Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The...

LipschutzLipson:Schaums Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

Front Matter Preface The McGrawHill Companies, 2004

! "

"

#

" " "

" " "

" " $

" " "

" #

" " " "

%

" " "

"

& " '(

) *

"

" +

"

" " , - .

"

* !/) +0 1 + 2 /

+#3!145 6+7)48

!%57 %5+ 6+1$


1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text The McGrawHill Companies, 2004

!

" ! # $ !

%&' %(& %)& %*) %+, %)& %'( %-*

! .

% ( * ) & ' + ,

/

% %&' ( %(&

"

%(* ,

%




0 1

22!33 1

1

22!33 2233 1 ! ! ! !

4

* " ! *

1

#$ 5 . ! ! / /!%5%#$

#$ ! ! ! 6 6 /! %5%#$

0 0 ! !7 5 % ( * #" %'$

5 5

% ( 0

!

! "

z

y

x

0

u

ku

( , , )a b c

( ) Scalar Multiplicationb

( , , )ka kb kc

( , , )a b c z

y

x

0

v

u

u v+

( , , )a b c

( + , + , + )a a b b c c

( ) Vector Additiona

( 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




! 1 ! % ( * ( * % 1 ! 1

6 6 6 6 6

#$ !

(& + - 6 6 6 * ) & ! ( ! * 7 *

#$ / % ) ( *@ 1 ! 1

) ( % *"! 1 * % )

#

" 5 7 " 7 / ! ( ( * *

%

(

*

)

%

&

'

%&(*

%&

!

$ % % %% &%

:

% ( % ( ! !

% % ( ( !

% ( % (

4!

%

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" *




4 ! % ( % (

!

%% (( ** " % (

#$ > ( )& %' -

( % ) & & - *% )+ +( +) +& %) (,*& %%' - % '-

* & ' %(%& & *6)& % )('6

#$ 7 6 6 6 6 6 % ( 6 % 6 ( 6 6 % (

#$ > (

*

)

*

%(

( *

)

'

,

-*

'

&-

(

@ !

' /

#$ #$ #$ 6 #$ #$ 6 #$ #$ #$ %

%% : (

#= (*$

" 7 ! 6 6

( )*

: .

% ( % (

%% (( ! ! ! !

# $ 7 6

) 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




#$ > %( * ) &% ( + ) %) (& *% ) %6 * -

( %) %( 6 , *& ) *- !

#$ > (

*

)

*

%(

' * , %%

#$ " % ( * ) ' , ( / !

/ ' ( () , %6 ( 6 %6 ( 6 ( %6 &

@ # = %%*$

' /

#$ #$ #$ #$ 6 6 6

4 #$ 22B 33 @ #$ #$

22B 33

)!* +

! 1 % (

(% (( (

1 1 6 6 6

% 1 % / 7

%

1

!

#$ " %() & * ( 1! !

( %( (( )( &( *( % ) %' (& - && &&

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" &




#$ > %* ) ( %( %

' &' %'

% - %' ) *6 -

*' %*'

(&*'

%*'

*'

*'

%

%

7

%*6

**6

)*6

(*6

1

! # = %%)$ B "7 1 :C"7 1

$ #"7$ /

D! 1 #= %%&$ ! B 22!133 0BB3 1

( #0BB$ /

+, %!#, -

% ( % (

% %( ( (( % %(

! 9 (

*

7

"7 1 # %*$

% %

4 6 -6 # ($ ! !

7

(

!

#$ " %( * ( ) &

% (( ( )( * &(

% *' ) )%

!

( , %& - ( % ) - %) ( ) %' (& )&

' 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




-

%)

)&

( -

)&( ) & %

&( ) & (

&)

& %

#$ : /! %5(#$ # $ #$ E !

E

E ! !

E E

(

. % , /0%, ,

! 5 ! !% ( 5 % ( #$ ! "% (

+1

% % ( (

! "

z

y

x

0

u

( )b

B b b b( , , )1 2 3

u = B A

A a a a( , , )1 2 3

P b a b a b a( , )1 1 2 2 3 3

0

u

( )a

Projection of ontou* u v

A

u*B

C

v

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" +




! /! %5(#$ % ( * % ( * * !% % ( ( * *

/22#+

# % ( 1%% ((

% ( 7 # ( # * /! %5*#$ * ! ! !$

! $ # ?/

# # A" ! $ ! # 1

%% (( %% (( !$ $ ! % % ( ( >

%% % (( ( %% (( %% (( 6

!$ !

%

! ! !% ( 7 % ( & % (

& ! % % %( ( (

%

B " % * /! %5*#$

! "$

, 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




#$ > # * ! 1 ( & + ) !% % % $& ) ( 1 ! $ !

!$ $ ! & % ) % ( % ) * % # (& + #

(& + ) * % , %& + 6 !

#$ / 1 # )

! !% *) (

)( & '

B 1 # . 1 #

)% (( &* ')

"! ! 1

)% (* &) '( ) ' (6 %( %6

)% (( &* ') %6 1 # #$ / % )

! ! !% ( *)

& '+ , $ % %" 1 % !

% & % ( ' ( * + * ) , ) 1

% & % ' (+ * , )

4 6 ! % " % $' ,) ) %

> ' # $ ('

'

! !

( (%(( (0 # $ (

) (

(%

((

(

! 47! )

) ) ! #D ! ! $

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" -




: ( * B! ( ? (A

) % ! 7 ) /

) ( ( ( % % % ( !

) ) (

(

%(

3 * )%%*, -4 %

8 *

1

% 6 6 - 6 % 6 4 6 6 %

*

1 - -

" - 4 ! !

% - - % 4 4 % - 6 4 6 - 4 6/

-4 "

% (- *4 % (- *4

% % ( (- * *4 % (- *4

%% (( ** (% (( (*

" * &- (4 ) ,- +4#$ ! ! + *- &4#$ * (

* ( - %*- '4 , %'- %)4 (-- (64#$ !

%( )6 %) )(#$ B 1 1

- (& ) *,

%6 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




1

* * # $ !

! ! !

4 % (- *4 % (- *4 (* *( *% %*- %( (%4

% ( *% ( *

% ( *% ( *

- % ( *% ( *

% ( *% ( *

# $

#%$ : B

#($ : B !

#*$ : B

4 . / #$ ) *- '4 ( &- *4 #$ (% & * + '

#$ D) * '

( & *

! - *6 %( %(- (6 '4 *- ()- %)4

#$ D( % &* + '

! ' *& %& %( %) * )% * %+

+4'

- 4

- 4 - 4 4 -- 4 4 - 4 -

- 4 4 4 ! !

!

.' > *

#$ ! #$ 22 33

?" /! %5)#$A

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" %%




!5 ! !

!

!

5 &6 &7

/ 1

6. 6

.

6 6 6 6 6 6 6

* B 8

6 %

( 6 %6 % % 6 % %

! 6 6 6 6 6 %

! "(

%( 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




; ! ( %

(

%

9+!' !% % 6 6

" %'

2#: -!+, %# +#

:

( (( ( ( 4

! 1 4

( (

4 1 (

" 6 % !

%

( (

( (

%

" ( * & (

( * & ( ( & * ( + ( *& ( %6 %& ) '( %' %% ( * ( * & ( & (

& (( *

& (( *( *( *

) %-%*

)%*

%-%*

) - %* (& ) (-

2#: #+

; ! " /! %5)#$ ! B !

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" %*




;

5 F !

% ( %( % % ( ( % ( % (

!

