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UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERÍA – ESCUELA DE ELÉCTRICA
LEVITADOR MAGNETICO CON CONTROL PID
Bravo Luis a, Mogrovejo Wilson a,*, Quezada Fausto a,**, Rodriguez René a
(a) Universidad de Cuenca. Av. 12 de Abril y Agustín Cueva. Cuenca, Ecuador. Tel. +5937405100021
(*) wfedoml1@gmail.com, (**) fausto_quezada@outlook.com.
Resumen
Este proyecto consiste en el diseño de un levitador
magnético con la aplicación de un controlador
PID(Proporcional, Integrador, Derivador), usando el
circuito integrado LM741, sin embargo el presente
trabajo muestra la modelación matemática, y los
resultados reales(gráficos) del circuito practico.
Abstract
This project consist in the design of a magnetic
levitator, with PID application (Proportional, Integrate,
Derivation) using the integrate circuits LM741,
however the present paper including the mathematic
modeling, and real results (plots) of practice circuit.
1. Introducción
En esta articulo veremos el uso de la series de
Fourier, Transformada de Fourier, Transformada
discreta de Fourier, y La transformada rápida de Fourier,
con el objetivo de dar información necesaria que facilite
la compresión de los temas mencionados durante el
desarrollo del curso de Sistemas Lineales y Señales.
2. Modelo Matemático
El sistema de levitación se compone de un
electroimán que permanece fijo y el objeto levitante que
está debajo del primero, como se muestra en la figura 1.
Figura 1: Esquema del Levitador Magnético.
El electroimán está formado por un núcleo tipo “E”
laminado de material ferromagnético con alambre
esmaltado enrollado N veces a su alrededor (N vueltas)
y su modelo eléctrico es una inductancia de valor L.
La esfera (también de material ferromagnético) se
caracteriza por su masa m, la distancia de ésta con
respecto a la bobina x y su contribución al campo
magnético. En el caso de que 0x la inductancia
tendrá su valor máximo de M SL L , y para x la
inductancia presenta su valor mínimo, es decir, la
inductancia de la bobina es función inversamente
proporcional (decreciente) de la distancia x entre la
bobina y la esfera. Una aproximación práctica para
modelar este comportamiento es mediante la ecuación 1
[1]. Donde a es la constante de longitud para el sistema
completo (máxima distancia a la que puede estar la
esfera de la bobina).
( )x
aM SL x L L e
(1)
La inductancia ML puede ser expresada en función del
número de vueltas de la bobina del electroimán de la
siguiente manera 2
0M
N AL
i g
(1.1)
Donde A es la sección transversal del núcleo, N el
número de vueltas, g constante de gravedad y 0
permeabilidad de vacío. Por otra parte se tiene que la
energía almacenada en la bobina se puede calcular
median te la ecuación 2 [2]
21( , )
2W i x L i (2)
Donde i es la corriente instantánea que circula por esta;
y por tanto se puede calcular la fuerza que genera el
electroimán sobre la esfera a partir de la ecuación 3
2( , )
2
x
S aLdW i x
i edx a
(3)
Ahora si aplicamos las leyes de Newton al sistema de la
figura 1 y si consideramos el eje x como positivo hacia
abajo logramos obtener la siguiente ecuación diferencial
para la dinámica del sistema.
2 02
x
aSL e
x i gma
(4)
Con todos estos parámetros que anteriormente ya se
explicaron.
3. Realización del Levitador Magnético
En la figura 2 se puede ver que el levitador está
formado por un sensor de distancia y acondicionadores
de señal, un electroimán y el objeto que se va a hacer
levitar (una esfera metálica o moneda) un amplificador
de potencia para la bobina. Ahora bien este sistema se
va a implementar como una base de experimentación y
por conveniencia definiremos el voltaje de salida del
sensor y de entrada para el amplificador de potencia en
un rango de entre 0 y 5 voltios (de fácil uso para la
aplicación de circuitos lineales o microcontroladores)
[1].
