Post on 14-Feb-2018
Geometría Analítica
Lcdo Daniel A Quintero R
PROGRAMAGEOMETRÍA ANALÍTICA
OBJETIVO GENERAL:
Resolver problemas sobre lugares geométricos en el plano y/o espacio, a partir del análisis de sus ecuaciones, características y gráficas.
GEOMETRÍA ANALÍTICA SINOPSIS DE CONTENIDO
UNIDAD 1: SEGMENTOS.
UNIDAD 2: LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO. UNIDAD 3: COORDENADAS POLARES Y
ECUACIONES PARAMÉTRICAS. UNIDAD 4: GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO.
SEGMENTOS
Segmentos en el plano cartesiano: Es la porción de una línea recta comprendida entre dos puntos.
L A BAB
L: RectaA: Origen o punto inicialB: Extremo o punto finalAB: Segmento
SEGMENTOSDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO
Y1 P1 ( X 1 , Y1 )
X 2 X 1
P2 Y2
( X2 , Y2 )
La distancia “ d “ entre dos puntos P1 ( X 1 , Y1 ) y P2 ( X 2 , Y2 ) está dada
Por : d 12 = √ ( X 1 - X 2 ) 2 + ( Y 1 - Y 2 ) 2
SEGMENTOSDIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA:
Sí P1 = ( X 1 , Y1 ) y P2 = ( X 2 , Y2 ) son los puntos extremos
de un segmento P1 P2 , las coordenadas ( x , y) de un punto P que
divide a este segmento en la razón dada r = P1 P : P P2 ; son :
X = X 1 + r X 2 Y = Y 1 + r Y2 ; r ≠ - 1 1 + r 1 + r
Pendiente de una rectaY
X
L
P2 (X2 , Y2)
P1 (X1 , Y1)
m = Y2 – Y1
X2 – X1
Ángulos entre Rectas
X
Y L1 →m 1
L2 → m 2ø tg ø =
m 2 – m 1
1 + (m 1. m 2)
m1 = m 2 PARALELISMO
m1. m 2 = - 1 PERPENDICULARIDAD
Lugares Geométricos: “LA LÍNEA RECTA”
Y
X
L
α
Y = m X + b
(0,b)
m = tg α
Ecuación de la recta → Y = m X + b
Forma General de la recta → AX + BY + C = 0
FORMA NORMAL DE LA RECTA
L
(X , Y)
pw
X COS W + Y SEN W – p = 0
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
X
YL
(X , Y)
d = (AX + BY + C) / √ (AA + BB)
FACTORIZACIÓN POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS PERFECTOS
2X + 2Y - 10X + 6Y – 15 = 0
X + Y – 5X + 3Y – (15/2) = 0
(X - 5X) + (Y + 3Y) – (15/2) = 0
(X – 5X + (5/2) ) + (Y + 3Y + (3/2) ) – (15/2) = 0
[(X – 5X + (25/4))] + [ (Y + 3Y + (9/4)) ] + [– (15/2) - (25/4) - (9/4) ] = 0
(X - (5/2)) + (Y + (3/2)) + (- 64/4) = 0
(X- (5/2)) + (Y + (3/2)) = 16 = 4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
Lugares Geométricos: “CIRCUNFERENCIA”
(X – h) + (Y - k) = r
Centro ≈ (h, k)
Radio ≈ r
X + Y + DX + EY + F = 0
Para D + E – 4F › 0
Centro ≈ (- D/2,- E/2)
Radio ≈ ½ √D + E – 4F
Forma OrdinariaForma General
2 2 2 2 2
2 2
2 2
Lugares Geométricos: “LA PARÁBOLA”
l
Aa V F
P
C
C B
B
a = Eje l = DirectrizV = Vértice (h,k)F = FocoBB = CuerdaCC = Cuerda focalLL = Lado Recto
L
L
Lugares Geométricos: “LA PARÁBOLA”
• V (h,k) es punto medio entre A y F• AF = 2p• Lado Recto (L.R.) y la Directriz “l” son perpendiculares al eje
• L.R. = l4pl
2(Y – k) = ± 4p (X – h)
2(X – h) = ± 4p (Y – k)
Lugares Geométricos: “LA ELIPSE”
Y C = “CENTRO”DD = DiámetroEE = CuerdaGG = Cuerda FocalLL = Lado Recto
VV = 2a “EJE MAYOR”BB = 2b “Eje Menor”FF = 2c “Eje Focal”
XVF
B
B
FV
L
L
C
D
D
E
E
G
G
Lugares Geométricos: “LA ELIPSE”
a = b + c2 2 2a = Semi Eje Mayor ( VV )b = Semi Eje menor ( BB )c = Semi Eje Focal ( FF )
“C” es Punto Medio entre los Focos y los Vértices.