: ( * ) * * ( & ) ' * ( * ) * * ( & ) ' & ) ) + '

& ( & (( * & () & (* %' %% %, %* %& '

)* 1

: % ( %(

% % ( (

%% (( %( (( (

7 6 6 6 : ( * ) * & * ) & ) ( *

( ** ) ) & * &) ( ( ** ) ) & * &) ( ' %* & (6 ( (' - %-

( *( ) ( * &( ) - %' % - (& ')

')

,

%(

"7 1 # %*$ 0BB3 1 # %)$ !

#1 #

89:;" ?: = %




> (+ % * 6 ) 6 &, /#$ * )#$ ( * &

/

#$ * ) *(+ % )* 6 ) '(% * %( 6%' %,(%%*#$ ( * & )%) ( - 6 %( 6(& )6 &*- &)

$ > &

*

)

%&

(

*%

(

/

#$ & (#$ ( ) *

/

#$ & ( &&

*

)

( %&

(

(&%&

(6

(%6

)

(+&

()

#$ ( ) * %6',

)(6

,

-*

'

(*%+

((

( / #$ * ( #$ ) ( *#$ " 1 ! 1 !

( * " 1 ! ( %

#$ / ) ( * ! 1

) ( *" 1 ( '

. %( & % % % % ( % ( ** (% %

% ( * B /

%

(&

%

%

%

%

(

*

(

%%

( ( *

# ! $ "! 1

( % ( ( * &

( % * *( )

( % * *

& %6 1 ! ' * ( '% *( (*

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" %&




3 (& * % %* ( ( ()% * %& +/ 1 1 /

(

&*

%

*(

(

)%

%

&+

( * ) &( +

" ! 1

( (* ) & &( + *

( (( ( %

& & %

( (( ( %

6 * 1 6 6 6 * % ( *

)* , / & ) % *) % %( * #!$G

/

%& %' % 6 * , * %) & , * 6 ! !

= / !

#$ % * (& )#$ ( *) % & '% * + (

: 1 6 #$ %( & *) & %6 & %6 6 (#$ %( * %( + %6 + + + + 6 %

> / #$ *%() #$ (* ,+/ ( 1! !

(

#$ ( *( %(( )( - %)) %' %'- %'- %*#$ ( ) - ') )- %(' %('

%' 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




; 7 ! 1

%

47 #$ *) #$ )(* , #$ %( (* %

)$

#$ / - %' (& & & ! *& )

&$

#$ %' ) - ') -* )

-*

(

-*

*

-*

,

-*

#$ 4 7 %( 22 33 %( ' ,*

*' ') - %6- '%6-

,%6-

*%6-

> %* ) * ) + /#$ ! .

#$ .#$

/ * %( (, %- ( % - %' (' ( - %' )- +)

#$ %-('

+)

#$ ( %-

+)* ) + &+

+)+'

+)%**

+)

&+

+)*,

*+%**

+)

#$ (+ * ) )- - '(

$ = %( / #$ #$ #$ #$ 6 6 6

> % ( % ( %( #$ " % % ( (

% %% ( (( %% %% (( %% (( %% ((

#$ " % ( %% (( %% ((

#$ %% (( %% (( #$ " ( ! ! !

(% (( ( 6/ 6 6 6

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" %+




( = %* #"7$ / ! %(

6 ( ( (( ( (> ( ( ( ( 6 1 ' ( ) 6 1 ( )

) ( )((




> > " ( ( * ( * ( & ) 6 )#$ / ! " ! (#$ / $ $ "#$ / ! " (

#$ " ( ( ! ! ( ) ) , -#$ ! 6 ) $ 6 6( 6 &

$ () %' %6 ') (%#$ B ( ( ) !

) (

( * *( (4 ) (. ( 1 ) ) ) ( ) * %( ) 7 ) !

) %' - %)) %' %,& )%,&

*%,&

%(%,&

)%,&

%% ) **, -4 %,

> ( *- )4 * - (4 &- *4 /#$ #$ ( * ) #$ #$

- 4 B *

#$ ! ! & (- (4#$ /

( * ) ) '- ,4 - *- '4 ) (6- %(4 %+- ('4

#$ 0 !

' * , & ( %& %( %#$ 1 1

) - %' (- - % ) %)

/ #$ 1 %

#$ ! !% * ( $( &'#$ ! !%( ) # ! 1

* & + %$ / !$ $ ! % (, (- ,4

% % ( * , ( % ( *- , (4#$ " % # % * &- +4

#

% * % & ( + ) * % & (- + )4

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" %-




$ > + ( ( %' *#$ / +#$ / ! # + !% ( *

#$ ( 6

( (- (4

( ( ( D! ( ( ( %' ( ( ( ( ( ( (

( ( (- (4#$ + !

! % ( * ) %6- )4 ( &- (4 + ! 1 # ( & ( " ! 1 %, ! # + ! ( & ( %,

( 9 ! !

#$ #$* )

& -

#$ ( %) *

#$ ) &* (

#$ #$ * ') (

#$ + &* (

#$ ) %, *

D

#$ #$ (+ (6 + #$ ' ) %6 #$ , %& +#$ #$ () ' %, #$ %& %) (- #$ , %( )

. > ( *- )4 * - (4 &- *4/ #$ #$

#$ D( * )* % (

! ' ) %( )- ( -4 ( %'- %%4

#$ D( * )% & *

! - (6 ) '- %6 *4 (- (- %*4

3 / #$ % ( * ) & '. #$ ) + * '& (

#$ D% ( *

) & '

! %( %& %( ' & , * '*

#$ D) + *' & (

! %) %& %, , (6 )( (- ('((

5 / ! % * ) ('&/ !

% * )

( ' &

! %& () , & ' '% - %*%(47 ! - *-) %* *-) %( *-)

(6 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




; > % ( * % ( * (* *( *% %* %( (%=

#$ ! ? %$A#$ ( ( #>!!3 $#$

%(* *( (*% %* *%( (% %(* %*( (*% %(* %*( (*% 6

! " ! #$

( (* *(( *% %*( %( (%( % ( (% (( (*(% (( (* %% (( **( (

9 !5 #%$ #($

&6 &7,

= " & * ( ) / #$ #$ #$ D ! ! ( %

#$ & * ( ) + #$ & * ( ) & * ( ) * +#$ & *( ) %6 %) %(( %6 %) %( (( %)

$> " #$ & *( + #$ ) *( #$ % (*#$ & *( + %6 ' *& (%( *% (-#$ ) *( %' () -( + ()#$ % (* % ' %(( ,* % ' %( , %% (

$ " #$ 6 * ) #$ & ' + , #$ *- %+) (&( *%+

#$ 6 % * ( % ) (( %% %#$ & ) % ' )( %( ( % + * , ) %#$ D! ) % ) ) % ) *- )-* )-* %-* * %+) ( % (&( 6 % *%+ %

$ / ! !#$ ' ) + & ) * #$ ' * ) -#$ ' ) ' ) + & + & ) ) * * #$ ' ' * * ) ) - -#4 ! ! ! ! ! ! $

$$ / * )/ ( ( ( (

- %' (& (&

&

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" (%




$( "( +& *

!

( +& *

( +& *& *& *

%% )%*)

%%*)

)%*)

$. = / #$ #$ #$ "

#$

#$

#$

$3 = / @ #$ = %*&

( (( 1 !

$5 = / " :

( 4

( (

( (

( (

@ 0BB3 1 #= %%&$

$; / #$ % ( * ) ( & '#$ * ( ) % ' & ( * + (

; !