Por lo antes mencionado presentaremos el siguiente
diagrama de bloques para la representación del sistema:
Figura 2: Diagrama de Bloques del Sistema
3.1 Electroimán.
Dado que utilizamos un electroimán ya fabricado de una
bobina voltométrica de un contador eléctrico, tenemos
los siguientes valores:
Área núcleo interno:4 21.44 .E m
Numero de espiras: 2000
Voltaje máximo: 50V.
Estos valores son ajustados a un transistor TIP31C
debido a que este dispositivo cumple con las
condiciones mencionadas.
Para la obtención del electroimán a partir del elemento
ya mencionado, procedimos a cortar las chapas del
núcleo para obtener una “E”, y de manera experimental
verificamos la fuerza que se obtenía, al aplicarle 50V de
corriente continua, era la necesaria para atraer la esfera
que requeríamos levitar.
Entonces los cuerpos empleados en la levitación fueron:
una moneda de 5 centavos USD, 10 centavos USD, y
una esfera de masa considerada entre unos 0.04Kg. y
una corriente máxima de hasta de 2 amperios en la
bobina.
En la figura 3 se describen los experimentos de tensión
vs distancia de atracción, donde se logró determinar que
la distancia óptima de levitación se daba a los 8
milímetros.
Mediante los cálculos tenemos que mientras mayor sea
la variación de la inductancia, tendremos una mayor
fuerza de atracción, por lo que debemos tener en
consideración un cierto rango de distancias en el cual se
logre la levitación de la masa en forma práctica.
Tomando estas consideraciones llegamos a tener la
siguiente expresión en unidades del sistema de MKS:
30.011481.46 1.24 10
x
L x e
(5)
Es posible determinar la corriente requerida a la que
trabaja el electroimán, pero como vamos a trabajar con
una bobina voltométrica con especificaciones ya
establecidas no lo realizamos en este caso.
Figura 3: Pruebas de atracción del Electroimán
3.2 Diseño del sensor de distancia.
Se debe considerar que la corriente no debe pasar de un
cierto rango, y a su vez la distancia también debe ser
adecuada, entonces hemos optado por utilizar un opto
transistor y un fotodiodo por las características de
actuación rápida que tienen éstos elementos. La
alimentación fue de 2V al fotodiodo y con una
resistencia en serie de 53 0hmm (valor encontrado de
dividir un voltaje de 5V para la corriente permisible de
90mA). Sin embargo el ángulo entre la horizontal
formada por el fototransistor y el fotodiodo debe ser
máximo 10°
Figura 4: Esquema físico de los sensores
Mediante un LM741 amplificamos la señal en un rango
de 0V correspondiente a 0mm y los 5V a la distancia
que esperamos en este caso de 8mm.
Se puede colocar un potenciómetro de precisión entre el
pin 6 y 2 para lograr un mejor funcionamiento. El
inconveniente con este circuito es su rango reducido de
operación pero en éste caso no es inconveniente.
Figura 5: Esquema eléctrico de los sensores
3.3 Diseño del Amplificador de Potencia
El amplificador de potencia de rápida respuesta es
fundamental para el correcto desempeño del sistema, y
dadas las características inductivas de nuestra carga el
amplificador requerido para este sistema deberá
alimentar la bobina con corriente continua, con un valor
instantáneo proporcional a un voltaje de referencia que
representa la variable que se manipulará en el sistema
de control. Para lograr esto usamos una conexión
sencilla con un transistor TIP-131 que opera en las zonas
de saturación y corte por lo que la bobina será sometida
a entre valores de voltaje max 50V V y 0V, a una
corriente max 1I A y cuando se somete a un voltaje
nulo, la corriente se descarga a través del diodo
(1N4548) que es un diodo de activación rápida y se usa
como protección de la bobina.
De esta forma actuamos sobre el encendido y apagado
del transistor para controlar el nivel de corriente que
circula por el electroimán.
