LÍMITES Y CONTINUIDAD

MATEMÁTICA 1

límx 2

f(x)01. Calcular si existe, el , donde:

x3 - 2x2 - 4x + 8

x - 2|

límx 2

02. Halle: (x + x2 - x3 + 1 )límx

3

Trabajo grupal

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

c) Tercer caso: Indeterminación -

01. Determine el valor de:

límx 2

02. Halle: límx/2

03. Calcule: (csc x - cot x)límx 0

d) Cuarto caso: Indeterminación 0.

01. Halle: límx -3

02. Halle: límx 0

sen (3x) . csc (3x)

03. Halle: límx 2

04. Halle: límx/2

tg (x) . cos (x)

Funciones trigonométricas (F.T.)

F.T = (x; y)RR / y = RT(x)

Se denomina función trigonométrica al conjunto de

pares ordenados (x; y), tal que la primera

componente “x” es la medida de un ángulo

trigonométrico en radianes (número real) y a segunda

componente “y” es el valor de la razón

trigonométrica de x.

Función seno

f (x) = (x; y)RR / y = sen(x), x R

O simplemente:

y = f (x) = sen x, xR

Dsen x = R

Rsen x = -1; 1

f(x) = (x; y)RR / y = cos(x), x R

O simplemente:

y = f (x) = cos x, xR

Dcos x = R

Rcos x = -1; 1

Función coseno

f(x) = (x; y)RR / y = tan(x), x ≠ (2k + 1)(/2), kZ

O simplemente:

y = f (x) = tan x

Dtan x = R - (2k + 1)(/2), kZ

Rtan x = R

Función tangente

Líneas

trigonométricas

E(1; tg )

Q(ctg ; 1)

P(cos ; sen )

Líneas

trigonométricas

C(sec ; 0)

D(0; csc )

Resumen de las características de las

funciones trigonométricas

i) Si y = f (x) = c = 0d( y)

dx

Algunas reglas de derivación

ii) Si y = f (x) = x = 1d( y)

dx

iii) Si y = f (x) = xn = nxn-1d( y)

dx

iv) Si y = f (x) + g(x)d( y)

dx

v)

Si y = f (x). g(x) = f (x).g’(x) + f ’(x).g(x)d( y)

dx

vi)

Si y =g(x). f ’(x) - f (x).g’(x)d( y)

dx

f (x)

g(x)=

[g(x)]2

Si f (x) y g(x), son funciones derivables en x y g(x) ≠ 0,

entonces f /g es diferenciable en x.

Derivación del cociente de dos funciones

Derivación del producto de dos funciones

vii)

d

dx[(f o g)(x)] = f ’[g(x)].g’(x)

=

Si la función f (x) es diferenciable en u = g(x) y la

función g es diferenciable en x, entonces la composición

y = (f o g)(x) = f [g(x)] es diferenciable en x.

Derivación de una función compuesta (Regla

de la cadena)

En forma equivalented(y)

dx

d(y)

du

d(u)

dx.

Derivada de funciones trigonométricas

Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:

i) Si y = sen[f(x)]

ii)

iii)

= cos[f(x)].f’(x)]d( y)

dx

Si y = cos[f(x)] = -sen[f(x)].f’(x)]dx

d( y)

Si y = tan[f(x)] = sec2[f(x)].f’(x)]dx

d( y)

Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:

iv) Si y = cot[f(x)]

v)

vi)

= -csc2[f(x)].f’(x)]d( y)

dx

Si y = sec[f(x)] = sec[f(x)].tan[f(x)]. f’(x)]dx

d( y)

Si y = csc[f(x)] = -csc[f(x)].cot[f(x)]. f’(x)]dx

d( y)

Derivada de funciones trigonométricas

límx 0

sen xi).

Límites trigonométricas

x = 1

límx 0

tan xii).

x = 1

límx 0

1 - cos xiii).

x = 0

límx 0

1 - cos xiv).

x2=

12

límx 0

sen (2x)01. x

límx 0

1 – cos (x)02.

sen (x)

límx 0

sen (6x)03.

x

límx 0

sen (ax)04.

sen (bx)

límx 2

sen(x - 2)05.

3x - 6

límx 1

sen(1 - x)06.

x - 1

límx 0

tan (x) – sen (x)07.

x3

límx 0

6x – sen (2x)08.

