P0,
β periodique en y1
Mais β(y1, y2) → β = 12π
∫ 2π
0 β(α, 0)dα quand y2 → +∞
u1,1J = u0χ[Ω0]
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
La théorie de Jäger et Mikelic IL’approximation par couche limite
Le profil de Poiseuille
u0 =
C2
(1− x2) x2, ∀x ∈ Ω0,
0, ∀x ∈ Ωε \ Ω0
Saut du gradient dans la direction normale à Γ0
Le correcteur couche limite (CCL) s’en charge
−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,[∂β
∂y2
]= 1, ∀y ∈ Γ,
β = 0, ∀y ∈ P0,
β periodique en y1
Mais β(y1, y2) → β = 12π
∫ 2π
0 β(α, 0)dα quand y2 → +∞
u1,1J = u0χ[Ω0] + ε
∂u0
∂x2(x1, 0)
(β
(xε
)D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
La théorie de Jäger et Mikelic IL’approximation par couche limite
Le profil de Poiseuille
u0 =
C2
(1− x2) x2, ∀x ∈ Ω0,
0, ∀x ∈ Ωε \ Ω0
Saut du gradient dans la direction normale à Γ0
Le correcteur couche limite (CCL) s’en charge
−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,[∂β
∂y2
]= 1, ∀y ∈ Γ,
β = 0, ∀y ∈ P0,
β periodique en y1
Mais β(y1, y2) → β = 12π
∫ 2π
0 β(α, 0)dα quand y2 → +∞
u1,1J = u0χ[Ω0] + ε
∂u0
∂x2(x1, 0)
(β
(xε
)− βχx2>0
)D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
La théorie de Jäger et Mikelic IIL’approximation par couche limite
u1,1J = u0χ[Ω0]+ε
∂u0
∂x2
(β − βχx2>0
)
+βε∂u0
∂x2(1−x2)χx2>0
Mais cette approximation est discontinue sur Γ0:
ajout de d , le “contre-flot” solution de−∆d = 0, ∀x ∈ Ω0,
d = 0, ∀x ∈ Γ1,
d = 1, ∀x ∈ Γ0
L’erreur sur le saut est formellement d’ordre O(ε).
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
La théorie de Jäger et Mikelic IIL’approximation par couche limite
u1,1J = u0χ[Ω0]+ε
∂u0
∂x2
(β − βχx2>0
)+βε
∂u0
∂x2(1−x2)χx2>0
Mais cette approximation est discontinue sur Γ0:ajout de d , le “contre-flot” solution de
−∆d = 0, ∀x ∈ Ω0,
d = 0, ∀x ∈ Γ1,
d = 1, ∀x ∈ Γ0
L’erreur sur le saut est formellement d’ordre O(ε).
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
La théorie de Jäger et Mikelic IIL’approximation par couche limite
u1,1J = u0χ[Ω0] + ε
∂u0
∂x2
(β − βx2χx2>0
)Mais cette approximation est discontinue sur Γ0:ajout de d , le “contre-flot” solution de
−∆d = 0, ∀x ∈ Ω0,
d = 0, ∀x ∈ Γ1,
d = 1, ∀x ∈ Γ0
L’erreur sur le saut est formellement d’ordre O(ε).