% % % % #$ % () ( * & '

% () ( * & ' %6 - (* - %* ) (% ( & '*

) (% ( & '* %6 - (* - %*#$ * (& )( * % '+ (

* (& )( * % '+ ( (6 *& & * ( ( *) + (% '

& * ( ( *) + (% ' (6 *& ! = %)6

(( 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




$= > + ( ( & % * ' /#$ . #$ (. #$ * . #$ . #$ #$ + ( % ( & * ' , % #$ ( %) )( ) %6( ) %) %6 )#$ * * * ( - %, * '( ) ( %& %$ + (% ( &* '

+ (% ( &* ' & - *' * *% %(#$

+( (( (( &(

,(

%( %( *( '(

)+

(> = / #$ #$ #$

" % ( %( #$ D! !

%% (( %% (( %% (( % % ( (

#$ " % ( % % ( ( % % ( (

#: %( $

#$ D! #$ #$

22#+ #

( > %( ) * & % ( %* /#$ * (. #$ & * ). #$ . #$ .#$ ! . # $ . #$

( ; = %)% %

*

)

(%

&

*(

'

($ > (& ) '* &( %+) /#$ ) *. #$ & (. #$ . #$ . #$ .# $

(( 47

#$ &+. #$ % (( ). #$ %( %**

)

(. > % (( *%( ) *#$ / #$ 8

(3 /

#$ % ( '. #$ ( %(

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" (*




(5 / % ( ) *

(; ( & % ( #$ % % ( ( * &.#$ % *) ( (*

(= -

*%'

%

%

*

*

(

(

&

%

*

)

(*

.> / !

#$ * ( ')*.#$ & ) ( %* ( (.#$ % + ( ( * *

% , /0%,

. / ! !$

#$ !( *+ $%'& *.#$ !%,) ' $*& () )

. / 1 # )

#$ !% (* ( ( *& '.#$ !*% ( & (% *( &* +) )

.$ / )

#$

! !% ( % ( $*& +-.#$

! !% % * * (% )( '* ,) &

%% ) **, -4 %

.( H * )- (4 ( &- *4 ) +- (4 /#$ ( *. #$ * ) (. #$ . #$

.. / 1 #

#$ * )- &4 ! !% (*.#$ ) * ( %% ! $(% *

.3 / #$ 1 %

#$ ! !( &* ) &- +4.#$ ( * + ) ! !%& +

.5 : ! " * 6 &( * (- ( *4

#$ / ! " ! (#$ / $ $ #$ / ! " (

() 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




.; : ! ! , ( *- *4 ? ) , ) A % #$ . #$ . #$ . #$

.= / ! # !

#$ ( * (6 !% * (.#$ ( *( &( %'6 !*( %

3> 9 ! !

#$( &

* '

* '% )

) (+ *

#$ ' )+ &

% *( )

, *' (

3 H * )- (4 ( &- *4 ) +- (4 /#$ #$ #$

3 H ( % * )( ( % % & #$ #$ #$

3$ / )

#$ = %'6 #$ = %'%

3( / !

#$ % ( * %% (.#$ * - (4 ) (- 4

3. = !

#$ #$ #$ 6 #$ #$ # $

&6 &7

33 "

#$ ) +- (. #$ * &(. #$ %) +. #$

- (* &. #$ %

*

35 " #$%

(. #$

( *+ * . #$

%& (& *). #$%

* (

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" (&




3; > ( & + * /#$ . #$ . #$ . #$ . #$

3= "

#$ ; %( #$ %

( $ #$ 6 6 6

5> > % + ( ' & ( * ) /#$ #$ * #$ ( ) + #$ #$

5 = /

#$ #$

5 = !

4% / 6. 6 64( / 4* /

%? 22#+ #

( #$ *%' ). #$ #'%*&$. #$ * %( ,. #$ (% *& %) .#$ * (% *& . # $ '( . #$ *

*&* & % -

*& %&

*& *

*&$

( #: $ #$ % +((. #$ % ('(-. #$ %&(+ *).#$

('

*6

. #$ %& (' *6 . # $ ,' . #$ %&

*6 % %

( &

(

($ #$ %*%) %* )& 6. #$ (6(- (( %'(*. #$ '. #$ -6 -& #$ '

-&. # $

%'+

(( #$ & +' - +' . #$ %& (& (

& )&. #$ ' %** ) %** - %**

(. #$ * %*%(6

-

(3 #$ * &. #$ 6 6 % (

(5 * * *(

(; #$ &% (. #$ %'% (*(

(= *% ( (*

.> #$ '. #$ *. #$ *(

. #$ %- (. #$ ?( * '%6A

(' 89:;" 4 4< "= >89:;" ?: = %




. #$ (% *( &* ') *&. #$ (% *( &* +) %'

.$ #$ ( % + ( ' % %% (. #$ ( % ) % ' * , *

.( #$ (*- %*4. #$ * '- %64. #$ (6%( *+. #$ (- *, '-

.. #$ * ) & (6. #$ ) * ( %

.3 #$ ) ( & & + *. #$ ( % * & + +

.5 #$ ! (( , )- 4. #$ $ (6 *4 $ (& %(& (&- +4.#$ ' (- 4 )%

.; #$ - (4. #$ ( *- (4. #$ %+ . #$ ( '-.= #$ - ' +- -4 ' + - )&. #$ - ' %(- %64 * ' & %'

3> #$ *' ('. #$ (%6 *)

3 #$ ( %*- (*4. #$ (( (- *+4. #$ *% %'- '4

3 #$ & ,'. #$ (+ %. #$ +%, &

3$ #$ %)*. #$ %+

3( #$ + %* &- . #$ & %%- (4 %&6

33 #$ &6 &&. #$ %' *6. #$ %'&) +. #$ %

(% *. #$ ( (

35 #$ %(. #$ %

&,& (+. #$ % %. #$ %

&6) *

3; #$ - (. #$ (- (-. #$ %'%% )%. #$ ( & + *. #$ (- &,

3= #$ #. 6 6 6

5> #$ ' & & %6. #$ ) (( %( %'. #$ , )% ) **.#$ %( (. #$ -6 &)

: = %A 89:;" 4 4< "= >89:;" (+


2. Algebra of Matrices Text The McGrawHill Companies, 2004

! "" ## "" ## ""##

$

% &

'

(

)) )* )

*) ** *

) *

% + (

)) )* ) *) ** * ) * (

))

*)

)

)*

**

*

)

*

&

, , - %

*.



' % % % +

' % % ' % + /

0 ' % % %

) 1 2/ *

* % 3 )1 2 / *

)

/

1

2

*

* 1 + % % / / / / // / / /

*

4

) 2

5

(

) * 4 2 * ) 1 )

6

+ %

)) )) )* )* ) )

*) *) ** ** * *

) ) * *

% %

)) )* )*) ** *

) *

$ - )

% % % +

7'8 *9 '6:;5



6 ) * / 1 2

1 > .

) 4

) 1 * > ./ ) 1 2 4

2 1 ))

) ) *

) * / 1 2

> =/ )* )2

* * 1 >/ . )/

)* ). *1 = *)

)/ ** ). )4 )

% *

5 %

+ (

/ / / )

& / + % '

) *

*

*) , % 8 *

$ *) )) 3 +

5 % :?

% %)

) )

) * * )

) *

/ '6:;5



) *

-

) * $ ) ) $

- + ) *

*)

) ) ) ) * *

2)

) * 1 2

)

)) **

2*

* ** * 1* 2* 21

/

/ ) **

)

))

**

%

% ) ) %

A

) * )*

)) **

)

- + ) ) %

41 2

*

)

4 1* 2) *) . 2 .

>) . 1

=*2

*1 = )> )2 1

- %

7'8 *9 '6:;5



!

A % % % ,

)) )

)

)

)) ) )

)

)) )

)

))

**

)

% %

) * )

* / 1

2 * >

* * * * % % @) 9

*

2

/

*

1>

* )2 / > 1 ).