2x + 3 sen (4x)

límx 0

cos (mx) – cos (nx)09.

x2

límx 0

1 + sen (x) – cos (x)10.

1 - sen (x) – cos (x)

límx 0

sen (7x) - sen (3x)11.

x.cos (x)

límx /3

1 - 2cos (x)12.

- 3x

límx 0

cos (x) - cos (sen x)13.

x2

límx 0

1 – cos sen (4x)14.

sen2 sen (3x)

límx /4

sen (2x) - cos (x) - 115.

sen (x) - cos (x)

límx 1

arc sen (x – 1/2)16.

arc tan (x)

Trabajo grupal

01. Halla el límite de:

02. Calcula el límite de:

Límite de funciones exponenciales

a) Función exponencial

Si b > 0 b 1, entonces una función

exponencial es:

y = f(x) = bx

El dominio de una función exponencial es elconjunto de números reales. Df = R

Rf = 0, +

El eje x, es decir, y = 0, es una asíntota

horizontal para la gráfica de f.

Ejemplo 1

Grafique la

función: y = f(x)

= 2x.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x

Cuando la base b > 1

límx -

bx = 0

límx +

bx = +

Asíntota horizontal

Ejemplo 2

Grafique la

función: y = f(x)

= (1/2)x.

Cuando la base

0 < b < 1

límx -

bx = +

límx +

bx = 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2 -1 0 1 2 3 4

Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x

Asíntota horizontal

b) Función logarítmica

La función logarítmica con base b > 0 b

1, se define por:

y = logb(x), si y sólo si, x = by

Dominio: Df = 0; + Rango: Rf = R

El eje y, es decir, x = 0, es una asíntota

vertical para la gráfica de f.

La función f es uno a uno.

Utilizando la propiedad principal,

y = logb(x), si y sólo si, x = by

y = logb(x) = logb(by)

x = blogb(x)

se infieren:

2 = 10log2(10)

c) Logaritmo natural

Es el logaritmo con base e > 0 e 1, y se

define como:

y = ln(x), si y sólo si, x = ey

Además:

ln(1) = 0, si y sólo si, e0 = 1

ln(e) = 1, si y sólo si, e1 = e

Gráfica de y = f(x) = log2(x)

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x

Cuando la base

b > 1

límx + logb(x) = +

límx 0 = -logb(x)

Asín

tota

vertic

al

d) El número e

Ideado por John Napier en 1618 y

popularizado por Leonard Euler (1736).

e también es límite de la sucesión:

Haciendo: h = 1/x, si x tiende , h tiende a 0.

e) Cálculo de los límites de la forma:

f) Para funciones logarítmicas:

Calcula los siguientes límites:

01)

02)

03)

04)

05)

06)

07)

08)

09)

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

i) Si y = e f(x) = e f(x) . f ’(x)d( y)

dx

ii) Si y = ln[ f(x)]f ’(x)d( y)

dx f (x)=

iii) Si y = axd( y)

dxax.ln(a)=

iv) Si y = a f(x)d( y)

dxa f(x). f ’(x).ln(a)=

Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas

i) ln(ex) = x ii) eln(x) = x

1x1 +( )

xlím

x +∞= eiii)

1 + x( )1/x

límx 0

= eiv)

x1 +( )

xlím

x +∞= ev)

Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas

ax - 1x( )lím

x 0= ln(a)vi) Si a >1 a 1

ex - 1x( )lím

x 0= 1vii)

10) 7x - 1x

límx 0

( )

11) 7x - 5x

xlímx 0

( )

12) 9x - 7xlímx 0

( )8x - 6x

13) ex - exlímx 0

( )x

14) ex - exlímx 0( )sen x – sen x

15) sen 2xlímx 0( )ln (1 + x)

16) límx /2

(1 + cos x)3.sec x

17) límx 0

(1 + 3.tan2 x)cot2 x

18)

01)

Trabajo grupal

02)

Asíntotas de una funcióna) Si una recta L y un punto A que se desplaza a lo

largo de la curva C: y = f(x), la distancia entre la

recta L y el punto A de la curva tiende a cero,

cuando el punto A tiende al infinito; en este caso, la

recta L se denomina asíntota de la curva C.

