Post on 01-May-2015
Lezione 8 Dinamica del corpo rigido
Argomenti della lezione:
• Corpo rigido
• Centro di massa del corpo rigido
• Punto di applicazione della forza peso
• Punto di applicazione della forza peso
• Momento della forza peso
• Energia potenziale
• Rotazione nel piano
• Momento di interzia
• Energia cinetica di rotazione
• Teorema di Huyghens-Steiner
Corpo rigido
Definizione Un corpo rigido è un oggetto o meglio un sistema di punti materiali in cui le distanze relative NON cambiano
Un corpo rigido diventa quindi la definizione di un oggetto reale esteso.
0)( IRNON hanno risultante
Le forze interne (forze di coesione che mantengono invariate le distnze fra i punti) hanno le seguenti caratteristiche:
NON fanno lavoro
NON fanno momento 0)( IM
0)( IW
Corpo rigido
Tale sistema è quindi descritto dalle seguenti equazioni dinamiche
Le forze esterne sono responsabili del moto del Centro di Massa
Il lavoro delle forze esterne varia l’energia cinetica del sistema
I momenti delle forze esterne sono responsabili delle rotazioni intorno ad O (punto fisso o centro di massa del sistema)
CMe maR )(
i
iiiOe
O mdt
d
dt
dvr
LM )(
AcinBcine EEBAW ,,
)(
Corpo rigido
Come è fatto un corpo rigido??
Esso è formato da un insieme continuo di punti materiali.
Quindi tutte le somme diventano degli integrali!
Estendendo quindi ciò che si è visto per un insieme discreto di punti materiali le singole masse saranno infinitesime, ossia
dmmi
Centro di massa di un corpo rigidoDefiniamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza:
y
xO
CMrirr
ii
iii
CM m
m rr
imdm
dm
dmCM
rr
Se definiamo la densità come: dVdm con dV elemento di volume occupato da dm
leVolumeTota
dV
dV
dV
dV
dVVolume
Volume
Volume
Volume
VolumeCM
rrr
r
Punto di applicazione della forza peso Centro di massa
Consideriamo un corpo continuo sottoposto alla forza peso:
dmdm g La risultante di tutte queste forze parallele fra di loro è:
ggg mdmdm E tale forza è applicata nel centro di massa del sistema.
Momento della forza peso Centro di massa
Il momento della forza peso rispetto a un polo fisso (ad esempio l’origine dell’asse delle coordinate) è dato da:
grgrM dmdm
dmdm
dm
dmCMCM rr
rr
ma:
grgrgrM mmdm CMCMCM
Energia potenziale Centro di massa
Analogamente a quanto visto in precedenza per il calcolo dell’energia potenziale:
zdmggzdmE p
dmzzdm
dm
zdmz CMCM
ma:
CMCMp mgzdmgzzdmggzdmE Se il corpo è libero ed agisce solo la forza peso la traiettoria del CM è verticale rettilinea o parabolica a seconda delle cond. iniz.
Rotazione nel piano
zu
O
dmr
CM
v
Consideriamo un corpo di due dimensioni, che possa ruotare intorno ad un asse fisso
Asse di riferimento
Le equazioni del moto del sistema sono
CMe maR )(
dt
d OeO
LM )(
dmmi
iiiO vrvrL
Poichè vr zO rvdmuL
Rotazione nel piano
Notiamo che il momento angolare e il momento della risultante delle forze esterne sono perpendicolari al piano e paralleli al versore uz
zu
O
rdm
CM
v
Asse di riferimento
Inoltre si ha che:
dt
drv
E quindi
dmrdt
ddm
dt
drrrvdmO
2L
La quantità prende il nome di momento di inerzia dmrIO
2
Momento di inerzia
Si è appena introdotta una nuova quantità che prende il nome di momento di inerzia
dmrIO2
i
iiO mrI 2
Nel caso continuo
Nel caso discreto
Il momento di inerzia è legato a come è distribuita la massa attorno all’asse di rotazione
Esempio
Equazioni del moto del corpo rigido
Per la traslazione
Per la rotazione
CMe maR )(
dt
d OeO
LM )(
dmrI
dmrdt
d
O
zO
2
2 uL
zOOe
O Idt
d
dt
du
LM
2
2)(
Sia m la massa totale del corpo rappresentato in figura
zu
O
rdm
CM
v
Asse di riferimento
Dal teorema di Konig si ha che
i
iiCMtotcin mME 22 '2
1
2
1vv
Con i'v velocità relative rispetto al CM
Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso
zu
O
rdm
CM
v
Asse di riferimento
Dall’analisi del moto di rotazione intorno ad O di tutte le masse infinitesime
Ma
dmrIO2
22 '2
1'
2
1vv dmmE
iiicin
dt
drv
dmr
dt
d
dt
drdmEcin
2
222
2
1
2
1
e in definitiva2
2
1
dt
dIE Ocin
Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso
Prendiamo un corpo piano qualsiasi che ruota intorno al punto O
O CM
CMr
r 'rCalcoliamo ora il momento d’inerzia rispetto al punto O
dmdmrI CMO22 'rr
dmdmdm
dmI
CMCM
CMCMO
'2'
'2'
22
22
rrrr
rrrr
CMCMCMO ImdmmI 222 ' rrrOssia
Teorema di Huyghens-Steiner
Pendolo composto
Si chiama pendolo composto o pendolo fisico ogni corpo rigido che possa oscillare per azione del suo peso in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il suo centro di massa.
h
O
gm
CM
Il momento della forza peso è
senhmgm grM
Il segno negativo è dovuto al fatto che si ha una forza di richiamo
Pendolo composto
Studiamone il moto
senhmgm grM
2
2
dt
dII
dt
dzz
z L
sen2
2
hmgdt
dII
dt
dzz
z L
0sen2
2
zI
mgh
dt
d
E per piccole oscillazioni 02
2
zI
mgh
dt
d
h
O
gm
CM
Pendolo composto
che ha soluzione
02
2
zI
mgh
dt
d
zI
mghtt con sen0
gl
mghIT z 222
mh
Il z lunghezza ridotta del pendolo
h
O
gm
CM
Pendolo composto
gm
O
h
CM'h
'O
Se poniamo
'' mhhImh
Ih C
C
hhhhmh
I
mh
mhI
mh
Il CCz
'
2
Se facciamo oscillare attorno ad O’
lhhhmh
mhhh
mh
I
mh
mhI
mh
Il CC
''
'
''
''
'
'
''
2
ll ' CioèIl periodo di oscillazione intorno ai due assi è lo stesso
Rotolamento puro
rωvv CMC
Se
0Cv
rωv CM
C
CMv
CMv2
CMvr
ω
Il moto del centro di massa è regolato dalle seguenti equazioni
raωrv CMCM
Rotolamento puro sfera
Per la traslazione
0mgN
mgfF a
Irf
I
a
a
αfrM
af C
F
ω
Per la rotazione
Considerando tutte le equazioni
11
1
2
2
22
22
2
2
mI
R
F
mRI
m
F
R
Ia
R
If
mRI
m
F
RI
m
Fa
aR
ImF
aR
If
mafF
CMa
CM
CM
CMa
CMa
mgf sa Per il rotolamento puro occorre che