)4 > )1

*)

)4 > )11 2 / * . >

)4 > )1) * )1

) * 1

2 >

/ *

2 / > 1)2 / ). .

2 *

)2 )/

2 ). )/ *1

/ > / .

* 1> .

% % 7 %

6 (

- / / / / / + %

* '6:;5



" #

% % %

) *

1 2 >

) 1

* 2

>

)2 )

2

3

% %

$

%

6 (

- +

$ %

' % ' % ,

< 7 % (

) *

1 1 12 > 4

* 2 )/ *

) * 1

(

1

1 ) >> .

*

* 1 >

. . .)/ )* )1

) 1 2* 1 > 1 4

2 4 )2

)* / */)4 4 2

*4 /

** *1 *>*4 /

7'8 *9 '6:;5



&'&( &) &*

6

, %

)) **

& )) **

, (

6 ;% *>

)1 4 ) 1 4 1 * 1 * 1 )

0

) 2 * * . )1 . ) 1 4 1 2 / 2 / *4 *1 /

' % *1

* *

)! !+ &! ,- *&(& &! *.

, % , % )# /# % ) , %

0 %

% # /#

$

% %

1

2(

) / /

/ ) /

/ / )

)

)

)

)

2 / /

/ 2 /

/ / 2

2

2

2

2

1 '6:;5



&/ 3 ? /#

&/

/ )

%

0 1 # -

6 , % ! (

* * ) / 8 %

/ ) **

%( / ) **

@& % % / /9 3 + %

) * 1

* ) * 1

) *

1

4 >= **

* 4 >= **

) *

1

)) .24 )/>

** 2 * )/

* 4 >= **

) * 1

2 ) /

/ )

)> ).*4 >)

4 >= **

) * 1

)/ ) /

/ )

/ /

/ /

+

2 3 456

' % % %

% % ) ) * *

) ) )* )* * *- % ) $ A

7'8 *9 '6:;5



* 2)

2) *

> 2 )/ )/ 2 >

) /

/ )

> 2 )2 )2* * 2 >

) /

/ )

3 ? )2 8 *)4

& ) )) 0 )*

)* ) ) )* ))

7. 8 & &! ,

6 * * %

- )

? ** 1 ) ) * *

) *) *

) /

/ )

) ) * *) ) * *

) /

/ )

% * * (

) ) ) * * /) ) / * * )

' /

? ) ) * *

)

) *

*

'

)

)

)

3 / * * % () 3

* ?

0 % ) 3 / %

* 1 2

)

* >

*2 1 )/ )* * / %

) )*2

1 *

2*

*

* )

& )> * > > / / %

> '6:;5



&/ % + .

7. 8 & &! ,

, % )

9 # %

?

&'&( &) &':(& &! *.

' % " + %

" )) **

+ %

/ /

/ 4 // / *

1 /

/ 2

>

/

=.

4 * 12 > /= .$ /# %

' %

/

/ : * 1 (

)) )*/ **

)) )* )** *

)) )* ) )1** * *1

111

' /#

(

)) )) )) ))))

% )) **

/ ) %

7'8 *9 '6:;5



' % + - *2 ""## "" ## ""##

&/ '

% %

;* &( &(



0

(

*) ** * ) )) ** / )) ** /)) ** / *) ** * ) )) ** /)) ** / )) ** / *) ** * )

' ) ) ) * * ) ) / ) *

: ? ) * $

/ )

3 B? -

" 6 % (

* 8 **.

$ 6 * * %

4 &( 7*!.

' % 3 ?,

6 > >

> >

>

>

12 // 12

> >

> >

12 /

/ 12

%

6 % % % % < )4 % ! % % % ? !

-

7'8 *9 '6:;5



! % % % !

% & % @ % C % 9

6 * . 2 1 4> ) 1 *

%

* . >2 ) 11 4 *

;* &( ;(, &! *. = ! &- !&+- &(

% % ! % ? % ?

' % % % #%

% %

7 !

?,

/ & % %

' % % %) )% % )

- % % %

' % % %

% % %

% (

) * 1 4

) * 1 *1 4 * 2

)

*

) )

) )

) ) /

* )

) *

5 ) * ) * !1 4 1 4 ! * * ! 7

0 % % % % )

% %(

% * )

) *

* ) ) *

)1 1 1

1 1 >

% )1 1 11 1 >

% % % %

- % 7

1/ '6:;5



>

D + % % ?

%(

) * / ) * 2 4 * ) 1 2 =

1 > ) .

) * / ) * 2 4 * ) 1 2 =

1 > ) .

) * / ) * 2 4 * ) 1 2 =

1 > ) .

?

? ! ?% ?

? ?

? +

?

?

)) )) )* )* ) )*) *) ** ** * *

) ) * *

)) )* )*) ** *

) *

% & & ' ' ? ? &

? ' &'

&' ()) ()* ()(*) (** (* () (* (

( &)') &*'* &'

&' 3 %8 *.2



? (

) * 1 2

) ) ) ) )

= . 4 > 2

1 1 1 1 1

2 2

) * 1 2

) ) ) ) )

= . 4 > 2

1 1 1 1 1

2 2

? % ? % ? $ ? % ? %

(*/ &'&( &! *.

6 ) ? % ? + / ) - ? %

) ))** ) )) **

? ? % ? ) ? % ) ? %

) )) **

' )

)) ? %

)) ))) )** )

' ? % ? + ? +

E ? (

) * /

1 2

/ / >

) / / /

* 1 /

2 / > /

/ 4 . =

) / /

/ *

/ 1 2

" ) * / 1 2

/ > 4

? + ?

? + ?

? + ?

" ' " ? ? % ? %

1* '6:;5



(7) ?(.

: ) * 1 2 >

/ *4 ) .

(

* '

(

) * / *1 4 2 ) > .

1 > 2 > *

% (

* * 1 >. )/ )*

= / >

*) *1

4 1 /*= 4 >

&

>) *

1

- (

1 >

) *

(

1 > ) * * 1 * > * )

* 1 )

8 *) (

,

% @- *) 9

,

A ,

$ , ,

7

,

,

A

, $

,

, 7

,

7'8 *9 '6:;5



( .1 2

*

)

>) 4 2

1

=*

.* 1

2

)>

0

(

.1 2

*

)

. 1* 2) *1 . 2 ))

0

(

>) 4 21

=*

*1 = *) )/ **

% %

6 % + % ( * 1 ) * ) 1 1 1 )) * 2 ** * ** 1

3 +

* 1 1 * 2 * 1

" 6 ) * )

* / 1

* >

(

* * * % * % ) *

/

*

1>

(

) * )

* / 1 * >

* = / > 1 ).