b) La recta x = a, es una asíntota vertical de la

curva C: y = f(x), si se cumple una de las

siguientes relaciones:

i) límx a

f(x) = ±∞

ii) límx a+

f(x) = ±∞

iii) límx a-

f(x) = ±∞

-∞

+∞

c) La recta y = k, es una asíntota horizontal de

la curva C: y = f(x), si se cumple una de las

siguientes relaciones:

i) límx +∞

f(x) = k

ii) límx -∞

f(x) = k

iii) límx ∞

f(x) = k

Asíntota horizontal

d) La recta y = mx + b, es una asíntota oblicua

de la curva C: y = f(x), si se cumple que:

i) límx +∞

[f(x) – (mx + b)] = 0

ii) límx -∞

[f(x) – (mx + b)] = 0

Formas de encontrar los valores de “m” y “b”.

f(x)límx ±∞( )xm =

[f(x) – mx]límx ±∞b =

01. Halla las asíntota de la función:

x2 + x - 1x - 3y = f(x) =

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Gráfico de la función: y = (x2 + x -1)/(x - 3)

Curva Asíntota oblicuaAsí

nto

ta v

ert

ical

Asíntota vertical:

x = 3

Asíntota oblicua:

y = x + 4

Asíntota horizontal:

No existe

02. Halla las asíntota de la función:

2x2 – 5x + 3

x - 1y = f(x) =

03. Halla las asíntota de la función:

2x2 + 5x - 8

x + 3y = f(x) =

04. Halla las asíntota de la función:

x2 + 2x - 8

x2 - 4y = f(x) =

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Gráfico

05. Halla las asíntota de la función:

x + 3

x + 2y = f(x) =

06. Halla las asíntota de la función:

6x2 + 8x - 3

3x2 + 2y = f(x) =

-3

-2

-1

0

1

2

3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gráfica de la función

Asíntota horizontal

01.

Halla las asíntotas de las funciones y

representa gráficamente:

Trabajo grupal

x2

2 - xy = f(x) =

02.2x2

x + 3y = f(x) =

Una función real f es continua en un

número x = a si:

Continuidad de una función

límx a

f(x) = f(a)

Si f es continua en a, entonces debe cumplir:

i) f (a) esta definida (esto es, a pertenece al dominio de f )

ii) límx a

f(x) Existe

iii) límx a

f(x) = f(a)

Si f es continua, entonces los puntos (x, f (x)) en la

gráfica de f tienden al punto (a, f (a)) sobre la gráfica.

Así que no existe ninguna brecha en la curva

Discontinuidad evitable o removible.

Tipos de discontinuidad

lím

x af(x)i)

Una función real de variable real f: R R,

tiene una discontinuidad evitable y removible en

un punto x = a, si:

a)

Existe

ii) El número aDf, o bien aDf se tiene que:

límx a f(x) ≠ f(a), en este caso redefinimos f:

F(x) =f(x), si x ≠ a

x af(x), si x = a

lím

Discontinuidad no evitable o removible.

i) Discontinuidad de primera especie una

función real es discontinua cuando tiene

límites laterales son infinitos y diferentes.

b)

ii) Discontinuidad de segunda especie de una

función real es discontinuidad en el punto x

= a, si no existe , o si, uno de los

límites laterales es infinito (±∞)x alím f(x)

Ejemplos:

¿Dónde es discontinua cada una de las

siguientes funciones?

a)x2 – x - 2

x - 2f(x) =

1)

b)

1

x2

f(x) =1, si x = 0

, si x ≠ 0

c)

x2 – x - 2

x - 2f(x) =

1, si x = 2

, si x ≠ 2

Determina los valores de x para los cuales la

función f es discontinua y evitar si es posible

redefiniendo la función.

x4 – 81

x2 - 9f(x) =

2)

Determina los valores de x para los cuales la

función f es discontinua y evitar si es posible

redefiniendo la función.

x3 – 2x2 – 11x + 12

x2 – 5x + 4f(x) =

3)

Determina los valores de x para los cuales la

función f es discontinua y evitar si es posible

redefiniendo la función.

3x3 + 2x2 – 6x + 1

x2 – xf(x) =

4)

x3 - x2 + 2x - 2

x – 1f(x) =5) , para x ≠ 1

4, para x = 1

3x2 - 7x + 2

x – 2f(x) =6) , para x ≠ 0

3, para x = 0