Post on 27-Jul-2015
2oLista de exercıcios de calculo C
1. Obtenha uma parametrizacao das seguintes curvas, determinando I.
(a) y = 2x+ 7
(b) y − x+ 2 = 0
(c) x2 + y2 = 16
(d) (x− 1)2 + (y + 1)2 = 4
(e)x2
9+y2
4= 36
2. Esboce o traco das seguintes curvas:
(a) x(t) = t, y(t) = t2
(b) x(t) = t+1
t, y(t) = t− 1
t(c) x(t) = sen(3t), y(t) = cos(3t)
(d) x(t) = t, y(t) = sen(t), z(t) = cos(t)
3. Determine as equacoes da reta tangente das seguintes curvas nos pontosdados:
(a) α(t) = (t, 1− t2, 2), P = (0, 1, 2)
(b) α(t) = (2t3 − 1, 3− 5t2, 8t+ 2), P = (1,−2, 10)
(c) α(t) = (et, tet, t+ 4), P = (1, 0, 4)
(d) α(t) = cos(t), sen(t), 1− 2sen(t) P = (π4, 0, π
4)
4. Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(a) α(t) = (2(1− sen(t)), 2(1− cos(t))), 0 ≤ t ≤ π
(b) α(t) = (tcos(t), tsen(t)), 0 ≤ t ≤ π
(c) α(t) = (cos(2t), sen(2t), 5t), 0 ≤ t ≤ π
(d) α(t) = (t+ 4, t, 8t+ 2) 1 ≤ t ≤ 2
(e) α(t) = (cosh(t), senh(t), t) 0 ≤ t ≤ 2
5. Calcule
∫C
fds, onde:
(a) f(x, y) = 2xy2 e C e parametrizada por α(t) = (cos(t), sen(t)).
1
(b) f(x, y) = x2 + y2 e C e o cırculo x2 + y2 = 4 de A = (2, 0) aB = (0, 2).
(c) f(x, y, z) = ez e C e parametrizada por α(t) = (1, 2, t2).
(d) f(x, y) = x2 + y2 e C e a reta que liga os pontos A = (2, 0) aB = (0, 2).
(e) f(x, y) = |x| + |y| e C e a reta que liga os pontos A = (−2, 0) aB = (2, 2).
(f) f(x, y) = |x| + |y| e C e a reta que liga os pontos A = (2, 2) aB = (2, 0).
(g) f(x, y) = x+y e C e a fronteira do triangulo de vertices (0, 0), (1, 0)e (0, 1).
(h) f(x, y, z) = x+y e C e a curva obtida pela intersecao do semiplanox = y, y ≥ 0, com o paraboloide z = x2 + y2 e z ≤ 2.
6. Um arame tem a forma da curva obtida pela intersecao da porcao daesfera x2 + y2 + z2 = 4 com y ≥ 0 com plano x + y = 2. Sabendo quea densidade em ponto do arame e dada por f(x, y) = xy. Calcule amassa toral do arame.
7. Deseja se construir uma peca de zinco que tenha a forma da superfıciedo cilindro x2+y2 = 4, compreendida entre os planos z = 0 e x+y+z =2, z ≤ 0. Se o metro quadrado de zinco custa M reais calcule o valorda peca.
8. Calcule
∫C
Fdr, onde:
(a) F (x, y) = (y + 3x, 2x− y) e C e a elipse 4x2 + y2 = 4, percorridano sentido anti-horario,
(b) F (x, y) = (xy,−y) e C e formado pela reta que liga A = (−3,−3)a B = (−1, 1) e pelo arco de parabola y = x2 de B a C = (2, 4),
(c) F (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2) e C e o cırculo unitario centrado naorigem, percorrida no sentido anti-horario,
(d) F (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2) e C e o cırculo unitario centrado noponto (1, 0), percorrida no sentido horario,
(e) F (x, y, z) = (x, y, xz−y) e C e o segmento reta que liga os pontosA = (0, 0, 0) e B = (1, 2, 4),
(f) F (x, y, z) = (x2− y2, z2− x2, y2− z2) e C e a intersecao da esferax2 + y2 + z2 = 4 e o plano y = 1.