)) > )1

*) (

) * )

* / 1 * >

)) > )1

1 / * . >

)) > )1) * )1

+ * * * * A

11 '6:;5



$ * )1 * 2

* ) / >) 2 )1 ) * *

* 1 % * 1 % 0

1 1 * = ) / )2 * )* *. * */ 1 > 2 / )/ )/ *1 * )/

> ) )

*> 2 / *

0 ( ) >

2

*

4

*

4

) >

2

*4 ) > 2

* * * ) * ) %() >

2

*

4

* 1*> 2

1/1)

* ) * * ) * * * ) * %(

*4 ) > 2

* *) )* 2 **

2 / / / / /# + + /

6 ) ** 1

> * )

/ /

/ /

9 8 **( 6

*

)

)

0 * ,

)) ** )

)

)

$ ,

))

**

)

)

)

A

8 **( 6

" + ,

)

)

7'8 *9 '6:;5



, %

)

)

)

$ , % "

))

**

)

)

%(

) * 4 . =

) *

* 1 2

2 >

) 24 " *1

>

< % %(

) 4

* . =

) *

* 1 2

2 >

)

2

4

" *1 >

& A % & "

8 *( 6

,

))

**

, & ,

) *

)

*

)

) *

*

%

%(

) >

* 2 .1 * =

* 1 . 4 =

2 / *

) *

1 2 >

)) ** )2 =

) 2 = 2 *4 * 7

* 4 *

1> '6:;5



6 ) *1

* 1 2 * * )) (

*

* ) *1

) *

1

) . * >1 )* . =

= 1. )4

* ) *1

= 1. )4

= )> 1 1

> *1 )> 2)

4 />/ >4

2

* 1 2 * 4 />/ >4

1 ) *

1

2 ) // )

& % (

)1 >/)*/ )1

1 .)> )*

2 // 2

) 2*

)/1 ))4

)) (

* * )) = 1. )4

* ) *1

)) ) /

/ )

= 1. )4

* 1. >

)) /

/ ))

/ // /

+ %

" 6 ) 1

+

E

% % (

)

1

1

(

1

* /1 > / * /

? + *A * +

* /

*

*

3 - 3

$ ) / *

* ) 1 ) .

)) * *1 / )> ) )

)) / )* * / * * / *** 1 ). 1 / 1 ) 11 1 1. . / . . ) .

) / // ) /

/ / )

)2 '

7'8 *9 '6:;5



0 %(

2 1 *

*

)

* >

=

D * * % *= 2* 1 )/ )* * &% ?

)(

) )*

* 1 2

)

*

* 2*

* ) > = &% ? )(

) )=

) *

)

)

)=

*=

*= > ). ). / /

2 6 ) ) )

/ ) *

) * 1

)

) * ) * ) *

0 ) % ?(

) ) ) ) * * * / /) *) / ** ) * /

) *) 1) / * ** 1* / * 1 )

?

) / ) * ) ) * * * * ) ) * )

) / * )* *

) ) )

&/ %

9 6 + ) )) @ )* ) ) )* )) 9

D %

)) )) ) ) )) )) ) )

) ))

1. '6:;5



5 5

- 1 4 *> . / 28 /# (

1 / /

/ // / 4

* /

/ >

./

2

6 * 2 4 /1 ( * * * * ) ) % %

A

*4 / 21 )1 /*/ * * A

* ** * 2* 1 = *2 * 1= / )>

% - * 1 > * . = = * )> 2 *2 )2 * .

. )> . % % ?

) )* ) )2 /

* * % *

6 ) * )

* 4 /

/ 4

% . 24/ *4

/

. *A *4 &% *

(

* * /

*

/

1 2

/ =

*

/

1 2

/ =

. )=

/ *4

)= 24 ' * /

6

8 )))) ****

6

)

)

/ / /

/A / 7

@ *2A %9

7'8 *9 '6:;5



=5

" E

# (

2 4 )

4 . *) * 1

/ 1 1 / 2

2 /

/ / /

/ / /

5

4 4 ) ) * *

5 / 1 1 2 2 7 ?,

?,

$ 1 ** )

* * * * 27 1 4

4 >

0 6 * * %- 8( 3 * * )

8 *4(

* * ) * * ) /

* * ) * * ) / * ) * *

( / ( /

* * ) ) ) 6 * ) *

2/ '6:;5



2 * * % 1&+ 1

2 12 8 **.

2

12

12

2

2

12

12

2

9 % ! ) ) ) ) * /) ) & ) *

+ ) *A ) * *))6 % ) * A ! % +

) ) )

/ ) )* ) )

! )

)

)

/ )

* )

*

*

>

)

> )

>

=

% ( 2 * 1> 4 ) .

* 2 .1 4

> 2

< % ! % 2 > 4

* 1 ) .

% * 1 > 2 . 4 2

)* *

*

*

)

*

(

)

*

*

)

*

*

)

= 1=

1= )

)

*

*

*

)

*

*

=

1

=

*

=

1

=

/

*

) *

*

)

*

1= )

= 1=

)

8 % *>( 6 % %

. %

) *

) * ) * ) ) * * .).* . .

) .

* .

% 6% 5 % . . . . % 0

7'8 *9 '6:;5



%

* (

.) .) ) .* .* ) . . ) . . / A

>

? %(

) * / ) * 2 4 * ) 1 2 =

) * / ) * 2 4 *

) 1 2 =

+ ? % + ?

? % A + * ? + * * * * * ) A ) * ) * ) )

+ ? % *A ? + ) ) *

?

) * )

1 /

/ / *

) * )

1 2 > )

/ / / )

7 + ,/)* /

. *

/)

+,/. * ? /)*

/) + 7

+. +* ,/) /

/ / /

= )* )2

)= *>

*

4

)

/

= )* )2 1

)= *> 4

/ / / *

6 ) ) * 1

2 )

2 4

)*

) ? ?(

* 4 )/)2 **

* *2 * )> *1

1/ >1

)*

4 )/

)2 **

*2

)> *1

1/ >1

" 6 % 8(

)

)

2* '6:;5



- /

)

7

)

)

-

D

:;;(!&+ ?(.

5 #

8 *4F*1/ (

) * 1

2 /> 4

) 1

* > 2

" 4 )1 . =

$ ( 2 * * * * "

0 ( @& 9

2 ( * " " "

9 ( @& 98 *1) *1* (

) ) */ 1

1 / ) *

* / )2 ) 1 *

) / /

"

*

)

( 1 " " "

(

6 ) * >

* % + /

6 ) ) / / * / ) / / / )

) * 1) * 1) * 1

) *

6 / / ) / / ) ( 3 3

" 8 ** (

$ 8 *(

0 ( 3 + + 3 + +

7'8 *9 '6:;5



%

- 3

2 (

* 2 . > 41 / )

) 1> ) 4

* 2 )

1 >

* 2 /

8 *2/F*2* * 2 )

1 *

) >

) > 1 *

9 ( * ** 2 * )4

( * * * ** * >

+ ) 1

%(

4 12

*

1 2

1 >*

" 2 *

>

) ) *

) * 2

) 4

) ) )/ ) )

) *

: % + %

" * * /

$ ( ) ) 3 + +

5 5

0 6 ) * *2 / ( * * * 1 ) )

2 6 ) */ )

) ) /

/ ) )

/ / )

"9 * ( 1 *)/ *2

) 1

/ =

" 6 2 */

(

* 4 )/ * *2 $ * 1

" 6 ) /*> *4

%

" 6 ) . 2

/ = 2

/ / 1

% *

21 '6:;5



" D / ) ( , :+

" 6 " % ( " " " " " "" "

"" * * +

#

"$ (

*

1 2

) 4

4 > * *

* 2

"0 % ( ?, ?,

"2 - 1 2)

% ?, %

$9 (

* /

$ * * % ! ( 1 ) *

$ % ! ( ) * /* ) ) ) /)

$ )

$ - G 11

) *

*

) ) )

/ ) )

/ / )

$ 7 *

* / ) ) )

$" % % % % 7

$$ 6 % ( % 7 % ?,7 7 ?,7

7'8 *9 '6:;5



$0 E (

*

*

* *

)*

) ) ) )

)

*

) )

) )

) ) /

$2 % )

09 E ( 1 )

*

) /

)

>

0 6 & ) * / / /

1 / / /

/ / 2 ) *

/ / 1 )

'

* / /* 1 / /

/ / ) *

/ / * / / 1 )

&' ? ' & ' ? G

3 &' ? G

0 8 ? % ? (

) / /

/ / *

/ /

) * / / /

/ / / /

/ / 1 / /

/ / 2 / /

/ / / / >

/ ) /

/ / /

* / /

0 )* ) ( ) * / / /

/ ) 1 /

/ * ) /

/ / /

)

) ) / /

* / /

/ / ) *

/ / 1 2

0 % ) 8 *. ) * 1 2

0 &0 & ' ' ? &' ? & ? ' &' ( (

&'

0" ) 1 ?