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
La théorie de Jäger et Mikelic IIILes estimations
On se donne:l’erreur d’ordre zero W 0 = uε − u0∥∥W 0
∥∥H1(Ωε)
≤√
ε∥∥W 0∥∥
L2(Ω0)≤ ε
l’erreur au premier ordre W 1 = uε − u1,1J∥∥W 1
∥∥H1(Ωε)
≤ ε∥∥W 1∥∥
L2(Ω0)≤ ε
32
Les preuves reposent sur→ Les estimations a proiri de base sur Ωε
→ Poincaré sur Ωε \ Ω0
→ Le problème adjoint sur Ω0
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
La théorie de Jäger et Mikelic IIILes estimations
On se donne:l’erreur d’ordre zero W 0 = uε − u0∥∥W 0
∥∥H1(Ωε)
≤√
ε∥∥W 0∥∥
L2(Ω0)≤ ε
l’erreur au premier ordre W 1 = uε − u1,1J∥∥W 1
∥∥H1(Ωε)
≤ ε∥∥W 1∥∥
L2(Ω0)≤ ε
32
Les preuves reposent sur→ Les estimations a proiri de base sur Ωε
→ Poincaré sur Ωε \ Ω0
→ Le problème adjoint sur Ω0
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
La théorie de Jäger et Mikelic IIILes estimations
On se donne:l’erreur d’ordre zero W 0 = uε − u0∥∥W 0
∥∥H1(Ωε)
≤√
ε∥∥W 0∥∥
L2(Ω0)≤ ε
l’erreur au premier ordre W 1 = uε − u1,1J∥∥W 1
∥∥H1(Ωε)
≤ ε∥∥W 1∥∥
L2(Ω0)≤ ε
32
Les preuves reposent sur→ Les estimations a proiri de base sur Ωε
→ Poincaré sur Ωε \ Ω0
→ Le problème adjoint sur Ω0
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Lois de paroi I
Réécriture de la solution comme somme de composantesmacro (→ variables lentes)micro (→ variables rapides) de moyenne micro nulle
u1,1J = u0χ[Ω0] + βε
∂u0
∂x2(1− x2)χx2>0
+ ε∂u0
∂x2
(β
(xε
)− βχx2>0
)On moyenne sur une période de la variable rapide :
u1 ≡ u1,1J = u0χ[Ω0] + βε
∂u0
∂x2(1− x2)χx2>0
et u1 résout le pbm macro :−∆u1 = C, ∀x ∈ Ω0,
u1 = εβ∂u1
∂x2+ 0(ε2), ∀x ∈ Γ0,
u1 = 0, ∀x ∈ Γ1,
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Lois de paroi I
Réécriture de la solution comme somme de composantesmacro (→ variables lentes)micro (→ variables rapides) de moyenne micro nulle
u1,1J = u0χ[Ω0] + βε
∂u0
∂x2(1− x2)χx2>0 + ε
∂u0
∂x2
(β
(xε
)− βχx2>0
)
On moyenne sur une période de la variable rapide :
u1 ≡ u1,1J = u0χ[Ω0] + βε
∂u0
∂x2(1− x2)χx2>0
et u1 résout le pbm macro :−∆u1 = C, ∀x ∈ Ω0,
u1 = εβ∂u1
∂x2+ 0(ε2), ∀x ∈ Γ0,
u1 = 0, ∀x ∈ Γ1,
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Lois de paroi I
Réécriture de la solution comme somme de composantesmacro (→ variables lentes)micro (→ variables rapides) de moyenne micro nulle
u1,1J = u0χ[Ω0] + βε
∂u0
∂x2(1− x2)χx2>0 + ε
∂u0
∂x2
(β
(xε
)− βχx2>0
)On moyenne sur une période de la variable rapide :
u1 ≡ u1,1J = u0χ[Ω0] + βε
∂u0
∂x2(1− x2)χx2>0
et u1 résout le pbm macro :−∆u1 = C, ∀x ∈ Ω0,
u1 = εβ∂u1
∂x2+ 0(ε2), ∀x ∈ Γ0,
u1 = 0, ∀x ∈ Γ1,
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Lois de paroi I
Réécriture de la solution comme somme de composantesmacro (→ variables lentes)micro (→ variables rapides) de moyenne micro nulle
u1,1J = u0χ[Ω0] + βε
∂u0
∂x2(1− x2)χx2>0 + ε
∂u0
∂x2
(β
(xε
)− βχx2>0
)On moyenne sur une période de la variable rapide :
u1 ≡ u1,1J = u0χ[Ω0] + βε
∂u0
∂x2(1− x2)χx2>0
et u1 résout le pbm macro :−∆u1 = C, ∀x ∈ Ω0,
u1 = εβ∂u1
∂x2+ 0(ε2), ∀x ∈ Γ0,
u1 = 0, ∀x ∈ Γ1,
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Lois de paroi II
Résultats de convergence∥∥uε − u1∥∥
L2(Ω0)≤
∥∥∥uε − u1,1J
∥∥∥L2(Ω0)
+∥∥∥u1,1
J − u1∥∥∥
L2(Ω)
≤∥∥W 1
∥∥L2(Ω0)
+ εK∥∥β − β
∥∥L2(Ω0)
≤ K ε32 + K ′ε
32
Parce que ∥∥β − β∥∥
L2(Ω0)≤ ε
12
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
L’approche d’Achdou et al.