2
9. Calcule
∫C
ydx+ x2dy, onde C e dada por:
(a) Circulo unitario centrado na origem no sentido anti-horario.
(b) Circulo unitario centrado na origem no sentido horario.
(c) O quadrado de vertices (1, 1), (−1, 1), (−1,−1) e (1,−1).
10. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forca dado.
(a) F (x, y, z) = (y, x, z2) para deslocar uma partıcula ao longo dahelice α(t) = (2cos(t), 2sen(t), 2t) do ponto (2, 0, 0) ao ponto(2, 0, 4π).
(b) F (x, y, z) = (y, z, x) para deslocar uma partıcula ao longo deα(t) = (t, t2, t3) do ponto (0, 0, 0) a (2, 4, 8π).
(c) F (x, y) = (x
||(x, y)||3,
y
||(x, y)||3) para deslocar uma partıcula ao
longo do cırculo x2 + y2 = 1, x > 0 do ponto (−1, 0) ao ponto(1, 0).
11. Considere
∮C
4ydx+ 7xdy, onde C e o triangulo de vertices (0, 0), (4, 0)
e (2, 2) no sentido anti-horario.
(a) Calcule sem usar o teorema de Green.
(b) Calcule usando o teorema de Green.
12. Calcule as seguintes integrais usando o teorema de Green:
(a)
∮C
ey
xdx+(eyln(x)+2x)dy, onde C e a fronteira da regiao limitada
por x = y4 + 1,
(b)
∮C
(cos(x)− 5y)dx+ (4x− y−1)dy, onde C e a fronteira da regiao
limitada por x2 − 9 = 0 e y − 5 = 0,
(c)
∮C
(x− y)dx− x2dy, onde C e a fronteira da regiao [0, 2]× [0, 2],
(d)
∮C
(ex − 3y)dx+ (ey + 6x)dy, onde C e a elipse x2 + 4y2 = 4,
(e)
∮C
(x+ y)dx+ (y − x)dy, onde C e o cırculo x2 + y2 − 2ax = 0,
3
(f)
∮C
(x+ y)dx+ (y+ x2)dy, onde C e a fronteira da regiao limitada
por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4,
(g)
∮C
(y+ ln(√x+ x2))dx+ (x2 + tg(y2))dy, onde C e o quadrado de
vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1).
13. Verifique se
∫C
Fdr independe do caminho tomado, caso afirmativo
encontre a funcao potencial.
(a) F (x, y) = (3x2y, x3 + 4y3)
(b) F (x, y) = (2xsen(y) + 4ex, cos(y))
(c) F (x, y) = (−2y2sen(x), 6y2cos(x) + 5)
(d) F (x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y)
14. Considere a integral de linha
∫C
(y2 − xy)dx+ k(x2 − 4xy)dy.
(a) Determine a constante k para que seja independe do caminho.
(b) Calcule o valor da integral de A = (0, 0) e B = (1, 1) para o valorde k encontrado em (a).
15. Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calculeseus valores.
(a)
∫ (3,4)
(1,−2)
ydx− xdyx2
(b)
∫ (1,3)
(0,2)
3x2ydx− x3dyy2
(c)∫ (x0,y0)
(1,1)2xydx+ (x2 − y2)dy
(d)∫ (x0,y0)
(0,0)sen(y)dx+ xcos(y)dy
16. Sejam F1(x, y) e F2(x, y) fumcoes reais de classe C1 em U = R2 −{A,B}, tais que
∂F1
∂y=∂F2
∂xem U . Sendo C1, C2, C3 as curvas dadas na
figura abaixo, calcule
∫C3
F1dx+F2dy, supondo que
∫C1
F1dx+F2dy =
12 e
∫C2
F1dx+ F2dy = 15.
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17. Seja D uma regiao do plano xy limitada pelas circunferencias C1 e C2
de equacoes x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 25 respectivamente. Se F1(x, y) eF2(x, y) fumcoes reais de classe C1 em D, quais os possıveis valores da
integral
∫C
F1dx+F2dy, onde C e qualquer curva fechada contida em D,
C1, por partes, Sabendo que
∫C1
F1dx+F2dy =
∫C2
F1dx+F2dy = 2π.
Quanto C1 e C2 estao orientada no sentido anti-horario.
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