? + ) 1 ( ) 1 )1 ) )

2> '6:;5



.@. ! :;;(!&+ ?(.

!&! .) .* % .).*

$ 2 )/ *41 )4 1 )* ) 4*4 )) . >4

0 4 )1 =*. *) )/2=. )4*.2 *=>A 2)2 */ . >/2= *) )/2=.A )4*.2 *=>

2 4> = ** )) . 24)/> ))= )4 4 2= )2 22 )/=. >=

9 ) *1 2> / 4 22 )/1/

) ). 1 )4 / 2** 1 2 )))* ). )))* /2 )2 2 . 1 = = )) =

) / ) * 1 1 / 4> )* 1. >9

* 1 > )*

) * 1 ) * 1 ) * 1

2 *>) 2 ) )) )

9 )))2A =)1 >4 1/ *12= 2/ 4/ 1*1> /

)1 1 * 1 >/2* *>*/// / 1 )/ 2 1>

*

1 2 4 2* *A *) ) *

A * 2

) )) *2 ) *) ) ) / ) ) )1 )

) * ) * / / ) ) * * / /

" ) * / 1 /

$ %2 D 8 *1.

0 *)/ / * ) 1 = * 1 *2 / * = ). ) ) )

* )

) %

2 ) * / ) ) )* ) / ) / / )

"9 * / 2 * /2 *4 / 2 * 4 / 2

" * 2

" ) / *

" ) * ) / ) / / *

7'8 *9 '6:;5



" ' / ) , . * *> *)* * *)*

"" ) ) / / ) * 1 1 > / /

"$ 1 ) / >

"0 %2 6 )* )

*

"2 1 / * * /

$ 2 1

2A 1

2 29 )

2 *

2 *

2 )

2

$ )

)1 *

)1

)1 A /*

)

) A )*

)24

)24 *

)24 )

))

)) )

)) )

* /)

*

** *

**

**

$

$ /

$$ %2 6 )* % )

* %

$0

09

0 &' 4 > )4 )/ ) = 42

0 ( A( A( F

0 ) * 1 = . 1 = =) . *2 11 ** *2 *4

) * 1 . )) = )* *1 ) )) )2 / 1) 24 4. )2> *)

0 4 . *1 )* . )> * . )> ).)9 . */A 1/ 1.)

2. '6:;5


3. Systems of Linear Equations


! "

!! "" #! ! "

$#!%

! ! " " ! " $ % &

!! ""

'(




!" ) $#!%

* &

" # +, ' " ! ' " !

' "" #! + ' - # + + + ! " # &

! "" ## + ! - ( + - +

# $

! " ! "

!!! !"" ! !"!! """ " " #"

!! ""

$#"% $& %

$#"% . ! /" / /

$ % $#"%

* &

! " -# #- '"! #" # "- !! "" '# -- #

# - # - 0 $% 1 + ! ! $% !/ ' ! " $%

1 + -! #! ' 1 + - # ' ' '"1 #+ ! "! ! !+ !1 ! " ! ! !1 "+ '! -! # 1 !" ' - # # #

2

$%

!/ ' -! #" ' !/ ' - + ' ' '"!/ #' ! "" ! "/ !' ! - ! 1 !

3 $,

%

+/ 2)4 5 63)7 )893 :*;




$#"% =

% " &$% $

% $

%

5 #>! $ #-%

& $'( )( $ #

* $#"% &

!! !" ! !"! "" " "! "

!! !" !"! "" "! "

= =

= = = = . = = )= #" &

! ! - # '

" # ! " !! " ' - #

! ! - #" # ! "

! " ' -

= = * =

=

& *

*;




&

.

/! /" / ##

&

$% / $

% / ! "

% " 6

$% / $

% /




6 ! " # )= #" 6 ! " # #" - 3

#! #! #" !"# (- !'"" -! +" "# -- "-! -! 1" "/# !+- !"

#! '" !/# "(- "' ! " # = 1 + ! ! &

#1 '+ !/! "(! "' "- #/ !/ "( "' ( (

% "

=

# 0

! "

)! , &

BB CC BB CC)" 7 . ,

$ /% BB7 CC BB CC

)# 7 , &

BB7 CC BB CC

)" )# BBCC

$ < #-'%

% 1"

!" $ % )" )# &

) 7 $ /% BB7 CC BB CC

, . )# :)?

*;




D

D

1 ) , .) ,

!+

< #'

% 1" * $% / $

% / / $

% / /

&

$% - ! + $% " ' # $% - # " ! $% 7 # A A

#

: #-$%?

$% 7 / 1 : #-$

%?$% 7 / / : #-$

%?

# $ + + !+ 2 # 3

*

! ! !!" " !"

#-

! ! . " " . $#-% 5 #>!

" 5 #>" &

$!% " ; :5 #>"$%? &

!"

!"

!" "! /

5 = 5 #>"$% !# !"

+- 2)4 5 63)7 )893 :*;




$"% " ; :5 #>"$%?

!"

!"

!!!"

5 = 5 #>"$% !" #+ #1$#% "

; :5 #>"$%?

!"

!"

!!!"

5 = 5 #>"$% !" "- -1

!" = &

! !" "

!" "!

0 * ( $#-% . $, %

&%

$#-%

& *

y

L1

x

L2

03 3

3

3

L x yL x y

1

2

: = 1: 3 + 2 = 12

6

y

( )b

L1

x

L2

0 3

3

3

L x yL x y

1

2

: + 3 = 3: 2 + 6 = 8

6

3

y

( )c

L L1 2and

x0 3

3

3

L x yL x y

1

2

: + 2 = 4: 2 + 4 = 8

6

3

*;




&% " ! "

/ $5 )% 4

/ $@ >% $ %




! # - # -

# - # - $ %

4 .) 5 6 )

D #+ ; &

&

* &

"! #" '# "- ('" # #- !

A# - #"- 1

! "

# &

$!% 5

- -$"% - - =>> =>>

# &

A# - # A# A # !

$#% 3 # ! - - " &

'" ! !" ! '" !! ! '" !/ " "

$-% 5 " " # ! - - ! &

"! + ' 1 ( "! # ( "! + ! # ! # " " # ! - - #" ! -

! > $ = % 3 =>> 5 =

*;




- - "! #" '# !A

'" # !A# A

,

(% /7 -8

&

"! +" # -- "' A# "- "' '

#- (' +

! # - " '

D &

!!! !"" !## !-- ! !""" ""!"! " "

#-

! " !! "" . ! " 3

$ < #!/%

% 4" *

$% $ %

$

%

# ' BBE 5CC

/ (

" ' " ' > ! # ' &

+1 2)4 5 63)7 )893 :*;




$!% ' -- ( + #- + ( - " #

$"% - " # ' # "" # " ' # - 1 ' # ! 1

$#% " # ! 1 - " # ' !&

"! + ! 1 -" # " A ! - # (

! - # ( " # ! 1 - " # '

- # ( ! 1 " #

*-8

9 > ! # -

" ' - " #' # ! 1' ! - #" ('

! - #" (' " # ! 1' - " #' '

- #" (' " ! 1' " #' '

#

, .

!" > 5 = " ! ' !

- " # ' # ! 1 A ! - # ( 1 1! A ' !

" ! ' !