Extension linéaire dans la région rugueuse
u0 =
[C2
(1− x2) x2
]χ[Ω0] +
[∂u0
∂x2x2
]χΩε\Ω0 ≡ u0
[ext]
Pas besoin de corrections du saut de ∇u à travers Γ0
=⇒ mais corriger u sur la frontère Γε
Résolution du problème cellule−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,
β = −y2, ∀y ∈ P0,
Résultats numériques pour NS stationnaire pour Re ∼ 1ε
Pas de différence entre lois de paroi du premier et du secondordre
u1,1A = u0
[ext]
+ ε∂u0
∂x2(x1, 0)
(β − β
)+ βε
∂u0
∂x2(1− x2)
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
L’approche d’Achdou et al.
Extension linéaire dans la région rugueuse
u0 =
[C2
(1− x2) x2
]χ[Ω0] +
[∂u0
∂x2x2
]χΩε\Ω0 ≡ u0
[ext]
Pas besoin de corrections du saut de ∇u à travers Γ0
=⇒ mais corriger u sur la frontère Γε
Résolution du problème cellule−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,
β = −y2, ∀y ∈ P0,
Résultats numériques pour NS stationnaire pour Re ∼ 1ε
Pas de différence entre lois de paroi du premier et du secondordre
u1,1A = u0
[ext] + ε∂u0
∂x2(x1, 0)
(β − β
)
+ βε∂u0
∂x2(1− x2)
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
L’approche d’Achdou et al.
Extension linéaire dans la région rugueuse
u0 =
[C2
(1− x2) x2
]χ[Ω0] +
[∂u0
∂x2x2
]χΩε\Ω0 ≡ u0
[ext]
Pas besoin de corrections du saut de ∇u à travers Γ0
=⇒ mais corriger u sur la frontère Γε
Résolution du problème cellule−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,
β = −y2, ∀y ∈ P0,
Résultats numériques pour NS stationnaire pour Re ∼ 1ε
Pas de différence entre lois de paroi du premier et du secondordre
u1,1A = u0
[ext] + ε∂u0
∂x2(x1, 0)
(β − β
)+ βε
∂u0
∂x2(1− x2)
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
L’approche d’Achdou et al.
Extension linéaire dans la région rugueuse
u0 =
[C2
(1− x2) x2
]χ[Ω0] +
[∂u0
∂x2x2
]χΩε\Ω0 ≡ u0
[ext]
Pas besoin de corrections du saut de ∇u à travers Γ0
=⇒ mais corriger u sur la frontère Γε
Résolution du problème cellule−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,
β = −y2, ∀y ∈ P0,
Résultats numériques pour NS stationnaire pour Re ∼ 1ε
Pas de différence entre lois de paroi du premier et du secondordre
u1,1A = u0
[ext] + ε∂u0
∂x2(x1, 0)
(β − β
)+ βε
∂u0
∂x2(1− x2)
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Notre motivation
1 Trouver le lien entre les deux approches
2 Approximations d’ordre élevéExplicite
-> Dérivation-> Taux de convergence
Implicite-> Dérivation-> Taux de convergence
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Connection entre Jäger et al et Achdou et alFormellement
De manière évidente:
u0A = u0
J + x2∂u0
∂x2(x1, 0)χΩε\Ω0
De façon moins évidente:Le pbm cellule de Jäger = relèvement particulier du pbmd’Achdou
βJ = βA + y2χP
De plusβJ = βA
Alors
u1,1J = u1,1
A + ε∂u0
∂x2βχ[Ωε\Ω0]x2
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Connection entre Jäger et al et Achdou et alConvergence
Localisation dans Ωε \ Ω0 de la différence
u1,1J = u1,1
A + ε∂u0
∂x2βχ[Ωε\Ω0]x2
implique que
Proposition ∥∥∥u1,1J − u1,1
A
∥∥∥H1(Ωε)
≤ Cε32
-> Même ordre de convergence par rapport à uε
-> Même loi de paroi-> Mais technique de Achdou et al. plus facile à étendre
aux ordres supérieurs.