Figura 6: Circuito de amplificación de potencia
4. Controlador PID
Figura 7: Esquema de un controlador PID
La figura presentada muestra un sistema de control
con retroalimentación típica ya sea de un elemento
sensor o transductor que mide un parámetro físico, tal
como la velocidad o temperatura, y lo convierte en un
voltaje o corriente.
La función básica de un controlador es la de comparar
el valor real de la salida c(t) de una planta, con la entrada
de referencia r(t), es la de determinar el error e(t) y
producir una señal de control que reducirá el error al
valor mínimo posible.
Ahora bien para lograr el éxito de un error cercano a
cero dependiendo del tipo de sistema, habrá la necesidad
de aplicar lo que se denomina controladores tipo: P, I,
D; y dependiendo de los requerimientos necesarios para
optimizar el sistema existe la posibilidad de combinar
dichos controladores como veremos a continuación:
Figura 8: Respuesta al escalón de un sistema en lazo
cerrado por: a) Controlador P b) Controlador PD c)
Controlador PID
Un controlador que consiste solo en una ganancia es
llamado proporcional (P). La velocidad a la cual la
salida puede responder a la señal de error depende de la
ganancia del controlador. Por tanto aumentando dicha
ganancia, el tiempo de subida (Ts) del sistema puede ser
decrementado, permitiendo que la salida siga a la
entrada más rápidamente. Sin embargo, esto agrega el
problema de provocar un aumento del sobresalto,
causando oscilaciones en la salida, lo que llevaría al
sistema ser inestable. Además, una constante de
ganancia amplifica el ruido a alta frecuencia, causando
una disminución del ancho de banda del sistema de
control.
Una forma de reducir el tiempo de subida sin aumentar
el porcentaje de sobresalto es agregar un término
derivativo (D) al controlador P, dado que la derivada de
la señal de error provee información acerca de cómo el
error va cambiando con respecto al tiempo. De este
modo, el controlador puede estimar valore futuros de la
señal de error y compensar adecuadamente. Cabe
recalcar que un problema asociado al PD es que
funciona como un filtro pasa-alto. Por ello, el
controlador PD amplifica el ruido de alta frecuencia, lo
que reduce la estabilidad del sistema total.
Para eliminar el error de estado estacionario, se agrega
un término integral (I) que posibilita al nuevo
controlador PID recordar datos anteriores, permitiendo
así también dar una salida distinta de cero para una
entrada nula. Por tanto dicho controlador permite tener
un error de estado estacionario igual a cero. Como
contrapartida el integrador adiciona un polo en la
función de lazo cerrado, con lo cual la estabilidad del
sistema decae.
4.1 Detalles matemáticos y eléctricos de los
controladores
A continuación se muestra las configuraciones
electrónicas del amplificador operacional con sus
respectivas modelaciones matemáticas, para obtener los
diferentes controladores, cabe recalcar que se deberá
tomar en cuenta la estabilización del sistema para la
aplicación de cualquiera de los siguientes controladores.
Amplificador operacional básico[2]
Figura 9: Esquema eléctrico de un A.O.
En la figura se muestra la conexión del circuito básico
de un amplificador operacional, que nos permite obtener
una señal con ganancia constante y con señales de
entrada y salida desfasadas.
1 1
Vo RfGanancia A
V R
(6)
Ahora un amplificador de ganancia unitaria existe si
Rf=R1; es decir obtendremos una señal de salida
únicamente desfasada 180ª, o también:
Figura 10: Esquema eléctrico de un seguidor unitario
Amplificador operacional integrador
Si cambiamos el componente de retroalimentación, con
un capacitor, la conexión se denomina integrador, donde
la impedancia capacitiva puede expresarse como:
1 1
* *Xc
jw C S C (7)
Y resolviendo de Vo/V1 se tiene
1* *
V VoI I S C Vo
R Xc
(8)
1
1 * *
Vo
V S C R
(9)
que expresada en el dominio del tiempo tenemos:
1
1( ) ( )Vo t V t dt
RC (10)
Figura 11: Esquema eléctrico de un amplificador
integrador
Amplificador operacional diferenciador
Cambiando la resistencia de entrada por un capacitor en
la figura 7 obtenemos la siguiente ecuación mediante
procedimientos similares al anterior.