9 5 )

$#"% $

&

/ $5 )% >> $ %

/ $@ )% >> >

*;




5 : 0

; D &

! # " +" " - # 1# # + 1 '

% & , ! ! "

# &

$!% 4 ! " "F BB7 " "! "CC$"% 4 ! # #F BB7 # #! #CC

"! " + - !"" " - # 1

3 " " -

#! # ( + !1# # + 1 '

3 # " - &

! # " +" " -# # " !#

$3 " # %

3= " $% " $%

# &

$#% 4 " #" #F BB7 # #" " #CC$ BB7 # #" "#CC %

#"" # #" +# # " !#

3 #A" A

#" + # !""# + - "+

3 # A !- &

! # " +" " -# A !- A" A

&

$!% # "$"% " " #$#% # " ! ! &

! # " !# "

*;




D = BB CC &

3 )

! # " +" " - # 1# # + 1 '" " - 7 " "! "# # " !# 7 # #! ##

A !- 7 # #" "#

D

$ %

$!% " #

> ! # "

!" .

& " # !" ' 1 -# 1 !# A

, D

% & $5 )% , ! ! "

# &

$!% 4 ! " "F BB7 " "! "CC$"% 4 ! # #F BB7 # #! #CC

" # ! " "" - -

" # !

" "

$

%

% & $@ )% > " " " "

"" " # ! - - # ! # &

# " " # " "

A" 2)4 5 63)7 )893 :*;




&

! #" "# '- -"! 1" # (- (#! '" !"# !A- A

, D

% & $5 )% , ! ! ! ! "

# &

$!% BB7 " "! "CC $"% BB7 # #! #CC

&

! #" "# '- -"" ## - !

-" +# "- ', " " " " "

# BB7 # "" #CC

/! /" /# /- # &

0 3 *339)

! " =




= = . !! "" ! "

/

!! "" .

=

=

&

/ " # - ' ( / A

/ / / # - ! " '

/ / / / / ' A "

/ / / / / / 1 +

/ / / / / / / /

!"!-!+!A 9

!! " "" # ## ' -- 1

! " " - # + - A ; -

+ (

= = $!% $"% &

$#% ) $ . % !

$-% ) .

= = = . :< $!% $"%? = ! :< $#%? . :< $-%?

. = / . = ' . =

&

" # " / - ' +/ / ! ! # " // / / / / + "

/ / / / / / /

! " #

/ / !

/ / /

/ ! # / / -/ / / ! / #

/ / / / ! "

= = = = $-% .

= $#% $-% ! .

A- 2)4 5 63)7 )893 :*;




# + 0

= (!(" (

)! $7 %& ( ( BB ( (CC BB( (CC

)" $7 %& 7 ( . ( BB7 ( ( /CC BB( (CC

)# $7 %& 7 ( ( (

BB7 ( ( (CC BB( ( (CC

)" )# BBCC

$ % )" )#

&

) 7 ( ( ( . (

BB7 ( ( ( /CC BB( ( (CC, . )# :)? (

+ 7( ! $ ):

= =

=

% 9"

!! "" !! ""

. ! ! " "

% ;" ) = =

* - = #A

9 =

'" =

= = =

*;




= = D = $ %

&

$!% = $"% $#% ! !

< $"% 3&

$% BB ( (CC

$

% BB7 ( (CC BB7 ( !(CC $

% BB7 ( ( (CC BB7 ( ( (CC :)? $< #A#%

= 5 ) )> )

= &

$!% ## =

$"% #- =

$

$ BB CC BBCC = %

&% 2+ 3" = $ /C BB>CC%

0 5 . 6 !

$%

!! / . !

$% 9 !! /C !!

!&

! !!! " 7 ( (! (: !!!(! ( (?

0 7 ! = = ; " . ; " "" /

0 * = .

, .

!! ""

. =

A+ 2)4 5 63)7 )893 :*;




! " !$% &

!!!

! " !$%

7 ( !(! !!(

&% 1 2(!+ 3" =

!! ""

0 $% $9 !% 4 . ( !

$% $9 ! /C % 5 ! " " !&

! " 7 ( ( (

$ ( ( (%0 7 ! (! (" ("0 $9 !% 4 (! !!!

#-

7 &% 1




$% 5

!! ! /C !! BB7 (" "(! ("CC BB7 (# #(! (#CCF "# " / "# BB7 (# #"(" (#CC

! " # ! "/ / " - +

/ / # + A

! " # ! "/ / " - +

/ / / / "

=

$% 4 (# !" #' ! #' ! /C BB7 (" '(# ("CC BB7 (! "(# (!CC

! " # ! "/ / " - +

/ / / / !

! " # ! // / " - /

/ / / / !

4 (" !" "# ! "# ! /C

BB7 (! #(" (!CC

! " # ! // / ! " /

/ / / / !

! " / A // / ! " /

/ / / / !

=

00( # $

= $ % $ % &

$!% =

$"% =

/ / / /

$#% = $= . % ! . F >

&

! " "# -- '"! "" ## - ##! #" -# "- !

! " "# #- -"! #" ## - #'! A" -# - '

" #" ' -# " '

$% 7 = &

! ! " - '" " # ! ## # - " !

! ! " - '/ / ! A A

/ / " !- !-

! ! / !/ (/ / ! A A

/ / / / /

A1 2)4 5 63)7 )893 :*;




7

! " !/- (# A- A

! ( " !/-# A A-

$ . % ! # " -

$% 5

= &

! ! " # -" # # ! #' A - ! '

! ! " # -/ ! A A '

/ " !- !- !'

! ! " # -/ ! A A '

/ / / / '

=

/! /" /# /- '

$% 7 = &

! " ! #

" ' ! -# " ! '

! " ! #

/ ! # !// 1 - -

! " ! #

/ ! # !// / "1 1-

! " ! #

/ ! # !// / ! #

! " / /

/ ! / !/ / ! #

! / / "

/ ! / !/ / ! #

" ! # "! # ,

00( :( %

= =

% =" * = &

$% $%

% +,&

/ / / /

$%

% +,& $%

$< #A-% =

*;




? )> , .) ,

$#"% =

!! !" !"! "" "! "

!"#

!"

-

= - $ = - . %

= =

= &

! "" -# A- -#! '" +# 1- 1-! #" "# +- !!

! " - A# ' + 1- # " +

!"#-

-

1

!!

, ! # " ! # " - ! # ! " ! $% =

= - $ 5 #>!%

% " - & $% $% $%

%& - - F

- $< #-A% -

$ = % ## "

.! ." .#

# &

$% / 0 ; =

$% 1 0 ;

$% ' 0 ; $ % $ %

5 #>#

1/ 2)4 5 63)7 )893 :*;




): $ # $

- =

% ?" - = !

, !

! ! ' ! 3

' ! ! ! !

* = ! &

" # ! # + #" + !# '

! " #

! # +

" + !#

!

# 1 #! A #/ " !

@ #(

! # 1 #

! A #/ " !

!#

'

+'

!

+ ' !

( ) Unique solutiona

H2

H3

H1

H1

H2

H3

( ) Infinite number of solutionsc

H3

H H1 2and

(i) (ii) (iii)

H H H1 2 3, , and

(i)

( ) No solutionsb

H3

H2

H1

(ii) (iii) (i )v

H1

H2

H3

H2

H3

H1

H3

& *

*;




! , . #( =

= )= #!- D $ =%

@ .) , ) -

$#"% &

!

!!"! !

"

!""" "

!"

!"

7 ! " =

! "

!! "" $#"% = ,

% @" - =

= ! "

8 : 0

!" ' ! ! ! ! " ! " # # "! !

5

! " #

!

"'

!!

!

!"

#

"!

!

I

!