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Approximation 1er ordre exacte sur Γε
A partir de l’approximation précédenteLe reste O(ε2) mais l’erreur est linéaire sur Γε
Comme β ∈ [0, 1],
u1,1 = u0ext + ε
∂u0,ε
∂x2
(β
(xε
)− βx2
)
L’approximation est exacte sur Γε
u1,∞ = 0, ∀x ∈ Γε
On a éliminé l’erreur sur Γε mais il reste encore les erreursPollution sur Γ1
Linéarisation du profil dans Ωε \ Ω0
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Approximation 1er ordre exacte sur Γε
A partir de l’approximation précédenteLe reste O(ε2) mais l’erreur est linéaire sur Γε
Comme β ∈ [0, 1], on peut recommencer indéfiniment
u1,1 = u0ext + ε
∂u0,ε
∂x2
(β
(xε
)− βx2
)
L’approximation est exacte sur Γε
u1,∞ = 0, ∀x ∈ Γε
On a éliminé l’erreur sur Γε mais il reste encore les erreursPollution sur Γ1
Linéarisation du profil dans Ωε \ Ω0
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Approximation 1er ordre exacte sur Γε
A partir de l’approximation précédenteLe reste O(ε2) mais l’erreur est linéaire sur Γε
Comme β ∈ [0, 1], ce qui donne :
u1,∞ = u0ext +
ε
1 + εβ
∂u0,ε
∂x2
(β
(xε
)− βx2
)L’approximation est exacte sur Γε
u1,∞ = 0, ∀x ∈ Γε
On a éliminé l’erreur sur Γε mais il reste encore les erreursPollution sur Γ1
Linéarisation du profil dans Ωε \ Ω0
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Propriétés et estimations
L’approximation u1,∞ est solution de−∆u1,∞ = Cχ[Ωε\Ω0], ∀x ∈ Ωε,
u1,∞ = 0, ∀x ∈ Γε,
u1,∞ =ε
1 + εβ
∂u0,ε
∂x2
(β − β
), ∀x ∈ Γ1,
Proposition
On pose W 1,∞ = uε − u1,∞∥∥W 1,∞∥∥H1(Ωε)
≤ C1ε + C2e−1ε
l’erreur est seulement due au terme source
On a besoin de l’approximation 2nd ordre
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Approximation d’ordre deuxConstruction formelle
Extension du profil de Poiseuille sur tout Ωε.
u0ext(x) =
C2
(1− x2)x2, ∀x ∈ Ωε
Sur Γε, on a
u0ext = ε
∂u0
∂x2
(xε
)︸ ︷︷ ︸
corrigé par CCL 1er o.