El Eje Mayor es perpendiculares al Eje menor.
La excentricidad “e” es la razón entre “a / c” < 0
La longitud del L.R. es la razón entre “2 b / a”
+ 2(x – h )
a2(y - k)
b 2
2= 1
2(x – h )
2
+ b2
(y - k)
a 2= 1
2
Lugares Geométricos: “LA HIPÉRBOLA”
Y
X
Y2Y1
CV VF FD
D
L
L
G
G E
E
B
B
C = “CENTRO”DD = DiámetroEE = CuerdaGG = Cuerda FocalLL = Lado Recto
VV = 2a “EJE TRANSVERSO”BB = 2b “Eje Conjugado”FF = 2c “Eje Focal”
“C” es Punto Medio entre los Focos y los Vértices.
El Eje Transverso y el Eje focal son perpendiculares al Eje Conjugado.
La excentricidad “e” es la razón entre “a / c” > 0
La longitud del L.R. es la razón entre “2 b / a”
(y – k) = ± (b/a)(x – h) “ASINTOTAS”
-2(x – h )
a2(y - k)
b 2
2= 1
2(y – k ) 2-
a2(x - h)
b 2 = 1
2
c = a + b2 2 2a = Semi Eje Transverso ( VV )b = Semi Eje Conjugado ( BB )c = Semi Eje Focal ( FF )
Lugares Geométricos: “LA HIPÉRBOLA”
COORDENADAS POLARESSISTEMA DE COORDENADAS POLARES
90°
0 A
P (r,Ɵ)
r
- r
P (-r,Ɵ)
Ɵ(Polo)(Eje Polar)
(Radio Vector)
(Ángulo Polar)
COORDENADAS POLARESFÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN
X = r cos Ɵ
Y = r sen Ɵ
X + Y = r
Ɵ = arc tg
22 2
YX
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
X + Y = 1 F (x,y) = 0
X = cos Ɵ , Y = sen Ɵ x = f(t), y = g(t)
X + Y = cos Ɵ + sen Ɵ = 1 Ecuación Ecuaciones Paramétricas
Rectangular
2 2
2 2
t = Ɵ
2 2
EL ESPACIO: “El Punto”
Sistema de Coordenadas RectangularesZ
Y
X
3
•P1(3 , 4 , - 2)
•P2(-3 , - 5 , 3)
-3
EL ESPACIO: “Segmentos”“Cosenos Directores” ≈ “Números Directores”
[ a , b , c ]
Cos α = = a = X2 – X1
Cos β = = b = Y2 – Y1
Cos γ = = c = Z2 – Z1
[X2 – X1 , Y2 – Y1 , Z2 – Z1 ]
X2 – X1
d
Y2 – Y1
d
Z2 – Z1
d
a
b
c
d
d
d
Ángulo formado por dos rectas en el Espacio
Cos ø = ±
El doble signo indica que hay dos valores de ø,Suplementarios entre sí.
a1a2 + b1b2 + c1c2
√ a1a1 + b1b1 + c1c1 √ a1a1 + b1b1 + c1c1
EL ESPACIO: “La Recta”
LA RECTA EN EL ESPACIOForma General
A1x + B1y + C1z + D1 + k(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
Forma Simétricax – x1 = ka , y – y1 = kb , z – z1 = kcP1 = (x1 , y1 , z1) k ≠ 0 [ a , b , c ]
[ a , b , c ] Sí a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 entonces
= =x – x1 y – y1 z – z1
a b c
EL ESPACIO:“EL PLANO”Ecuación General: Ax + By + Cz + D = 0
A, B, C y D son constantes
A, B y C ≈ [a , b , c ] Números Directores de su Normal
Bibliografía• Lehmann, Charles: “Geometría Analítica”.
Editorial Limusa.