1( )( )
V tVo t RC
dt
(11)
Figura 11 Esquema eléctrico de un amplificador
derivador
Los controladores mencionados se pueden combinar
entre sí (PI, PD, PID); sin embargo para su aplicación se
deberá tomar en cuenta la necesidad de la estabilidad del
sistema; que para el presente proyecto fue necesario el
controlador PID que se muestra a continuación:
Controlador PD
Figura 12: Esquema eléctrico de un controlador PD
Controlador PI
Figura 13: Esquema eléctrico de un controlador PI
Controlador PID
Figura 14 Esquema eléctrico de un controlador PID
Figura 15: Funciones de transferencia de elementos
electrónicos [4].
5. Cálculo de la función de transferencia
El cálculo de la función de transferencia como la
relación de voltaje que entrega el sensor entre el voltaje
del electroimán obtenemos
Deducción de la función de transferencia
2
3
1
2( )( )
( ) 2
*
o
o
o
CIVs sG s
V s CIRS S
L m x
(12)
Donde L y R representan la inductancia de la bobina,
(son datos que se obtuvieron experimentalmente) y m la
masa de la esfera.
Las cantidades de Io y Xo son la corriente de la bobina
y la posición en el punto de operación y a partir de esto
podemos calcular nuestra constante C ya que en este
punto de operación la fuerza magnética es igual a la
fuerza de gravedad dada por la ecuación.
2
4
*
1.555 50 0.22
0.008 12
oo
o
E o
o
If C m g
x
C I A
x m m gr
De esta manera podemos determinar nuestro sistema de
suspensión magnética mediante el siguiente diagrama
de bloques en la figura 16:
Figura 16: Diagrama de bloques de un sistema de
suspensión.
1
2( )
2 2
* *
o
o o
o o o o
CIG s
I IR C CS S S
L m x x m x x
0.0341
( )102.26 49.41 49.41
G sS S S
70
lim ( ) 1.3659Es
Kv G s Kv
( ) * ip D
KG s K K S
S
10.0341(1 * )
( )102.26 44.41 44.41
DK SG s
S S S
( )( )
1 ( )
G sT s
G s
3 2
1
1 ( ) 102.265
(0.0341* 2441.35)* 0.0341D
G s S
K S
1
3 2
1 ( )
0.0341* *1
102.26* 2441.35* 0.0341
eq
D
G s
K S
S S S
Usando Matlab y tomando 1DK del lugar geométrico:
1
3 2
0.0083
0.0341*( )
102.26* 2441.35* 0.0341
D
eq
K
SG s
S S S
:
0.0341* 1 0.0083( )
102.26 49.41 49.41
Ahorabien
G ss S S
6. Desarrollo práctico del levitador
magnético
Los parámetros físicos que se tomaron en cuenta
fueron los siguientes:
- Esfera metálica para que el campo magnético
sea uniforme sobre este elemento y así
optimizar el funcionamiento.
- Luz infrarroja para obtener una alta velocidad
de respuesta de retroalimentación.
- Soportes no ferromagnéticos para sostener la
bobina, de manera que evite la desviación de
campo magnético.
De manera experimental se realizaron las primeras
pruebas con controladores PD y controladores PI,
siguiendo los circuitos presentados en 4.1, sin embargo
no obtuvimos éxito con la levitación de la esfera
metálica por tanto recurrimos a la investigación sobre la
implementación del controlador PID, que permitió
cumplir con el objetivo de levitar la esfera metálica.