+ε2
2∂2u0
∂x22
(xε
)2
pbm cellule du 2nd ordre−∆γ = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,
γ = −y22 , ∀y ∈ P0,
Approximation macroscopique du 2nd ordre
u2,∞ = u0ext+
ε
1 + εβ
∂u0
∂x2
(β
(xε
)− βx2
)+
ε2
2∂2u0
∂x22
(γ
(xε
)2− γx2
)D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Approximation d’ordre deuxSérie exacte et résultat de convergence
On itère jusqu’à ce que l’approx. soit exacte sur Γε
u2,∞ = u0ext
+ε
1 + εβ
∂u0
∂x2
(β
(xε
)− βx2
)+
ε2
2∂2u0
∂x22
[(γ
(xε
)2− γx2
)− γ
ε
1 + εβ
(β
(xε
)− βx2
)]
Proposition
On pose W 2,∞ = uε − u2,∞,∥∥W 2,∞∥∥H1(Ωε)
≤ Ce−1ε ,∥∥W 2,∞∥∥
L2(Ω0)≤ C
√εe−
1ε
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Loi de paroi du 2nd ordre
On sépare les variables micro des variables oscillation rapide
u2,∞ = u2 + ε∂u2
∂x2
(β
(xε
)− β
)+
ε2
2∂2u2
∂x2
(γ
(xε
)− γ
)où u2 est explicite et satisfait
−∆u2 = C, ∀x ∈ Ω0
u2 = εβ∂u2
∂x2+
ε2
2γ
∂2u2
∂x22
, ∀x ∈ Γ0,
u2 = 0,∀x ∈ Γ1
Proposition (Estimation d’erreur)
On pose W 2 = uε − u2 = uε − u2,∞ + u2,∞ − u2
∥∥W 2∥∥
L2(Ω0)≤
∥∥W 2,∞∥∥L2(Ω0)
+ C′ε[∥∥β − β
∥∥L2(Ω0)
+ ε‖γ − γ‖L2(Ω0)
]D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Loi de paroi du 2nd ordre
On sépare les variables micro des variables oscillation rapide
u2,∞ = u2 + ε∂u2
∂x2
(β
(xε
)− β
)+
ε2
2∂2u2
∂x2
(γ
(xε
)− γ
)où u2 est explicite et satisfait
−∆u2 = C, ∀x ∈ Ω0
u2 = εβ∂u2
∂x2+
ε2
2γ
∂2u2
∂x22
, ∀x ∈ Γ0,
u2 = 0,∀x ∈ Γ1
Proposition (Estimation d’erreur)
On pose W 2 = uε − u2 = uε − u2,∞ + u2,∞ − u2∥∥W 2∥∥
L2(Ω0)≤ Ke−
1ε + K ′ε
32
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Conclusion partelle: résultat négatif
Il est impossible d’atteindre des ordres de convergence élevéssans inclure l’influence microscopique des CCL
Simulations numériques dans Achdou et al.:pas de différences entre lois de paroi 1er et 2nd ordres:pas d’explication.
On cherche des approximations incluantles oscillations microscopiques des CCL
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Lois de paroi multi-échelle d’ordre unDérivation formellle
L’approximation u1,∞ = u1 + ε∂u1
∂x2
(β
( xε
)− β
)résout
−∆u1,∞ = C, ∀x ∈ Ω0,
u1,∞ = ε∂u1
∂x2β
(xε
), ∀x ∈ Γ0
Mais le CCL pollue sur Γ1
Nouvelle loi de paroi−∆U = C, ∀x ∈ Ω0,
U = ε∂u1
∂x2β
(xε
), ∀x ∈ Γ0
U = 0, ∀x ∈ Γ1
Proposition
On pose W 1bl = uε − U = uε − u1,∞ + u1,∞ − U
‖uε − U‖L2(Ω0) ≤∥∥W 1,∞∥∥
L2(Ω0)+
∥∥u1,∞ − U∥∥
L2(Ω0)
