IL MOTO BROWNIANO

Lezioni d'Autore

Un video : Clic

La figura accanto è tratta dal bel libro di Perrin, Atomi. Essa rappresenta la perfetta irregolarità dell’agitazione del moto browniano. Il moto di un granello di polline, in sospensione in una soluzione acquosa, è ripreso con un microscopio ottico tramite una macchina cinematografica. Le posizioni nei diversi fotogrammi sono poi unite per dare un’immagine composita.

La geometria del moto browniano (I)

Oggi sappiamo che simili percorsi sono frattali e godono della cosiddetta proprietà di invarianza di scala. Immaginando cioè di effettuare lo zoom di una qualsiasi parte si ottiene una figura che ha le stesse caratteristiche dell’intera traiettoria.

La geometria del moto browniano (II)

Per questo tipo di curve non è possibile definire una tangente né tanto meno misurare la lunghezza complessiva. Come spiega Perrin: La velocità media apparente di un granello varia follemente in grandezza e direzione senza tendere verso un limite quando il tempo di osservazione decresce […]. Non si può neppure approssimativamente fissare una tangente […] e questo è un caso in cui viene naturale pensare a quelle funzioni continue senza derivata, che i matematici hanno immaginato e che le si ritiene a torto come delle semplici curiosità matematiche […].

La geometria del moto browniano (III)

Lasciando dunque da parte la velocità vera che non è misurabile e senza preoccuparsi della traiettoria infinitamente involuta che un granello descrive in un tempo dato, Einstein e Smoluchowski hanno scelto come grandezza caratteristica dell’agitazione il segmento rettilineo che unisce il punto di partenza al punto di arrivo e che è evidentemente, una media, tanto più grande quanto l’agitazione è viva. Tale segmento misurerà lo spostamento del granello nel tempo considerato.

La geometria del moto browniano (IV)

Nella figura è reso visivamente il concetto di traiettoria infinitamente involuta considerando due diverse riprese: la prima formata da 256 segmenti, la seconda con 4096 passi.

La geometria del moto browniano (V)

Il cammino del granello di polvere è spesso associato a quello del marinaio ubriaco e ha costituito, agli inizi del Novecento, un problema matematico assai ostico, in parte risolto da Wiener che ha posto le basi per un’estensione dei concetti di posizione e misura. Solo con l’introduzione dei frattali si è potuto però associare una dimensione frattale alla traiettoria di copertura del moto browniano.

La geometria del moto browniano (VI)

La probabilità rimane invece la chiave della trattazione fisica del problema che è affrontato con un processo in cui il futuro è indipendente dal passato una volta assegnata la situazione attuale. La stessa probabilità che è alla base delle prime considerazioni di Einstein del 1905. Nella trattazione che faremo dapprima cercheremo di simulare il moto della particella browniana con l’aiuto del calcolo della probabilità. In secondo luogo seguiremo un modello dinamico proposto per la prima volta da Langevin nel 1908.

La geometria del moto browniano (VII)

Il cammino dell’ubriaco (random walk) è strettamente collegato alla probabilità. Il processo non ha memoria quindi si può simulare con un processo probabilistico. Scegliamo il lancio di una moneta (altri preferiscono quello di un dado). La sferetta browniana si trova al centro di una retta e si sposta di 1 se il valore del lancio è testa (+) o di -1 se il risultato è croce (-).

Probabilità e moto browniano, una simulazione in una dimensione (I)

Ipotizziamo una prova molto semplice con soli 4 lanci. Il valore più probabile per lo spostamento è zero (gli eventi corrispondenti sono:

++--,+--+, +-+-, --++, -++-, -+-+

Gli spostamenti 2 e -2 hanno entrambi quattro possibilità. Gli spostamenti 4 (++++) e -4 (----) hanno solo 1 possibilità. Tutti i casi possibili sono 16=24.

Probabilità e moto browniano, una simulazione in una dimensione (II)

Se determiniamo la media dello spostamento otteniamo zero. Mentre il calcolo della somma dei quadrati degli spostamenti è:

<X2>= 4 = [026+224+(-2)24+421+(-4)21]/16,

coincidente con lo spostamento massimo e il numero dei lanci.

Probabilità e moto browniano, una simulazione in una dimensione (III)

Non è un caso, la distribuzione binomiale porta sempre allo stesso risultato. Nel disegno accanto è rappresentato il grafico di 10 lanci della moneta con tutti i casi possibili che variano tra -10 e +10. Ancora si ha che <X2>= 10.

Probabilità e moto browniano, una simulazione in una dimensione (IV)

Si può ottenere sperimentalmente la funzione di distribuzione degli spostamenti ripetendo molte volte la prova di 10 lanci e raggruppando in un istogramma i valori degli spostamenti. Il numero di lanci della moneta corrisponde fisicamente alla durata t dell’intervallo di tempo stabilito per le misure dello spostamento. Quindi se la particella deve seguire un moto casuale regolato dalla probabilità è possibile che <X2> sia proporzionale a t.