Figura 17: Circuito electrónico real
Los circuitos de control y de fuerza que conforman este
proyecto están aislados por un opto acoplador, por esta
razón podemos analizar cada uno por separado.
6.1 Circuito de control
Para verificar el funcionamiento de los elementos de
retroalimentación, tomamos en cuenta la salida de error,
y al interrumpir el paso de luz infrarroja del fotodiodo
hacia el fototransistor, mediremos una variación de
voltaje cada vez que ocurra este procedimiento; de no
ser así hubiese sido necesario utilizar la base del
fototransistor para insertar una corriente que permita
una mayor sensibilidad en la recepción de luz.
Prueba uno: Con interrupción de luz. Fig.18
Figura18: Señal de error con interrupción de luz
1 Software libre WINSCOPE disponible en:
http://winscope.software.informer.com/1.5/
Prueba dos: Sin interrupción de luz Fig. 19.
Figura 19: Señal de error sin interrupción de luz
Utilizando el programa Winscope1 2.5v obtuvimos la
siguiente señal de control Fig.20:
Figura 20: Señal de control entrante en el
optoacoplador
El circuito de fuerza es sencillo puesto que consiste en
un transistor que trabaja como interruptor de manera que
encienda y apague el electroimán; cabe recalcar que
para proteger la bobina se colocó un diodo rápido en
conexión anti-paralela.
La alimentación de dicho electroimán está definido por
2 transformadores con sus bobinados primarios en
paralelo y los secundarios de 24v y 12v en serie de
manera que no se contrarresten y den un voltaje en
terminales igual a 36v.
Mediante un puente de Graetz la corriente alterna es
rectificada y luego filtrada con un capacitor que elimina
el rizado y aumenta el voltaje eficaz de la corriente
continua aplicada a los terminales colector emisor del
transistor, al cual se ha colocado en disipador de calor.
Para la calibración de la sensibilidad del fototransistor
fue únicamente necesario variar la resistencia que se
muestra en el circuito mediante un potenciómetro;
finalmente colocando la esfera entre el límite de
distancia permitido por los sensores, el peso de la esfera
fue contrarrestado con la fuerza de atracción del
electroimán, lo cual mantiene levitando al objeto.
En la figura 21 se observa el esquema electrónico para
el comando de los sensores:
Figura 21: Diagrama eléctrico del sistema de
retroalimentación
7. Referencias
7. Materiales Empleados
- Optoacoplador PC-871
- Transistor TIP 31C
- Resistencias:
20KΩ
2.2KΩ
1.8KΩ
2.2MΩ
680kΩ
470kΩ
- Capacitores :
100nF
2200uF
- Amplificadores Operacionales
LM-741
- Puente de Graetz
- Potenciómetro
- Bobina
- 2 Transformadores
- Fuente +Vcc y –Vcc
- Alambre multipar
- Fusibles
- Fototransistor
- Diodo de luz infrarroja
- Esfera metálica
9. Anexos
Datasheet LM741CM
[1] Angel Abusleme H., Aldo Cipriano Z. “Experiencia
De Levitación Magnética De Bajo Costo Para
Laboratorio De Control Automático”, Universidad de
Chile.
[2] A.E. Fitzgerald, Stephen D. Umans, and Charles
Kingsley Jr, “Maquinas Eléctricas”, McGraw-Hill
Interamericana 2004.
[3] Boylestad Nashelsky. “Electrónica: Teoría de
circuitos y dispositivos electrónicos” Octava Edición
[4] Benjamin C. Kuo “Sistemas de control Automático”
Séptima Edición
[5] Helenna Bass. “Circuitos Eléctricos”.
Datasheet Fototransistor
Dimensiones:
Datasheet TIP31C
Datasheet rectificador de puente:
Datasheet OPTOACOPLADOR PC817
DIAGRAMA FINAL DEL CONTROLADOR PID
CASA ABIERTA 2008 FACULTAD DE INGENIERA