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Lois de paroi multi-échelle d’ordre unDérivation formellle
L’approximation u1,∞ = u1 + ε∂u1
∂x2
(β
( xε
)− β
)résout
−∆u1,∞ = C, ∀x ∈ Ω0,
u1,∞ = ε∂u1
∂x2β
(xε
), ∀x ∈ Γ0
Mais le CCL pollue sur Γ1
Nouvelle loi de paroi−∆U = C, ∀x ∈ Ω0,
U = ε∂u1
∂x2β
(xε
), ∀x ∈ Γ0
U = 0, ∀x ∈ Γ1
Proposition
On pose W 1bl = uε − U = uε − u1,∞ + u1,∞ − U
‖uε − U‖L2(Ω0) ≤ Cε32 + C′e−
1ε
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
Lois de paroi multi-échelle d’ordre deux
De la même manière−∆V = C, ∀x ∈ Ω0,
V = ε∂u2
∂x2β
(xε
)+
ε2
2∂2u2
∂x22
γ(x
ε
), ∀x ∈ Γ0
V = 0, ∀x ∈ Γ1
Proposition
Si on pose W 2bl = uε − V, on a∥∥W 2
bl
∥∥L2(Ω0)
≤ Ce−1ε
Conclusion:
Pour l’écoulement de Poiseuille V est exponentiellement prochede la solution du problème rugueux
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Loi de paroi multi-échelle et impliciteDérivation
Lois de Paroi standard: implicites mais pas multi-échelleLois précédentes multi-échelle mais explicites
nécessité de calculer u1 ou u2, β ou γ.
Existe-t-il une loi multi-échelle et implicite ?On propose de résoudre
−∆Υ = C, ∀x ∈ Ω0,
Υ = εβ(x1
ε, 0)
∂Υ
∂x2, ∀x ∈ Γ0,
Υ = 0, ∀x ∈ Γ1,
On a besoin seulement de β( x1ε , 0).
A-t-on convergence ?
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Loi de paroi multi-échelle impliciteConvergence
ThéorèmeHypothèses:
P0 suffisamment régulierP0 ne touche pas Γ
on pose W 1bl,i = uε −Υ,
Alors on a : ∥∥W 1bl,i
∥∥L2(Ω0)
≤ K ε32 .
où K constante indépendante d’ε.
Idée de la preuve1 Décomposer W 1
bl,i = uε − U + U −Υ ≡ W 1bl + Θ
2 Se ramener à un problème de Robin sur Θ
3 Utiliser les résultats de convergence sur lois de paroi u1,U
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Conditions aux limites verticales
Jusqu’ici: périodique en x1−∆u = C, ∀x ∈ Ωε,
u = 0, ∀x ∈ Γε ∪ Γ1,
u est x1 − periodique
Que se passe-t-il si à la place on veut imposer Neumanhomogène ?
−∆u = C, ∀x ∈ Ωε,
u = 0, ∀x ∈ Γε ∪ Γ1,
∂u∂x1
= 0, sur Γin ∪ Γout
Clairement, le CCL complet
u1,∞ = u1 + ε∂u1
∂x2(x1, 0)
(β
(xε
)− β
)ne satisfait pas Neuman homogène
Des termes lateraux apparaissent dans toutes les estimations àpriori
On a besoin de CCL verticauxD.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
CCL vertical IProblèmatique
Relèvement sDirichletSi on pose w = u − s où s = g sur le bord
−∆w = f + ∆s,
=⇒ (∇w ,∇v) = l(v) +
(∂s∂n
, v)
+ (∇s,∇v), ∀v ∈ H10
On estime seulement ‖∇s‖L2 .