Probabilità e moto browniano, una simulazione in una dimensione (V)

Il movimento di una particella browniana sferica all’interno di una soluzione acquosa, diciamo in una

celletta avente volume di 1 cm3, è osservata con il solito microscopio. Le grandezze caratteristiche del

granello sono il raggio (10-6 m) e la massa

(M=5 10-15kg). Gigantesche, se confrontate con quelle delle molecole dell’acqua (massa molecolare

3 10-26 kg; “distanza” tra atomo idrogeno e atomo di

ossigeno: 10-10 m), trascurabili rispetto alla massa

dell’acqua (10-3 kg) e alla dimensione lineare della

celletta (10-2 m).

Forze viscose e forze aleatorie (I)

Ma qual è la forza che determina il moto a zig zag della particella?

La causa è riconducibile agli urti delle molecole (in agitazione termica). Essi risultano tanto più frequenti, quanto più cresce la temperatura assoluta del sistema. Utilizzando come fluido un gas, l’effetto è ancora più vistoso ed è anche più facile da visualizzare.

Una sorta di gioco del calcio giocato da una sterminata squadra di lillipuziani bendati che corrono in tutte le direzioni urtando uno o più palloni giganteschi.

Forze viscose e forze aleatorie (II)

Se ci fosse solo un urto di una molecola contro la particella browniana, questa, a causa della viscosità del fluido, dopo un breve tempo t si fermerebbe. La dinamica (urto, velocità iniziale v, velocità finale nulla) è retta dal secondo principio secondo cui la variazione della quantità di moto è pari all’impulso:

Dp=0-Mv=F t

Forze viscose e forze aleatorie (III)

La forza passiva che agisce sul corpo in movimento nel mezzo viscoso (la risposta del sistema) è proporzionale alla velocità e tende a smorzare gli effetti dell’urto. Per cui F=- gv, dove g è il coefficiente di attrito. Utilizzando entrambe le equazioni possiamo scrivere:

–Mv=- gvt

da cui si ricava il tempo caratteristico della particella browniana:

t=M/g

Forze viscose e forze aleatorie (IV)

Le grandezze tipiche del fluido (viscosità dell’acqua) e della particella (raggio e massa) in questione portano a un tempo di dissipazione della velocità acquisita in un singolo urto dell’ordine dei 10-7 s.

Piccolo in assoluto, ma estremamente grande se confrontato con l’intervallo di tempo tra due urti successivi (si valutano in alcuni casi anche 1021 urti al secondo).

Forze viscose e forze aleatorie (V)

Nasce l’ipotesi che la forza attiva impulsiva (dovuta agli urti delle molecole) non abbia un verso privilegiato e che la sua intensità non dipenda dal valore assunto negli istanti precedenti (non ha memoria, la sua correlazione temporale è nulla). Così si può pensare per l’elevato numero di molecole (dell’ordine di

1023) che la funzione di distribuzione abbia una forma simile alla curva della distribuzione degli errori: una gaussiana centrata sul valore iniziale.

Forze viscose e forze aleatorie (VI)

Anche la funzione di distribuzione degli spostamenti si assume che sia di tipo gaussiano.

Forze viscose e forze aleatorie (VII)

Dalle misure sperimentali del moto browniano segue che <X>=0 e che la media dei quadrati degli spostamenti <X2> è proporzionale al tempo t. L’ultima relazione può essere scritta nella forma:

<X2>=2Dt con t ≫t

introducendo il termine D chiamato coefficiente di diffusione.

Forze viscose e forze aleatorie (VIII)

L’ipotesi che la particella browniana di massa intermedia tra le molecole e l’intero liquido soddisfi la legge del moto di un fluido viscoso è poi affiancata dalla validità della legge di equipartizione dell’energia tipica dell’equilibrio statistico delle molecole del fluido:

½M<v2>=½kT

con k costante di Boltzmann e T temperatura assoluta del sistema. È il punto cruciale: l’ipotesi che si possa definire una velocità.

Forze viscose e forze aleatorie (IX)

Si dimostra che il coefficiente di diffusione D è uguale al prodotto del tempo caratteristico per la media dei quadrati delle velocità t<v2>. Infine eliminando la dipendenza da <v2> risulta:

D=kT/g.

Il coefficiente di diffusione ricavato da <X2> e t (con un microscopio e una cinepresa) può indipendentemente essere collegato alle grandezze del fluido e della particella mesoscopica. In questo modo Perrin risale al numero di Avogadro.

Forze viscose e forze aleatorie (X)

Non solo, l’uguaglianza tra i due termini: <X2>=2 kTt/gè il primo esempio di relazione fluttuazione-dissipazione: la fluttuazione quadratica media dello spostamento, causata dall’agitazione termica del fluido, è collegata al coefficiente di viscosità (parametro che descrive la dissipazione della velocità della particella all’interno del fluido) che misura la risposta del fluido agli effetti cinetici.

Forze viscose e forze aleatorie (XI)

Altri video:

Video 1 Breve filmato di una sospensione con particelle di diametro medio di 3 micrometri Clic

Video 2 Risonanza stocastica Clic

Video 3 Diffusione di inchiostro in due liquidi a diversa temperatura Clic

Video 4 Brownian motion Clic

Video 5 Registrazione di moto browniano Clic