"'

"

#

"

" " #

&

" ! " " # '

II

1" 2)4 5 63)7 )893 :*;




5 $I%

$II%

3

" ! # #

" -

" ! # #

' !/

@ > + # " +! #" "#

$% , - ( !(

! !" # " #A !/ # " ! (

5 ! " # ,

# " -" A (# !/ ( !(

# " - !A # A

# " - !A

1 "-

@ > - " # ! " # -! "" ##

$% , " #'

! ! "# " " #- # ! #'

5 ! " # ,

" "" # # #

# - ' '

" " !" " !

" " ' ' !

/ #

! " #

8 $ %& -( $'(

7 $ !-% $% ! !

!! "" 5

/

! " .

/

/

! " = =

*;




* #&

! ! ! ! " !# " # '!-

F

! " ! # " / ! # ' ! - / " # ' # 1 / - !-( ! " #

)% 5 )= #>!- #! -" #

)% $ ! " # % ! " # &

- !-( ! ! ! !# " '!- I $I% !

- !-( ! ! ! ! ! ! ! ! ! ( # #$ ! " #% 3= $I% "

- !-( !# " !# " !# " '+ !- -5 $I% #

- !-( '!- '!- '!- -" -" ! #! -" #

4 " )= #!+ 3&

% @" ! " .

!! !

! "" "

"

, . 3

/ .

!" $ #!/% 2 &

"

5

6)5 .) ,

. - / * . / / / /

.

1- 2)4 5 63)7 )893 :*;




- / . F

!!! !"" !## !-- ! /""" ""!"! " /

/

;

. &

$% . $

% .

.

% " - / .

0 . &

/" # / - " /

/" - /# " " /

! "" ## -- /"! #" '# A- /'! +" (# 1- /

$% 7 &

/' # /' # /

/' # /

. ; 6 ' > # " " # ' .

$% 7 &

/" / ' /

/" /

!! / .

$% . $ #!!% $; %

$ % 5 $ 6 & #

6 3 - / . ! " 3 3 = ! " = ! "

!! "" 3 3 3 / . 3 /

*;




* '

% " 6 3 - / 6 ! " ! $ .% / 3 ! " 3

, . 3 #!"

5 3

! "" ## "- -' /"! -" '# - +' /'! !/" !## -- !+' /

5

&

BB7 " "! "CC BB7 # '! #CC BB7 # "" #CC

! "" ## "- -' /# #- "' /"# +- -' /

! "" ## "- -' /

# #- "' /

" - 'F 3 # 3 &

$!% " ! - / ' / @ > ! " ! / / /$"% " / - ! ' / @ > " A / # ! /$#% " / - / ' ! @ > # " /" / !

! " ! / / / " A / # ! / # " /" / ! 3

!" )= #!1

! " # " ! / / / A / # ! / " /" / ! " A " # "

! " A " " # # " - ' " - '

% & ( 6 & #

6 - - /

5 =

" - A# ' + 1

" - /# ' + /

1+ 2)4 5 63)7 )893 :*;




/ - 3

- /

% " 6 / - 3 - / - &

/ / 3 / 3

/ / 3 / 3 , # 3 4

5 #>- / / 3 3 / 3 3 4 / / 3 3

). )

6 = 3 5 = = '

5 ' 5

3 5 =

* &

! (" (# " 7 (" +(" # 7 (# -(! (# # #

&

5! ! / /

/ / !

/ ! /

5"

! / /

/ + // / !

5#

! / /

/ ! /

- / !

< ##-

% " 6 5

=

5 =

& *1

*;




=

= 5

3 5 5

, $< ###% 5 5

% 5 5"5!

00( $ # )(

9 #!# $< ##'%

% 1" 6 = &

$% $%

$% = '

$%

7 ' = $ < ##+% '

% 4" ' ' !7 =

$< ##A%

% 9" = = % %

00( & % 7 $ ):

=

&% 4" = =

0 5 " $ % = ' = '

0 7 .

.

&% 9" = = /

0 7 ! " !&0 7 ! "

$% $% ( ( (

:) " ?

:) ! ?

(/ 2)4 5 63)7 )893 :*;




= &

! / / / /"! ! / / /#! #" ! / /

! " # ! !

!C /C >

= = / #+ /. = 3&

% ?" 6 = / > / = !C / = /C

! " #

# - !#" ! '

,

BB7 (" #(! ("CC BB7 (# "(! (#CC BB7 (# #"(" (#CC

! " #/ " -

/ # !

! " #/ " -

/ / A

. /

! / /

# ! /" #

"!

/

! " #/ " -

/ / A

, .&

$!% # " #"

$"% /

00( # $

* 6 ! . : ! ? 5 ! = =

*;




3 - - ! " ! "

/ . $ >% #+ = = #+ >

! !"# ! !

""

. / .

$ = % =

! !""

. /

! !"#

/ . ; / .

=

-

!" / . .

* &

" !" # # "

# !/ " # -

! " !

" # #

# !/ "

!"

#

!"# 5 ! ! ! !"

! - ! "

- - ; / . / . C $ < #-"%

7 /8

, .) 0 &

$% ' A 1 !+ $% ' $% # 1 !+$% 3

$% 2 '

$% & @ ;

(" 2)4 5 63)7 )893 :*;




0 ! "" -# #- !'&$% # " ! - $% ! " - '$% # "" -! #- !' !' !'F $% ! "" -- #' !' - !'F

& $% $% # - " # $% A " - # # $% / ! $% 7 / A $% 7 / / )

1 < #-& * $% / $

% / / $

% / /

/ = F / / 4 ! / ; $%

/ / / / $

% / $

%

4 &

$%" ' !!# - ' $%

" # 1+ ( + $%

" # 1- + !+

$% ) #! "" "# "# !

! ! " '! !! " ' !! " + #

# !

#! $% ) #! "

/ / #/ . F $D

%

$% ) "! " / / /

.

$D

%

! " # 1 " # 1 #

" -

#" - #

" -

*;




9 *

- (

$% 5 J

$% 5

$ %

$% ) ! " ( " - !

$!% . ( " / #

$% $!% . > . # , # > . !" / !" , # > . !" / !" $# !"% #!"

.) 5 6 )

; 0 &

"! #" +# '- "' A# #- A' +

- "' !

" + A !- # 1

" -

" # "" # -# - ' 1

$% ;! # - " '

$% $ %

$%

= < #A$%

>

$% "$

% " - + 1 !

"

$

% " !"

" + !"

A" ! " !! ! '

' !" " ' !

" "

? < #A$%

" ' >

$% ' - " ! - " !$

% ' - " !

# #" ! A + # # + #

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The...

Documents

Transcript of Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The...

La función de la universidad. Alejandro Lipschutz.

Veštačka inteligencija - alas.matf.bg.ac.rs

ɷ conjuntos y temas afines ɷTeoríaseymour lipschutz

(JJ - alas.matf.bg.ac.rs

RI odgovori na pitanja - alas.matf.bg.ac.rs

Algebra Linear Lipschutz

Data Structures With C - By Schaum Lipschutz

Seymur lipschutz, seymour_lipschutz_teoria_de_conjuntos_y_temas_afines__1996

ɷmurray spiegel seymour lipschutz

Seymur Lipschutz, Seymour Lipschutz Teoria de Conjuntos y Temas Afines 1996

Lipschutz probability2

Programiranje 2 - alas.matf.bg.ac.rs

Probabilidad Lipschutz, Seymour

ɷMatematicas discretas (schaum) seymour lipschutz

Programiranje 1 - alas.matf.bg.ac.rs

ɷProbabilidad serie schaum seymour lipschutz

áLgebra lineal seymour lipschutz

9 Lipschutz - Indoamericanismo y Raza India

Teorias y Problemas de Topologia General Seymour Lipschutz

Álgebra Lineal - Seymour Lipschutz