Neuman, ∂s∂n = ∂u
∂n
−∆w = f + ∆s, =⇒ (∇w ,∇v) = l(v) +
(∂s∂n
, v)
+ (∇s,∇v)
car v /∈ H10 . Le terme de bord reste sauf si le relèvement est
lui-même solution
Jäger & Mikelic: s localisé près du bord, norme H1 de l’erreurjudicieuse au premier ordre∥∥∥∥ ∂s
∂n
∥∥∥∥H−
12 (Γin)
≤ ε
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
CCL vertical IProblèmatique
Relèvement sDirichletSi on pose w = u − s où s = g sur le bord
−∆w = f + ∆s,
=⇒ (∇w ,∇v) = l(v)
+
(∂s∂n
, v)
+ (∇s,∇v), ∀v ∈ H10
On estime seulement ‖∇s‖L2 .Neuman, ∂s
∂n = ∂u∂n
−∆w = f + ∆s, =⇒ (∇w ,∇v) = l(v) +
(∂s∂n
, v)
+ (∇s,∇v)
car v /∈ H10 . Le terme de bord reste sauf si le relèvement est
lui-même solution
Jäger & Mikelic: s localisé près du bord, norme H1 de l’erreurjudicieuse au premier ordre∥∥∥∥ ∂s
∂n
∥∥∥∥H−
12 (Γin)
≤ ε
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
CCL vertical IProblèmatique
Relèvement sDirichletSi on pose w = u − s où s = g sur le bord
−∆w = f + ∆s,
=⇒ (∇w ,∇v) = l(v)
+
(∂s∂n
, v)
+ (∇s,∇v), ∀v ∈ H10
On estime seulement ‖∇s‖L2 .Neuman, ∂s
∂n = ∂u∂n
−∆w = f + ∆s, =⇒ (∇w ,∇v) = l(v) +
(∂s∂n
, v)
+ (∇s,∇v)
car v /∈ H10 . Le terme de bord reste sauf si le relèvement est
lui-même solution
Jäger & Mikelic: s localisé près du bord, norme H1 de l’erreurjudicieuse au premier ordre∥∥∥∥ ∂s
∂n
∥∥∥∥H−
12 (Γin)
≤ ε
D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
CCL vertical IProblèmatique
Relèvement sDirichletSi on pose w = u − s où s = g sur le bord
−∆w = f + ∆s,
=⇒ (∇w ,∇v) = l(v)
+
(∂s∂n
, v)
+ (∇s,∇v), ∀v ∈ H10
On estime seulement ‖∇s‖L2 .Neuman, ∂s
∂n = ∂u∂n
−∆w = f + ∆s, =⇒ (∇w ,∇v) = l(v) +
(∂s∂n
, v)
+ (∇s,∇v)
car v /∈ H10 . Le terme de bord reste sauf si le relèvement est
lui-même solutionJäger & Mikelic: s localisé près du bord, norme H1 de l’erreurjudicieuse au premier ordre∥∥∥∥ ∂s
∂n
∥∥∥∥H−
12 (Γin)
≤ ε
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CCL vertical IINouvelle approche
On corrige en micro sur le domaine semi-infini Π+ (k → +∞)y2
E
B
Z+
PΓ
Z+ + e1
P + e1 y1P + ke1. . .
Z+ + ke1
Γ
Π+ −∆τin = 0, dans Π+,
∂τin
∂n=
∂β
∂n(0, y2) sur E
τin = 0, sur B
Au premier ordre on écrit alors
u1,∞ = u1 + ε∂u1
∂x2(x1, 0)
(β
(xε
)− β − (τin + τout)
(xε
))u2,∞ = u2 + ε
∂u2
∂x2(x1, 0)
(β
(xε
)− β − (τin + τout)
(xε
))+
ε2
2∂2u2
∂x22
(γ
(xε
)− γ − (ϑin + ϑout)
(xε
))D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités
CCL vertical IILes nouvelles lois de paroi multi-échelle
ExpliciteAu premier ordre
−∆U = C, ∀x ∈ Ω0,
U = ε∂u1
∂x2(x1, 0) (β − (τin + τout))
(x1
ε, 0
), ∀x ∈ Γ0,
U = 0, ∀x ∈ Γ1,∂U∂n
= 0 sur Γin ∪ Γout
Implicte−∆Υ = C, ∀x ∈ Ω0,
Υ = ε(β − (τin + τout))(x1
ε, 0
) ∂Υ
∂x2, ∀x ∈ Γ0,
Υ = 0, ∀x ∈ Γ1,∂Υ
∂n= 0 sur Γin ∪ Γout
Mêmes résultats de convergence sous condition de decroissancesuffisante à l’infini des τin + τout
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CCL vertical IILes nouvelles lois de paroi multi-échelle
ExpliciteAu premier ordre
−∆U = C, ∀x ∈ Ω0,
U = ε∂u1
∂x2(x1, 0) (β − (τin + τout))
(x1
ε, 0
), ∀x ∈ Γ0,
U = 0, ∀x ∈ Γ1,∂U∂n
= 0 sur Γin ∪ Γout
Implicte−∆Υ = C, ∀x ∈ Ω0,
Υ = ε(β − (τin + τout))(x1
ε, 0
) ∂Υ
∂x2, ∀x ∈ Γ0,
Υ = 0, ∀x ∈ Γ1,∂Υ
∂n= 0 sur Γin ∪ Γout
Mêmes résultats de convergence sous condition de decroissancesuffisante à l’infini des τin + τout
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CCL vertical IILes nouvelles lois de paroi multi-échelle
ExpliciteAu premier ordre
−∆U = C, ∀x ∈ Ω0,
U = ε∂u1
∂x2(x1, 0) (β − (τin + τout))
(x1
ε, 0
), ∀x ∈ Γ0,
U = 0, ∀x ∈ Γ1,∂U∂n
= 0 sur Γin ∪ Γout
Implicte−∆Υ = C, ∀x ∈ Ω0,
Υ = ε(β − (τin + τout))(x1
ε, 0
) ∂Υ
∂x2, ∀x ∈ Γ0,
Υ = 0, ∀x ∈ Γ1,∂Υ
∂n= 0 sur Γin ∪ Γout
Mêmes résultats de convergence sous condition de decroissancesuffisante à l’infini des τin + τout
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Validation numériqueLe cas 2D
Calcul solution exacte uε∆
Canal rugueux longueur fixée L = 10,Frontière rugueuse périodique,
P0 = y ∈ R / y2 = −cos(y1)/2 − 12 − δ, δ = 5e − 2,
rheolef code éléments finis 2DCalcul sur une seule cellule macro
Construction d’une sol. approchée1 Les problèmes cellule β∆, γ∆
2 Extraire info pértinente
u1 β U β(y1, 0), β, ∂u0
∂x2
u2 β, γ V β(y1, 0), β, γ(y1, 0), γ, ∂u0
∂x2, ∂2u0
∂x22
Υ β∆(y1, 0)
3 Calcul des solutions macro sur le domaine lisse Ω0
Faire varier ε
Calcul de l’erreur sur le domaine entier (0, L)× (0, 1)
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Estimations d’erreuren norme L2(Ω0)
0.001
0.01
0.1
1
10
0.1 1ε
uε∆ − u0
∆
uε∆ − u1
∆
uε∆ − u2
∆
uε∆ −Υ∆
uε∆ − U∆
uε∆ − V∆
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Estimations d’erreuren norme L2(Ω0)
Si on pose ∥∥W i∥∥
L2(Ω0)= Cεαi
approx. α
uε∆ − u0
∆ 1.11uε
∆ − u1∆ 1.4786
uε∆ − u2
∆ 1.3931uε
∆ − V∆ 1.768uε
∆ − V∆ 2-3.6uε
∆ −Υ∆ 1.6227
Ces estimations ne sont pas optimales:errors de projection de uε sur les maillages des solutions approx
macro
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Conclusions & perspectives
Conclusions1 Le cas linéaire: pleine compréhension des mécanismes des CCL2 Pas de loi de paroi moyennée d’ordre élevé3 Premier ordre implicite incluant les oscillations4 Preuve numérique de l’optimalité des résultats théoriques
Perspectives- Perturber→ flux→ géometrie
- Flot de Womersley- Le cas non-linéaire- Les géométries spécifiques des stents multi-couche de Cardiatis
Remerciementsoutien financier de Cardiatis
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